文档内容
第二十章 数据的分析
20.2 数据的波动程度（3个知识点+7大题型+15道拓展培优题）
分层作业
题型目录
考查题型一 求方差
考查题型二 利用方差求未知数据的值
考查题型三 根据方差判断稳定性
考查题型四 运用方差做决策
考查题型五 求极差
考查题型六 已知极差求未知数据
考查题型七 标准差
【知识梳理】
知识点一：方差的定义
在一组数据 x ，x ，…，x 中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即 S2=
1 2 n
来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。
一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程
度越小。
知识点二：标准差
方差的算术平方根，即用S= 来描述这一组数据的离散程度，
并把它叫做这组数据的标准差。
知识点三：方差与平均数的性质
若x，x，…x 的方差是S2，平均数是 ，则有：
1 2 n
① x+b， x+b…x+b的方差为S2，平均数是 +b；
1 2 n
② ax， ax，…ax 的方差为a2s2，平均数是a ；
1 2 n
③ ax+b， ax+b，…ax+b的方差为a2s2，平均数是a +b。
1 2 n考查题型一 求方差
1．（2023·内蒙古呼伦贝尔·二模）数据1，3，3，1，7，3的平均数和方差分别为（ ）
A．2和4 B．2和16 C．3和4 D．3和24
【答案】C
【分析】本题考查平均数和方差的计算，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键.
【详解】解： ，
，
故选C.
2．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）一组数据的方差为 ，如果把这组数据中的每个数据都扩大为
原来的3倍再加上1，那么所得到的一组新数据的方差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查方差．根据方差的公式进行分析即可得到答案．
【详解】解：如果把这组数据中的每个数据都扩大为原来的3倍再加上1，那么所得到的一组新数据的方
差为 ，
故选D．
3．（23-24九年级下·上海·阶段练习）已知一组数据 的方差是3，那么数据 的方差
是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方
差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，
方差变为这个数的平方倍．根据当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可得出答案．
【详解】解： 一组数据 的方差是3，数据 的方差是3．
故答案为：3．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）小程对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位
数的个位被墨水涂污看不到了，有如下统计量：①平均数，②中位数，③众数，④方差，⑤标准差．其中
计算结果与被涂污数字无关的是 ．
【答案】②
【分析】本题考查的是平均数，中位数，方差，众数的含义，熟记概念与计算方法是解本题的关键．
【详解】解：不论被涂污数字是多少，这组数据的中位数是： ，
而被涂污数字变化时，平均数、众数、方差、标准差会发生变化，
故答案为：②．
5．（22-23八年级下·山西忻州·期末）某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队
员担任护旗手，两队每个队员的身高（单位：cm）如下：
17 17 17
甲队 177 178 179 178 178 179 177
9 7 8
平均数 中位数 众数 方差
甲
178 a 178 c
队
乙
177.1 177 b 0.89
队
两组样本数据的平均数，中位数，众数，方差如表中数据所示：
(1)表中 ________， ________．
(2)请计算甲队的方差c，并判断哪队队员身高更整齐．
【答案】(1)
(2) 甲队队员身高更整齐【分析】（1）根据中位数和众数的定义可直接求得答案．
（2）根据方差的定义可直接求得甲队的方差，方差越小，数据的波动越小，即可判断哪队队员身高更整
齐．
【详解】（1）将甲队身高数据按从小到大的顺序排列，且数据个数为偶数，则中间两个数 和 的平
均数为这组数据的中位数，即中位数 ．
乙队身高数据中，出现次数最多的数据为 ，所以这组数据的众数 ．
故答案为：
（2）
，所以甲队队员身高更整齐．
【点睛】本题主要考查中位数、众数、方差的定义，牢记中位数、众数、方差的定义是解题的关键．
考查题型二 利用方差求未知数据的值
1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知数据 的方差计算公式为
，则这组数据的（ ）
A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．标准差为40
【答案】C
【分析】本题考查了方差的计算公式，解题的关键是掌握一组数据的方程等于各个数据与平均数的差的平
方的平均数．据此即可解答．
【详解】解：∵数据 的方差计算公式为 ，
∴这组数据的平均数为4，
故选：C．
2、（21-22九年级上·湖南郴州·期末）习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”，某企业扶贫小
组准备为贫困户送温暖活动，该企业对扶贫对象的年龄结构进行了随机抽样调查，调查所得的一组数据的
方差公式是 ，则这组数据的平均数和样本容量分别是（ ）
A．50，45 B．50，28 C．45，50 D．45，36
【答案】C
【分析】本题主要考查平均数和样本容量的定义及方差，熟练掌握平均数和样本容量的定义及方差是解题
的关键．
根据平均数的概念和样本容量指的是一个样本中所包含的单位数及方差公式的意义可直接进行求解．
【详解】解：∵一组数据的方差公式是
∴这组数据的平均数为45，样本容量为50．
