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19.3 课题学习 选择方案（单元教学设计）
一、【单元目标】
1．巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题；(重点)
2．有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．(难点)
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
学生学习数学问题解决的经验相对缺乏，因此，在学习解决问题时会遇到较大困难，学生习惯于接受
老师的解题分析，一旦自己独立面对陌生问题，就无从下手，学生的主要困难是:(1)不会审题，难以从整
体上把握数量关系:(2)不能用适当的力法表示问题中的数量关系，因此就难以形成适当的数学模型:(3)不会
进行系统的解题规划而习惯于提取直接的解题经验:(4)只要得到答案就完事，没有反思的习惯。问题解决
学习活动的核心价值是通过这种高层次的数学学习活动发展数学感知、表征、抽象概括、推理计算等认知
能力，发展发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，而这些教育价值的实现，必须以独立完整
地经历相关的认知活动为前提.
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约3课时
教学重点： 巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题
教学难点： 规划解决问题思路，建立函数模型.
五、【教学问题诊断分析】
一、情境导入
某校打算组织八年级师生进行春游，负责组织春游的老师了解到本地有甲乙两家旅行社满足要求，针
对团体出游，两家旅行社的优惠方案各不相同，甲旅行社表示可在原价基础上打八折优惠，乙旅行社则推
出学生半价，教师九折的优惠，经统计得知有300名学生和24名老师将参加此次春游，你能帮忙分析出如何选择旅行社更划算吗？
二、合作探究
探究点：运用一次函数解决方案选择性问题
【类型一】 利用一次函数解决自变量是非负实数的方案选择问题
小刚和他父亲一起去灯具店买灯具，灯具店老板介绍说，一种节能灯的功率是 10瓦(即0.01千
瓦)的，售价60元；一种白炽灯的功率是60瓦(即0.06千瓦)的，售价为3元．两种灯的照明效果是一样的．
使用寿命也相同(3000小时以上)．如果当地电费为0.5元/千瓦·时，请你帮助他们选择哪种灯可以省钱？
解析：设照明时间是x个小时，节能灯的费用为y 元，白炽灯的费用为y 元．根据“费用＝灯的售价
1 2
＋电费”，分别列出y、y 与x的函数解析式；然后根据y＝y，y＞y，y＞y 三种情况进行讨论即可求解．
1 2 1 2 1 2 2 1
解：设照明时间是x个小时，节能灯的费用为y 元，白炽灯的费用为y 元，由题意可知y＝0.01×0.5x
1 2 1
＋60＝0.005x＋60，y＝0.06×0.5x＋3＝0.03x＋3.
2
①当使用两灯费用相等时，y＝y，即0.005x＋60＝0.03x＋3，解得x＝2280；
1 2
②当使用节能灯的费用大于白炽灯的费用时，y＞y，即0.005x＋60＞0.03x＋3，解得x＜2280；
1 2
③当使用节能灯的费用小于白炽灯的费用时，y＞y，即0.03x＋3＞0.005x＋60，解得x＞2280.
2 1
所以当照明时间小于2280小时，应买白炽灯；当照明时间大于2280小时，应买节能灯；当照明时间
等于2280小时，两种灯具费用一样．本题中两种灯的照明效果是一样的．使用寿命也相同(3000小时以上)，
所以买节能灯可以省钱．
方法总结：解题的关键是要分析题意，根据实际意义求解．注意要把所有的情况都考虑进去，分情况
讨论问题是解决实际问题的基本能力．
【类型二】 利用一次函数解决自变量是非负整数的方案选择问题
某灾情发生后，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共 100吨到灾民安
置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据表中提供的信息，
解答下列问题：
食 药 生活用
物资种类
品 品 品
每辆汽车运载量
6 5 4
(吨)
每吨所需运费
120 160 100
(元/吨)
(1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y.求y与x的函数关系式；
(2)如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？
并写出每种安排方案；
(3)在(2)的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？并求出最少总运费．
解析：(1)装运生活用品的车辆为(20－x－y)辆，根据三种救灾物资共100吨列出关系式；(2)根据题意
求出x的取值范围并取整数值从而确定方案；(3)分别表示装运三种物资的费用，求出表示总运费的表达式
运用函数性质解答．
解：(1)根据题意，装运食品的车辆为x辆，装运药品的车辆为y辆，那么装运生活用品的车辆数为(20
－x－y)辆，则有6x＋5y＋4(20－x－y)＝100，整理得，y＝－2x＋20；
(2)由(1)知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为 x，20－2x，x，由题意得解得
5≤x≤8.因为x为整数，所以x的值为5，6，7，8.所以安排方案有4种：
方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；
方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；
方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；
方案四：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆；
(3)设总运费为W(元)，则W＝6x×120＋5(20－2x)×160＋4x×100＝16000－480x.因为k＝－480＜0，所以W的值随x的增大而减小．要使总运费最少，需x最大，则x＝8.故选方案四，W ＝16000－480×8
最小
＝12160(元)．
答：选方案四，最少总运费为12160元．
方法总结：解答此类问题往往通过解不等式(组)求出自变量的取值范围，然后求出自变量取值范围内
的非负整数，进而得出每种方案，最后根据一次函数的性质求出最佳方案．
【类型三】 利用一次函数、统计等知识解决最省钱、更划算、更优惠的问题
已知A、B两地的路程为240千米．某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地
运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．
现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数图象(如图①)、上周货运量
折线统计图(如图②)等信息如下：
货运收费项目及收费标准表
运 运输费单
冷藏单 固定费
输 价：
价： 用：
工 元/(吨·千
元/(吨·时) 元/次
具 米)
汽
2 5 200
车
火
1.6 5 2280
车
货运收费项目及收费标准表：
(1)汽车的速度为______千米/时，火车的速度为______千米/时；
(2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y (元)和y (元)，分别求y 、y 与x的函数关系式(不必
汽 火 汽 火
写出x的取值范围)，当x为何值时，y ＞y (总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用)；
汽 火
(3)请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前为下周预定哪种运输工具，才能使
每天的运输总费用较省？
解析：(1)根据图①上两点的坐标分别为(2，120)，(2，200)，直接得出两车的速度即可；(2)根据图表
得出货运收费项目及收费标准表、行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数图象，得出关系式即可；(3)根
据平均数的求法以及折线图走势两个角度分析得出运输总费用较省方案．
解：(1)60 100
(2)根据题意得y ＝240×2x＋×5x＋200＝500x＋200；y ＝240×1.6x＋×5x＋2280＝396x＋2280.若y
汽 火 汽
＞y ，得出500x＋200＞396x＋2280.解得x＞20，当x＞20时，y ＞y ；
火 汽 火
(3)上周货运量x＝(17＋20＋19＋22＋22＋23＋24)÷7＝21＞20，从平均数分析，建议预定火车费用较
