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7.2.2 平行线的判定 分层作业
基础训练
1．如图，下列推理错误的是（ ）
A．∵∠1=∠2，∴a∥b B．∵∠2=∠4，∴b∥c
C．∵∠1+∠3=180°，∴a∥c D．∵∠2+∠3=180°，∴a∥c
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．根据平行线的判定定理逐项判
断即可．
【详解】解：A．∠1和∠2为同位角，结合∠1=∠2，即可证明a∥b，故A正确，不符合题意；
B．∠2和∠4为内错角，结合∠2=∠4，即可证明b∥c，故B正确，不符合题意；
C．∠1和∠3为同旁内角，结合∠1+∠3=180°，即可证明a∥c，故C正确，不符合题意；
D．∠2和∠3为同旁内角，结合∠2+∠3=180°，即可证明b∥c，故D错误，符合题意．
故选D．
2．我们常用如图所示的方法过直线外一点画已知直线的平行线，其原理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角互补
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定定理．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可求解．
【详解】解：我们常用如图所示的方法过直线外一点画已知直线的平行线，其原理是同位角相等，两直线
平行，
故选：A
3．如图，将一款教室护眼灯用两根电线AC，BD吊在天花板EF上，A、B是护眼灯上的两个固定点，C、D是天花板上的两个固定点，已知∠ACD=90°，为保证护眼灯与天花板平行（即AB∥EF），下面
添加的条件中，正确的是（ ）
A．∠BDC=90° B．∠BDF=90° C．∠ACE=90° D．∠BAC=90°
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同旁内角互补，两直线平行，内错角线段，两直线平行，同
位角相等，两直线平行是解题的关键．
【详解】解：根据平行线的判定条件可知，当∠BAC=90°，有∠BAC+∠ACD=180°，则AB∥EF，
故D符合题意；
A、B、C中的条件都不能证明AB∥EF，
故选：D．
4．如图1是小强奶奶编的竹篓，图2是将其局部抽象成的图形，下列条件中一定能判断直线a∥b的是
（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠4=∠5
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∠1=∠2，不能判断直线a∥b，不符合题意；
B、∠2=∠3，内错角相等，两直线平行，能判断直线a∥b，符合题意；
C、∠3=∠4，不能判断直线a∥b，不符合题意；
D、∠4=∠5，不能判断直线a∥b，不符合题意；
故选B．
5．如图，过直线l外一点A作直线l的平行线AB，其直接依据是（ ）A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据图形，可以发现直线l和直线AB之间的内错角相等，则可以
判定这两条直线平行，本题得以解决．
【详解】解：由图可知，直线l和直线AB之间的内错角相等，则可以判定这两条直线平行，
故选：B．
6．如图1是生活中常见的晾衣架，将其侧面抽象成平面图形，如图2所示，则使EG∥BH成立的条件是
（ ）
A．∠1=∠5 B．∠1=∠2 C．∠3=∠4 D．∠4=∠5
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∠1=∠5，不能判断直线EG∥BH，不符合题意；
B、∠1=∠2，内错角相等，两直线平行，能判断直线EG∥BH，符合题意；
C、∠3=∠4，不能判断直线EG∥BH，不符合题意；
D、∠4=∠5，不能判断直线EG∥BH，不符合题意；
故选：B．
7．如图，已知四边形ABCD，点E在AD的延长线上，连接AC，BD，下列说法中正确的是（ ）
A．若∠BDA=∠CBD，则AB∥DC
B．若∠1=∠2，则AD∥BC
C．若∠BAD+∠ABC=180°，则AD∥BC
D．若∠BAD=∠CDE，则AD∥BC【答案】C
【分析】本题考查了平行线的证明，熟练掌握平行线的证明方法是解题的关键．根据“内错角相等，两直线
平行”，“同旁内角互补，两直线平行”，“同位角相等，两直线平行”一一判断即可．
【详解】A、由∠BDA=∠CBD，可知AD∥BC，故A错误；
B、由∠1=∠2，可知AB∥CD，故B错误；
C、由∠BAD+∠ABC=180°，可知AD∥BC，故C正确；
D、由∠BAD=∠CDE，可知AB∥CD，故D错误．
故选：C．
8．如图，下列条件①∠1=∠5；②∠2=∠C；③∠3=∠4；④∠3=∠5；
⑤∠4+∠5+∠BDE=180° 中，能判断DE∥BC的是（ ）
A．只有②④ B．只有①② C．只有②④⑤ D．只有②
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定．
根据平行线的判定定理解答即可．
【详解】解：①∠1=∠5不能判定DE∥BC；
②∠2=∠C；∠2与∠C是DE和BC被AC所截的同位角，所以能判定DE∥BC；
③∠3=∠4，这两个角在同一个三角形中，不能判定DE∥BC
④∠3=∠5，∠3与∠5是DE和BC被BE所截的内错角，所以能判定DE∥BC；
⑤∠4+∠5+∠BDE=180° 中，∠4+∠5与∠BDE是DE和BC被AB所截的同旁内角，所以能判定
DE∥BC；
故选：C．
9．若 ，则下列图形一定能推出 的是（ ）
∠1+∠2=180° l ∥l