故选C．
3．（2024·江苏扬州·一模）用方差公式计算一组数据的方差：
，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查了方差公式，方差是各数据值离差的平方和的平均数，熟练掌握计算公式是解答本题的
关键．对于n个数 ，方差的计算公式为： ．
根据方差计算公式列式求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：10．
4．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）某组数据的方差计算过程是
，则该组数据的总和为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了利用方差求未知数据的值，根据方差的计算公式可得数据的平均数和数据个数，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：该组数据的平均数为 ，共有 个数据，
故该组数据的总和为：4×9=36，
故答案为： ．5．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）某校为加强学生消防安全教育，要了解全校共1200名同学对消防知
识的掌握情况，对他们进行了消防知识测试．现随机抽取甲，乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，
过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：
78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生测试成绩分别为：
81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97．
【分析数据】
班
平均数 众数 中位数 方差
级
甲 92 100 a
乙 90 b 91
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出： _____分， ______分；
（2）在计算这两组数据的方差时用的公式是 ，其中在计算乙班这组
数据的方差时，公式中的 ______， ______；
（3）结合以上数据，利用平均数或方差对两个班的成绩进行分析．
【答案】（1）93，87；（2）15，90；（3）见解析．
【分析】本题主要考查了方差，求平均数和中位数，熟练掌握方差，平均数和中位数的意义是解题的关键．
（1）根据平均数和中位数的意义求出a，b的值，即可求解；
（2）根据方差公式，即可求解；
（3）从平均数或方差两方面分析，即可求解．
【详解】（1）解：把甲班15名学生测试成绩从小到大排列为
78，83，85，87，89，90，92，93，97，94，95，98，99，100，100，
位于正中间的数为93分，
∴ ，
乙班15名学生测试成绩中87分的人数最多，
∴乙班的众数 ，故答案为：93，87；
（2）解：根据题意得： ， ；
故答案为：15，90；
（3）解：从平均分看，甲班成绩的平均数大于乙班，
所以甲班整体平均成绩大于乙班；
从方差看，甲班成绩的方差大于乙班，
所以乙班成绩更稳定．
考查题型三 根据方差判断稳定性
1．（2024九年级下·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，
方差如下： ， ， ， ，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】根据方差的意义求解即可．本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差
越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】解： ， ， ， ，
即
丁的方差最小，
成绩最稳定的是丁，
故选：D．
2．（2024·河北廊坊·一模）如图是甲、乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，下
列说法正确的是（ ）
A．甲的平均成绩较低且稳定 B．乙的平均成绩较低且稳定C．甲的平均成绩较高且稳定 D．乙的平均成绩较高且稳定
【答案】A
【分析】本题考查了折线统计图和平均成绩和波动情况，解题关键是准确根据折线统计图判断两人的平均
成绩大小和波动情况．
【详解】解：根据折线统计图，可知甲的平均成绩低于乙的平均成绩，但是甲的成绩波动比乙的成绩波动
小，计乙的成绩比甲的成绩稳定；
故选：A．
3．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图是某超市A，B两种水果连续五天的单价调研情况，比较A，B
两种水果单价，这五天中，单价平均值高的是 种水果，单价较稳定的是 种水果．
【答案】 B A
【分析】该题主要考查了平均数求解以及方差的定义，解答的关键是掌握方差越小图象波动更小，数据越
稳定．
【详解】根据图象可得A种水果单价平均值是： ，
B种水果单价平均值是： ，
故单价平均值高的是B种水果；
根据图象可得A种水果单价对应的图象波动更小，更稳定；
故答案为：B；A．
4．（23-24九年级下·北京·阶段练习）甲、乙两位同学在如下所示的表格中从左至右依次填数，已知表中
第一个数字是9，甲乙轮流从1，2，3，4，5，6，7，8中选出一个数字填入表中（表中已出现的数字不再
重复使用）．每次填数时，甲会选择填入后使表中数据方差最大的数字，乙会选择填入后使表中数据方差
最小的数字，甲先填，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果．
9【答案】 1 5 2 4
【分析】本题考查方差的概念和应用．熟练掌握方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小是解
题的关键．开始数据是9，甲先填入的数据使方差最大，说明甲填入的是最大的数字1，乙填入的数据使方
差最小，说明乙填入的数据是中间数字5，以此类推即可算出答案．
【详解】解：由题意可知，开始数字是9，
