文档内容
7.5 判断两直线平行的五种方法培优训练（重难点突破）
知识清单
一、判断两直线平行的方法
1平行线的定义（在同一平面内。不相交的两条直线叫做平行线：
2平行于同一条直线的两条直线平行：
3.同位角相等，两直线平行：
4内错角相等，两直线平行：
5同旁内角夏补，两直线平行：
6.在同一平面内，同垂直于第三条直线的两直线平行
二、判定两直线平行的基本思路
1,基本图形法：若是“三线八角”的基本图形，剥可利用同位角相等或内错角和等我同常内角互补来说明：
若是”第三直线”
的基本图形，则可运用“第三直钱线”（平行煮色直）来说明
2,添加辅助线法：若图形不具备“基本图形”的特征，可作适当的辅动线，使它具备基本图形的补征，再
运用“基本图形法”来说明
类型一、同位角相等，两直线平行
1．（七年级下·广西河池·期末）如图，∠1=40°,∠2=55°,∠3=85°，直线l₁与l 平行吗？为什么？
2
【答案】l ∥l ，理由见解析
1 2
【分析】先根据对顶角相等得到∠4=55°，再根据平角的定义得到∠5=40°，再由平行线的判定即可得
出结论．
【详解】解：l ∥l 理由如下：
1 2
∵∠2=55°（已知），∠2=∠4（对顶角相等），
∴∠4=55°（等量代换）．
∵∠3=85°（已知），∠3+∠4+∠5=180°（平角定义），
∴∠5=40°，
又∵∠1=40°（已知），
∴∠1=∠5（等量代换），∴l ∥l （同位角相等、两直线平行）．
1 2
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线AB，AC，CD被直线BE所截，CD平分∠ACE，已知
∠3=∠5=60°，求证：AB∥CD．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质和平角定义，根据角平分线得∠1=∠2，结合已知
得∠1=∠2=60°，那么，∠1=∠5，利用同位角相等两直线平行即可得AB∥CD．
【详解】证明：∵CD平分∠ACE，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠5=60°，
∴∠1+∠2=180°-∠3=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴∠1=∠5，
∴AB∥CD．
类型二、内错角相等，两直线平行
3．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，∠1=82°，∠2=98°，∠C=∠D，试探索∠A与∠F有怎
样的数量关系，并说明理由．
【答案】∠A=∠F，理由见解析
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，要找∠A与∠F的数量关系，根据平行线的判定，由已知可
得∠1+∠2=180°，则CE∥BD；根据平行线的性质，可得∠C=∠ABD，结合已知条件，得
∠ABD=∠D，根据平行线的判定，得AC∥DF，从而求得结论．
【详解】解：∠A=∠F．．
理由：∵∠1=82°，∠2=98°，
∴∠1+∠2=180°，
∴CE∥DB，
∴∠C=∠ABD，∵∠C=∠D，
∴∠ABD=∠D，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠F．
4．（21-22七年级下·新疆喀什·期中）如图所示，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2．试判断BE与
CF的关系，并说明你的理由．
【答案】BE∥CF，理由见解析
【分析】本题考查垂直的定义，等角的余角相等，平行线的判定．
由垂直的定义得到∠ABC=∠BCD=90°，根据等角的余角相等得到∠EBC=∠BCF，再由“内错角相
等，两直线平行”得到BE∥CF．
【详解】解：BE∥CF，理由如下：
∵AB⊥BC，BC⊥CD，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠ABC-∠1=∠BCD-∠2，
即∠EBC=∠BCF，
∴BE∥CF．
类型三、同旁内角互补，两直线平行
5．（七年级下·全国·课后作业）如图,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗?请说明理由.
【答案】平行，理由见解析.
【分析】先做辅助线延长BE，交CD于F，根据∠BEC+∠CEF=180°可得到∠CEF的度数；再根据三角形内角
和定理即可得到∠BFC=60°，至此，再结合平行线的判定定理即可得到结论.