1 2A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】A．∵∠1和∠2是同位角，
∴∠1+∠2=180°无法推出l ∥l ，不符合题意；
1 2
B．∵∠1和∠2是内错角，
∴∠1+∠2=180°无法推出l ∥l ，不符合题意；
1 2
C．如图所示，
∵∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°
∵∠1+∠2=180°
∴∠3+∠4=180°
∴l ∥l ，符合题意；
1 2
D．如图所示，
∵∠1=∠3，∠1+∠2=180°
∴∠3+∠2=180°
∵∠3和∠2是同位角，
∴∠3+∠2=180°无法推出l ∥l ，故不符合题意；
1 2
故选：C．10．如图，这是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=62°，∠2=62°，∠3=118°，找出图中的
平行线，并说明理由．
【答案】AB∥CD，AC∥BD，理由见解析．
【分析】根据同位角相等，两直线平行，可得出AB∥CD；根据同旁内角互补，两直线平行，可得出
AC∥BD．
【详解】解：AB∥CD，AC∥BD．
理由：∵∠1=62°，∠2=62°，
∴∠1=∠2，
∴AB∥CD；
∵∠1=62°，∠3=118°，
∴∠1+∠3=180°，
∴AC∥BD．
【小结】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两
直线平行．
能力提升
11．画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线
的理论依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可判断求解，掌握平行线的判定定理是解题
的关键．
【详解】解：由题意可知，按住尺身，使尺头靠紧图画板的边框推移丁字尺是为了使同位角相等，
∴利用丁字尺画平行线的理论依据是：同位角相等，两直线平行，
故选：A．
12．如图，∠A=70∘，O是AB上一点，直线OD与 AB 所夹的∠BOD=82∘，要使OD∥AC，直线OD
绕点O按逆时针方向至少旋转（ ）
A．8∘ B．10∘ C．12∘ D．18∘
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是两直线平行，同旁内角互补、根据旋转的性质求解，解题关键是熟练掌握平
行线的性质．
根据OD∥AC推得∠AOD，由平角性质得到当OD∥AC时∠BOD=70°后即可求解．
【详解】解：∵OD∥AC时，∠A+∠AOD=180°，
又∠A=70°，
∴此时∠AOD=110°，
∵∠AOB是平角，即∠AOD+∠BOD=180°，
∴当OD∥AC时，∠BOD=70°，
∴直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转82°−70°=12°．
故选：C．
13．《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜，
基于光的反射，可得到一组平行线．如图，这是潜望镜工作原理的示意图，它所依据的数学定理是（ ）A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．
根据内错角相等，两直线平行进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行，
故选：C．
14．如图，在一个弯形管道ABCD中，测得∠ABC=70°，∠BCD=110°后，就可以知道管道AB∥CD，
其依据的定理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行作答即可．
【详解】解：∵∠ABC=70°，∠BCD=110°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；
故选C．
15．如图，将三把相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，在线段AB，AC，AE，ED，EC中，相互
平行的线段有（ ）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【分析】根据平行线的判定方法即可求解．
【详解】解：∵三把相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，
∴∠B=∠ECD，则AB∥CE，
∠AEC=∠ECD，则AE∥CD，
∠ACB=∠D，则AC∥DE，
∴有3组，
故选：C．
【小结】本题主要考查平行线的判定，掌握其判定方法是解题的关键．
16．如图，点E,F分别在△ABC的边AC,AB上，点D在BC的延长线上，连接BE,CF,ED，若
∠1=∠2，∠ABC=∠ACB，∠EBD=∠D，求证：FC∥ED．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等两直线平行是解题的关键；先证明
∠EBC=∠BCF，通过等量代换可证∠BCF=∠D，再根据平行线的判定可证FC∥ED．
【详解】证明：∵∠ABC=∠ACB,∠1=∠2，
∴∠ABC−∠1=∠ACB−∠2，
∴∠EBD=∠BCF，
∵∠EBD=∠D，
∴∠BCF=∠D，
∴FC∥ED．17．已知直线AB和CD被直线MN所截．
(1)如图①，若EG平分∠BEF，FH平分∠DFE，则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD？为什么？
(2)如图②，若EG平分∠MEB，FH平分∠DFE，则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD？为什么？