∵甲填入数字后数据方差最大，
∴甲先填入1，
又∵乙填入数字后数据方差最小，
∴乙再填入5，
又∵甲填入的数字使此时的方差最大，
∴甲填入的数字可以为2，
∴最后乙填入的数字是4，
∴依次填入的数字是9，5，2，4．
故答案为：9，5，2，4．
5．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）有一家加工厂，要对一款进口巧克力进行包装，要求每袋净含量为
100g．现使用甲、乙两种包装机同时包装100g的巧克力，从中各抽出10袋，测得实际质量（g）如下：
甲：101，102，99，100，98，103，100，98，100，99
乙：100，101，100，98，101，97，100，98，103，102
(1)分别计算两组数据的众数、中位数；
(2)通过计算发现这两种包装机抽出的这10袋的平均重量都是100g，要想每包巧克力质量更加稳定，如果
你是老板，你会选择哪种包装机比较适合？简述理由．
【答案】(1)甲的众数：100；甲的中位数：100；乙的众数：100；乙的中位数：100；
(2)选择甲，理由见解析．
【分析】此题主要考查了中位数、平均数、众数以及方差，关键是掌握各自的计算方法，掌握方差公式．
（1）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排
列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，
则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数进行计算即可．
（2）先计算平均数，再利用方差公式分别计算出甲、乙的方差，然后可得答案．
【详解】（1）解： 甲中数据从小到大排列为：98，98，99，99，100，100，100，101，102，103
故甲的中位数是： ，甲的众数是100，乙中数据从小到大排列为：97，98，98，100，100，100，101，101，102，103
故乙的中位数是： ，乙的众数是100；
（2）∵甲的平均数为： ；
乙的平均数为： ；
∴甲的方差为：
；
乙的方差为：
，
∵ ，
∴选择甲种包装机比较合适．
考查题型四 运用方差做决策
1．（2024·河南·二模）甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：
环）统计如下表：
甲 乙 丙 丁
平均数 9.6 9.5 9.5 9.6
方差 0.27 0.25 0.27 0.25
如果从这四人中选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应该选（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】本题考查平均数和方差，根据平均数越大，方差越小则成绩越好且状态越稳定求解即可．
【详解】解：根据表格数据，甲和丁成绩的平均数为9.6，均高于乙和丙，说明甲和丁的成绩较好；
又甲成绩的方差是0.27，大于丁成绩的方差0.25，说明丁的成绩较稳定，
综上，丁的成绩较好且状态稳定，故应该选丁，
故选：D．2．（2024九年级下·上海·专题练习）某班的 位学生在 次 米测试赛中平均成绩和成绩的方差如表，
如果要选出一位实力较强且表现较稳定的学生代表班集体参加运动会，那么应该选择的是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均成
分 秒 分 秒 分 秒 分 秒
绩
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】本题主要考查方差和平均数根据平均数和方差的意义解答即可．
【详解】解： 甲、丙的平均成绩低于乙和丁，且甲的方差小于丙的方差，即甲的成绩更稳定，
应选择选甲，
故选：A．
3．（2024·湖南岳阳·一模）为进一步推进素质教育，不断丰富校园文化生活，陶冶艺术情操，展现中学生
艺术素质教育成果．某校开展了“奏响时代主题，展现校园风采”为主题的器乐大赛．经过几轮筛选，校
团委决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区级器乐比赛，经过统计，四名同学成
绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 96 94 96 94
方差 1.4 1.2 0.6 0.6
若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择 ．
【答案】丙
【分析】本题考查了平均数和方差的意义，平均数反映了一组数据的整体水平，方差反映了一组数据的稳
定性．根据平均数得到甲丙的成绩要好于乙丁的成绩，根据方差得到丙丁的成绩要比甲乙的成绩更稳定，
据此即可求解．
【详解】解：由平均数看，甲丙的成绩要好于乙丁的成绩，
由方差看，丙丁的成绩要比甲乙的成绩更稳定，
∴要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择丙．
故答案为：丙．
4．（24-25九年级上·全国·课后作业）某体育团体为青奥会积极备战．下表记录了该团体中 名队员短道速滑成绩的平均数 和方差 ．根据表中数据，要选一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应选择
．
队员1 队员2 队员3 队员4
平均数
（秒）
方差 （秒 ）
【答案】队员
【分析】本题考查了方差和平均数，解题的关键是掌握方差和平均数的定义，根据方差和平均数综合判断
即可求解．
【详解】解：从平均数来看，队员2和队员4的平均成绩较队员1和队员3的平均成绩好，且队员2的方
差较队员4的方差要小些，说明队员2的成绩更稳定．故应选择队员2参加比赛，
故答案为：队员 ．
5．（2024·江苏南通·一模）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服
务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，
小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
