文档内容
第二十章 数据的分析
20.2 数据的波动程度（3个知识点+7大题型+15道拓展培优题）
分层作业
题型目录
考查题型一 求方差
考查题型二 利用方差求未知数据的值
考查题型三 根据方差判断稳定性
考查题型四 运用方差做决策
考查题型五 求极差
考查题型六 已知极差求未知数据
考查题型七 标准差
【知识梳理】
知识点一：方差的定义
在一组数据 x ，x ，…，x 中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即 S2=
1 2 n
来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。
一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程
度越小。
知识点二：标准差
方差的算术平方根，即用S= 来描述这一组数据的离散程度，
并把它叫做这组数据的标准差。
知识点三：方差与平均数的性质
若x，x，…x 的方差是S2，平均数是 ，则有：
1 2 n
① x+b， x+b…x+b的方差为S2，平均数是 +b；
1 2 n
② ax， ax，…ax 的方差为a2s2，平均数是a ；
1 2 n
③ ax+b， ax+b，…ax+b的方差为a2s2，平均数是a +b。
1 2 n考查题型一 求方差
1．（2023·内蒙古呼伦贝尔·二模）数据1，3，3，1，7，3的平均数和方差分别为（ ）
A．2和4 B．2和16 C．3和4 D．3和24
2．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）一组数据的方差为 ，如果把这组数据中的每个数据都扩大为
原来的3倍再加上1，那么所得到的一组新数据的方差为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级下·上海·阶段练习）已知一组数据 的方差是3，那么数据 的方差
是 ．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）小程对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位
数的个位被墨水涂污看不到了，有如下统计量：①平均数，②中位数，③众数，④方差，⑤标准差．其中
计算结果与被涂污数字无关的是 ．
5．（22-23八年级下·山西忻州·期末）某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队
员担任护旗手，两队每个队员的身高（单位：cm）如下：
17 17 17
甲队 177 178 179 178 178 179 177
9 7 8
平均数 中位数 众数 方差
甲
178 a 178 c
队
乙
177.1 177 b 0.89
队
两组样本数据的平均数，中位数，众数，方差如表中数据所示：
(1)表中 ________， ________．(2)请计算甲队的方差c，并判断哪队队员身高更整齐．
考查题型二 利用方差求未知数据的值
1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知数据 的方差计算公式为
，则这组数据的（ ）
A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．标准差为40
2、（21-22九年级上·湖南郴州·期末）习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”，某企业扶贫小
组准备为贫困户送温暖活动，该企业对扶贫对象的年龄结构进行了随机抽样调查，调查所得的一组数据的
方差公式是 ，则这组数据的平均数和样本容量分别是
（ ）
A．50，45 B．50，28 C．45，50 D．45，36
3．（2024·江苏扬州·一模）用方差公式计算一组数据的方差：
，则 ．
4．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）某组数据的方差计算过程是
，则该组数据的总和为 ．
5．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）某校为加强学生消防安全教育，要了解全校共1200名同学对消防知
识的掌握情况，对他们进行了消防知识测试．现随机抽取甲，乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，
过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：
78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生测试成绩分别为：
81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97．
【分析数据】班
平均数 众数 中位数 方差
级
甲 92 100 a
乙 90 b 91
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出： _____分， ______分；
（2）在计算这两组数据的方差时用的公式是 ，其中在计算乙班这组
数据的方差时，公式中的 ______， ______；
（3）结合以上数据，利用平均数或方差对两个班的成绩进行分析．
考查题型三 根据方差判断稳定性
1．（2024九年级下·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，
方差如下： ， ， ， ，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2024·河北廊坊·一模）如图是甲、乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，下
列说法正确的是（ ）
A．甲的平均成绩较低且稳定 B．乙的平均成绩较低且稳定
C．甲的平均成绩较高且稳定 D．乙的平均成绩较高且稳定
