文档内容
24.4 弧长和扇形公式（第二课时） 导学案
学习目标
1 理解圆锥的相关概念.
2 理解圆锥侧面积的计算公式，并会运用公式解决问题.
重点难点突破
★知识点1： 圆锥的相关概念：
圆锥概念：由一个底面和一个侧面围成的几何体.
母线概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段.
圆锥的高的概念：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.
核心知识
一、圆锥的相关概念：
圆锥概念：由一个_________和一个________围成的几何体.
母线概念：连接_________顶点和______________任意一点的线段.
圆锥的高的概念：连结________与_____________的线段叫做圆锥的高.
新知探究
【问题一】观察下面几何体，你发现了什么？
【问题二】观察下图，你觉得圆锥的高与底面、底面圆心有什么关系？
【问题三】圆锥的母线有多少条？你发现了什么？
【问题四】圆锥的底面圆半径r、高h、母线l三者之间有什么关系呢？【问题五】将一个扇形纸片的两条半径重合，所围成的几何体是_____________.
【问题六】圆锥体展开后是什么样子的呢？
【问题七】展开的扇形弧长和底面圆之间有什么关系呢？
【问题八】圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
【问题九】如何计算圆锥的侧面积？
典例分析
例1 已知圆锥的底面半径为5 cm，母线长为13 cm，则这个圆锥的侧面积是___________cm2
【针对训练】
1. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2.
2. 已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15π cm2 ，则这个圆锥的底面圆半径为_____cm.
3. 圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ）
A．5 ❑√3cm B．10cm C．6cm D．5cm
4. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
5. 如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（ ）
A．10π B．15π C．20π D．30π
6. 如图，聪聪用一张半径为6cm、圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥，则这个圆锥的高为（ ）
A．4❑√2cm B．2❑√2cm C．2❑√3cm D．❑√3cm7.若把一个半径为12cm，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是_______，
圆锥的高是__________，侧面积是____________．
新知探究
【问题十】如何计算圆锥的表面积？
典例分析
例2 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的.如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2 m，外
围高1.8m的蒙古包，至少需要多少m2的毛毡？ (π取3.142，结果取整数).
【针对训练】
1. 如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为 25πm2，圆柱高为3m，
圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
A．(30+5❑√29)πm2 B．40πm2
C．(30+5❑√21)πm2D．55πm2
2. 用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ．
(1)求圆锥的高；
(2)求所需铁皮的面积S（结果保留π）．3. 如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：
mm），电镀时，如果每平方米用锌0.11kg，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？
感受中考
1．（2023·山东东营中考真题）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023·湖南中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为 4，则这个圆锥的侧面展开图中 ⏜ 的长为（
A A'
）
A．4π B．6π C．8π D．16π
3．（2023·浙江宁波中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧
面积为 cm2．（结果保留π）
4．（2023·四川内江中考真题）如图，用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不
计），则这个圆锥的高是 ．5．（2023·湖南娄底中考真题）如图，在△ABC中，AC=3，AB=4，BC边上的高AD=2，将△ABC绕
着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 ．
课堂小结
1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2.简述圆锥的相关概念？
3.简述与圆锥面积计算的相关公式？
【参考答案】
新知探究
【问题一】观察下面几何体，你发现了什么？
它们都是由一个底面和一个侧面围成的几何体【问题二】观察下图，你觉得圆锥的高与底面、底面圆心有什么关系？
圆锥的高通过底面的圆心，并垂直于底面.
【问题三】圆锥的母线有多少条？你发现了什么？
圆锥的母线有无数条，它们的长都相等.
【问题四】圆锥的底面圆半径r、高h、母线l三者之间有什么关系呢？
圆锥的母线l、圆锥的高h、圆锥底面圆半径r恰好构成一个直角三角形，所以圆锥可以看做是一个直角三
角形绕它的一条直角边旋转一周所构成的图形，满足l2=h2+r2，利用这一关系，已知任意两个量，可以求
出第三个量.