【详解】解：AB∥CD,理由如下:
如图所示,延长BE,交CD于点F,因为∠BEC=95°,
所以∠CEF=180°-95°=85°.
又因为∠DCE=35°,
所以∠BFC=180°-∠DCE-∠CEF=180°-35°-85°=60°.
因为∠ABE=120°(已知),
所以∠ABE+∠BFC=180°,
所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键.
6．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，∠ABD和∠BDC的平分线相交于点E，BE的延长线交CD于
点F,且∠1+∠2=90°．
(1)试说明AB∥CD；
(2)猜想∠2与∠3之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)∠2+∠3=90°，理由见解析
【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线，平行线的
判定，三角形外角的性质是解题的关键．
（1）由∠ABD和∠BDC的平分线相交于点E，可得∠ABD=2∠1，∠CDB=2∠2，∠EDF=∠2，
由∠1+∠2=90°，可得∠ABD+∠CDB=2(∠1+∠2)=180°，进而可证AB∥CD；
（2）由∠1+∠2=90°，可得∠≝=∠DEB=90°，由∠3+∠EDF=∠DEB，可得∠3+∠2=90°．
【详解】（1）解：∵∠ABD和∠BDC的平分线相交于点E，
∴∠ABD=2∠1，∠CDB=2∠2，∠EDF=∠2，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠CDB=2(∠1+∠2)=180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠2+∠3=90°，理由如下：
∵∠1+∠2=90°，∴∠≝=∠1+∠2=90°，
∴∠BED=180°-∠≝=90°
∵∠3+∠EDF=∠DEB=90°，
∴∠2+∠3=90°．
类型四、同平行于第三条直线的两条直线互相平行
7．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图，∠1+∠B=180°，∠2=∠D，AD与EF平行吗？为什么？
【答案】AD∥EF，证明见解析．
【分析】此题考查了平行线的判断和性质，由∠2=∠D得到AD∥BC．又由∠1+∠B=180°得到
EF∥BC，即可得到AD∥EF．
【详解】解：AD∥EF．
理由如下：
∵∠2=∠D，
∴AD∥BC．
∵∠1+∠B=180°，
∴EF∥BC，
∴AD∥EF．
8．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知点A在射线BG上，
∠1+∠3=180°，∠1=∠2，∠EAB=∠BCD，说明EF与CD平行的理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行的传递性；由∠1+∠3=180°，∠1=∠2可分别得
EF∥BG，AE∥BC，则∠EAB+∠2=180°；由∠EAB=∠BCD得∠BCD+∠2=180°，则
BG∥CD，由平行的传递性质即可得EF与CD平行．
【详解】解：∵∠1+∠3=180°，∠1=∠2，
∴EF∥BG，AE∥BC，
∴∠EAB+∠2=180°；∵∠EAB=∠BCD，
∴∠BCD+∠2=180°，
∴BG∥CD，
∵EF∥BG，
∴EF∥CD．
类型五、同垂直于第三条直线的两条直线互相平行（同一平面内）
9．（21-22七年级下·广东广州·期中）已知EF⊥AB，CD⊥AB，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，先根据EF⊥AB，CD⊥AB，得出EF∥CD，根据平行
线的性质得出∠2=∠3，根据∠1=∠2，得出∠1=∠3，根据平行线的判定得出DG∥BC，根据平行线
的性质，得出∠AGD=∠ACB．熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．
【详解】证明：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴DG∥BC，
∴∠AGD=∠ACB．
10．（21-22七年级下·江西赣州·期末）如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2，试判断BM与DN
是否平行，为什么？
【答案】BM∥DN；理由见解析
【分析】根据AB⊥EF，CD⊥EF， 得出∠ABE＝∠CDE＝90°，根据∠1＝∠2，得出∠MBE＝∠NDE，即可得
出BM∥DN．【详解】BM∥DN；理由如下：
