文档文本内容
人教版初中数学八年级下册
19.1.2 函数 教学设计
一、教学目标：
1.了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系．
2.能根据简单的实际问题写出函数解析式，并确定自变量的取值范围．
3.会根据函数解析式求函数值.
二、教学重、难点：
重点：了解函数的概念，弄清函数与自变量之间的关系.
难点：确定函数中自变量的取值范围.
三、教学过程：
复习回顾
忆一忆
甲、乙两地相距 s 千米，某人行驶全程所用的时间t(小时)与他的速度 v(千米/时)满足
vt = s，在这个变化过程中，下列判断中错误的是( )
A. s 是变量 B. t 是变量
C. v 是变量 D. s 是常量
知识精讲
问题1 在上一节课课本P 的问题(1)～(4)中，是否都存在两个变量？请你写出能表示同一个
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问题中的两个变量之间对应关系的式子.
问题(1)～(4)中都存在两个变量，表示两个变量之间的关系式分别为：s = 60t，y
=10x，S=πr2，y=5-x.
问题2在上面的4个问题中，是哪一个量随哪一个量的变化而变化？当一个变量取定一个值
时，另一个变量的值是唯一确定的吗？两个变量之间的对应关系有什么共同特征？
上面4个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有
唯一确定的值与其对应.
思考
(1)如图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标 x表示时间，纵坐标 y 表示心脏部位
的生物电流，它们是两个变量.在心电图中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的
值与其对应值吗？(2)下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以分别记作两个变量 x 与 y，对于表
中每一个确定的年份 x，都对应着一个确定的人口数 y 吗？
思考中的(1)(2)都满足 y 随 x 的变化而变化，且当 x取定一个值时，y 都有唯一确定
的值与其对应.
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，并且对于 x 的每一个确定的值，
y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值.
在P 的问题(1)～(4)及前面思考(1)(2)的两个变量中，哪些是自变量，哪些是自变量的
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函数.
当 t =1时，函数值 s =60；
当 t =2时，函数值 s =120；……
思考：(1)在心电图中，时间 x 是自变量，心脏部位的生物电流 y 是 x 的函数.
(2)在人口数统计表中，年份 x 是自变量，人口数 y 是x 的函数.
当 x =1984时，函数值 y =10.34；
当 x =1989时，函数值 y =11.06；……
典例解析例 1.下列关于变量 x ，y 的关系式：y=2x+3；y=x2+3；y=2|x|；④ y=±❑√x；⑤ y2-
3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．
【点睛】判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量
有唯一确定的值与它对应.
【针对练习】下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量.
（1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化；
（2）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n
的变化而变化；
（3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它对应的实数为 y，y 随 x 的变化
而变化．
解：（1）S 是x的函数，其中x是自变量.
（2）y 是n的函数，其中n是自变量.
（3）y 不是x的函数.
例2.已知函数
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
4×2-2 5
解：（1）当x=2时，y= =2；当x=3时，y= ；当x=-3时，y=7.
2+1 2
4x-2 1 1
（2）令 =0 ，解得x= ，即当x= 时，y=0.
x+1 2 2
例3.汽车油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y(单位:L)随行驶路程 x(单
位:km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
(1)写出表示 y 与 x 的函数关系的式子.
(2)指出自变量 x 的取值范围.
(3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少油？
解：(1)行驶路程 x 是自变量，油箱中的油量 y 是 x的函数，它们的关系为y =50-0.1 x
0.1 x表示什么意思？
(2)仅从式子 y =50-0.1x 看，x 可以取任意实数.但是考虑到 x 代表的实际意义为行驶路程，
因此 x 不能取负数.行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50，即0.1x≤50
因此，自变量 x 的取值范围是
0≤x≤500
(3)汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数 y =50-0.1x 在 x =200时的函数值.
将 x =200代入 y =50-0.1x，得
y=50-0.1×200=30
汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油.
像 y =50-0.1 x 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述
函数的常用的方法.这种式子叫做函数的解析式.
【针对练习】1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式.
(1)改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变.
(2)每分向一水池注水0.1m3，注水量y(单位：m3)随注水时间x(单位：min)的变化而变化.
(3)秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面 积 y(单位：m2)随这个村人数n的变
化而变化.
(4)水池中有水10L，此后每小时漏水0.05L，水池中的水量V(单位：L)随时间t(单位：h)的
变化而变化.
解：(1)x是自变量，S是x的函数，S=x2.(2) x是自变量，y是x的函数，y=0.1x.
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(3) n是自变量，y是n的函数，y= n .(4) t是自变量，V是t的函数，V=10-0.05t.
2.梯形的上底长2cm，高3cm，下底长x cm大于上底长但不超过 5cm.写出梯形面积S关于x
的函数解析式及自变量x的取值范围.
(2+x)×3 3
S= S=3+ x
解：面积S关于x的函数解析式为 2 ，整理得 2 ，自变量x的取值范围是 2
＜x≤5.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.下列说法中，不正确的是( )
A.函数不是数，而是一种关系 B.多边形的内角和是边数的函数
C.一天中时间是温度的函数 D.一天中温度是时间的函数2.如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系式是( )
A.y=-2x+3 B.y=2x+3 C.y=-2x-3 D.y=2x-3
3.下列式子中，y不是x的函数的是（ ）
1
A.y=-x+1 B.y=2x2-1 C.y= D.|y|=x
x
4.若等腰三角形的周长60cm，底边长xcm，一腰长ycm;则y与x的函数关系式及自变量x的
取值范围是（ ）
A.y=60-2x (0<x<60) B.y=60-2x (0<x<30)
1 1
C.y= (60-x) (0<x<30) D.y= (60-x) (0<x<60)
2 2
5.等腰三角形中顶角的度数 y与底角的度数x之间的函数关系式是_________，自变量x的取
值范围是_____________.
6.用长 20m 的管笆围成一个矩形，则矩形的面积 S(m2)与它一边的长 x 的函数关系式是
_____________，自变量x的取值范围是_____________.
7.已知一蜡烛长30cm，在一定条件下每分钟燃烧 1.5cm,试写出剩余长度 l(cm)与燃烧时间
t(min)之间的函数关系式:____________，经过_____min后，蜡烛将燃烧完.
❑√x-1
8.若函数y= 有意义，则自变量x的取值范围是_______________.
x-2
9.根据如图所示的程序计算函数y的值.若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等
于______.
10.如图，正方形ABCD的边长为4，P是DC上的一个动点且点P不与C、D重合，设DP为x，
四边形ABCP的面积为y.
(1)写出表示y与x的函数关系的式子;
(2)自变量x的取值范围;(3)求当点P为DC的中点时，四边形ABCP的面积.
【参考答案】
1. C
2. A
3. D
4. C
5. y=180-2x, 0＜x＜90
6. S=x(10-x), 0＜x＜10
7. l=30-1.5t, 20
8. x≥1且x≠2
9. -9
10.解:(1)∵S四边形ABCP=S -S
正方形ABCD △APD
∴y与x的函数关系为: y=16-2x
(2)自变量x的取值范围是: 0<x<4；
(3)当点P为DC的中点时，x=2
∴y=16-2×2=12
即四边形ABCP的面积为12.
四、教学反思：
在教学过程中，注意通过对以前学过的“常量与变量”的回顾与思考，提供生动有趣的问题
情境，激发学生的学习兴趣；并通过层层深入的问题设计，引导学生进行观察、操作、交
流、归纳等数学活动，在活动中归纳、概括出函数的概念；并通过师生交流、生生交流、辨
析识别等加深学生对函数概念的理解.