【问题五】将一个扇形纸片的两条半径重合，所围成的几何体是_____圆锥体________.
【问题六】圆锥体展开后是什么样子的呢？
圆锥体展开图由一个扇形（圆锥的侧面）和一个圆（圆锥的底面）组成.
【问题七】展开的扇形弧长和底面圆之间有什么关系呢？
扇形的弧长=底面圆的周长
【问题八】圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
扇形的半径与圆锥中的母线相等
【问题九】如何计算圆锥的侧面积？
1
S扇形= l×2πr= πrl
2
(r表示圆锥底面的半径， l表示圆锥的母线长 )
典例分析
例1 已知圆锥的底面半径为5 cm，母线长为13 cm，则这个圆锥的侧面积是_____65π______cm2
【针对训练】
1. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是___15π_____cm2.
2. 已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15π cm2 ，则这个圆锥的底面圆半径为__ 3___cm.
3. 圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ A ）
A．5 ❑√3cm B．10cmC．6cm D．5cm
4. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ B ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
5. 如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（ B ）
A．10π B．15π C．20π D．30π6. 如图，聪聪用一张半径为6cm、圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥，则这个圆锥的高为（ A ）
A．4❑√2cm B．2❑√2cm C．2❑√3cm D．❑√3cm
7.若把一个半径为 12cm，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是
___4____，圆锥的高是____ ______，侧面积是_____ _______．
8❑√2 48π
新知探究
【问题十】如何计算圆锥的表面积？
S =S +S =πrl+πr2
表 扇 底
典例分析
例2 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的.如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2 m，外
围高1.8m的蒙古包，至少需要多少m2的毛毡？ (π取3.142，结果取整数).【针对训练】
1. 如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2， 圆柱高为3m，
圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ A ）
A．(30+5❑√29)πm2 B．40πm2
C．(30+5❑√21)πm2 D．55πm2
2. 用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ．
(1)求圆锥的高；
(2)求所需铁皮的面积S（结果保留π）．
（1）解：如图，设CO为圆锥的高，BC为圆锥的母线，BO为底面圆的半径，
1
∴CO⊥OB，BC=50，BO= ×80=40，
2
∴有 中，
Rt△COB CO=❑√BC2−BO2=❑√502−402=30(cm)
∴圆锥的高为30cm．
（2）圆锥的底面周长为：2π×40=80π，
∵圆锥的底面周长是侧面展开得到的扇形的弧长，∴扇形的弧长为80π，
1
∴扇形的面积为 ×80π×50=2000π(cm2)，∴所需铁皮的面积S为2000πcm2．
2
3. 如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：
mm），电镀时，如果每平方米用锌0.11kg，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？
【详解】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为400mm=0.4m，
圆锥的高为300mm=0.3m，则圆锥的母线长为： ＝0.5m．
❑√0.32+0.42
∴圆锥的侧面积＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2），
∵圆柱的高为800mm=0.8m．圆柱的侧面积＝2π×0.4×0.8＝0.64π（m2），∴浮筒的表面积＝＝2S圆锥侧面积+S ，＝1.04π（m2），
圆柱侧面积
∵每平方米用锌0.11kg，∴一个浮筒需用锌：1.04π×0.11kg，
∴100个这样的锚标浮筒需用锌：100×1.04π×0.11＝11.44π（kg）．
答：100个这样的锚标浮筒需用锌11.44πkg．
感受中考
1．（2023·山东东营中考真题）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是
（ A ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023·湖南中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为 4，则这个圆锥的侧面展开图中 ⏜ 的长为
A A'
（ C ）
A．4π B．6π C．8π D．16π
3．（2023·浙江宁波中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧
面积为 1500π cm2．（结果保留π）
4．（2023·四川内江中考真题）如图，用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不
计），则这个圆锥的高是 4❑√2 ．
5．（2023·湖南娄底中考真题）如图，在△ABC中，AC=3，AB=4，BC边上的高AD=2，将△ABC绕
着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 14π ．