(3)如图③，若EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD？为什么？
【答案】(1)∠1+∠2=90°，理由见解析
(2)∠1=∠2，理由见解析
(3)∠1=∠2，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直
线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
（1）根据角平分线定义得出∠BEF=2∠1，∠DFE=2∠2，∠1+∠2=90°时，求出
∠BEF+∠DFE=180°，根据平行线的判定推出即可．
（2）根据角平分线定义得出∠BEM=2∠1，∠DFE=2∠2，求出∠BEM=∠DFE，根据平行线的判
定推出即可．
（3）根据角平分线定义得出∠AEF=2∠1，∠DFE=2∠2，求出∠AEF=∠DFE，根据平行线的判
定推出即可．
【详解】（1）解：当∠1+∠2=90°时，AB∥CD．理由如下：
∵EG平分∠BEF，FH平分∠DFE
∴∠BEF=2∠1，∠DFE=2∠2．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∴AB∥CD．
（2）解：当∠1=∠2时，AB∥CD．理由如下：
∵EG平分∠BEM，FH平分∠DFE，
∴∠BEM=2∠1，∠DFE=2∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠BEM=∠DFE，
∴AB∥CD．（3）解：当∠1=∠2时，AB∥CD．理由如下：
∵EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，
∴∠AEF=2∠1，∠DFE=2∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠AEF=∠DFE，
∴AB∥CD．
拔高拓展
18．将一副三角板按如图放置，则下列结论：
①∠1=∠3；
②如果∠2=30°，则有AC∥DE；
③如果∠2=45°，则有BC∥AD；
④如果∠4=∠C，必有∠3=2∠2．
其中正确的有 ．（请填写所有正确的序号）
【答案】①②③④
【分析】本题考查了平行线的判定，余角性质，直角三角形两锐角互余，由余角性质可判断①；证明
∠CAD+∠D=180°可判断②；证明∠3=∠B可判断③；分别求出∠3=60°，∠2=30°可判断④；正
确识图是解题的关键．
【详解】解：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，故①正确；
如果∠2=30°，则∠3=90°−∠2=90°−30°=60°，
∴∠CAD=∠BAC+∠3=90°+60°=150°，
∵∠D=30°，
∴∠CAD+∠D=150°+30°=180°，
∴AC∥DE，故②正确；
如果∠2=45°，则∠3=90°−∠2=90°−45°=45°，∵∠B=45°，
∴∠3=∠B，
∴BC∥AD，故③正确；
∵∠B=∠C=45°，
如果∠4=∠C，
则∠4=45°，
∴∠BME=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠3=90°−30°=60°，
∴∠2=90°−∠3=90°−60°=30°，
∴∠3=2∠2，故④正确；
∴其中正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
19．在同一平面内，有12条互不重合的直线l ，l ，l ，⋯l ，若l ⊥l ， l ∥l ，l ⊥l ，l ∥l ，…，
1 2 3 12 1 2 2 3 3 4 4 5
依此类推，则l 与l 的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”）
1 12
【答案】平行
【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此
类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面
内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知l 与l 的位置关系是平行．
1 12
【详解】解：∵l ⊥l ， l ∥l ，l ⊥l ，l ∥l …
1 2 2 3 3 4 4 5
∴l ⊥l ，l ⊥l ，l ⊥l …，
2 4 4 6 6 8
∴l ⊥l ，
2 12
∵l ⊥l ，
1 2
∴l ∥l ，
1 12
故答案为∶平行．
20．如图,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗?请说明理由.【答案】平行，理由见解析.
【分析】先做辅助线延长BE，交CD于F，根据∠BEC+∠CEF=180°可得到∠CEF的度数；再根据三角形内
角和定理即可得到∠BFC=60°，至此，再结合平行线的判定定理即可得到结论.
【详解】解：AB∥CD,理由如下:
如图所示,延长BE,交CD于点F,
因为∠BEC=95°,
所以∠CEF=180°-95°=85°.
又因为∠DCE=35°,
所以∠BFC=180°-∠DCE-∠CEF=180°-35°-85°=60°.
因为∠ABE=120°(已知),
所以∠ABE+∠BFC=180°,
所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
【小结】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键.