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°(垂直的定义)，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2，
即∠MBE＝∠NDE，
∴BM∥DN (同位角相等，两直线平行)．
【点睛】本题主要考查了垂直的定义，余角的性质，平行线的判定，根据题意得出∠MBE＝∠NDE，是解
题的关键．
一、解答题
1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：EM∥FN．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据题意可证∠MEF=∠NFE，再根据内错角相等，两直
线平行即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴180°-(∠1+∠2)=180°-(∠3+∠4)，即∠MEF=∠NFE，
∴EM∥FN．
2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，△ABC中，∠A=70°，∠ABC=75°，点D为线段AC上
的点（不与点A，C重合），点E在AB的延长线上，连接DE，∠E=40°，DF平分∠ADE．(1)求∠C的度数；
(2)说明BC∥DF的理由．
【答案】(1)35°
(2)见解析
【分析】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义和平行直线的判定，
（1）根据三角形内角和直接求解即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出∠ADE，从而求得∠ADF，即可证得∠ADF=∠C，根据同位角相
等，两直线平行即可证得BC∥DF．
【详解】（1）解：∵∠A=70°，∠ABC=75°，
∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-70°-75°=35°；
（2）解： ∵∠A=70°，∠E=40°，
∴∠ADE=180°-∠A-∠E=180°-70°-40°=70°；
∵DF平分∠ADE，
1
∴∠ADF= ∠ADE=35°，
2
∴∠ADF=∠C，
∴BC∥DF．
3．（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图，已知∠B=46°，EF交AB于点D，DG平分∠ADE，
∠ADG=67°，求证：BC∥EF．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到
∠ADE=2∠ADG=134°，再由平角的定义得到∠ADF=∠B=46°，则可由同位角相等，两直线平行
证明BC∥EF．
【详解】证明：∵DG平分∠ADE，∠ADG=67°，
∴∠ADE=2∠ADG=134°，∴∠ADF=180°-∠ADE=46°，
∵∠B=46°，
∴∠ADF=∠B=46°，
∴BC∥EF．
4．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，已知AB∥EF，∠ABE=56°，∠ECD=152°，EC平分
∠BEF．
(1)求∠CEF的度数；
(2)AB与CD平行吗？请说明理由．
【答案】(1)∠CEF=28°
(2)平行，理由见详解
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据平行线的性质得∠FEB=∠ABE=56°，结合EC平分∠BEF，得出∠CEF=28°，即可作
答．
（2）根据同旁内角互补得出CD∥EF，结合AB∥EF，则AB∥CD，即可作答．
【详解】（1）解：∵AB∥EF，∠ABE=56°
∴∠FEB=∠ABE=56°
∵EC平分∠BEF．
1 1
∴∠CEF= ∠FEB= ×56°=28°
2 2
（2）解：AB与CD平行，理由如下：
∵∠ECD=152°，∠CEF=28°
∴∠ECD+∠CEF=152°+28°=180°
∴CD∥EF
∵AB∥EF
∴AB∥CD
5．（23-24七年级下·陕西·期中）如图，点O在直线AB上，F是DE上一点，连接OF，OC平分∠AOF，
OD平分∠BOF交DE于点D．
(1)试说明OC⊥OD；
(2)若∠D与∠1互余，试说明ED∥AB．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定等知识点．
（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明；
（2）利用∠COD=90°结合已知求得∠D=∠DOB，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论．
【详解】（1）解：因为OC平分∠AOF，OD平分∠BOF
1 1
所以∠COF= ∠AOF，∠DOF= ∠BOF.