①配送速度得分（满分10分）：
甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．
②服务质量得分统计图（满分10分）：
③配送速度和服务质量得分统计表：
统计量 配送速度得分 服务质量得分平均
快递公司 中位数 众数 平均数 方差
数
甲 7.9 m n 7
乙 7.9 8 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： __________， __________，比较大小： __________ （填“>”“=”或“<”）；
(2)综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由；
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可）
【答案】(1)8，9，＜
(2)小刘应选择甲公司，理由见解析
(3)还应收集甲、乙两家公司的收费情况
【分析】（1）根据中位数、众数和方差的概念即可解答；
（2）综合分析表中的统计量，即可解答；
（3）根据已有的数据，合理提出建议即可，答案不唯一．
本题主要考查了中位数、众数和方差的概念，理解并掌握它们的概念和意义并能结合题干分析问题是解题
的关键．
【详解】（1）解：将甲数据从小到大排列为：6，6，7，7，8，8，9，9，9，10，
从中可以看出一共10个数据，第5个和第6个数据均为8，所以这组数据的中位数为 ，即
，
其中9出现的次数最多，所以这组数据的众数为9，即 ，
从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于 ，乙的服务质量得分分布于 ，
从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，
即 ；
故答案为：8，9， ．
（2）解：小刘应选择甲公司，理由如下：
配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方
面可能比乙公司表现的更好，
服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司．（3）解：∵根据题干可知，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势，
∴除了配送速度和服务质量，还应该收集两家公司的收费情况和投递范围（答案不唯一）．
考查题型五 求极差
1．（2023·山东济南·二模）如图是某班去年1～8月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说
法正确的是（ ）
A．每月阅读数量的中位数是58 B．每月阅读数量的众数是42
C．每月阅读数量的平均数是50 D．每月阅读数量的极差是65
【答案】A
【分析】根据中位数的定义，可判断A；根据众数的定义，可判断B；根据平均数的计算方法，可判断
C；根据极差的定义，可判断D．
【详解】解：A．将8个数据由小到大排列为：28，36，42，58，58，70，75，83，中位数是 ，
故本选项说法正确，符合题意；
B．出现次数最多的是58，众数是58，故本选项说法错误，不符合题意；
C．该班学生去年1～8月份全班同学每月的课外阅读数量的平均数是
故本选项说法错误，不符合题意；
D．每月阅读数量的极差是 故本选项说法错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计
图表示的是事物的变化情况．也考查了极差、平均数、众数与中位数．
2、（2023·河南平顶山·模拟预测）某学校学雷锋小组的10名同学3月份利用周末到敬老院参加义务劳动的时间统计如下：
时间 1
6 9 12 18
5
人数 1 2 2 4 1
关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是12.6 B．中位数是12 C．众数是15 D．极差是12
【答案】B
【分析】本题考查了加权平均数，中位数，众数，极差，掌握相关的定义是解题的关键；根据加权平均数，
中位数，众数，极差的定义逐项求解即可判断；
【详解】解： 、平均数为 ，故本选项符合题意；
、把这些数从小到大排列，排在中间的两个数分别是12和15，故中位数为 ，故本选项符合
题意；
、15出现了5次，出现的次数最多，即众数是15，，故本选项不符合题意；
、极差是 ，故本选项不符合题意；
故选： ．
3．（2023·江苏常州·模拟预测）若一组数据8，6，x，4，7的平均数是6，则这组数据的极差是 ．
【答案】4
【分析】本题考查平均数，极差，解题的关键是求出x，知道极差是最大值减去最小值．
【详解】解：由题意得： ，
数据的极差是 ，
故答案为：4．
4．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）小明连续5天的体温数据如下（单位： ）： ， ，
， ， ，这组数据的极差是 .
【答案】
【分析】本题考查了极差的定义，极差是最大数据和最小数据的差，据此解答．
【详解】解：这组数据的极差是： （ ）．
故答案为： ．
5．（22-23七年级下·浙江台州·期末）七年级准备从200名同学中挑选身高相差不多的80名同学参加学校
举行的广播操表演．为此通过随机抽样的方法收集部分同学的身高数据（单位： ）如下表所示．151 154 158 158 159 161 162 168
151 156 158 158 159 161 163 168
153 157 158 159 160 162 163 169
153 157 158 159 160 162 163 170
154 157 158 159 160 162 167 170
(1)本次抽样调查中样本容量为______．样本数据的极差是______．
(2)请补全不完整的频数分布直方图（每一组数据包括左端值不包括右端值）．
(3)请结合直方图，通过样本估计总体，说明应该挑选身高在什么范围的同学参加广播操表演．
【答案】(1)40，19
(2)见解析
(3)应挑选身高在 范围内的，理由见解析
【分析】（1）根据统计表数据可得样本容量，再根据极差的定义解答即可；
