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7.2.2 平行线的判定（七大类型提分练）
类型一、用同位角相等证两直线平行
1．（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【答案】B
【分析】本题考查的是平行线的判定的应用，根据同位角相等，两直线平行可得答案．
【详解】解：木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是：
同位角相等，两直线平行．
故选：B
2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，已知∠BAC=70°，过AB边上一点O作直线OD，经测量
∠AOD=92°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转（ ）A．8° B．10° C．12° D．18°
【答案】D
【分析】本题考查了旋转角以及平行线的判定定理的运用，掌握平行线的判定方法是关键．如图，根据要
使OD'∥AC，运用同位角相等，两直线平行，求得∠BOD'=∠A，即可得到∠DOD'的度数，即旋转
角的度数．
【详解】要使OD'∥AC，由同位角相等，两直线平行可知
∠BOD'=∠A=70°
∵∠AOD=92°
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-92°=88°
∴∠DOD'=∠BOD-∠BOD'=88°-70°=18°
即直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转18°
故选择：D
3．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线l ,l 被直线l 所截，下列选项中能得到l ∥l 的是
1 2 3 1 2
（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠5
C．∠2=∠5 D．∠2+∠4=180°
【答案】A
【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求
解即可．
【详解】解：∵∠1=∠2，∴l ∥l ，故A符合题意；
1 2
由∠3=∠5，不能判定l ∥l ，故B不符合题意；
1 2
由∠2=∠5，不能判定l ∥l ，故C不符合题意；
1 2
由∠2+∠4=180°，不能判定l ∥l ，故D不符合题意．
1 2
故选： A．
4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线a、b被直线c所截，∠2=36° ，下列条件中可以判定
a∥b的是（ ）A．∠1=36° B．∠1=54° C．∠1=72° D．∠1=144°
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的判定，先标注∠3，根据同位角相等，两直线平行判断即可．
【详解】如图所示．
根据题意可知∠2=∠3=36°，
∵∠1=∠3=36°，
∴a∥b．
故选：A．
5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线AB,CD分别与EF相交于点G,H，已知
∠1=70°,∠2=70°，判断AB与CD是否平行，并说明理由．
【答案】AB∥CD，见解析
【分析】本题考查了对顶角相等，同位角相等两直线平行，解题的关键是根据对顶角相等得出
∠1=∠AGH，进而根据∠2=∠AGH，即可得证．
【详解】解：AB∥CD，理由如下：
∵∠1=∠AGH，∠1=∠2=70°，
∴∠2=∠AGH，
∴AB∥CD．
6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，∠B与∠BCD互为余角，∠B=∠ACD,DE⊥BC，垂足为
E,AC与DE平行吗？为什么？
【答案】AC∥DE，见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，垂线等知识点的应用，求出∠ACB=∠DEB=90°，根据平行线的判
定定理即可推出答案．【详解】解：AC∥DE，理由如下：
∵∠B=∠ACD，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
即∠ACB=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°=∠ACB，
∴AC∥DE．
类型二、用内错角相等证两直线平行
7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，E是BC延长线上一点，下列条件中能判定BC∥AD的是
（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠DAB+∠D=180° D．∠B=∠DCE
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
直接利用平行线的判定方法依次判断即可．
【详解】A、若∠1=∠2，则AB∥CD，故不合题意；
B、若∠3=∠4，则AD∥BC，故符合题意；
C、若∠DAB+∠D=180°，则AB∥CD，故不合题意；
D、若∠B=∠DCE，则AB∥CD，故不合题意．
故选：B．
8．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·推理论证如图所示，下列推理中正确的有（ ）
①∵∠1=∠3，∴AB∥CD；
②∵∠2=∠4，∴AD∥BC；
③∵∠ABC+∠BCD=180°，∴AD∥CD；
④∵∠1+∠2+∠B=180°，∴BC∥AD．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A
【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定可进行求
解．
【详解】解：①∵∠1=∠3，
∴AD∥BC，故错误；
②∵∠2=∠4，
∴AB∥CD，故错误；
③∵∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，故错误；
④∵∠1+∠2+∠B=180°，
∴AD∥BC，故正确．
故选：A．
9．（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境·潜望镜 世界上最早记载潜望镜原理的古书是公元前二世纪
中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代
潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是 ．
【答案】内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两