2 2
因为∠AOF+∠BOF=180°，
1
所以∠COD=∠COF+∠DOF= (∠AOF+∠BOF)=90°，
2
所以OC⊥OD；
（2）解：由（1）知∠COD=90°，
所以∠1+∠DOB=90°
因为∠D与∠1互余，
所以∠D+∠1=90°，
所以∠D=∠DOB，
所以ED∥AB．
6．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，F分别在边BC，AC的延长
线上，作射线CE，使CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE．
【答案】见详解
【分析】该题主要考查了平行线的判定，解题的关键是证明∠B=∠DCF=∠DCE．
根据角平分线得出∠DCF=∠DCE，再根据等边对等角得出∠B=∠ACB，证出
∠B=∠DCF=∠DCE，即可证明；
【详解】证明：∵CD平分∠ECF，
∴∠DCF=∠DCE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠DCF=∠ACB，
∴∠B=∠DCF=∠DCE，
∴AB∥CE．7．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，点D在直线CN上，AD⊥BD，BC平分∠ABD交AD于E，
∠2+2∠1=90°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若DM平分∠ADB，∠BCD：∠2=7:4，求∠MDN的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠MDN=105°
【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，熟
练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
（1）首先根据题意可得∠ABD=2∠1，∠ADB=90°，进而可知∠2+∠ABD=90°，可证明
∠CDB+∠ABD=180°，即可证明结论；
（2）根据平分线的定义可得∠BDM=45°，设∠BCD=7x,∠2=4x，则∠1=45°-2x，再求出
∠BDN，可得关于x的一元一次方程，解得x的值，进而求解即可．
【详解】（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠1，
∵∠2+2∠1=90°
∴∠2+∠ABD=90°
∵AD⊥BD
∴∠ADB=90°
∴∠2+∠ADB+∠ABD=180°，即∠CDB+∠ABD=180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∵DM平分∠ADB，∠ADB=90°，
∴∠EDM=∠BDM=45°
∵∠BCD: ∠2=7:4，
设∠BCD=7x,∠2=4x，
∵∠2+2∠1=90°，
90°-4x
∴∠1= =45°-2x，
2
∴∠BDN=∠BCD+∠1=4x+45°-2x=45°+2x，
∴4x+90°+45°+2x=180°，
解得：x=7.5°
∴∠MDN=45°+2x+45°=105°．
8．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在△ABC中，∠A=∠B=2∠ACB，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD．
(1)求∠A的度数；
(2)AB与EC平行吗？请说明理由．
【答案】(1)72°
(2)平行，理由见解析
【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角，平行线的判定：
（1）根据∠A=∠B=2∠ACB，结合三角形的内角和定理，进行求解即可；
（2）根据三角形外角的性质，角平分线的性质，推出∠A=∠ACE即可得证．
【详解】（1）解：∵∠A=∠B=2∠ACB，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴5∠ACB=180°，
∴∠ACB=36°，
∴∠A=72°；
（2）平行，理由如下：
∵∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD
∴∠ACD=∠A+∠B=2∠A，∠ACD=2∠ACE，
∴∠A=∠ACE，
∴AB∥EC．
9．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知∠DEB=100°，∠BAC=80°．判断DF与AC的位置
关系，并证明．
【答案】DF∥AC，证明见解析
【分析】本题考查平行线的判定，先求出∠DEA，根据内错角相等、两直线平行，可证DF∥AC．
【详解】解：DF∥AC，证明如下：
∵ ∠DEB=100°，
∴ ∠DEA=180°-∠DEB=180°-100°=80°，
∵ ∠BAC=80°，
∴ ∠DEA=∠BAC，
∴ DF∥AC．10．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，已知EM平分∠AEF，FN平分∠EFD，∠1=∠2，试说
明：AB∥CD．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行是解题关键．由角平
分线的性质，得到∠AEF=2∠1，∠EFD=2∠2，进而得出∠AEF=∠EFD，即可证明平行．
【详解】证明：∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFD，
∴∠AEF=2∠1，∠EFD=2∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠AEF=∠EFD，
∴AB∥CD．
11．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点A，B，C在同一条直线上，∠1=∠2，∠A=∠E，求证：
AD∥BE．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