（2）用样本容量减去其他三组的频数即可求出“ ”的频数，进而补全不完整的频数分布直方图；
（3）根据统计图数据解答即可．
【详解】（1）解：本次抽样调查中样本容量为40，
样本数据的极差是： ．
故答案为：40，19；
（2）出“ ”的频数为： ，
补全频数分布直方图如下：（3）由频数分布直方图可知，大部分同学的身高集中在“ ”，所以应该挑选身高“
”的同学参加广播操表演，
理由：通过样本估计总体得在 范围有 （人），满足身高相差不多且人数大于80
人．
【点睛】本题考查频数分布直方图，理解频数分布直方图中数据的意义及相互关系是正确判断的前提．
考查题型六 已知极差求未知数据
1．（22-23八年级上·山东威海·期末）若一组数据 ，0，2，5，x的极差为8，则x的值是（ ）．
A． B．8或 C．8 D．7或
【答案】D
【分析】当x为最大值和最小值时分别根据极差列方程即可．
【详解】解：当x为最大值时，
，
解得 ；
当x为最小值时，
，
解得 ，
故选D．
【点睛】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的
最大值减去最小值．
2．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）某地一周的日最高气温分别 本周的日最高气温的极差是 ，则x的值可能是（ ）．
A．2 B．14 C．2或14 D．8
【答案】C
【分析】根据极差的定义：一组数据中的最大值减去最小值即为极差，进行解答即可．
【详解】解：根据题意可得： 或 ，
解得： 或 ，
∴x的值可能是2或14，
故选：C．
【点睛】本题考查了极差的定义，熟知一组数据中的最大值减去最小值所得的结果即为极差是解本题的关
键．
3．（2023·甘肃酒泉·三模）若五个数据2， ，3，x，5的极差为8，则x的值为 ．
【答案】7或
【分析】根据题目给的数据和极差的定义，可分两种情况讨论：x是最大值和x是最小值，分别列式计算，
可求解．
【详解】解：由题意可得：极差是8，故x不可能是中间值，
若x是最大值，则 ，∴ ，
若x是最小值，则 ，∴ ，
则x的值为7或 ，
故答案为：7或 ．
【点睛】本题考查了极差的定义，熟记概念是解题的关键．
4．（21-22八年级下·福建福州·期中）如果有一组数据-2，0，1，3， 的极差是6，那么 的值是
．
【答案】4或-3/-3或4
【分析】根据极差的定义求解．分两种情况：x为最大值或最小值．
【详解】解：∵3-（-2）=5，一组数据-2，0，1，3，x的极差是6，
∴当x为最大值时，x-（-2）=6，解得x=4；
当x是最小值时，3-x=6，解得：x=-3．
故答案为：4或-3．
【点睛】此题主要考查了极差的定义，正确理解极差的定义，能够注意到应该分两种情况讨论是解决本题
的关键．5．（19-20八年级下·江西·期末）如果一组数据1，3，5，x的极差为6，求这组数据的平均数．
【答案】4或2
【分析】根据极差的定义求解．分两种情况：x为最大值或最小值．再根据平均数的公式求解即可．
【详解】解：一组数据1，3，5，x的极差是6，
当x为最大值时，x-1=6，则x=7，平均数是：（1+3+5+7）÷4=4；
当x是最小值时，5-x=6，解得：x=-1，平均数是：（-1+1+3+5）÷4=2．
故答案为：4或2．
【点睛】本题考查了极差的定义和算术平均数，正确理解极差的定义，能够注意到应该分两种情况讨论是
解决本题的关键．
考查题型七 标准差
1．（2024·上海长宁·二模）为了解某公司的收入水平，随机挑选五人的月工资进行抽样调查，月工资（单
位：元）分别是3000，4000，5000，6000，50000，那么能够较好的反映他们收入平均水平的是（ ）
A．中位数 B．标准差 C．平均数 D．众数
【答案】A
【分析】此题考查了平均数、众数、中位数和标准差，众数是指一组数据中出现次数最多的数据；将一组
数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的
中位数．
利用平均数，中位数、众数和给出的数据分别进行分析，即可得出答案．
【详解】解：标准差是反映数据的波动程度，因此不能很好的反映，而五人的月工资有的工资很高，有的
很低，故平均数不具有代表性，众数是数据出现次数最多的数，也不能很好的反映，
而中位数将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间位置的数，具有代表性，
所以能够较好的反映他们收入平均水平．
故选：A．
2．（23-24八年级上·山东威海·期末）已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分
别是（ ）
A．2、 B．3、 C． 、 2 D． 、3
【答案】A
【分析】此题考查计算方差和标准差，熟练掌握计算公式是解题的关键，先求出数据的平均数，再根据方
差及标准差公式求出方差．【详解】解：这组数据的平均数 ，
方差 ，
标准差 ，
故选：A．
3．（2024八年级下·浙江·专题练习）下列五个数：11，12，13，14，15的标准差为 ．
【答案】
【分析】此题考查了标准差．先求出它们的方差，再求出标准差即可．
【详解】解：这五个数的平均数为： ，
方差
，
故标准差为 ．
故答案为： ．
4．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知一组数据1，2，8，x，7，4的众数为2，则x的值是
，这组数据的标准差是 ．
【答案】
【分析】本题考查了标准差，根据众数定义求得x的值，掌握方差、标准差的计算公式是解题的关键．先
根据众数的定义求出x的值，再求出平均数，继而根据方差公式计算方差，然后求出标准差即可．
【详解】解：∵1，2，8，x，7，4的众数为2，
∴ ，
∴这组数据的平均数是 ，
则方差为
．
∴标准差为 ；故答案为： ， ．
5．（2023八年级下·浙江·专题练习）（1）若一组数据 …， 的方差是9，则数据 ，…，
的方差是多少？
（2）若一组数据 …， 的方差为 ，将这组数据中的每个数乘以9，则所得到的一组新数
据的标准差是多少？
（3）若一组数据 …， 的方差为 ，将这组数据中的每个数乘以a，再加上b，那么得到的