省．从折线图走势分析，上周货运量周四(含周四)后大于20且呈上升趋势，建议预订火车费用较省．
方法总结：解答方案选择问题，要注意根据具体情境适当调整方法，如解统计有关的方案选择问题时，
要注意从统计图表中读取信息，然后利用这些信息解决问题．
三、板书设计1．利用一次函数解决自变量是非负实数的方案选择问题
2．利用一次函数解决自变量是非负整数的方案选择问题
3．利用一次函数、统计等知识解决最省钱、更划算、更优惠的问题
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
一、单选题
1．（22-23八年级下·山西朔州·期末）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为 ，它的
邻边长为 ．则 关于 的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据矩形的周长得出 ，再移项即可得出答案．
【详解】根据题意可得
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，理清题中的数量关系式是解题的关键．
2．（22-23八年级下·山西吕梁·阶段练习）某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关
系（如图），由图中给出的信息可知，营销人员月销售3万件的收入是（ ）
A．17000无 B．18000元 C．19000元 D．20000元
【答案】C
【分析】设y与x的函数关系式为 ，由图可知，函数经过点 和点 ，列方程组求解，即可求得函数关系式；当 时，代入函数关系式计算即可求得收入．
【详解】设所求的函数关系式为： ，
∵函数图象过 和 两点，
根据题意得： ，
解得 ．
∴所求的函数关系式为 ．
当 时， ，
∴营销人员月销售3万件的收入是19000元．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是能够运用待定系数法准确求出一次函数的关系式．
二、填空题
3．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）入选初中课本的《桃花源记》是东晋文学家陶渊明的代表作之
一，诗人向大家描述了一个风景宜人的世外桃源．桃花源原型的地点与武陵源有关，而常德市在古代被称
为武陵郡．常德的桃源县内有桃花源风景区，该地以美丽的自然风光和历史遗迹而文明．某校组织师生乘
坐客车去桃花源开展研学旅行．已知客车开始行驶时，油箱中有油80升，如果每小时耗油5.5升，则油箱
余油量y（升）与行驶时间x（时）的关系式为 （不用写自变量的取值范围）
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可直接列出函数关系式．
【详解】解：由题意可得：油箱余油量y（升）与行驶时间x（时）的关系式为 ；
故答案为 ．
4．（22-23八年级下·海南儋州·期中）一次函数 的图象与 轴的交点A的坐标为 ，与 轴
的交点为 ，在 轴上有一点 ，且 的面积为5，求 的坐标为 ．
【答案】 或【分析】把点 代入 可以解得 ，得到一次函数的解析式为 ，再求出与 轴
的交点 的坐标是 ，设点P的坐标为 ，则 ，由 的面积为5，点 得到
,解得 或 ，即可得到 的坐标．
【详解】解：∵一次函数 的图象与 轴的交点A的坐标为 ，
∴把点 代入 得到， ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ，
当 时， ，
∴与 轴的交点 的坐标是 ，
∵点 在y轴上，
∴可设点P的坐标为 ，
∴ ，
∵ 的面积为5，点 ，
∴ ,
解得 或 ，
∴ 的坐标为 或 ，
故答案为： 或
【点睛】此题考查了一次函数与图形面积，求出一次函数解析式是解题的关键．
5．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线
分别交x、y轴于点B、A．点C是直线 上不同于点B的点，且 ．则点C的坐标
．【答案】
【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象和性质，由 及点C不
同于点B，可知点A是线段 的中点，由点A、B的坐标即可求出点C的坐标．
【详解】解：如图，
直线 ，当 时， ；
当 时，由 ，
解得： ，
∴ ， ；
∵ ，且点C不同于点B，
∴点A是线段 的中点，即点C与点B关于点A对称，
∴点C的横坐标为 ，
当 时， ，
∴ ，
故答案为： ．
6．（21-22八年级上·河南新乡·期末）小明和小亮的家分别位于新华书店的东西两边，他们相约同时出发
到新华书店购买书籍，小明骑车小亮步行．小明、小亮到新华书店的距离 （m）， （m）与时间（min）之间的关系如图所示，经过 min，他们途中到书店的距离相等．
【答案】1.5
【分析】分别求出函数 的函数解析式，然后求出它们的交点坐标即可得到答案．
【详解】解：设函数 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
联立 ，
解得 ，
∴经过1.5分钟，他们途中到书店的距离相等，
故答案为：1.5．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
7．（22-23八年级上·山东枣庄·期末）和谐号动车刹车后作匀减速运动，速度 与刹车时间与之间满足关系式 ．动车在匀变速直线运动中，从开始刹车到准确停到站台，需要
min．
【答案】
【分析】令 ，解方程即可求解．
【详解】解：令 ，则 ，
解得： ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确理解“从开始刹车到准确停到站台”即为速度为0是解题的关
键．
8．（22-23八年级下·广东汕头·期末）一根蜡烛长25cm，点燃后每小时燃烧5cm，蜡烛燃烧时剩下的高度
(厘米)与燃烧时间 (小时)( )之间的关系是 ．
【答案】
【分析】根据题意可得等量关系：燃烧的高度 剩余的高度 ，根据等量关系列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意得： ，
整理得： ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关
系．
9．（22-23八年级下·北京房山·期末）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距，某项
研究表明，一般情况下人的身高y（单位： ）是指距x（单位： ）的一次函数，现测得指距x与身高
y的几组对应值：
指距x /
16 18 20 22
身高y/ 133 151 169 187小明的身高是 ，一般情况下，他的指距约是 ．
【答案】
【分析】先利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出当 时 的值即可．
【详解】解：设身高y（单位： ）是指距x（单位： ）的一次函数解析式为 ，当 时，
，当 时， ，
则 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，解得 ，
即小明的身高是 ，一般情况下，他的指距约是 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
10．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）汽车邮箱中有汽油 ，如果不再加油，那么邮箱中的油量
（单位： ）随行驶路程 （单位： ）的增加而减少，耗油量为 请写出 与 的函数关系式
．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，根据题意求出函数关系式即可得到答案．
【详解】解：由题意可知 ，
故答案为： ．
三、解答题
11．（21-22八年级下·吉林长春·阶段练习）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思
后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（ 表示时间， 、 表示路
程），根据图象解答下列问题：(1)“龟兔再次赛跑”路程为 米；
(2)它们两个约定先出发 （填“兔子”和“乌龟”），先出发 分钟；
(3)乌龟跑完全程用了 分钟，兔子跑完全程用了 分钟，乌龟平均速度是 米/分，兔子平均速度是 米/分．
【答案】(1)1000
(2)乌龟，40
(3)60，10， ，100
【分析】（1）根据图象直接得出结论；
（2）根据图象直接得出结论；
（3）根据图象直接得出乌龟和兔子所用的时间，再用路程除以时间求出所用速度．
【详解】（1）解：由图可知，“龟兔再次赛跑”的路程为1000米，
故答案为：1000
（2）由图可知，乌龟先出发，先出发40分钟，
故答案为：乌龟，40
（3）乌龟用60分钟跑完全程，兔子用10分钟跑完全程，