由∠1=∠2，可证DE∥AC，则∠EBC=∠E=∠A，进而可得AD∥BE．
【详解】证明：∵∠1=∠2，
∴DE∥AC，
∴∠EBC=∠E，
∵∠A=∠E
∴∠EBC=∠A
∴AD∥BE．
12．（16-17七年级下·广东梅州·阶段练习）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点
G，求证：AB∥CD．（推理过程请注明理由）【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，余角的定义．首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，
∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥CD．
【详解】证明：∵ BE⊥FD（已知），
∴∠EGD=90°（垂直的定义），
∴ ∠1+∠D=90°，
又∵∠2与∠D互余（已知），
∴∠2+∠D=90°
∴ ∠1=∠2（同角的余角相等），
∵ ∠1=∠C（已知），
∴ ∠2=∠C（等量代换），
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
13．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形ABCD中，点E在CD的延长线上，点F在DC的延
长线上，连接AF、BE相交于点O，∠ADE+∠BCF=180°，BE平分∠ABC，∠ABC=2∠E．
(1)试说明AD∥BC；
(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？
【答案】(1)见解析
(2)AB∥EF，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义：
（1）根据平角的定义和已知条件证明∠ADF=∠BCF，即可证明AD∥BC；
（2）由角平分线的定义和已知条件证明∠ABE=∠E，即可证明AB∥EF．
【详解】（1）证明：∵∠ADE+∠BCF=180°，∠ADE+∠ADF=180°，
∴∠ADF=∠BCF，
∴AD∥BC；
（2）解：AB∥EF，理由如下：
∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE，
∵∠ABC=2∠E，
∴∠ABE=∠E，
∴AB∥EF．
14．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，OA⊥OC，OB⊥OD，若∠OBE=∠COD，求证：
BE∥OA．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平
行，同旁内角互补，两直线平行．
根据垂直的定义，得出∠COD+∠BOC=∠AOB+∠BOC=90°，进而得出∠OBE=∠AOB，即可求
证BE∥OA．
【详解】证明：∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠COD+∠BOC=∠AOB+∠BOC=90°，
∴∠COD=∠AOB，
∵∠OBE=∠COD，
∴∠OBE=∠AOB，
∴BE∥OA．
15．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，
∠1=∠2，试说明DE∥AC．
【答案】见解析．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先由同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行证明
AD∥EF，根据性质得∠1=∠ADE，再用∠1=∠2代换，最后用内错角相等得出结论，掌握平行线的
判定与性质是解题的关键．
【详解】∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFB=∠ADB=90°．
∴AD∥EF，∴∠1=∠ADE，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠ADE，
∴DE∥AC．
16．（23-24七年级下·全国·期末）直线AB∥CD，P 为直线AB上方一点，连接PA、PD．
(1)如图1，若∠A=100°，∠D=130°，求∠APD的度数；
(2)如图1，设∠PAB=α，∠CDP=β，求∠APD的度数（用含α、β的式子表示）；
∠APC
(3)如图2，N为∠PAB内部一点，∠BAN=3∠PAN，连接CN，若∠DCN=3∠PCN，求 的值．
∠ANC
【答案】(1)50°
(2)∠APD=α+β-180°
4
(3)
3
【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用．
（1）过点P向右PE∥AB，则AB∥PE∥CD，得出∠APE=80°，进而求出结论；
（2）过点P向右PE∥AB，则AB∥PE∥CD，得出∠APE=180°-α，进而求出结论；
（3）过点P向左作PF∥AB，过N向左作NM∥AB，则PF∥MN∥AB∥CD，设
∠PAN=x，∠PCN= y，则∠BAN=3x，∠PAB=4x，∠DCN=3 y，∠PCD=4 y，得出
∠APC=4x-4 y，∠ANC=3x-3 y，进而求出结论．
【详解】（1）解：过点P向右PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠DPE=∠D=130°，∠APE+∠A=180°，
∵∠A=100°，
∴∠APE=80°，
∴∠APD=∠DPE-∠APE=130°-80°=50°；（2）过点P向右PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE+∠A=180°，∠DPE=∠D=β，
∵∠A=α，
∴∠APE=180°-α，
∴∠APD=∠DPE-∠APE=β-(180°-α)=α+β-180°；
（3）过点P向左作PF∥AB，过N向左作NM∥AB，
∵AB∥CD，
∴PF∥MN∥AB∥CD，
与（2）同理，得∠APC=∠PAB-∠PCD，
∠ANC=∠BAN-∠DCN.