直线平行作答即可．
【详解】解：根据题意可知它所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
10．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，直线AB过点C，若∠2=80°，∠D=50°，∠1=∠3，
试判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
【答案】平行，见解析
【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，根据∠1+∠2+∠3=180°，
∠2=80°，可得∠1=∠3=50°，从而得到∠1=∠D，由内错角相等，两直线平行即可得到答案．
【详解】解：AB∥DE，理由：∵∠1+∠2+∠3=180°，∠2=80°，∠1=∠3，
1
∴∠1=∠3= ×(180°-80°)=50°，
2
∵∠D=50°，
∴∠1=∠D，
∴AB∥DE．
11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，已知∠AED=62°，∠2=31°，EF平分∠AED，可以
判断BD∥EF吗？为什么？
【答案】BD∥EF，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，也考查了角平分线定义．先由角平分线定义得出∠1=31°，
那么∠1=∠2=31°，根据内错角相等，两直线平行即可证明BD∥EF．
【详解】解：可以判断BD∥EF，理由如下：
∵∠AED=62°，EF平分∠AED，
1
∴∠1= ∠AED=31°．
2
∵∠2=31°，
∴∠1=∠2，
∴BD∥EF．
类型三、用同旁内角互补证两直线平行
12．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，下列推论正确的是（ ）
A．∵∠1+∠2=180°,∴AB∥CD B．∵∠2+∠3=180°,∴AD∥BC
C．∵∠3+∠4=180°,∴AD∥BC D．∵∠4+∠2=180°,∴AB∥CD
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法中“同旁内角互补，两直线平行”是解题的
关键．根据题目中的图形位置，逐个分析选项中的同旁内角互补能否判定对应的两条直线平行，可以得到
只有∵∠3+∠4=180°,∴AD∥BC正确，其余均错误，即可得出正确选项．
【详解】解：∵∠1+∠2=180°,∴AD∥BC，故A选项错误；
∵∠2+∠3=180°,∴AB∥CD，故B选项错误；∵∠3+∠4=180°,∴AD∥BC，故C选项正确；
∠4+∠2=180°，无法推出AB∥CD或AD∥BC，故D选项错误．
故选：C．
13．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，已知直线l分别与直线a，b相交，∠1+∠2=180°，那么a
与b的位置关系是 ．
【答案】a∥b
【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
【详解】解：∵∠1+∠2=180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：a∥b．
14．（22-23七年级下·江苏常州·期末）已知：如图，∠A=∠C,∠BED+∠EBC=180°，求证：
AB∥CD．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据已知得DE∥BC，从而利用平行线的性质可得
∠C+∠D=180°，然后利用等量代换可得∠A+∠D=180°，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得
ABCD，即可解答．
【详解】证明：∵∠BED+∠EBC=180°，
∴DE∥BC，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=180°，
∴AB∥CD．
类型四、平行线的判定方法的灵活应用
15．（22-23七年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在下列四组条件中：①∠1=∠2，②∠3=∠4，③∠BAD+∠ABC=180°，④∠BAC=∠ACD，能判定AD∥BC的是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定，逐一判断
即可解答．
【详解】解：①∵∠1=∠2，
∴AD∥BC；
②∵∠3=∠4，
∴AD∥BC；
③∵∠BAD+∠ABC=180°，
∴AD∥BC；
④∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD；
所以，能判定AD∥BC的是①②③，
故答案为：①②③．
16．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，以下条件能判定AB∥CD的是 （填序号）．
①∠1=∠ABC；②∠2=∠C；③∠ABD=∠BDC；④∠ADB=∠CBD；⑤∠1+∠2=180°．
【答案】 /
【分析】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判
③⑤ ⑤③
断求解即可．
【详解】解：∵∠1=∠ABC，
∴AD∥BC，故①不符合题意；
∵∠2=∠C，
∴AD∥BC，故②不符合题意；
∵∠ABD=∠BDC，
∴AB∥CD，故③符合题意；
∵∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，故④不符合题意；
∵∠1+∠2=180°，∠ADC+∠2=180°，
∴∠1=∠ADC，
∴AB∥CD，故⑤符合题意；
故答案为：③⑤．
三、解答题
17．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和
∠DOE，且∠1+∠2=90°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠2：∠3=2：5，求∠AOF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)130°．
【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题
目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
1 1
（1）先利用角平分线的定义可得∠AOC= ∠COE，∠2= ∠DOE，从而利用平角定义可得
2 2
∠AOC+∠2=90°，然后利用同角的余角相等可得∠AOC=∠1，再利用平行线的判定即可得到结论；
（2）利用（1）的结论可得∠DOE：∠3=4：5，然后利用平角定义可得∠DOE=80°，∠3=100°，