乌龟的平均速度为 ＝ （米/分），
兔子的平均速度为 ＝100（米/分），
故答案为：60，10， ，100
【点睛】本题考查了一次函数的应用，具备在直角坐标系中的读图能力是解题的关键．
12．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）某小型企业获得授权生产甲．乙两种奥运吉祥物，生产每种吉祥物
所需材料及所获利润如下表：
种材料（
种材料（ ） 所获利润（元）
）每个甲种吉祥物
每个乙种吉祥物
该企业现有 种材料 ， 种材料 ，用这两种材料生产甲．乙两种吉祥物共 个．设生产甲
种吉祥物 个，生产这两种吉祥物所获总利润为 元．
(1)求出 （元）与 （个）之间的函数关系式，并求出自变量 的取值范围：
(2)该企业如何安排甲．乙两种吉祥物的生产数量，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1) ， 且 是整数
(2)生产甲种吉祥物 个，乙种吉祥物 个，所获利润最大，最大为 元
【分析】（1）本题的等量关系是：总利润 生产甲吉祥物的利润 生产乙吉祥物的利润，可根据此得出函
数关系式，然后根据生产甲吉祥物用的 材料 生产乙吉祥物用的 材料 ，生产甲吉祥物用的 材
料 生产乙吉祥物用的 材料 ，来列出不等式组求出自变量的取值范围；
（2）根据（1）得出的函数关系式，以及自变量的取值范围，依据函数的性质判断出最大利润及生产方案．
【详解】（1）解：根据题意得 ，
，
由题意 ，
解得： ，
自变量 的取值范围是 且 是整数；
（2）由（1） ，
，
随 的增大而减小，
又 且 是整数，
当 时， 有最大值，最大值是 （元），
生产甲种吉祥物 个，乙种吉祥物 个，所获利润最大，最大为 元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到
关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，准确的解不等式是需要掌握的基本计算能力，要熟练掌握利
用自变量的取值范围求最值的方法．13．（22-23八年级下·广东佛山·阶段练习）某校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行
社说：“如果校长买全票一张，则其余的学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票
价的六折优惠．”若全票价为240元，两家旅行社的服务质量相同．假如校长带领x名学生去旅游，甲、
乙旅行社的收费分别为 ， 元．
(1)写出 ， 与 的函数关系式．
(2)三好学生人数在什么情况下，选择哪个旅行社合算？
【答案】(1) ，
(2)当学生人数小于4人时，选择乙旅行社合算；当学生人数等于4人时，选择甲乙旅行社一样；当学生人
数大于4人时，选择甲旅行社合算
【分析】（1）根据题意直接得出该校向甲乙两家旅行社支付的旅游费y（元）与“三好学生”的人数x人
之间的关系式；
（2）通过两家旅行社费用的比较即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可知： ，
；
（2）解：当 时，
，
解得 ，
当学生人数小于4人时，选择乙旅行社合算；
∴
当 时，
，
解得 ，
当学生人数等于4人时，选择甲乙旅行社一样；
∴
当 时，
，解得 ，
当学生人数大于4人时，选择甲旅行社合算．
∴【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，明确题意，列出关系式是解题的关键．
14．（20-21八年级下·四川凉山·期末）随着西昌葡萄种植面积不断扩大，现新推广甲、乙两种葡萄苗，已
知乙种葡萄苗比甲种葡萄苗每株贵3元，且用100元钱购买甲种葡萄苗的株数与用160元钱购买乙种葡萄
苗的株数刚好相同．
(1)求甲、乙两种葡萄苗每株的价格；
(2)小颖家计划购买甲、乙两种葡萄苗共1000株，调查统计发现，甲、乙两种葡萄苗的成活率分别为
90%、95%，要使这批葡萄苗的成活率不低于92%，且使购买葡萄苗的费用最低，应如何选购葡萄苗？最低
费用是多少？
【答案】(1)甲种葡萄苗每株的价格为5元，乙种葡萄苗每株的价格为8元
(2)购买甲种葡萄苗600株，乙种葡萄苗400株时费用最低，最低费用是6200元
【分析】（1）设甲种葡萄苗每株的价格为x元，则乙种葡萄苗每株的价格为 元，根据题目中的等量
关系列分式方程，求解即可；
（2）设甲种葡萄苗购买b株，则乙种葡萄苗购买 株，根据总成活率不低于92%列不等式，求出
b的取值范围，列出总费用W与b的函数关系式，即可求解．
【详解】（1）解：设甲种葡萄苗每株的价格为x元，则乙种葡萄苗每株的价格为 元，
由题意得 ，
解得： ，
经检验 是原方程组的解．
所以甲种葡萄苗每株的价格为5元，
乙种葡萄苗每株的价格为 元．
答：甲种葡萄苗每株的价格为5元，乙种葡萄苗每株的价格为8元；
（2）解：设甲种葡萄苗购买b株，则乙种葡萄苗购买 株，购买的总费用为W元，
由题意， ，
解得 ，由题意， ，
∴ ，
∴W随b的增大而减小，
∴ 时， 元．
答：购买甲种葡萄苗600株，乙种葡萄苗400株时费用最低，最低费用是6200元．
【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的实际应用，根据已知等量关系正确列方程是解
题关键，注意分式方程求解后要进行检验．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
一、单选题
1．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）甲、乙两人相约登山，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时
间x(分)之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息：①甲登山上升的速度是每分钟10米；②乙在
A地时距地面的高度b为30米；③若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，乙登山1分
钟时，距地面的高度为15米；④登山时间为4分钟，9分钟，15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50
米．其中说法正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程．根据速度 高度 时间即可算出甲登山上升的
速度；根据高度 速度 时间即可算出乙在 地时距地面的高度 的值；根据高度 初始高度 速度 时间
即可得出 关于 的函数关系；找出甲登山全程中 关于 的函数关系式，令二者做差等于50即可得出关
于 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解： （米 分钟），
．故①②正确；
当 时， ， 当 时， ，故③正确，
甲登山全程中，距地面的高度 （米 与登山时间 （分 之间的函数关系式为 ．
当 时，解得： ；
当 时，解得： ；
当 时，解得： ．
故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．故④正确．
故选：D．
2．（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知等腰三角形的周长为 ，则底边长 与腰长
的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象一次函数关系式的知识，要求同学们熟练掌握等腰三角形的性质及三
角形三边关系．
根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定义域即可．
【详解】解：
，
，
即 ，
，
又 两边之和大于第三边，即 ，
解得： ，
故底边长 与腰长 的函数关系式是： ．
故选：A．
二、填空题
3．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在平行四边形 中，点P从起点B出发，沿 ， 逆时
针方向向终点D匀速运动，设点P所走过的路程为x，则线段 ， 与平行四边形的边所围成的图形面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图，则 边上的高是 ．
【答案】4
【分析】本题考查一次函数图像的应用，根据图像得到 ， ， ，结合平行四
边形面积公式求解即可得到答案；
【详解】解：由图像得，
， ， ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：4．
4．（23-24八年级下·重庆万州·阶段练习）图中反映某网约车平台收费 （元）与所行驶的路程 （千米）
的函数关系，根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元，他家距离机场 千米.
