文档内容
8.3 实数及其简单运算（第一课时 实数的概念）教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册第八章 实数 8.3实数及其简单
运算，内容包括：第一课时 实数的概念
2.内容解析
本节课是在前面学习了开方运算，平方根，算术平方根，立方根和有理数的概念和分
类的基础上安排的，之前有理数的分类为这节课奠定了方法基础和知识基础. 新课标中提
出，义务教育阶段的数学课程，要从数学本身的特点出发，从学生学习数学的心理规律和
学生已有的知识经验出发，让学生经历一个实践、思考、探索、交流、解释、应用的学习
过程，本节课就在这个思想的指导下设计的.教材通过类比有理数的概念和分类设置唤醒学
生探究交流的激情，让学生在类比、探索、交流的过程中感悟实数的意义，同时让学生在
学习知识技能的同时，注意数学思想方法和良好学习习惯的养成，使学生体验数学的“实
践第一”和数学来源于实践，又服务于实践的思想.
基于以上分析，本节课的教学重点是: 理解实数的意义，并能将实数按要求进行准确
的分类.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类；
（2）了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数；
（3）掌握利用数轴比较实数大小.
2.目标解析
（1）教材类比有理数引入，利于激发学生的学习兴趣和好奇心.学生通过计算，观察，
类比，总结，归纳有理数的另一定义，有利于学生充分理解和牢固掌握有理数的定义.通过
小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增
强学习兴趣.
（2）学生能根据有理数的分类对实数进行分类，构建关于实数的知识体系，既有利于
学生知识学习也利于方法的迁移.
（3）会在数轴上表示无理数，并利用数轴比较实数的大小.
三、教学问题诊断分析在本课学习之前，学生们已经掌握了一些无理数和有理数的分类和概念，对无理数的
大小学生可以通过夹逼估值知道一个无理数的大小，但是对于准确在数轴上表示一个无理
数的大小相当困难，此时应给予时间让学生充分理解如何在数轴上找到一个无理数的位置
并理解数轴上不仅有有理数还有无理数，理解数轴和实数一一对应.
基于以上分析，本节课的教学难点为: 理解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上
的点表示无理数.
四、教学过程设计
（一）问题导入
问1 我们知道有理数包括整数和分数，把下列分数写成小数的形式.
5 3 27 11 9
， − ， ， ， ， 5
2 5 4 9 11
2.5 −0.6 6.75 1.2˙ 0.8˙1˙ 5.0
问2:整数能写成小数的形式吗？例如：5
整数可以写成小数点后为0的小数
问3.这些小数它们有什么特征？
有限小数和无限循环小数
有理数：有限小数或无限循环小数。
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
【设计意图】利用问题引入，激发学生学习兴趣，提出问题引导学生类比学习，既巩
固旧知，又利于对新知学习和掌握，养成类比学习的意识.
（二）新知讲解
问4.所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？
不是.如：❑√2≈1.4142135624⋯
√35≈1.70997594667669698935310⋯
π≈3.1415926535897932384626…
1.01001000100001…（两个1之间依次多一个0）
问5.这些小数它们又有什么特征？
无限不循环无理数的概念
无限不循环小数叫作无理数.
常见的无理数类型
π
(1) 含有π的数；如 ，π+1
2
(2) 开不尽方的数开方所得结果； 如 ❑√2，❑√3
(3) 有规律但不循环的小数，如 1.01001000100001…
【设计意图】由问题引出新知，水到渠成，之前开不尽方的平方根和立方根与有理数
定义不符合，激发学生学习兴趣，对比有理数引出无理数定义利于学生掌握两者的区别，
理解新知.