3．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图是某超市A，B两种水果连续五天的单价调研情况，比较A，B
两种水果单价，这五天中，单价平均值高的是 种水果，单价较稳定的是 种水果．4．（23-24九年级下·北京·阶段练习）甲、乙两位同学在如下所示的表格中从左至右依次填数，已知表中
第一个数字是9，甲乙轮流从1，2，3，4，5，6，7，8中选出一个数字填入表中（表中已出现的数字不再
重复使用）．每次填数时，甲会选择填入后使表中数据方差最大的数字，乙会选择填入后使表中数据方差
最小的数字，甲先填，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果．
9
5．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）有一家加工厂，要对一款进口巧克力进行包装，要求每袋净含量为
100g．现使用甲、乙两种包装机同时包装100g的巧克力，从中各抽出10袋，测得实际质量（g）如下：
甲：101，102，99，100，98，103，100，98，100，99
乙：100，101，100，98，101，97，100，98，103，102
(1)分别计算两组数据的众数、中位数；
(2)通过计算发现这两种包装机抽出的这10袋的平均重量都是100g，要想每包巧克力质量更加稳定，如果
你是老板，你会选择哪种包装机比较适合？简述理由．
考查题型四 运用方差做决策
1．（2024·河南·二模）甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：
环）统计如下表：
甲 乙 丙 丁
平均数 9.6 9.5 9.5 9.6
方差 0.27 0.25 0.27 0.25
如果从这四人中选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应该选（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2024九年级下·上海·专题练习）某班的 位学生在 次 米测试赛中平均成绩和成绩的方差如表，
如果要选出一位实力较强且表现较稳定的学生代表班集体参加运动会，那么应该选择的是（ ）甲 乙 丙 丁
平均成
分 秒 分 秒 分 秒 分 秒
绩
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（2024·湖南岳阳·一模）为进一步推进素质教育，不断丰富校园文化生活，陶冶艺术情操，展现中学生
艺术素质教育成果．某校开展了“奏响时代主题，展现校园风采”为主题的器乐大赛．经过几轮筛选，校
团委决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区级器乐比赛，经过统计，四名同学成
绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 96 94 96 94
方差 1.4 1.2 0.6 0.6
若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择 ．
4．（24-25九年级上·全国·课后作业）某体育团体为青奥会积极备战．下表记录了该团体中 名队员短道
速滑成绩的平均数 和方差 ．根据表中数据，要选一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应选择
．
队员1 队员2 队员3 队员4
平均数
（秒）
方差 （秒 ）
5．（2024·江苏南通·一模）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服
务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，
小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
①配送速度得分（满分10分）：
甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．
②服务质量得分统计图（满分10分）：③配送速度和服务质量得分统计表：
配送速度得分 服务质量得分
统计量
快递公司 平均
中位数 众数 平均数 方差
数
甲 7.9 m n 7
乙 7.9 8 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： __________， __________，比较大小： __________ （填“>”“=”或“<”）；
(2)综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由；
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可）
考查题型五 求极差
1．（2023·山东济南·二模）如图是某班去年1～8月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说
法正确的是（ ）A．每月阅读数量的中位数是58 B．每月阅读数量的众数是42
C．每月阅读数量的平均数是50 D．每月阅读数量的极差是65
2、（2023·河南平顶山·模拟预测）某学校学雷锋小组的10名同学3月份利用周末到敬老院参加义务劳动
的时间统计如下：
时间 1
6 9 12 18
5
人数 1 2 2 4 1
关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是12.6 B．中位数是12 C．众数是15 D．极差是12
3．（2023·江苏常州·模拟预测）若一组数据8，6，x，4，7的平均数是6，则这组数据的极差是 ．
4．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）小明连续5天的体温数据如下（单位： ）： ， ，
， ， ，这组数据的极差是 .