一组新数据的方差是多少？标准差是多少？
【答案】（1）9；（2） ；（3） ，
【分析】（1）设 …， 的平均数为 ，则 ，…， 的平均数为 ，再利用方差
的计算公式就可求出 ，…， 的方差；
（2）先设原数据的平均数为a，再求出每个数据都乘以9后的平均数，然后利用方差公式进行求解，最后
求出方差的算术平方根，据此即可解决问题；
（3）根据（1）和（2）两题的结论可得出新数组的方差，再根据标准差是方差的算术平方根即可解决问
题．
【详解】解：（1）设 …， 的平均数为 ，
则 ，…， 的平均数为 ．
因为 ，
所以 ，…， 的方差为
．
（2）设其平均数为a，则将每个数据都乘以9之后得到的新数分别为 ，…， ，其平均数为
，所以原数据方差为
，
所以新数组 ，…， 的标准差为 ．
（3）由（2）的结论可知这组数据中的每个数乘以a得到的新数组的方程为 ，
再根据（1）的结论可知将数据 ，…， 中的每一个数都加上b以后得到的新数组与数组
，…， 的方差一样，仍为 ，
所以最后得到的新数组的标准差 ．
【点睛】本题考查的是方差和标准差，关键是掌握方差与标准差的计算方法．
数据的波动程度练习
一、单选题
1．（2024北京市平谷区中考一模数学试题）已知两组数据（1） ， ， ， ， ；
（2） ， ， ， ， ．设第一组数据的平均值为 ，方差为 ，设第二组数据的平均值为 ，方差为
，下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D【分析】本题考查了平均数的定义，方差的定义，解题的关键是掌握平均数的定义，方差的定义，先求出
两组数据的平均数，再求出方差即可求解．
【详解】解：（1）的平均数为： ，
方差是： ，
（2）的平均数是： ，
方差是： ，
， ，
故选：D．
2．（2024·上海青浦·二模）某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为： ．增加一
名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（ ）
A．平均数不变，方差不变 B．平均数不变，方差变小
C．平均数不变，方差变大 D．平均数变小，方差不变．
【答案】B
【分析】本题考查算术平均数和方差的知识，熟记算术平均数和方差的计算公式是解题的关键．
【详解】 ，
，
，
，
∴平均数不变，方差变小，
故选：B．
3．（2024年江苏省常州市九年级中考模拟练习（Ⅱ）数学试题）某班41名同学到电影院观影，先到的40
名同学座位以点的形式分布在如图所示平面直角坐标系中（共40个点），纵坐标表示座位所在排，横坐标
表示座位所在列，座位排数的方差是 ，列数的方差是 ，现取排数的平均数为纵坐标，列数的平均数为横坐标，记为点 ，以 为圆心，半径比 的两个同心圆将影院分为区域 ，问第41名同学坐
到哪个区域才能保持 、 不变（ ）
A．区域 B．区域 C．区域 D．任一区域均可
【答案】B
【分析】本题考查了方差，方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，方差反映的是一组数据的离散
程度，根据方差的意义结合图形即可得出答案．
【详解】解： 方差越大则表明数据越分散，
因此第41位同学进来做之后保持两个方差不变，则该同学需要做位于中心的位置，
三个区域中 区域距离圆心 太近而 区域则太远，
选择 区域，
故选：B．
4．（2024·浙江杭州·模拟预测）甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次(骰子每次出现的点数可能为1，2，3，
4，5，6)，并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位
数为3，众数为5；②中位数为3，最大值与最小值差为3；③中位数为1，平均数为2；④平均数为3，方
差为2；可以判断一定没有出现6点的描述共有（ ）
A．1人 B．2人 C．3人 D．4人
【答案】C
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合4人描述的情况，逐项判断即可．
【详解】①中位数为3，众数为5,则这5个数为1，2，3，5，5．故甲的结果中一定没有出现6点；
②中位数为3，最大值与最小值差为3，则这5个数为1，2，3，4，4．故乙的结果中一定没有出现6点；
③中位数为1，平均数为2，则这5个数为1，1，1，2，5或1，1，1，3，4或1，1，1，1，6．故丙的结
果中可能出现6点；
④平均数为3，方差为2，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，2，
3，3，此时方差 ，因此假设不成立，故丁的结果中一定没有出现6点，
综上，可以判断一定没有出现6点的描述共有3人．
故选：C
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出
现的5个数字．
5．（23-24九年级下·四川乐山·期中）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下某组数
据的方差计算式： ．你不能得到的有效信息是（ ）．
A．这组数据的中位数是 B．这组数据的平均数是
C．这组数据的众数是 D．这组数据的方差是
【答案】D
【分析】本题考查了中位数，平均数，众数和方差，根据方差公式可得这一组数据为 ， ， ， ， ，
再由中位数，平均数，众数和方差的定义逐项即可求解，熟练掌握相关概念是解题的关键．
【详解】根据方差公式可得这一组数据为 ， ， ， ， ，
、这组数据的中位数是 ，原选项不符合题意；
、这组数据的平均数是 ，原选项不符合题意；
、由于 出现次数最多，则这组数据的众数是 ，原选项不符合题意；
、∵这组数据的平均数是 ，
∴ ，
∴原选项符合题意；
故选： ．
6．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知一组数据， ， ， 的平均数是15，方差是2，那么另一组
数据 ， ， 的平均数是 ，方差是 ．
【答案】 26 8
【分析】本题考查了平均数和方差的计算，解题的关键是掌握方差的计算公式．