依题意，设∠PAN=x，∠PCN= y，
则∠BAN=3x，∠PAB=4x，∠DCN=3 y，∠PCD=4 y ．
∴∠APC=4x-4 y，∠ANC=3x-3 y，
∠APC 4x-4 y 4
∴ = = ．
∠ANC 3x-3 y 3
17．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面
EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE=∠BNM．(1)请对OE∥DM说明理由；
(2)若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)105°
【分析】（1）结合题意，根据对顶角相等推出∠AOE=∠BNM，根据“同位角相等，两直线平行”即
可得解；
（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；
本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质
是解题的关键．
【详解】（1）解：理由如下：∵∠BNM=∠∧¿，∠AOE=∠BNM，
∴∠AOE=∠∧¿，
∴OE∥DM；
（2）解：∵AB与底座CD都平行于地面EF，
∴AB∥CD，
∴∠BOD=∠ODC=30°，
∵∠AOF+∠BOD=180°，
∴∠AOF=150°，
∵OE平分∠AOF，
1
∴∠EOF= ∠AOF=75°，
2
∴∠BOE=∠BOD+∠EOF=105°，
∵OE∥DM，
∴∠ANM=∠BOE=105°．
18．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线
AB、CD上，连接PE、EQ
(1)如图1，试探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ=130°时，求出∠PFQ的度数；
(3)如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当
∠PEQ=80∘时，请求出∠PFQ的度数．
【答案】(1)∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由见解析(2)∠PFQ=115∘
(3)∠PFQ=140∘
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学
会探究规律，利用规律解决问题．
（1）如图1，过点E作EH∥AB，根据平行线的性质得到∠APE=∠PEH，∠CQE=∠QEH，等量代
换即可得到结论；
（2）如图2，过点E作EM∥AB，根据平行线的性质得到
1
∠BPE+∠EQD=360∘-(∠APE+∠CQE)=230∘，根据角平分线的定义得到BPF= ∠BPE，
2
1 1
∠DQF= ∠EQD，得到∠BPF+∠DQF= (∠BPE+∠EQD)=115∘ ，作NF∥AB，于是得到结论；
2 2
（3）如图3，过点E作EM∥CD，设∠QEM=α，根据平行线的性质得到∠DQE=180∘-α，根据角平
1 1
分线的定义得到∠DQH= ∠DQE=90∘- α，∠BPE=180∘-∠PEM=180∘-(60∘+α)=120∘-α，
2 2
1 1
根据角平分线的定义得到∠BPF= ∠BPE=60∘- α，作NF∥AB，于是得到结论．
2 2
【详解】（1）解：∠PEQ=∠APE+∠CQE，
理由如下：
如图1，过点E作EH∥AB，
∴∠APE=∠PEH
，
∵EH∥AB，AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠CQE=∠QEH，
∵∠PEQ=∠PEH+∠QEH，
∴∠PEQ=∠APE+∠CQE；
（2）解：如图2，过点E作EM∥AB，同理（1）可得，∠PEQ=∠APE+∠CQE=130∘，
∵∠BPE=180∘-∠APE，∠EQD=180∘-∠CQE，
∴∠BPE+∠EQD=360∘-(∠APE+∠CQE)=230∘，
∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，
1 1
∴∠BPF= ∠BPE，∠DQF= ∠EQD，
2 2
1
∴∠BPF+∠DQF= (∠BPE+∠EQD)=115∘ ，
2
作NF∥AB，同理（1）可得，∠PFQ=∠BPF+∠DQF=115∘；
（3）解： 如图3，过点E作EM∥CD，
设∠QEM=α，
∴∠DQE=180∘-α，
∵QH平分∠DQE，
1 1
∴∠DQH= ∠DQE=90∘- α，
2 2
1
∴∠FQD=180∘-∠DQH=90∘+ α，
2
∵EM∥CD，AB∥CD，
∴AB∥EM，
∴∠BPE=180∘-∠PEM=180∘-(80∘+α)=100∘-α，
∵PF平分∠BPE，
1 1
∴∠BPF= ∠BPE=50∘- α，
2 2
1 1
