文档内容
24.4 弧长和扇形公式（第一课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十四章“圆”24.4
弧长和扇形公式（第一课时），内容包括：弧长和扇形面积公式.
2.内容解析
弧长和扇形面积公式是与圆有关的计算中的两个常用公式.弧长公式是在圆的周长公式的基础上，借
助部分与整体的练习推导出来的.运用相同的研究方法，利用圆的面积公式推导出扇形的面积公式，进而
通过弧长公式表示扇形面积.应用弧长和扇形面积公式可以解决一些简单的实际问题，从而为学习圆锥侧
面积公式的推导打好基础.
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：弧长和扇形面积公式的推导及应用.
二、目标和目标解析
1.目标
1)理解弧长和扇形面积公式， 会计算弧长、扇形面积.
2)灵活运用弧长及扇形面积公式解决实际问题.
2.目标解析
达成目标1）的标志是：学生理解弧长和扇形面积公式的推导过程，并能利用公式计算弧长和扇形面
积.
达成目标2）的标志是：在弧长和扇形面积公式的推导过程中，发现弧长与圆周长、扇形面积与圆面
积都是部分与整体之间的关系，从而将计算弧长和扇形面积的问题转化为求圆周长和圆面积的一部分来解
决，体会转化、类比的数学思想.
三、教学问题诊断分析
学习本节课时，重在理解弧长和扇形面积公式的推导过程，先引导学生理解 360°的圆心角所对的弧
长即是圆的周长，然后求1°、45°、90°的圆心角所对的弧长，最后探索n°圆心角所对的弧长，从而得
出弧长公式，再用类似的方法推导得出扇形面积公式.
本节课的教学难点是：弧长和扇形面积公式的推导.
四、教学过程设计
（一）情景引入
【情景一】下图是学校操场的环形跑道，你会计算环形跑道的长度吗？师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．
【情景二】运动会200米赛跑比赛中，为什么选手的起跑位置不在同一处？
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识尝试给出回答．教师通过多媒体给出答案：因为不同的
跑道，跑道一圈的长度不一样，要保证这些弯道的“展直长度”是一样的，所以运动员的起跑位置不在同
一处，越靠近外侧的运动员所在跑道的长度越长，所以他的起跑位置越靠前.
【设计意图】通过实际生活中的例子，展示数学的美，激发学生学习数学的兴趣.
（二）探究新知
【问题一】我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分.
1）求半径为R的圆的周长.
2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长.
3）1°的圆心角所对的弧长是：_____________
4）45°的圆心角所对的弧长是：_____________
5）90°的圆心角所对的弧长是：_____________
6）n°的圆心角所对的弧长是：_____________
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识尝试回答．前两问较为简单，剩余问题老师根据情况提
示学生：圆的周长可以看作是 360°的圆心角所对的弧长，那么 1°圆心角所对的弧长是圆的周长的
1 πR 1 πR
，即 .同理45°圆心角所对的弧长是圆的周长的 ，即 ； 90°圆心角所对的弧长是圆的周
360 180 8 4
1 πR
长 的 ，即 . n° 圆 心 角 所 对 的 弧 长 是 1° 圆 心 角 所 对 的 弧 长 n 倍
4 2
nπR
，即 n°的圆心角所对的弧长是 .
180教学过程中教师还应强调：
1）n没有单位，弧长和半径单位一致.
2）弧长的大小与圆心角大小和半径的长度有关.
3）弧长公式中R、n、l三个量，已知两个可求另一个.
【设计意图】让学生理解弧长公式的推导过程.
（三）典例分析与针对训练
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(结
果取整数)
师生活动：教师板演，引导学生利用弧长公式解决实际问题.
【针对训练】
1.若扇形的圆心角为90°，半径为6 cm，则该扇形的弧长为__________ cm.
2.若一弧长为10πcm，此弧所对的圆心角为120°，则该弧所在圆的半径为_________ cm．
3.若一条弧的长为6πcm，弧的半径为6cm，则该弧所对的圆心角为__________ .
【设计意图】利用弧长公式进行计算.