根据平均数的计算方法得出另一组数据 ， ， 的平均数为 ，然后利用方差的
计算公式代入求解即可．【详解】解：这组数据 ， ， 的平均数为15，则另一组数据 ， ， 的平均数为
，
∵数据 ， ， 的方差为：
，
∴数据 ， ， 的方差为：
，
故答案为：26；8．
7．（23-24八年级下·广西南宁·期中）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相
同，方差如下： ， ， ， ，则成绩最稳定的同学是 ．（填写甲或乙、
丙、丁）
【答案】丙
【分析】本题考查了方差与稳定性．熟练掌握方差越小越稳定是解题的关键．
根据方差越小越稳定求解作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴成绩最稳定的同学是丙，
故答案为：丙．
8．（23-24八年级下·浙江·期中）水果超市卖一批散装草莓，草莓大小不一，某顾客从中选购了部分大小
均匀的草莓．设原有草莓质量（单位：g）的方差为 ，该顾客选购的草莓质量的方差为 ，则（填“>”、“=”或“<”号）
【答案】>
【分析】本题考查了方差，根据方差的定义分析即可解答．
【详解】解：∵方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，数据波动越大，稳定性越小反之亦
可，
∴水果超市的草莓大小不一，而该顾客选购大小均匀的草莓质量，
∴说明顾客选购草莓的质量比水果超市的波动较小，
∴超市草莓质量的方差大于顾客选购草莓的方差，
故答案为：>．
9．（2024·江苏常州·模拟预测）甲，乙两名同学参如古诗词大赛，五次比赛成绩的平均分都是90分，如
果甲五次比赛成绩的方差为0.8，乙五次比赛成绩的方差为1.2，则这五次比赛成绩比较稳定的是 ．
（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【分析】本题考查方差的意义，在一组数据中，方差越小，数据越稳定．
【详解】 ， ，
，
∴甲的成绩比较稳定，
故答案为：甲．
10．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）标准差公式是一种数学公式．标准差也被称为标准偏差，或者实验
标准差．标准差和方差一样，描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动
情况，标准差和方差越大，说明这组数据的波动性越大．样本标准差是这样计算的：若某样本数据的方差
是 ，则其标准差为 ，例如：某样本数据的方差是9，则其标准差为3．
已知：一组数据的方差计算公式为： ．现给定一组数据： ， ，
， ， ，则这组数据的标准差为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求方差，标准差，根据方差公式进行计算，进而求得标准差，即可求解．
【详解】解：一组数据： ， ， ， ， ，平均数为： ，∴
∴标准差为
故答案为： ．
11．（23-24九年级下·陕西西安·期中）随着人们饮食结构愈发复杂，囤鲜需求与日俱增，为满足用户不同
需求，某品牌推出了甲、乙两种型号的冰箱在商场中进行试销售，如图是根据甲、乙两种型号冰箱的销售
量绘制成的折线统计图和统计分析表（结果保留一位小数）．
型 中位
平均数 众数 方差
号 数
甲
乙
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ；
(2)求乙型号冰箱销售量的平均数 ；
(3)若该品牌计划从甲、乙两种型号的冰箱选择一种在该商场进行销售，请运用你所学的统计知识，帮助该
品牌分析应该选择哪种型号的冰箱，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 台
(3)建议该品牌选择乙型号的冰箱在该商场进行销售，理由见解析
【分析】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数以及方差的意义；
（1）根据折线统计图得出两种型号冰箱的销售量，进而根据中位数与众数的定义，即可求解；
（2）根据平均数的定义进行计算即可求解；
（3）比较方差大小，即可求解．
【详解】（1）解：甲型号冰箱销售量分别为 ， ， ， ， ，
从小到大排列为： ， ， ， ， ，∴中位数为 ，
乙型号冰箱销售量分别为 ， ， ， ， ，
∴众数为 ，
解：故答案为： ， ；
（2）由（1）知乙型号冰箱销售量分别为 ， ， ， ， ， ，
所以，乙型号冰箱销售量的平均数 （台）；
（3）甲、乙型号冰箱销售量的平均数都为 台，而方差 ，相比较乙型号冰箱销售量的波动性
更小，因此建议该品牌选择乙型号的冰箱在该商场进行销售．
12．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）某中学举行“中国梦・校园好声音”歌手大赛，七年级和八年级根
据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所
示．
(1)根据图示填写下表；
平均数（分) 中位数（分) 众数
七年
85
级
八年
85 100
级
(2)哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【答案】(1)85，85，80
(2)七年级代表队
【分析】题目主要考查平均数、众数、中位数的求法，根据方差判断稳定性，熟练掌握基础知识点是解题
关键．（1）根据平均数、众数及中位数的计算方法求解即可；
（2）分别求出七八年级的方差，然后比较即可得出结果．
【详解】（1）解：七年级平均数为： （分)，
七年级85分出现两次，出现的次数最多，所以众数是85分；
八年级的比赛成绩分别为：70，75，80，100，100，
∴中位数是80分．
故答案为：85，85，80；
（2）七年级的方差是： ，
八年级的方差是： ，
∵七年级的方差 八年级的方差，
∴七年级代表队选手成绩较为稳定．
13．（2024·江苏无锡·一模）某职业技术学院准备从本校两名优秀学员中挑选一人参加市级操作技能大赛，
以下分别是两名学员在培训期间的先后8次操作技能测试的得分情况及统计情况：
表1：
测试次
