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8.2 立方根（分层作业）
基础训练
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了立方根和立方运算，掌握立方根的概念是解题的关键．根据立方根的
概念求解即可．
【详解】解：A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．若 ，则 的值是（ ）
A．12 B．12或4 C．12或 D． 或4
【答案】B
【分析】本题考查了平方根与立方根，求代数式的值，根据平方根与立方根的概念求出a
与b的值是解题的关键；由 可求得 ，再代入求值即可．
【详解】解：∴ ，
∴ ，
当 时， ；
当 时， ；
综上， 的值是12或4；
故选：B．3．我们知道，球的体积公式是 ，如图所示的乒乓球的体积为 ，则这个
乒乓球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查立方根的应用，根据球的体积公式，代入数据即可求出答案
【详解】解：∵ ，
∴ cm，
故选：A
4．已知 ， ，那么下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了立方根的性质，根据题意得到被开方数每扩大（或缩小）1000倍，则
它的立方根就相应的扩大（或缩小）10倍，据此求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴被开方数每扩大（或缩小）1000倍，则它的立方根就相应的扩大（或缩小）10倍，
∴ ．
故选：B．
5.当x取 时， 有意义．
【答案】任意实数
【分析】本题考查了立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．
根据立方根的定义，可得出 的取值范围．
【详解】解：∵任何实数都有立方根，∴ 可取任意实数，
∴ 可取任意实数．
故答案为：任意实数．
6．一个数的算术平方根等于这个数的立方根，则这个数是 ．
【答案】1或0
【分析】本题考查算术平方根，立方根，根据算术平方根和立方根的性质，进行求解即可．
【详解】解：算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的有
∴ 的算术平方根等于它的立方根，
故答案为：1或0．
7．已知 ，则 的立方的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查立方根、平方根、非负数的性质，根据当几个非负数的和为0时，则其
中的每一项都必须等于0，求得 ， ，再求 的立方的平方根即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 的立方 ，
∴ 的立方的平方根是 ．
故答案为： ．
8.求下列各式的值
(1)√3−0.027
√ 8
(2)−3−
27
(3)√3 82√ 37
(4)−31−
64
(5)√3 0.343
(6)√3 −33
【答案】详见解答
【分析】本题考查立方根的定义和立方根的表示方法．
【详解】解：(1)√3−0.027=−0.3
√ 8 2
(2)−3− =
27 3
(3)√3 82=4
√ 37 3
(4)−31− =
64 4
(5)√3 0.343=0.7
(6)√3 −53=5
9．解方程：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4)
【答案】(1)
(2)
(3) ．
(4)
【分析】本题主要考查了利用立方根解方程．
【详解】（1）解：
∴
解得：（2）解： ，
，
则 ，即 ，
解得： ．
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（4）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
10．计算与求值：
(1)计算： ；
(2)计算 ；
(3) ；
【答案】(1)6；
(2)
(3)
【分析】本题考查了绝对值，零指数幂，负指数幂，算术平方根、立方根，熟练掌握运算
法则是解此题的关键．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：原式
；
能力提升
1．按一定规律排列的式子： ， ， ， ， ， 第
个式子是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了数字排列规律探索，二次根式定义，弄清题中的数字规律是解题
的关键．第 个式子的前一项是奇数的算术平方根，可表示为 ，后一项是正
整数的立方根，可表示为 ，由此即得答案．
【详解】根据规律可知，第 个式子的前一项为 ，后一项为 ，所以第
个式子是 ．
故选A．
2．若 ，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查了求立方根，正确理解立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义，可求出a的值，再代入 计算，即得答案．
【详解】 ，
，
．
故答案为：5．
3． 的立方根的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查学生对算术平方根，立方根，算术平方根的定义的应用，主要考查学生
的计算能力．先求出 ，再求出8的立方根，最后求出2的平方根即可．
【详解】解：∵ ，8的立方根是2
∴ 的立方根是2，
∴ 的立方根的平方根是
故答案为： ．
4．若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了立方根的性质，准确分析计算是解题的关键．根据立方根的定义
计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
5．若 与 互为相反数，求 的值．【答案】
【详解】本题考查了立方根的性质以及相反数的定义．由立方根的性质及相反数的定义可
得 ，据此即可求解；
解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，