（四）探究新知
【问题二】观察图形，尝试给出扇形的概念？
师生活动：教师提出问题，学生通过观察图形得出扇形的概念：由组成圆心角的两条半径和圆心角所
对的弧围成的图形是扇形.
【练一练】判断下列图片中哪些是扇形？师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．
【问题三】由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分.
1) 求半径为R的圆的面积.
2）圆的面积可以看作是多少度的圆心角所对扇形的面积.
3） 1°的圆心角所对扇形的面积是：__________
4） 45°的圆心角所对扇形的面积是：__________
5) 90°的圆心角所对扇形的面积是：__________
6) n°的圆心角所对扇形的面积是：__________
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识尝试回答．前两问较为简单，剩余问题老师根据情况提
示学生：圆的面积可以看作是360°的圆心角所对的扇形面积，那么1°圆心角所对的扇形面积是圆面积的
1 πR2 1 πR2
，即 .同理45°圆心角所对的扇形面积是圆面积的 ，即 ； 90°圆心角所对的扇
360 360 8 8
1 πR2
形面积是圆面积的 ，即 . n°圆心角所对的扇形面积是1°圆心角所对的扇形面积n倍
4 4
nπR2
，即 n°的圆心角所对的扇形面积是 .
360
nπR
教学过程中教师还应补充：扇形周长公式=2R+l=2R+
180
【设计意图】让学生理解扇形面积的推导过程.
【问题三】你觉得扇形的面积与哪些因素有关？
nπR2
师生活动：教师提出问题，先由学生回答，教师根据情况补充：根据扇形公式S = ，可知扇
扇形 360
形的面积与圆心角、半径有关.
1）圆心角大小不变时，半径越长，面积越大.
2）圆的半径不变时，圆心角越大，面积越大.
【设计意图】让学生理解影响扇形面积的因素
nπR nπR2
【问题四】对比弧长公式（l= ）和扇形面积公式（ S = ），你发现了什么？
180 扇形 360师 生 活 动 ： 教 师 提 出 问 题 ， 学 生 利 用 弧 长 公 式 表 示 扇 形 面 积 ， 最 后 得 出 ：
nπR2 nπR•R 1 nπR 1
S = = = • •R= lR．
扇形 360 2×180 2 180 2
（五）典例分析与针对训练
例2 一个扇形的弧长为20πcm，半径为24cm，则该扇形的面积为_______.
【针对训练】
1.扇形的圆心角为60°，半径为5 ，则这个扇形的弧长_______, 这个扇形的面积为______.
2.已知扇形的圆心角为120°，弧长为20π，扇形面积为 ．
3．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是_________
4.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是（ ）
π 2π
A. B. C.π D.2π
3 3
5. 如图，折扇完全打开后，OA、OB的夹角为120°，OA的长为30cm，AC的长为20cm，求图中阴影部
分的面积S．
6.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积？
（结果保留小数点后两位）
【设计意图】利用扇形面积公式进行计算.
（六）直击中考
1．（2023·新疆中考真题）如图，在⊙O中，若∠ACB=30°，OA=6，则扇形OAB (阴影部分)的面积是( )
A．12π B．6π C．4π D．2π
2．（2023·辽宁大连中考真题）圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为（ ）
3 1
A．2π B．3π C． π D． π
2 2
3．（2023·四川雅安中考真题）如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花在
其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB=120°，OA=15m，OC=10m，则种草区域的面积为
（ ）
25π 125π 250π 125
A． m2 B． m2 C． m2 D． m2
3 3 3 3
4．（2023·四川中考真题）如图，半径为 的扇形 中， ， 是 ⏜ 上一点，
5 AOB ∠AOB=90° C
AB
CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD=CE，则图中阴影部分面积为( )
25π 25π 25π 25π
A． B． C． D．
16 8 6 4
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点.
（七）归纳小结1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2.简述扇形的概念？
3.简述弧长和扇形面积公式？
（八）布置作业
P113：练习第2题，第3题
P115：习题24.4 第2题，第6题，第7题