然后利用对顶角相等可得∠COE=∠3=100°，再利用角平分线的定义可得∠AOE=50°，从而利用平角
定义即可解答．
【详解】（1）证明：OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，
1 1
∴∠AOC= ∠COE，∠2= ∠DOE，
2 2
∵∠COE+∠DOE=180°，
1 1
∴∠AOC+∠2= ∠COE+ ∠DOE=90°，
2 2
∵∠1+∠2=90°，
∴∠AOC=∠1，
∴AB∥CD；1
（2）解：∵∠2：∠3=2：5，∠2= ∠DOE，
2
∴∠DOE：∠3=4：5，
∵∠DOE+∠3=180°，
4 5
∴∠DOE=180°× =80°，∠3=180°× =100°，
9 9
∴∠COE=∠3=100°，
∵OA平分∠COE，
1
∴∠AOE= ∠COE=50°，
2
∴∠AOF=180°-∠AOE=130°．
18．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，∠ABC=∠ADC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，
且DE∥BF．那么直线DF与BE的位置关系是什么？请说明理由．
【答案】DF∥BE，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，由角平分线的定义得出∠EDF=∠EBF，再证明
∠AED=∠EDF即可得出结论．
【详解】解：DF∥BE．
理由为：因为DE, BF分别平分∠ADC和∠ABC，
1 1
所以∠EDF= ∠ADC，∠EBF= ∠ABC，
2 2
因为∠ABC=∠ADC，
所以∠EDF=∠EBF，
因为DE∥BF，
所以∠AED=∠EBF，
所以∠AED=∠EDF，
所以DF∥BE．
19．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形ABC中，∠B=∠ACB，点D,F分别在边
BC,AC的延长线上，作射线CE，如果CD平分∠ECF，那么AB与CE平行吗？为什么？【答案】AB∥CE，见解析
【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线得到∠DCF=∠DCE，对顶角相等得到
∠DCF=∠ACB，利用等量代换得到∠B=∠DCE，即可证明AB∥CE．
【详解】解：AB∥CE．
证明：∵CD平分∠ECF，
∴∠DCF=∠DCE．
又∵∠DCF=∠ACB，
∴∠ACB=∠DCE．
又∵∠B=∠ACB，
∴∠B=∠DCE．
∴AB∥CE
类型五、用两直线垂直于第三条直线证两直线平行
20．（2024七年级上·全国·专题练习）在作业纸上，要过点P作直线a的平行线b，嘉嘉和淇淇给出了下面
两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ，Ⅱ都不可行
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定是关键；
方案Ⅰ是根据同位角相等判定平行，方案Ⅱ是根据垂直于同一直线的两条直线平行即可得出答案．
【详解】由图知：方案Ⅰ是根据同位角相等，判定a∥b；方案Ⅱ是根据同一平面内，垂直于同一直线的两
条直线平行，判定a∥b．
故选C．
21．（21-22八年级上·广东梅州·期末）如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别是B，D，
∠FDC=∠EBA．(1)判断CD与AB的位置关系；（不需要证明）
(2)求证：DF∥BE．
【答案】(1)CD∥AB
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论；
（2）根据∠FDC=∠EBA可得∠CDM-∠FDC=∠ABM-∠EBA，则∠FDM=∠EBM，即可求证．
【详解】（1）解：∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴CD∥AB．
（2）证明：∵∠FDC=∠EBA，∠CDM=∠ABM=90∘，
∴∠CDM-∠FDC=∠ABM-∠EBA（等式的性质），
即 ∠FDM=∠EBM，
∴ DF∥BE（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线互相平行，同位角
相等，两直线平行．
类型六、用两直线平行于于第三条直线证两直线平行
22．（22-23七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）证明题
(1)已知直线a，b，c，d，e，且∠1=∠2，∠3+∠4=180°．请证明a与c平行．
(2)已知直线AB与CE相交于点D，且∠1+∠E=180°．请证明：直线AB与EF平行．（本题可用多种方
法，选择一种即可）
【答案】(1)a∥c，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是平行线的判定，平行公理的应用，熟记平行线的判定方法是解本题的关键；（1）先证明a∥b，b∥c，再利用平行公理的含义可得结论；
（2）先证明∠4+∠E=180°，再利用平行线的判定可得结论．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∵∠3+∠4=180°，
∴b∥c，
∴a∥c；
（2）∵∠1+∠E=180°，∠1=∠4，
∴∠4+∠E=180°，
∴AB∥EF；
类型七、用两直被第三条所截的三线八角问题证两直线平行
23．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线AB和CD被直线MN所截．
(1)如图①，若EG平分∠BEF，FH平分∠DFE，则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD？为什么？
(2)如图②，若EG平分∠MEB，FH平分∠DFE，则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD？为什么？
(3)如图③，若EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD？为什么？
【答案】(1)∠1+∠2=90°，理由见解析
(2)∠1=∠2，理由见解析
(3)∠1=∠2，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直
线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
（1）根据角平分线定义得出∠BEF=2∠1，∠DFE=2∠2，∠1+∠2=90°时，求出
∠BEF+∠DFE=180°，根据平行线的判定推出即可．
（2）根据角平分线定义得出∠BEM=2∠1，∠DFE=2∠2，求出∠BEM=∠DFE，根据平行线的判