作NF∥AB，同理可得，∠PFQ=∠BPF+∠DQF=(90°+ α)+(50- α)=140∘ ．
2 2
19．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：AB∥CD．(1)如图1，点E在AB，CD之间，请说明∠A+∠C=∠E；
(2)如图2，请用等式表示∠A，∠C，∠E之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，请直接用等式表示∠A，∠C，∠E ，∠E ，∠E 之间的数量关系
1 2 3
【答案】(1)见解析
(2)∠A+∠AEC=∠C．理由见解析
(3)∠A+∠E E E +∠C=∠AE E +∠E E C
1 2 3 1 2 2 3
【分析】题目主要考查平行线的判定及性质，通过判定及性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相
应的辅助线．
（1）过点E作EM∥AB，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案；
（2）过点E作EM∥AB，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出角的关系；
（3）依据（1）的证明方法，可推出角之间的关系．
【详解】（1）解：如图所示：过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，EM∥AB，
∴AB∥CD∥EM，
∴∠A=∠AEM，∠C=∠CEM，
∵∠AEC=∠AEM+∠CEM，
∴∠AEC=∠A+∠C；
（2）解：∠A+∠AEC=∠C，理由如下：
如图所示：过点E作EM∥AB，∵AB∥CD，EM∥AB，
∴AB∥CD∥EM，
∴∠A=∠AEM，∠C=∠CEM，
∵∠AEM+∠AEC=∠MEC，
∴∠A+∠AEC=∠C；
（3）解：∠A+∠E E E +∠C=∠AE E +∠E E C，理由见解析，
1 2 3 1 2 2 3
如图：过点E 作E M∥AB，过点E 作E N∥AB，过点E 作E H∥AB，
1 1 2 2 3 3
∵E M∥AB，E N∥AB，AB∥CD，E H∥AB
1 2 3
∴AB∥CD∥E M∥E N∥E H，
1 2 3
∴∠A=∠AE M，∠M E E =∠E E N，∠E E H=∠E E N，∠CE H=∠C
1 1 2 1 2 2 3 3 2 3
∴
∠A+∠E E E +∠C=∠AE M+∠E E N+∠N E E +∠CE H=∠AE M+∠M E E +∠E E，H+∠CE H
1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
∴∠A+∠E E E +∠C=∠AE E +∠E E C；
1 2 3 1 2 2 3
20．（20-21七年级上·吉林长春·期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，
求∠APC度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；（直接写出答案）
(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D
两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．
【答案】(1)110；
(2)∠APC=α+β，理由见解析；
(3)当P在BD延长线上时，∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，∠CPA=β-α．
【分析】（1）过点P作PE∥AB，由平行线性质求∠APC即可；
（2）过点P作PE∥AB，交AC于E，推出AB∥PE∥CD，根据平行线的性质得出∠APE=α，
∠CPE=β，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上和P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质解答即可求
解；
本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°，
故答案为：110；
（2）解：∠APC=α+β， 理由如下：
如图，过点P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE=α，∠CPE=β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；
（3）解：当P在BD延长线上时，如图所示，
由（2）可知，∠APE=α，∠CPE=β，
∴∠APC=∠APE-∠CPE=α-β；
当P在DB延长线上时，如图所示，由（2）可知，∠APE=α，∠CPE=β，
∴∠APC=∠CPE-∠APE=β-α．