解得 ．
6．（1）已知 的平方根是 ， 的算术平方根是4，求 的立方根．
（2）如果实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简： ．
【答案】（1）3；（2）
【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根、代数式求值、数轴等：
（1）根据平方根、算术平方根的定义求出a，b的值，进而求出 的值，再求立方根
即可；
（2）根据数轴得出 ， ，进而得出 ，再化简计算即可．
【详解】解：（1） 的平方根是 ， 的算术平方根是4，
， ，
， ，
，
的立方根为： ．
（2）由数轴知， ， ，
，
．7．某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间 可以用公式 来估计，其中d
是雷雨区域的直径．
(1)如果某场雷雨区域的直径是 ，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根
号）
(2)如果这场雷雨持续了 ，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到
；参考数据： ）
【答案】(1)这场雷雨大约能持续
(2)这场雷雨区域的直径大约是
【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题
的关键．
（1）根据 ，其中 是雷雨区域的直径，开算术平方，可得答案；
（2）根据 ，其中 ，是雷雨持续时间，开立方，可得答案．
【详解】（1）解：把 代入 ，得 ．
∴
答：这场雷雨大约能持续 ；
（2）解：
把 代入 ，得 ．
∴ ．答：这场雷雨区域的直径大约是 ．
8．如果 是 的算术平方根， 是 的立方根．试求：
的平方根．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，解二元一次方程组．掌握平方根
和立方根的定义是解题关键．先根据算术平方根和立方根的定义列出方程组，解出a、b，
再代入A、B求出结果，进而得到 的平方根．
【详解】解：∵ 是 的算术平方根， 是 的立方根，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
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拔高拓展
，未
1．探索与应用：先观察表格，再回答问题．
… …
… …
(1)表格中 _____________； _____________；
(2)从表格中我们可以发现a与 变化的规律：a扩大100倍，则 扩大_________________；
(3)利用规律解决问题：
①已知 ，则 _____________；②已知 ，若 ，则 _____________；
(4)拓展：已知 ，若 ，则 _____________．
【答案】(1) ， ；
(2)10倍；
(3)① ，②32400；
(4)
【分析】考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根
（立方根）扩大10倍．
（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可；
（2）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案；
（3）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案
（4）根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案．
【详解】（1）解： ， ，
故答案为 ， ；
（2）解：a扩大100倍， 扩大10倍．
故答案为：10倍；
（3）解：①∵ ，
∴ ，
② ，
∴ ，
故答案为： ，32400；
（4）解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
2．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志
上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客
十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
(1)由 ， ，你是怎样确定 是几位数的？
(2)由59319的个位上的数是9，你是怎样确定 的个位上的数是几的？
(3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而 ， ，由此你又是怎样确定
的十位上的数是几的？
(4)已知6859，19683，110592都是整数的立方，按照上述方法，请你确定它们的立方根
（直接写出结果）．
【答案】(1)59319的立方根为两位数
(2)个位数字为9，见解析
(3)十位上的数字为3，见解析
(4)19，27，48
【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，理解一个数的立方的个位上的数就是这个
数的个位上的数的立方的个位上的数是解题的关键．
（1） ， ，且 ，得出 ，即
可得出结论；
（2）根据1到9的立方个位数字出现的规律，即可得出结论
（3）根据 ， ，且 ，即可得出结论；
（4）先用（1）的方法确定 是两位数，再用（2）的方法确定 个位数字为9，
再用（3）的方法确定6859十位数字为1，则 ；同理可得： ；1
．
【详解】（1）解：∵ ， ，且 ，
∴ ，
∴59319的立方根为两位数；（2）解：∵ ， ， ， ， ， ， ， ，
，根据个位数字出现的规律，
由59319的个位上的数是9，因此 的个位数字为9；
（3）解：划去59319后面的三位319得到数59，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的十位上的数字为3；
（4）解：∵ ， ，且 ，
∴ 是两位数，
∵6859个位数字为9，
∴ 个位数字为9，
∵ ， ，且 ，
∴6859十位数字为1，
∴ ；
同理可得： ；1 ．