【答案】20
【分析】
本题考查了一次函数的解析式以及一次函数的应用，先运用待定系数法求一次函数的解析式，再把
代入，即可作答．
【详解】解：设
把 代入得
解得
∴
当 时，则
解得
故答案为：20
5．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀
速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直
至与货车相遇．已知货车的速度为60千米 时，两车之间的距离 （千米）与货车行驶时间 （小时）之
间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：
①快递车从甲地到乙地的速度为100千米 时；
②甲、乙两地之间的距离为120千米：
③图中点 的坐标为 ；
④快递车从乙地返回时的速度为90千米 时．
以上4个结论中正确的是 （填序号）
【答案】①③④
【分析】本题考查一次函数的应用．根据和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，
从而可以判断哪个选项是正确的．
【详解】解：由图象可得，
快递车从甲地到乙地的速度为： （千米 小时），故①正确，符合题意；
甲、乙两地之间的距离为： （千米），故②错误，不符合题意；图中点 的横坐标为： ，纵坐标为： ，
则图中点 的坐标为 ，故③正确，符合题意；
快递车从乙地返回时的速度为： （千米 小时），故④正确，符合题意；
综上，①③④正确，
故答案为：①③④．
6．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）如图所示，已知正比例函数 和 ，过点 作 轴
的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交于 两点，则 的面积为 （其中 为坐标原
点）．
【答案】4
【分析】本题主要考查了一次函数与几何问题以及两点之间的距离，把点 的横坐标分别代入正比例
函数 和 ，求得B、C点的坐标，进一步求得 的长度，利用三角形的面积求得答案即可．
【详解】解：把 分别代入 和 中，
可得点B的坐标是 ，点C的坐标是 ，
∴ ．
∵点 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
三、解答题7．（21-22八年级下·河南鹤壁·期中）甲、乙两地相距 ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向
乙地．如图，线段 表示货车离甲地的距离 与时间 之间的函数关系，折线 表
示轿车离甲地的距离 与时间 之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
(1)线段 表示轿车在途中停留了______h；
(2)求线段 对应的函数解析式；
(3)求线段 与线段 交点F的坐标，并说明它的实际意义．
【答案】(1)0.5
(2)
(3) ；货车出发3.9小时后，在距甲地234千米处，轿车追上了货车
【分析】
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练应用待定系数法列出相关线段的函数关系式.
（1）由图象直接可得答案；
（2）用待定系数法即可求出DE对应的函数解析式;
（3）求出线段OA的函数解析式，再联立函数关系式解方程组即可.
【详解】（1）线段CD表示轿车在途中停留了 (小时)，
故答案为: ；
（2）设线段 对应的函数解析式为 由图可知， ，
∴把 代入 得:解得
∴线段 对应的函数解析式为 ；
（3）设线段 的函数解析式为 ，把 代入得 解得
∴线段OA的函数解析式为 ，
由 得 ，
∴线段 与线段 交点 的坐标为 ,
它的实际意义为：货车出发 小时后，在距甲地 千米处，轿车追上了货车.
8．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）2022年5月18日，成都市政府正式发布了《成都建设践行新发
展理念的公园城市示范区行动计划（ 年）》．某学校同学为此积极设计了两款文创产品共
100件，其中1件A产品与1件B产品，需成本25元；3件A产品与2件B产品，需成本60元.