5．（22-23七年级下·浙江台州·期末）七年级准备从200名同学中挑选身高相差不多的80名同学参加学校
举行的广播操表演．为此通过随机抽样的方法收集部分同学的身高数据（单位： ）如下表所示．
151 154 158 158 159 161 162 168
151 156 158 158 159 161 163 168
153 157 158 159 160 162 163 169
153 157 158 159 160 162 163 170
154 157 158 159 160 162 167 170
(1)本次抽样调查中样本容量为______．样本数据的极差是______．
(2)请补全不完整的频数分布直方图（每一组数据包括左端值不包括右端值）．
(3)请结合直方图，通过样本估计总体，说明应该挑选身高在什么范围的同学参加广播操表演．考查题型六 已知极差求未知数据
1．（22-23八年级上·山东威海·期末）若一组数据 ，0，2，5，x的极差为8，则x的值是（ ）．
A． B．8或 C．8 D．7或
2．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）某地一周的日最高气温分别 本周的日最
高气温的极差是 ，则x的值可能是（ ）．
A．2 B．14 C．2或14 D．8
3．（2023·甘肃酒泉·三模）若五个数据2， ，3，x，5的极差为8，则x的值为 ．
4．（21-22八年级下·福建福州·期中）如果有一组数据-2，0，1，3， 的极差是6，那么 的值是
．
5．（19-20八年级下·江西·期末）如果一组数据1，3，5，x的极差为6，求这组数据的平均数．
考查题型七 标准差
1．（2024·上海长宁·二模）为了解某公司的收入水平，随机挑选五人的月工资进行抽样调查，月工资（单
位：元）分别是3000，4000，5000，6000，50000，那么能够较好的反映他们收入平均水平的是（ ）
A．中位数 B．标准差 C．平均数 D．众数
2．（23-24八年级上·山东威海·期末）已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分
别是（ ）
A．2、 B．3、 C． 、 2 D． 、3
3．（2024八年级下·浙江·专题练习）下列五个数：11，12，13，14，15的标准差为 ．
4．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知一组数据1，2，8，x，7，4的众数为2，则x的值是
，这组数据的标准差是 ．
5．（2023八年级下·浙江·专题练习）（1）若一组数据 …， 的方差是9，则数据 ，…，
的方差是多少？
（2）若一组数据 …， 的方差为 ，将这组数据中的每个数乘以9，则所得到的一组新数
据的标准差是多少？
（3）若一组数据 …， 的方差为 ，将这组数据中的每个数乘以a，再加上b，那么得到的一组新数据的方差是多少？标准差是多少？
1．（2024北京市平谷区中考一模数学试题）已知两组数据（1） ， ， ， ， ；
（2） ， ， ， ， ．设第一组数据的平均值为 ，方差为 ，设第二组数据的平均值为 ，方差为
，下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2024·上海青浦·二模）某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为： ．增加一
名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（ ）
A．平均数不变，方差不变 B．平均数不变，方差变小
C．平均数不变，方差变大 D．平均数变小，方差不变．
3．（2024年江苏省常州市九年级中考模拟练习（Ⅱ）数学试题）某班41名同学到电影院观影，先到的40
名同学座位以点的形式分布在如图所示平面直角坐标系中（共40个点），纵坐标表示座位所在排，横坐标
表示座位所在列，座位排数的方差是 ，列数的方差是 ，现取排数的平均数为纵坐标，列数的平均数
为横坐标，记为点 ，以 为圆心，半径比 的两个同心圆将影院分为区域 ，问第41名同学坐到哪个区域才能保持 、 不变（ ）
A．区域 B．区域 C．区域 D．任一区域均可
4．（2024·浙江杭州·模拟预测）甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次(骰子每次出现的点数可能为1，2，3，
4，5，6)，并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位
数为3，众数为5；②中位数为3，最大值与最小值差为3；③中位数为1，平均数为2；④平均数为3，方
差为2；可以判断一定没有出现6点的描述共有（ ）
A．1人 B．2人 C．3人 D．4人
5．（23-24九年级下·四川乐山·期中）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下某组数
据的方差计算式： ．你不能得到的有效信息是（ ）．
A．这组数据的中位数是 B．这组数据的平均数是
C．这组数据的众数是 D．这组数据的方差是
6．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知一组数据， ， ， 的平均数是15，方差是2，那么另一组
数据 ， ， 的平均数是 ，方差是 ．
7．（23-24八年级下·广西南宁·期中）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相
同，方差如下： ， ， ， ，则成绩最稳定的同学是 ．（填写甲或乙、
丙、丁）
8．（23-24八年级下·浙江·期中）水果超市卖一批散装草莓，草莓大小不一，某顾客从中选购了部分大小
