文档内容
人教版初中数学八年级下册
19.2.3一次函数的概念 教学设计
一、教学目标：
1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系；
2.能利用一次函数解决简单的实际问题.（重点、难点）
二、教学重、难点：
重点：认识三角形的边，内角，顶点，能用符号语言表示三角形。
难点：运用三角形三边的不等关系解决生活实际问题。
三、教学过程：
问题引入
问题：某登山队大本营所在地的气温为 5℃.海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本
营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃.试用函数解析式表示y与x的关系.
分析：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加 x km时，气温从5℃减少6x℃.因此
y与x的函数解析式为
y=5-6x
这个函数也可以写为 y=-6x+5
这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？
当登山队员由大本营向上登高 0.5km时，他们所在位置的气温就是当 x=0.5时函数y=-6x+5
的值，即
y=-6×0.5+5=2(℃)
知识精讲
思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.这些函
数解析式有哪些共同点？
(1)有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t(单位:℃)有关，即c的值约
是t的7倍与35的差.____________________.
(2)一种计算成年人标准体重G(单位:kg)的方法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常
数105，所得的差是G的值.______________.
(3)某城市的市内电话的月收费额 y(单位:元)包括月租费22元和拨打电话x min的计时费(按0.1元/min收取).______________.
(4)把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少x cm，宽不变，长方形的面积y(单位:cm2)
随x的变化而变化.______________________.
认真观察以上出现的四个函数有什么共同特点？
(1) c = 7t-35 (20≤t≤25) (2) G = h-105
(3) y = 0.1x+22 (4) y = -5x+50 (0≤x＜10)
正如函数 y=-6x+5 一样，上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
【归纳】一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.
特别注意：k≠0，自变量x的指数是1.
思考：一次函数与正比例函数有什么不同？
当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
典例解析
例1.下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k和常数项b的值各是多少？
2 200
C=2πr，y= x+200，t= ，y=2(3-x)，s=x(50-x)．
3 v
解：C=2πr，是正比例函数，k=2π；
2 2
y= x+200是一次函数，k= ，b=200；
3 3
200
t= 不是一次函数，也不是正比例函数；
v
y=2(3-x) =-2x+6，是一次函数，k=-2，b=6；
s=x(50-x) =-x2+50x，不是正比例函数也不是一次函数．
【针对练习】下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
-8
（1）y=-8x； （2）y= ； （3）y=5x2+6； （4）y=-0.5x-1；
x
x 2 x-3
（5）y= -1； （6）y= -13；（7）y=2(x-4)； （8）y= .
2 x 2
解：（1）（4）（5）（7）（8）是一次函数，（1）是正比例函数.
例2.当m，n为何值时， 是关于x的一次函数？当 m，n为何值时，y
y=(5m-3)x2-n+(m+n)
是关于x的正比例函数？
解：若y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的一次函数，{5m-3≠0
则有
2-n=1
{ 3
m≠
解得 5
n=1
3
所以当m≠ 且n＝1时，y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的一次函数．
5
若y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的正比例函数，
{5m-3≠0
{ n=1
则有 2-n=1 解得
m=-1
n+m=0
所以当m＝－1且n＝1时，y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的正比例函数．
【针对练习】已知函数y=(2-m)x+2n-3．求当m为何值时．
（1）此函数为一次函数?
（2）此函数为正比例函数?
解：（1）由题意得，2-m≠0，解得m≠2．
3
（2）由题意得，2-m≠0且2n-3=0，解得m≠2且n= ．
2
例3.已知一次函数 y=kx+b，当 x=1时，y=5；当x=-1时，y=1．求 k 和 b 的值．
解：∵当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1
{k+b=5
∴
-k+b=1
{k=2
解得
b=3
例4.汽车油箱中原有油50升，如果汽车每行驶50千米耗油9升, 求油箱的油量y（单位：
升）随行驶时间x（单位：时）变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围，y 是x的一次
函数吗？
解：油量y与行驶时间x的函数关系式为：
9
y=50- x
50
自变量x的取值范围是0≤x≤50.
9
函数y=50- x是x的一次函数.
50
【针对练习】一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2m/s.(1)求小球速度v(单位:m/s)关于时间t(单位:s)的函数解析式.它是一次函数吗？
(2)求第2.5s时小球的速度.
解: (1)小球速度 v 关于时间 t的函数解析式为v = 2 t，
它是一次函数.
(2)当 t = 2.5s时，v = 5(m/s).
例5.甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x
（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．
（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
（2）当x=0.5时，求y的值．
（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）
∵甲、乙两地相距120km
∴火车与甲地的距离表示为：(120-80x)（km），即y=120-80x；
当火车到达甲地时，即80x=120
∴x=1.5，即火车行驶1.5h到达甲地
∴y=120-80x(0