(1)这两款文创产品的成本分别是多少元？
(2)同学们决定将这两款文创产品拿到社区公园销售，销售计划如下：投入资金不超过1300元，利润不低
于4500元，A产品定价50元/件，B产品定价65元/件，同学们怎么分配设计两种文创产品的数量，以及
最大利润是多少？
【答案】(1)A产品的成本是10元，B产品的成本是15元
(2)A产品的数量为40件，则B产品的数量为60件时，最大利润为4600元
【分析】
本题主要考查一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到相应
的等量关系．
（1）可设A产品的成本是x元，B产品的成本是y元，从而可列出二元一次方程组进行求解；
（2）可设A产品的数量为m件，则B产品的数量为 件，利用“投入资金不超过1300元，利润不
低于4500元”，得到一元一次不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：设A产品的成本是x元，B产品的成本是y元，
解得： ，
答：A产品的成本是10元，B产品的成本是15元；
（2）
设A产品的数量为m件，则B产品的数量为 件
，
解得： ，
故不等式组的解集为： ，
利润为： ，
当 时，其利润最大， 元
则B产品的数量为： （件），
答：A产品的数量为40件，则B产品的数量为60件时．
9．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）某学校计划在租用 辆客车总费用不超过 元的限额内组织师生
集体外出研学活动，若每位老师带队 名学生，则还剩 名学生没老师带；若每位老师带队 名学生，就
有一位老师少带 名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆）
租金（元/辆）
(1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
(2)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【答案】(1)参加此次研学活动的老师有 人，学生有 人
(2)共有 种租车方案，最少租车费用是 元【分析】（1）设参加此次研学活动的老师有 人，学生有 人，根据数量关系列方程组求解即可；
（2）租车总辆数为 辆，设租甲型客车 辆，则乙型客车 辆，列不等式组求解，设租车总费用为
元，可求出关于租车费用的函数关系，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有 人，学生有 人，
∴ ，解得： ，
∴参加此次研学活动的老师有 人，学生有 人．
（2）解：∵租车总辆数为 辆，设租甲型客车 辆，则乙型客车 辆，
∴ ，解得： ，
∵ 为正整数，
∴ 或 或 或 ，
∴共有4种租车方案，
设租车总费用为 元，则 ，
∵ ，
∴ 的值随 值的增大而增大，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，
∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2000元．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数图像的性质的综合，理解题目中的
数量关系列方程，掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式组的方法，一次函数图像的性质等知识是解
题的关键．
10．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知 与 成正比例，且 时， ．
(1)求 与 的函数关系式；
(2)点 在该函数图象上，求 的值；
(3)设点 在 轴负半轴上，函数图象与 轴、 轴分别交于 、 两点，且 ，求点 的坐标．【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、正比例函数的定义、求一次函数自变量或函数值、几
何问题(一次函数的实际应用)，解题关键是熟练掌握一次函数的图像与性质．
（1）根据正比例函数的定义列出 与 的关系式后，用待定系数法求解；
（2）将 代入（1）中求出的函数解析式即可求解；
（3）由函数解析式求出点 、点 坐标后，根据三角形面积公式求出 后结合题意即可求解．
【详解】（1）解：设 ，
把 ， 代入，
得 ，
．
（2）解： 点 在该函数图象上，
，
．
（3）解： 函数 交 轴、 轴于 、 两点，
， ，
，
，
即点 与点 的距离为 ，
又 ，且 在 轴负半轴，点坐标为 ．
11．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知直线 与直线
，将直线 沿y轴正方向平移4个单位得直线 ，直线 分别交x轴、y轴于点A、点B，交直线
于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，点P为线段 上的动点，点Q为直线 上的动点，当 时， 求出此时P点的坐标；
(3)如图2，在第（2）问的条件下，直线 上有一动点M， x轴上有一动点N，当以P、B、M、N 为顶点
的四边形是平行四边形时，直接写出此时N点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或
【分析】本题考查一次函数的图象及性质、平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数的图象及
性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．（1）先求出 ，联立求解即可．
（2）设 ，过点B作 ，先求出三角形的高，通过面积求出 的长度，进一步求出坐标即
可．
（3）分情况讨论，根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵直线 沿y轴正方向平移4个单位得直线 ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
（2）解：设 ，过点B作 ，
∵ ，
∴ ，
由题意可得： 为等腰直角三角形，
，
，解得 （舍去），或
（3）解：根据题意设 ，
①当 为两组对角线时，
，
解得
．
②当 为两组对角线时，
，
解得
．
③当 为两组对角线时，，
解得
．
综上所述，N点的坐标 或 或
12．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在 中， ，点 为直
角边 边上一动点，现从点 出发，沿着 的方向运动至点A处停止，设点 运动的路程为
的面积为 ．（点 不与点 重合）
(1)求 与 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
(2)当 的面积等于 面积一半时，求出点 运动的路程 的值．
【答案】(1)
(2) 或5
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，找到函数关系式是解题的关键．
（1）分当 时，当 时，两种情况讨论求解即可；
（2）根据（1）所求函数代入求解即可．
【详解】（1）解：当 时，点 在 上运动，，
，
；
当 时，点 在 上运动，
，
，
；
综上所述， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
当 时，则有 ；
当 时，则有 ，解得： ；
综上所述：当 的面积等于 面积一半时，则 或5．
13．（22-23八年级下·陕西榆林·期中）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，西安市
某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，共有师生255人，学校计划
租8辆车前往，此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．现有甲、乙两种车型可供选择，它们的载
客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人／辆） 35 30
租金（元／辆） 400 320
(1)请问有哪几种租车方案？
(2)学校租车总费用最少是多少元？
【答案】(1)见解析
(2)2800元【分析】（1）设租甲型客车m辆，则租乙型客车 辆，根据不等关系列出一元一次不等式组并解不
等式组，利用 为整数讨论即可．