（三）新知应用
1．下列实数是无理数的是（ A ）
A.❑√2 B．1 C．0 D．－5
2.判断下列数是有理数还是无理数
6π 2❑√2
①√38；②❑√8；③π；④3.1415926；⑤ −2π；⑥ ；
3 ❑√2
①有理数②无理数③无理数④有理数⑤有理数⑥有理数
注意
(1)类似①带根号的数不一定是无理数,带根号时还应注意根指数，
(2)类似⑤⑥先化简再判断
3.下列各数是有理数还是无理数？
4
(1)2.6 (2) (3)3π (4)3.020020002⋯(每相邻两个2之间依次多一个0)
5
π
(5)√3−64 (6)❑√64 (7)√316 (8)❑√2+2 (9)0.5˙7˙ (10)
2π
【设计意图】通过练习让学生利用定义能够判断一个数是无理数和有理数，2题主要
让学生区分几种易错易混的数，一题一总结，有利于培养学生观察，归纳，总结的能力.（四）新知讲解
实数的分类
问6.我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类吗？据此你能给出实数的其他
分类吗？
【设计意图】通过类比有理数的分类，引导学生对实数根据不同标准进行分类，培养
学生类比，归纳的能力.
（五）典例讲解
例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内：
√3 9， 1 ，❑√7，π+1，−❑√16，− ❑√5 ，√3−27，❑ √4 ，0，0.3737737773⋯(每两个3之
4 2 9
间依次多一个7)❑√5
无理数集合:{ √3 9，❑√7，π+1，− ，0.3737737773⋯ …};
2
1 √4
有理数集合:{ ，−❑√16，√3−27，❑ ，0 …};
4 9
正实数集合:{ √3 9， 1 ，❑√7，π+1，❑ √4 ，0.3737737773⋯ …};
4 9
❑√5
负实数集合:{ −❑√16，− ，√3−27 …}.
2
注意：对每个数都要进行判断，分类标准不同结果不同
【设计意图】通过练习让学生熟练地掌握实数的不同分类，并能根据情况对每一个实
数进行分类.
（六）针对训练
1.判断：
(1).实数不是有理数就是无理数。（ √ ）
(2).实数分为正实数和负实数。（ × ）
(3).无理数都是无限不循环小数。（ √ ）
(4).无理数都是无限小数。（ √ ）
(5).带根号的数都是无理数。（ × ）
(6).无理数一定都带根号。（ × ）
2.将下列各数分别填入下列相应的括号内
1 π ❑√3
− ，−3， ，√3−64，171，0，3.14，− ，
2 4 2
π
正实数集合:{ ，171，3.14 …};
4
1 ❑√3
非正数集合:{ − ，−3，√3−64，0，− …};
2 2
正分数集合:{ 3.14 …};
自然数集合:{ 171，0 …};
π ❑√3
无理数集合:{ ，− …}.
4 2
【设计意图】通过此题训练熟练掌握实数的定义并能对实数进行分类.
（七）新知探究
问7.每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？思考1： 如图，直径为１个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到
达A点，则数轴上表示点A的数是多少？
∵圆的周长为π,∴点A所对的数为:π
思考2：你能在数轴上表示出❑√2和−❑√2吗？
(1)把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，大正方形的边长为 ❑√2
，从而说明边长为1的小正方形的对角线为 ❑√2 .
(2)如下图，以一个单位长度为边长画一个正方形,以原点为圆心,正方形对角线为半径画弧,
与正、负半轴的交点分别为点A和点B，数轴上A点和B点对应的数是什么？
∵OA=OB=0C,∴ 点A所对的数为:❑√2,点B所对的数为:−❑√2.
数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数.
每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示出来。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。
实数与数轴上的点是一一对应的
【设计意图】通过在数轴上找π，❑√2，−❑√2的位置，理解数轴既有有理数也有无理
数，实数与数轴一一对应.