定推出即可．
（3）根据角平分线定义得出∠AEF=2∠1，∠DFE=2∠2，求出∠AEF=∠DFE，根据平行线的判
定推出即可．
【详解】（1）解：当∠1+∠2=90°时，AB∥CD．理由如下：
∵EG平分∠BEF，FH平分∠DFE
∴∠BEF=2∠1，∠DFE=2∠2．
∵∠1+∠2=90°，∴∠BEF+∠DFE=180°，
∴AB∥CD．
（2）解：当∠1=∠2时，AB∥CD．理由如下：
∵EG平分∠BEM，FH平分∠DFE，
∴∠BEM=2∠1，∠DFE=2∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠BEM=∠DFE，
∴AB∥CD．
（3）解：当∠1=∠2时，AB∥CD．理由如下：
∵EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，
∴∠AEF=2∠1，∠DFE=2∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠AEF=∠DFE，
∴AB∥CD．
一、单选题
1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线a平行于直线b的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据作图痕迹，结合平行线的判定方法逐项分析即可．
【详解】解：A．根据同位角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，故不符合题意；
B．根据内错角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，故不符合题意；
C．根据同旁内角相等，不能判定直线a平行于直线b，故符合题意；
D．根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．
2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点E在BC的延长线上，在下列四个条件中，不能判
定AB∥CD的是（ ）A．∠1=∠2 B．∠B=∠DCE C．∠3=∠4 D．∠D+∠DAB=180°
【答案】C
【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
分别进行分析；
【详解】解：A、∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，故该选项不符合题意；
B、∵∠B=∠DCE，
∴AB∥CD，故该选项不符合题意；
C、∵∠3=∠4，
∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，故该选项符合题意；
D、∵∠D+∠DAB=180°，
∴AB∥CD，故该选项不符合题意；
故选：C
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠1=∠A B．∠A=∠3 C．∠1=∠4 D．∠A+∠2=180°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的
关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．利用平行线的判定定理，
逐一判断，容易得出结论．
【详解】解：A、因为∠1=∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故
本选项符合题意；
B、因为∠A=∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；
C、因为∠1=∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；
D、因为∠A+∠2=180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意；
故选：A．
4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线a，b与直线c 相交，给出下列条件：
①∠1=∠2；②∠5=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠3=180°．其中能判断a∥b的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可，解题的关键是掌握平行线的判定方法．
【详解】解：①∵∠1=∠2,
∴a∥b，故①符合题意；
②∠5和∠6是对顶角，根据∠5=∠6不能判定a∥b，故②不符合题意；
③∵∠4+∠7=180°，
∴a∥b，故③符合题意；
④∵∠3=∠2,∠5+∠3=180°,
∴∠5+∠2=180°,
∴a∥b，故④符合题意；
综上，①③④能判定a∥b，
故选：B．
5．（2023·广东·模拟预测）画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：
利用丁字尺画平行线的理论依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可判断求解，掌握平行线的判定定理是解题
的关键．
【详解】解：由题意可知，按住尺身，使尺头靠紧图画板的边框推移丁字尺是为了使同位角相等，
∴利用丁字尺画平行线的理论依据是：同位角相等，两直线平行，
故选：A．
6．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，能够判断DE∥BC的条件是（ ）A．∠1=∠2 B．∠1+∠3=180° C．∠4=∠C D．∠3+∠C=180°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平
行；同旁内角互补，两直线平行．据此分析即可作出判断．
【详解】解：A．∵∠1=∠2，
∴EF∥AC，故此选项不符合题意；
B．∵∠1+∠3=180°，
∴DE∥BC，故此选项符合题意；
C．∵∠4=∠C，
∴EF∥AC，故此选项不符合题意；
D．∵∠3+∠C=180°，
∴EF∥AC，故此选项不符合题意．
故选：B．
二、填空题
7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2．是否能证明出
AB∥CD？ ．（填能或不能）
【答案】能
【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，先由“同角的补角相等”可得∠B=∠1=∠2，由
然后根据同位角相等，两直线平行即可得证，熟记平行线的判定是解题的关键．
【详解】解：能
理由：
∵∠B+∠BAD=180°，∠1+∠BAD=180°，
∴∠B=∠1，
又∠1=∠2，
∴∠B=∠2，
∴AB∥CD，故答案为：能.