（2）设学校租车总费用是w元，根据等量关系列出关系式，由（1）中m的值讨论即可．
【详解】（1）解：（1）设租甲型客车m辆，则租乙型客车 辆，
根据题意得 ，
解得 ，
为整数，
可取3、4、5，
一共有3种租车方案：
方案1：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆；
方案2：租甲型客车4辆，租乙型客车4辆；
方案3：租甲型客车5辆，租乙型客车3辆．
（2）设学校租车总费用是w元，
，
，
随m的增大而增大，
由（1）可得m取3，4，5，
时，w取最小值，最小值为 （元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，理清题意，根据不等关系及等量关系列
出一元一次不等式组及一次函数的表达式是解题的关键．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
一、解答题
1．（23-24八年级下·福建·期中）某生物兴趣小组到劳动教育实膺甚地观家其种柏物生长的情况，得到植
物高度（ 厘米）与观察时间 （天）之间的关系，并画出如图所示的图象．(1)在这个变化过程中，自变量是______．
(2)该植物从观察时起，多少天以后停止长高？
(3)当观察时间从第40天到第60天时，植物的高度增长多少厘米？该植物平均每天长高多少厘米？
【答案】(1)观察时间
(2)60
(3)增长7厘米，
【分析】本题考查由函数图象获取信息，正确理解图象是解题的关键．
（1）根据图象即可得出答案；
（2）根据图象即可得出答案；
（3）由第40天时植物的高度是24厘米，第60天时植物的高度是31厘米，即可求出答案．
【详解】（1）解：根据图象可知自变量是观察时间 ，
故答案为：观察时间 ；
（2）解：根据图象可知：该植物从观察时起，60天以后停止长高；
（3）解： ，
从第40天到第60天，植物的高度增长7厘米，
，
植物平均每天长高 厘米．
2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）一辆中型客车准乘32人（包括一名司机），这辆客车由A地行驶到
B地，平均油耗为8升/百公里，现油价7元/升，设乘客有x人，盈利为y元．
现有两种路线可供选择
路线一：走“国道”全程180公里，每人票价25元，其他运行成本为50元；
路线二：走“高速”全程120公里，每人票价30元，高速费60元，其他运行成本50元．
(1)分别写出两种路线盈利y（元）与x（人）的函数关系式；
(2)应该怎么选择路线，保证盈利最大？【答案】(1) ，
(2)见解析
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数解析式．
（1）根据题意列出函数解析式即可；
（2）根据 时， 时， 时，列出方程或不等式，求出x的值或x的取值范围，然后进行判
断即可．
【详解】（1）解：设路线一的盈利为 设路线二的盈利为 ，
，
路线一：
；
路线二：
；
（2）解：当 时， ，
解得 ，
当车上有 名乘客时，两种路线盈利基本相等，但人数只能是整数，所以两种路线盈利不会相等；
时， ，
解得 ；
当车上乘客少于等于5名乘客时，路线一盈利大一些
时，
解得
当车上乘客大于等于6名乘客时，路线二盈利大一些．
3．（江西省南昌市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）探空气球是人类研究平流层的重要工具，
主要用于探测温度、压力、湿度和风等气象要素，在气象学发展和天气预报工作中起到了重要作用，某气
象站施放了两个探空气球，1号气球从海拔高度 处出发，同时，2号气球从海拔高度 处出发，图中， 分别表示两个气球所在的海拔高度 与上升时间 的关系．
(1)分别求 ， 对应的函数表达式；
(2)当两气球之间的海拔高度相差 时，求气球上升的时间．
【答案】(1) ， ；
(2)气球上升的时间为 或 ．
【分析】本题考查了一次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）令两个函数值差的绝对值为5，列方程并求解即可．
【详解】（1）解：设 对应的函数表达式为 ，由图象得， ，
将 时， 代入 中，得 ，
解得 ．
所以， 对应的函数表达式为 ．
设 对应的函数表达式为 ，由图象得， ，
将 时， 代入 中，得 ，
解得 ，
所以， 对应的函数表达式为 ．（2）解：当2号气球在1号气球上方时，由题意，得 ．
解得 ．
当1号气球在2号气球上方时，由题意，得 ．
解得 ．
所以，上升时间为 或 ．
4．（23-24八年级下·河北邢台·期中）学校每个月都有一些复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页
40元计费，现在有另外一家复印社乙表示：如果先交200元承包费，那么每100页按15元收费．
(1)直接写出甲、乙两复印社每月实际收费 、 （元）与复印数量x（页）之间的函数关系式（可不写取
值范围）；
(2)请在同一平面直角坐标系内画出 、 的函数图象；
(3)结合图象分析，每月复印多少页时，选择乙复印社更合适．
【答案】(1)甲复印社： ，乙复印社：
(2)见解析
(3)每月复印大于 页时，选择乙复印社更合适．
【分析】（1）根据题意列出函数解析式；
（2）过点 作出 的图象，过点 作出 的图象；
（3）观察函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，甲复印社： ，乙复印社： ；（2）解：过点 作出 的图象，
过点 作出 的图象；
如图所示，
（3）解：令 ，解得 ，
根据函数图象可知，当 时， 选择乙复印社合算；
即每月复印大于 页时，选择乙复印社更合适．
5．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）为改善河流水质，治污公司决定购买10台污水处理设备．现有
A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：经调查：购买一台A型设备比购买一台B
型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
A型 B型
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/月） 240 200
(1)求a，b的值；
(2)若每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
【答案】(1)a的值为12，b的值为10；
(2)当A设备购买1台，B设备购买9台时最省钱．
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，正确掌握
相关性质内容是解题的关键．
（1）先设购买A型的价格是a万元，购买B型的设备b万元，再根据“购买一台A型设备比购买一台B型
设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元”，进行列式，再解方程，即可作答．（2）先设设购买金额为y万元，A型设备数量x台，列式得 ，根据处理污水量进行列不等式，
再结合一次函数的性质，进行作答即可．
【详解】（1）解：购买A型的价格是a万元，购买B型的设备b万元，
由题意得： ，
解得： ．
故a的值为12，b的值为10；
（2）解：设购买金额为y万元，A型设备数量x台，
依题意，得 ，
即
∵
∴y随x的增大而增大
∵
∴
∴当 时y有最小值，
即当A设备购买1台，B设备购买9台时最省钱．
6．（2024年湖北省荆州市中考一模数学试题）今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，
计划购进 两种跑鞋共 双进行销售．已知 元全部购进 种跑鞋数量是全部购进 种跑鞋数量的
倍， 种跑鞋的进价比B种跑鞋的进价每双多 元， 两种跑鞋的售价分别是每双 元， 元．
(1)求 两种跑鞋的进价分别是多少元？
(2)该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进 种跑鞋的数量不多于 种跑鞋的 ，销售时对 种跑
鞋每双降价 出售．若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？
【答案】(1) 种跑鞋进价为 元 双， 种跑鞋的进价为 元 双；
(2)购进 种鞋 双， 种鞋 双，可获利润最大，最大利润为 元．
【分析】（ ）设 种跑鞋的进价为 元 双，则 种跑鞋进价为 元 双，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解；