（八）典例讲解
例2.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为−1和❑√3，
(1)点B关于原点O的对称点为E,求点E所表示的实数(2)点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．
解：(1)∵数轴上B两点表示的数分别为❑√3，
∴点B到原点0的距离为❑√3，
则点E到原点的距离为❑√3，
∴点E表示的实数为−❑√3，
解：(2)法一
∵数轴上A，B两点表示的数分别为−1和❑√3，
∴点B到点A的距离为1＋❑√3，则点C到点A的距离为1＋❑√3，
设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为−1−x，
∴−1−x＝1＋❑√3，
∴x＝−2−❑√3
点拨：当点C为点B关于点A的对称点时，CA=BA
数轴上两点间的距离的求法：
数轴上两点间的距离等于表示这两点的数之差的绝对值．
解：(2)法二
设点C表示的实数为x
∵点B关于点A的对称点为C，
❑√3+x
∴ =−1，
2
∴x＝−2−❑√3
点拨：中点公式:若P为MN的中点,点M所表示的数为m,点N所表示的数为n，则中点P点
m+n
所表示的数为：
2
例3.(1)请将数轴上是各点与下列实数对应起来：
❑√2 −1.5 ❑√5 −π 3
(2)比较它们的大小（用“＜”号连接）−1.5<❑√2<❑√5<3<π
在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。与有理数一样，在实数范围内：
1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
2.两个正数，绝对值大的数较大；
3.两个负数，绝对值大的数反而小.
4.数轴上的点越往右表示的实数越大
【设计意图】通过练习进一步理解数轴与实数一一对应的关系，并类比有理数的大小
比较，无理数也可以利用数轴比较大小，越靠右数越大.
（九）针对训练
1.如图，数轴上表示实数❑√7的点可能是( B )
A.点P B.点Q C.点R D.点S
（第1题图） （第2题图）
2.如图，在数轴上点A和点B之间表示整数的点有 4 个
3.小于❑√30的所有正整数有_1，2，3，4，5____.
4.数轴上表示1，❑√2的对应点为A,B，点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数是__
2−❑√2___
【设计意图】通过练习能熟练在数轴上找到无理数的位置，并能比较实数的大小.
（十）当堂检测
1.下列实数中是无理数的是（ C ）
1
A.3.14 B.❑√9 C.❑√3 D.
7
2.下列说法：①无限小数是无理数；②开方开不尽的实数都是无理数；③有理数都是实数；
❑√3
④所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；⑤ 是
5
分数.其中正确的有（B ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为❑√2和5.1，则A，B两点之间表示整数的点
共有( C )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个4.如图,数轴上的点A、B、O、C、D分别表示数−2,−1,0,1,2,则表示数2−❑√5的点P应落
在（ B ）
A.线段AB上 B.线段BO上 C.线段OC上 D.线段CD上
5.点A在数轴上表示的数为3❑√5，点B在数轴上表示的数为－5，则A，B两点之间的距离
为__3❑√5+5______．
6.如图,在数轴上点A表示的数是❑√3.若把点A向左平移2个单位得到点B,则点B表示的数
是___❑√3−2_______;再作点B关于原点0的对称点C,则点C表示的数是___2−❑√3______
7.把下列各数填入相应的集合内.
√ 9 22
❑√15，4，❑ ，− ，0.15，−7.5，1−❑√3，π，3.14
17 7
22
有理数集合：{ 4，− ，0.15，−7.5，3.14 …};
7
√ 9
无理数集合：{ ❑√15，❑ ，1−❑√3，π， …};
17
√ 9
正实数集合：{ ❑√15，4，❑ ，0.15，π，3.14 …};
17
22
负实数集合：{− ， −7.5，1−❑√3 …}.
7
1
8.把下列各数近似地表示在数轴上，并用“＜”把它们连接起来．－2.5， ，0，π，
2
, .
−|−2| √38
1
解析∴−2.5<−|−2|<0< <√38<π
2【设计意图】针对本节课所学，巩固学生理解实数的概念和分类，实数与数轴一一对
应的关系.
（十一）小结梳理
【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统的回顾和认识，进而
形成一个清晰的脉络，加深学生对本节课知识的理解与掌握．
（九）布置作业
P54.练习1，2，3.
五、教学反思