8．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，a,b,c三根木棒钉在一起，交点分别为
A,B,∠1=70°，∠2=100°．现将木棒a,b分别绕点A,B顺时针旋转，同时开始，速度分别为12°/s
和2°/s，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒a,b平行．
【答案】3s或21s或75s或165
【分析】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间
的数量关系是解题关键．
25 25
设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当030秒时，木棒a停止运动，
当30180时，木棒b停止运动，
综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行，
故答案为：3s或21s或75s或165．
9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，填空：
（1）若∠D=∠EFC，则 ∥ ，理由： ．
（2）若∠B=∠AEF，则 ∥ ，理由： ．
【答案】 AD EF 同位角相等，两直线平行 BC EF 同位角相等，两直线平
行
【分析】此题考查了平行线的判定．（1）根据同位角相等，两直线平行进行判定解答即可；
（2）根据同位角相等，两直线平行进行判定解答即可．
【详解】解：如图，
（1）若∠D=∠EFC，则AD∥EF，理由：同位角相等，两直线平行．
（2）若∠B=∠AEF，则BC∥EF，理由：同位角相等，两直线平行．
故答案为：AD，EF，同位角相等，两直线平行；BC，EF，同位角相等，两直线平行．
10．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式
放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠2=2∠1；②∠1+∠2=90°；③
∠1=25°，∠2=55°；④∠ABC=∠2-∠1；⑤∠ACB=∠1+∠3；能判断直线m∥n的有 ．
（填序号）
【答案】③④⑤
【分析】本题考查平行线的判定．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的
判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．
【详解】解：①∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故①不符合题意；
②∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
③∵∠1=25°，∠2=55°，∠ABC=30°，
∴∠ABC+∠1=∠2=55°，
∴m∥n，故③符合题意；
④∵∠ABC=∠2-∠1，
∴∠2=∠ABC+∠1，
∴m∥n，故④符合题意；
⑤过点C作CE∥m，∴∠3=∠ACE，
∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠ACE+∠BCE，
∴∠1=∠BCE，
∴EC∥n，
∴m∥n，故⑤符合题意．
故答案为：③④⑤．
11．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）将一副三角板按如图放置，则下列结论：
①∠1=∠3；
②如果∠2=30°，则有AC∥DE；
③如果∠2=45°，则有BC∥AD；
④如果∠4=∠C，必有∠3=2∠2．
其中正确的有 ．（请填写所有正确的序号）
【答案】①②③④
【分析】本题考查了平行线的判定，余角性质，直角三角形两锐角互余，由余角性质可判断①；证明
∠CAD+∠D=180°可判断②；证明∠3=∠B可判断③；分别求出∠3=60°，∠2=30°可判断④；正
确识图是解题的关键．
【详解】解：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，故①正确；
如果∠2=30°，则∠3=90°-∠2=90°-30°=60°，
∴∠CAD=∠BAC+∠3=90°+60°=150°，
∵∠D=30°，
∴∠CAD+∠D=150°+30°=180°，
∴AC∥DE，故②正确；
如果∠2=45°，则∠3=90°-∠2=90°-45°=45°，∵∠B=45°，
∴∠3=∠B，
∴BC∥AD，故③正确；
∵∠B=∠C=45°，
如果∠4=∠C，
则∠4=45°，
∴∠BME=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠3=90°-30°=60°，
∴∠2=90°-∠3=90°-60°=30°，
∴∠3=2∠2，故④正确；
∴其中正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
12．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）将一副三角板如图放置，边EF与边BC在同一条直线上，
∠ACB=∠DFE=90°，∠ABC=60°，∠E=45°．三角板DEF保持不动，将三角板ABC绕点B顺时针
旋转α度(0°<α<180°)．当α= 度时，AB∥DE．
【答案】15
【分析】本题考查平行线的判定，角的和差．
当∠ABF=∠E=45°时，AB∥DE，则∠FBC=∠ABC-∠ABF=15°，即可解答．
【详解】解：如图，当∠ABF=∠E=45°时，AB∥DE，
则∠FBC=∠ABC-∠ABF=60°-45°=15°，
∴三角板ABC绕点B顺时针旋转15度，即α=15°
三、解答题
13．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）如图，点D，E，F在△ABC的三边上，DE∥BC，
∠A+∠ADF=180°．求证：∠B=∠EDF．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，证明AB∥DF可得∠AED=∠EDF，由DE∥BC得