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
数
甲学员 82 92 86 92 93 92 94
乙学员 96 92 92 80 96 92 79 93
表2：
平均
中位数 众数
数
甲学员 90 92
乙学员 90 92
根据以上统计结果回答下列问题：
(1) ______； ______； ______；
(2)应用你所学的统计知识，你认为选派哪名学员参加比赛更合适？请说明你的理由．
【答案】(1)89；92；92
(2)选甲，理由见解析【分析】本题主要考查了平均数、众数、中位数以及利用方差作决策，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；
（2）分别求得甲、乙两位同学操作技能测试得分的方差，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，
，
对于甲学员，将8次操作技能测试的得分按照从小到大的顺序排列，
为82，86，89，92，92，92，93，94，
其中在第4和第5位的是92和92，
所以，甲学员操作技能测试得分的中位数为 ，
对于乙学员，8次操作技能测试出现次数最多的是92，共计3次，
所以，甲学员操作技能测试得分的众数为92．
故答案为：89；92；92；
（2）选派甲学员参加比赛更合适，理由如下：
甲、乙两位同学操作技能测试得分的平均数、众数和中位数均相同，
根据数据可知，甲同学操作技能测试得分的方差为
，
乙同学操作技能测试得分的方差为
，
∵ ，
∴甲的成绩更稳定，
∴选派甲学员参加比赛更合适．
14．（2024·陕西西安·模拟预测）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极
大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，
打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了 家樱桃种植户对两家公司的相关评价，
并整理、描述、分析如下：
．配送速度得分（满分 分）：
甲：乙：
．服务质量得分统计图（满分 分）：
．配送速度和服务质量得分统计表：
配送速度得分 服务质量得分
快递公司
平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的 ______； ______ ______ （填“ ”“ ”或“ ”）；
(2)求甲快递公司配送速度的平均数 的值．
(3)综合考虑配送速度和服务质量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由（至少写两条）．
【答案】(1) ； ； ；
(2)
(3)理由见解析．
【分析】（ ）根据中位数和方差的概念求解即可；
（ ）根据算术平均数求解即可；
（ ）根据题意求解即可；
本题考查中位数、平均数、方差的定义，掌握中位数、平均数、方差的定义是解题的关键．
【详解】（1）由题意可得，甲的中位数 ，乙中 出现 次，则众数为 ，即 ，
，，
∴ ，
故答案为： ； ； ；
（2） ；
（3） ∵配送速度得分甲的中位数、众数比乙的好，
∴小丽应选择甲公司；
服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司．
15．（23-24八年级下·云南昆明·期中）2023年5月31日，“神舟十六号”载人飞船成功发射，激发了同
学们的爱国热情．学校为了解学生对航空航天知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试，此次测试
采用百分制，并规定90分及以上为优秀， 分为良好， 分为及格，59分及以下为不及格，现
从七、八年级各随机抽取20名学生的测试成绩，并将数据进行以下整理与分析．
①抽取七年级20名学生的成绩如表：
6 6
87 57 96 79 89 97 77 100
5 7
8 9
69 89 94 58 69 78 81 88
3 7
②抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1所示（数据分成5组： ， ，
， ， ）
③抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如图2所示．
④七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如表：
年级 平均数 中位数 方差七年
81 a 167.9
级
八年
82 81 106.3
级
请根据以上信息，回答下列问题：
(1) ______．
(2)补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图．
(3)目前该校七年级学生有300人，八年级学生有200人，估计两个年级此次测试成绩达到优秀的学生总人
数．
(4)从平均数和方差的角度分析，你认为哪个年级的学生成绩较好？请说明理由．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)135人
(4)八年级学生成绩较好，理由见详解
【分析】（1）根据中位数的定义求出七年级这20名学生成绩的中位数，即 的值；
（2）根据频数之和等于样本容量可求出“ ”的频数，进而补全频数分布直方图，
（3）分别求出七、八年级优秀等级的人数，进而即可求解；
（4）根据七、八年级的平均数，中位数，方差比较得出答案．
本题考查中位数、众数、平均数以及频数分布直方图，理解中位数、众数、平均数的定义是解决问题的前
提．
【详解】（1）解：把七年级20名学生的成绩按小到大排序后，位于第 和 位的分数为
∴处在中间位置的两个数的平均数为 ，
因此中位数是82，即
（2）解：结合七年级20名学生的成绩表，得出 的人数有4人，
补全频数分布直方图，如图所示：（3）解：七年级优秀人数为： （人），
八年级优秀的人数为： （人），
∴ （人）
答：优秀的学生总人数大约有135人；
（4）解：八年级学生成绩较好，
理由：八年级学生成绩的平均数较大，而方差较小，说明平均成绩较高，且波动不大，
因此八年级学生的成绩较好．