（ ）设 种鞋购进 双，则 种鞋购进 双，根据题意求出 取值范围，设获利 元，求出 与
一次函数，再根据一次函数的性质解答即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的
关键．
【详解】（1）解：设 种跑鞋的进价为 元 双，则 种跑鞋进价为 元 双，
由题意得， ，
解得 ，
经检验 是原方程的解，
∴ 种跑鞋进价为 元 双， 种跑鞋的进价为 元 双；
（2）解：设 种鞋购进 双，则 种鞋购进 双，
则 ，
解得 ，
设获利 元，
则 ，
∵ ， 随 的增大而增大，
∴当 时， 取得最大， 元，
即购进 种鞋 双， 种鞋 双，可获利润最大，最大利润为 元．
7．（22-23八年级下·福建福州·期中）某杜团准备采购实验材料，据了解，甲商家对该实验材料的售价根
据购买量给予优惠，而乙商家按40元/件的价格出售该实验材料，设该社团需购买此实验材料 件，在甲
商家需付款 件， 与 之间的函数关系如图所示：(1)当 和 时，求 关于 的函数解析式；
(2)设社团需购买该实验材料 件，经过社团成员小明的计算，发现在甲商家购买更省钱，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数图像读取信息，一次函数解析式的求解，一元一次不等式的应用，准确读取
函数图像信息是解答本题的关键．
（1）根据函数图像读取的信息，利用待定系数法求解即可；
（2）根据甲商家购买更省钱，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：当 时，设 ，
根据题意得： ，
解得： ，
当 时，设 ，
根据题意得： ，解得： ，
，
综上所述， 关于 的函数解析式为 ；
（2）当 时，
在甲商家购买产品 ，即44元/件的价格，大于乙商家40元/件的价格，不合题意，
当 时，
乙商家购买的价格为 ，甲商家购买的价格为 ，
，
解得： ．
8．（23-24八年级下·福建泉州·期中）某市居民用电电费目前实行梯度价格表：用电量（单位：千瓦·时，统计为整数） 单价（单位：元）
180及以内
181~400（含181、400）
401及以上
(1)张大爷10月份用电150千瓦·时，需交电费________元，张大爷11月份交了162元电费，那么他用了
________千瓦·时的电．
(2)若张大爷家10月，11月共用电480千瓦·时，设10月份用电量为x千瓦时，10月份用电量少于11月，
张大爷两个月共需交电费y元，求出y与x的函数关系式．
(3)张大爷家10月，11月共用电480千瓦·时，两个月共交电费 元，10月份用电量少于11月，求10
月份用电量．
【答案】(1) ，
(2)
(3)10月份用电量为 千瓦·时．
【分析】此题主要考查一元一次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列函
数关系式求解．
（1）根据表格中电费收取方法计算即可得到结果；
（2）根据题意确定 ，再分情况列函数关系式即可；
（3）结合（2）中的函数关系式，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：张大爷10月份用电150千瓦·时，需交电费 元；
∵ ，
设张大爷11月份用了 千瓦·时，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴他用了 千瓦·时的电；
（2）∵张大爷家10月，11月共用电480千瓦·时，设10月份用电量为x千瓦时，10月份用电量少于11月，∴11月用电 千瓦·时，
∴ ，
解得： ，
当 时，则 ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，
当 时，则 ，
∴ ；
∴ ；
（3）结合（2）当 时，
∴ ，
解得： ；
∴ ，
当 时，
∴ ，
解得： （不符合题意舍去）；
当 时，不符合题意；
∴10月份用电量为 千瓦·时．
9．（23-24八年级下·北京东城·期中）阅读：将一个量，用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式
解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理．在学习第十七章勾股定理时，我们就是利用“算两次”原
理，用不同的方式表示同一图形的面积，探究出了勾股定理．
(1)【问题探究】
小明尝试用“算两次”原理解决下面的问题：
如图1，在 中， ，求斜边 边上的高 的值．
小明用两种方法表示出 的面积：① ；
② ．
图1
由勾股定理，得斜边 的长度为5，由此可以算出 ______．
(2)【学以致用】
如图2，在矩形 中， ，点 是边 上任意一点，过点 作 ，垂
足分别为 ．则可以运用“算两次”原理，用不同的方式表示 的面积，求出 的值为
______．
图2
(3)【拓展延伸】
如图3，已知直线 与直线 相交于点 ，且这两条直线分别与 轴交于
点 ．在线段 上有一点 ，且点 到直线 的距离为4，请利用以上所学的知识求出点 的坐标．
图3【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，解题的关键是读懂题意，用两种
不同的方法表示同一个三角形的面积．
（1）根据题意，得 即可；
（2）连接 ，过点 作 于点 ， ，求出 ，再根据
即可；
（3）过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，根据 即可．
【详解】（1）解：由题意，得 ，
，
故答案为： ；
（2）
解：连接 ，过点 作 于点 ，
在矩形 中， ，
， ，，
解得： ，
，
，
，
故答案为： ；
（3）过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，如图：
在 中，令 得 ，
，
在 中令 得 ，
，
联立： ，
解得： ，
，
， ，，点 到直线 的距离为4，
，
解得 ，即 的纵坐标为 ，
在 中，令 得 ，
．
10．（湖南省长沙市明德教育集团2023-2024学年九年级下学期期中数学试题）最美人间四“阅”天，4
月23日是“世界读书日”，某书店购进了两类学生最喜欢的书籍．已知购买2套A类书籍和3套B类书籍
共需105元，购进3套A类书籍和2套B类书籍共需95元．
(1)求A，B两类书籍每套的进价．
(2)某书店计划用4500元全部购进A，B这两类书籍，设购进A类书籍m套，且购买A类书籍的数量不少于
80套．已知A类书籍每套售价为20元，B类书籍每套售价为35元．设该书店售出这两类书籍可获利W元，
求W与m之间的关系式和该店出售这两类书籍所获利润的最大值．
【答案】(1)A类书籍每套进价为15元，B类书籍每套进价为25元．
(2) ；最大利润为1720元．
【分析】本题主要考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是：
（1）设A类书籍每套进价为x元，B类书籍每套进价为y元，然后列出二元一次方程组求解即可；
（2）先求出B类书籍的套数，然后列出W关于m的一次函数，最后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A类书籍每套进价为x元，B类书籍每套进价为y元．
，
解得： ，
答：A类书籍每套进价为15元，B类书籍每套进价为25元；
（2）解：B类书籍为 （套），根据题意，得 ，
∵ ，
∴W随m的增大而减小，
∵购买的A类书籍数量不少于80套，
∴当 时，W取得最大值，最大值为 元，
答：W与m之间的关系式为 ，该店出售这两类书籍所获利润的最大值为1720元．
11．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，在直角梯形 中， ，已知 ， ，
，点 以每秒1个单位长度的速度从点 出发沿折线 运动，当点 与点 重合时停止运
动．设点 的运动时间为 秒， 的面积为 ．请回答下列问题：
(1)直接写出 关于 的函数关系式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出函数 的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当 时， 的取值范围：______．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)
(2)画出图象见解析，y随x的增大而先增大后减小（性质不唯一）