均匀的草莓．设原有草莓质量（单位：g）的方差为 ，该顾客选购的草莓质量的方差为 ，则
（填“>”、“=”或“<”号）9．（2024·江苏常州·模拟预测）甲，乙两名同学参如古诗词大赛，五次比赛成绩的平均分都是90分，如
果甲五次比赛成绩的方差为0.8，乙五次比赛成绩的方差为1.2，则这五次比赛成绩比较稳定的是 ．
（填“甲”或“乙”）
10．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）标准差公式是一种数学公式．标准差也被称为标准偏差，或者实验
标准差．标准差和方差一样，描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动
情况，标准差和方差越大，说明这组数据的波动性越大．样本标准差是这样计算的：若某样本数据的方差
是 ，则其标准差为 ，例如：某样本数据的方差是9，则其标准差为3．
已知：一组数据的方差计算公式为： ．现给定一组数据： ， ，
， ， ，则这组数据的标准差为 ．
11．（23-24九年级下·陕西西安·期中）随着人们饮食结构愈发复杂，囤鲜需求与日俱增，为满足用户不同
需求，某品牌推出了甲、乙两种型号的冰箱在商场中进行试销售，如图是根据甲、乙两种型号冰箱的销售
量绘制成的折线统计图和统计分析表（结果保留一位小数）．
型 中位
平均数 众数 方差
号 数
甲
乙
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ；
(2)求乙型号冰箱销售量的平均数 ；
(3)若该品牌计划从甲、乙两种型号的冰箱选择一种在该商场进行销售，请运用你所学的统计知识，帮助该
品牌分析应该选择哪种型号的冰箱，请说明理由．12．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）某中学举行“中国梦・校园好声音”歌手大赛，七年级和八年级根
据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所
示．
(1)根据图示填写下表；
平均数（分) 中位数（分) 众数
七年
85
级
八年
85 100
级
(2)哪一个代表队选手成绩较为稳定．
13．（2024·江苏无锡·一模）某职业技术学院准备从本校两名优秀学员中挑选一人参加市级操作技能大赛，
以下分别是两名学员在培训期间的先后8次操作技能测试的得分情况及统计情况：
表1：
测试次
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
数
甲学员 82 92 86 92 93 92 94
乙学员 96 92 92 80 96 92 79 93
表2：
平均
中位数 众数
数
甲学员 90 92乙学员 90 92
根据以上统计结果回答下列问题：
(1) ______； ______； ______；
(2)应用你所学的统计知识，你认为选派哪名学员参加比赛更合适？请说明你的理由．
14．（2024·陕西西安·模拟预测）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极
大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，
打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了 家樱桃种植户对两家公司的相关评价，
并整理、描述、分析如下：
．配送速度得分（满分 分）：
甲：
乙：
．服务质量得分统计图（满分 分）：
．配送速度和服务质量得分统计表：
配送速度得分 服务质量得分
快递公司
平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲乙
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的 ______； ______ ______ （填“ ”“ ”或“ ”）；
(2)求甲快递公司配送速度的平均数 的值．
(3)综合考虑配送速度和服务质量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由（至少写两条）．
15．（23-24八年级下·云南昆明·期中）2023年5月31日，“神舟十六号”载人飞船成功发射，激发了同
学们的爱国热情．学校为了解学生对航空航天知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试，此次测试
采用百分制，并规定90分及以上为优秀， 分为良好， 分为及格，59分及以下为不及格，现
从七、八年级各随机抽取20名学生的测试成绩，并将数据进行以下整理与分析．
①抽取七年级20名学生的成绩如表：
6 6
87 57 96 79 89 97 77 100
5 7
8 69 89 94 58 9 69 78 81 883 7
②抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1所示（数据分成5组： ， ，
， ， ）
③抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如图2所示．
④七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如表：
年级 平均数 中位数 方差
七年
81 a 167.9
级
八年
82 81 106.3
级
请根据以上信息，回答下列问题：
(1) ______．
(2)补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图．
(3)目前该校七年级学生有300人，八年级学生有200人，估计两个年级此次测试成绩达到优秀的学生总人
数．
(4)从平均数和方差的角度分析，你认为哪个年级的学生成绩较好？请说明理由．