∠AED=∠B，根据等量代换可得结论．
【详解】证明：∵∠A+∠ADF=180°，
∴AB∥DF，
∴∠AED=∠EDF．
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠B，
∴∠B=∠EDF．
14．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE，DF分别是
∠ABC，∠ADC的平分线．
(1)∠1与∠2有什么关系，为什么？
(2)BE与DF有什么关系？请说明理由．
【答案】(1)∠1+∠2=90°；理由见解析(2)BE∥DF，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，多边形的内角和，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握四边形
内角和为360°、同位角相等，两直线平行．
（1）由角平分线的定义得∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，根据四边形的内角和可得
∠ABC+∠ADC=180°，进而可求出结论；
（2）由互余的性质可得∠1=∠DFC，根据平行线的判定即可得出．
【详解】（1）解：∠1+∠2=90°，理由：
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，
∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°，
∴2(∠1+∠2)=180°，
∴∠1+∠2=90°；
（2）解：BE∥DF，理由如下：
在△FCD中，∵∠C=90°，
∴∠DFC+∠2=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠DFC，
∴BE∥DF．
15．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知△ABC，∠ACB=80°，点E，F分别在AB，AC
上，ED交AC于点G，交BC的延长线于点D，∠FEG=32°，∠CGD=48°，求证：EF∥BC．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查平行线的判定，涉及到对顶角性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平
行线的判定方法．先根据三角形内角和定理以及对顶角的定义求出∠GFE=100°，再根据同旁内角互补，
直线平行，即可证明结论．
【详解】证明：∵ ∠CGD=48°，
∴∠EGF=∠CGD=48°，
∵ ∠FEG=32°，
∴∠GFE=180°-∠EGF-∠FEG=180°-48°-32°=100°，
∵ ∠ACB=80°，∴∠GFE+∠ACB=180°，
∴ EF∥BC．
16．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F
是DE上一点，连接OF．
(1)求证：OC⊥OD；
(2)若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定：
（1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证；
（2）根据同角的余角相等，得到∠D=∠DOB，即可得证．
【详解】（1）证明：∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，
1 1
∴∠COF= ∠AOF,∠DOF= ∠BOF，
2 2
∵∠AOF+∠BOF=180°，
1 1
∴∠COF+∠DOF= ∠AOF+ ∠BOF=90°，
2 2
即：∠COD=90°，
∴OC⊥OD；
（2）证明：∵∠COD=90°，
∴∠1+∠DOB=90°，
又∵∠D+∠1=90°，
∴∠D=∠DOB，
∴ED∥AB．
17．（15-16七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，
∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．
【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质（两直线平行同位角相等），平行线的判定（内
错角相等两直线平行）等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据平行线的性质可证得∠1=∠CFE=∠E，于是可得∠2=∠E，
进而可得结论．
【详解】证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，∠CFE=∠E，
∴∠1=∠CFE=∠E，
∴∠2=∠E，
∴AD∥BC．
18．（22-23七年级下·四川达州·期中）如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作
OE⊥OD，G是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)CD∥OE，理由见详解
【分析】本题考查了余角，平行线的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题关键．
（1）根据同角的余角相等即可证明；
（2）由∠1=∠2，∠ODG=∠C，∠ODG+∠2=90°得到∠C+∠1=90°，即CD⊥DO，而
OE⊥OD，即可证明．
【详解】（1）证明：∵OE⊥OD，
∴∠EOD=90°，
∴∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CD∥OE，理由如下：
∵OD平分∠BOC，
∴∠1=∠2，∵∠ODG=∠C，
又∵∠ODG+∠2=90°，
∴∠C+∠1=90°，
∴∠CDO=180°-90°=90°，
即CD⊥DO，
∵OE⊥OD，
∴CD∥OE．