(3)
【分析】（1）分类讨论：当点 在线段 上运动，即 时，根据题意得出 ，，再根据三角形面积公式和梯形面积公式，结合 可
求解；当点 在线段 上运动，即 时，结合题意可求出 ，结合三角形面积公
式即可求解；
（2）描点连线作图即可，根据图象写一条性质即可；
（3）由图象得出 与 的图象交点坐标，再根据当 图象位于 图象下方时， ，得出其横坐标取
值范围即可．
【详解】（1）解：当点 在线段 上运动时，即 时，
∴ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ；
当点 在线段 上运动时，即 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上可知 ；
（2）解：画出函数 的图象如图，由图可知y随x的增大而先增大后减小；
（3）解：由图可知 与 的图象交点坐标大致为 ，
又∵当 时， 图象位于 图象下方，即 ，
∴此时 的取值范围是 ．
故答案为： ．
12．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点 、交y轴于
点 ．
(1)求直线l对应的函数表达式；
(2)在x轴上是否存在点C，使得 为等腰三角形，若存在，请求出点C的坐标，若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
(2) 或 或 或【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出答案；
（2）分三种情况讨论①当 ，②当 ，③当 时即可求出答案．
【详解】（1）解：设直线l的解析式为 ，把点 ， 代入得，
，
解得 ，
直线 的函数表达式为 ；
（2）解：存在，理由如下：
∵ ， ，
；
①当 时，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，点C在点A的左侧，如图所示：此时点C的坐标为 ；
当 时，点C在点A的右侧，如图所示：
此时点C的坐标为 ；
③当 时，如图所示：
设点 ，则 ，
根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
此时点C的坐标为 ；综上分析可知：点C的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握待定系数法
求一次函数解析式的方法和采用分类讨论的思想是关键．
13．（23-24八年级下·福建福州·期中）某蜂巢物流决定在新社区安装物流箱，现有 型和 型两种物流箱
可供选择，若安装2个 型物流箱和3个 型物流箱共11.8万元，且 型物流箱单价比 型物流箱单价高
0.6万元．
(1)求 型物流箱和 型物流箱的单价；
(2)该社区需安装物流箱共30个，设安装 型物流箱 个，安装全部物流箱总费用为 元，求 关
于 的函数解析式，并直接写出自变量 的取值范围；
(3)为了更多地推广 型物流箱，蜂巢物流决定将每个 型物流箱降价 元 ， 型物流箱价格不变，
在（2）的条件下，若总费用不低于 万元，求 的取值范围．
【答案】(1) 型物流箱的单价为 元，则 型物流箱的单价为 元；
(2) ，
(3)
【分析】此题考查了一元一次方程、一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出方程和解析式是解题的关
键．
（1）设 型物流箱的单价为x元，则 型物流箱的单价为 元，根据共11.8万元列出方程，解方程
即可得到答案；
（2）根据题意列出函数解析式即可；
（3）求出函数关系式，再分两种情况讨论解答即可．
【详解】（1）解：设 型物流箱的单价为x元，则 型物流箱的单价为 元，
则 ，
解得， ，
则 ，
答： 型物流箱的单价为 元，则 型物流箱的单价为 元；（2）由题意可得， ，
其中 ，
（3）
当 时，则 ，一次函数 随着x增大而增大，
∵ ，
∴当 时， ，
解得 ，
∴此时 ，
当 时，则 ，一次函数 随着x增大而减小，
∵ ，
∴当 时， ，
解得 ，
∴此时m不存在，，
综上可知， 的取值范围是
14．（23-24八年级下·北京东城·期中）在平面直角坐标系 中，对于点 和线段 ，其中
，给出如下定义：若存在实数 ，使得 ，则称点
是点 关于线段 的“中旋点”．(1)已知点 ，点 是 关于线段 的“中旋点”．
①若点 的坐标是 ，则点 的坐标是______；
②若点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，点 是线段 上任意一点，求线段 长的取值范围；
(2)已知点 ，以 为对角线构造正方形 ，在该正方形边上任取两点（包括顶点）
构造线段 ，若直线 上至少存在一个点 关于 的“中旋点”，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)① ；②
(2) 或
【分析】（1）①根据新定义求出 ，即可得到 ；②先求出直线 解析式为 ，
可设 ，则 ，利用勾股定理求出 ，再利用作差法证
明当 时， 的值随着m增大而减小，则当 时， 有最大值 ，当
时， 有最小值8，即可得到 ；
（2）如图2-1所示，当点M在 上，点N在 上时，设 ，则 ，可
推出当点M在 上，点N在 上时，点Q的运动区域即为 四个点
组成的正方形区域（不包括顶点E）；同理由对称性可知当点M与点N在正方形的邻边上时，点Q的运动
区域为 组成的正方形区域（不包括四个顶点）；如图2-2所示，
当点M在 上，点N在 上时，设 ，则 ，可推出当点M在 上，点N
在 上时，点Q的运动区域即为线段 ；同理由对称性可知当点M在 上，点N在 上时，点Q的运动区域为线段 ；综上所述，点Q的运动区域为 组成的正方
形区域（不包括四个顶点）；若直线 上至少存在一个点 关于 的“中旋点”，则直线
与 组成的正方形区域至少有一个交点（不包括顶点），
当直线 恰好经过 时，可得 ；当直线 恰好经过 时，可得
；据此结合函数图象可得答案．
【详解】（1）解：①由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
②设直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
∵点 是线段 上任意一点，
∴可设 ，
∵点 是 关于线段 的“中旋点”．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
令 ，
∴
，
∵ ，
∴ ，
∴当 时， 的值随着m增大而减小，
∴当 时， 有最大值 ，当 时， 有最小值8，
∴ ；
（2）解：如图2-1所示，当点M在 上，点N在 上时，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴
当点M固定时，点N从点C运动到点D，那么点Q的纵坐标不变，横坐标从0运动到 ，
当点N固定时，点M从点A运动到点D，那么点Q的横坐标不变，纵坐标从0运动到2，∴当点M在 上，点N在 上时，点Q的运动区域即为 四个点组
成的正方形区域（不包括顶点E），
同理由对称性可知当点M与点N在正方形的邻边上时，点Q的运动区域为
组成的正方形区域（不包括四个顶点）；
如图2-2所示，当点M在 上，点N在 上时，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴
当点M固定时，点N从点C运动到点D，那么点Q的纵坐标不变，横坐标从 运动到 ，
当点N固定时，点M从点A运动到点D，那么点Q的纵坐标不变，横坐标从 运动到 ，
∴当点M在 上，点N在 上时，点Q的运动区域即为线段 ；
同理由对称性可知当点M在 上，点N在 上时，点Q的运动区域为线段 ；
当点M和点N都在 上时，设 ，同理得 ，∴此时点Q的运功区域为线段 （不包括端点），
由对称性可知，当M、N在同一边时，点Q的运动区域即为线段 （不包括端点），
综上所述，点Q的运动区域为 组成的正方形区域（不包括四个顶
点）；
∵直线 上至少存在一个点 关于 的“中旋点”，
∴直线 与 组成的正方形区域至少有一个交点（不包括顶
点），
当直线 恰好经过 时， ，解得 ；
当直线 恰好经过 时， ，解得 ；
∴如图2-3所示，当 或 直线 与 组成的正方形
区域至少有一个交点（不包括顶点），
∴若直线 上至少存在一个点 关于 的“中旋点”，则 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理等等，解（2）的关键在于确定
点Q在一条直线上，进而利用勾股定理求解；解（3）的关键在于确定点Q的运动区域．
七、【教学反思】
