七年级数学下学期期末压轴题（最后一道）（100题）（必考点分类集训）（人教版2024）（教师版）_初中数学_七年级数学下册（人教版）_考点分类必刷题-U181

七年级数学下学期期末压轴题【最后一道】（100 题） 【人教版2024】 【选择题篇·30 题】 1．（2024春•和平区校级期末）如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方， ∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝ ，则∠E的度数 用含 的式子一定可以表示为（ ） α α 2 3 A．2 B．72°+ α C．108°− α D．90°﹣ 5 5 α α 【分析】过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN，则MN∥PQ∥AG∥EH；设设∠ABD＝3x，∠ACE＝3y， 则，∠DBN＝2x，∠ECP＝2y，所以∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y，∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣ ∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y，由平行的性质可知，∠DEC＝2（x+y），∠CAB＝∠GAC﹣ 180°+α 1 ∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣150°＝ ，可得x+y= =36°+ ，所以∠DEC＝2（x+y） 5 5 2 α α ＝72°+ ． 5 【解答】α解：如图，过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN， ∵MN∥PQ， ∴MN∥PQ∥AG∥EH， ∵∠ABD：∠DBN＝3：2，∠ACE：∠ECP＝3：2， ∴设∠ABD＝3x，∠DBN＝2x，∠ACE＝3y，∠ECP＝2y， ∵MN∥PQ∥AG∥EH，∴∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y， ∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y， ∴∠DEC＝2（x+y）， ∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣180°＝ ， 180°+α 1 ∴x+y= =36°+ ， α 5 5 α 2 ∴∠DEC＝2（x+y）＝72°+ ． 5 故选：B． α 2．（2024春•通州区期末）平面直角坐标系xOy中，点B（0，﹣5），C（3，﹣9），E（0，1），BC＝5， 点A在x轴正半轴上，线段AB与线段CE交于点D．若△EBD与△ACD面积相等，则点A到直线BC的距 离是（ ） 18 16 A．4 B． C． D．3 5 5 【分析】画出相关图形，根据△EBD与△ACD面积相等，可得S△EBC ＝S△ABC ．进而可得点A到BC的距 离． 【解答】解：作AM⊥BC于点M． ∵△EBD与△ACD面积相等， ∴S△EBD +S△BDC ＝S△ACD +S△DBC ．即S△EBC ＝S△ABC ． 1 1 ∴ ×6×3 = ×5•AM． 2 2 18 解得：AM= ． 5 故选：B． 1 3．（2024春•阳新县校级期末）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x＜ ，则关于x的不等式（a+b）x＞b 3 ﹣a的解集是（ ） 1 1 1 1 A．x＜− B．x＜ C．x＞− D．x＞ 2 2 2 2 【分析】先求出a与b的数量关系及正负，再代入即可求得． 1 【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x＜ ， 3 b ∴a＜0，且x＜ ， a b 1 ∴ = ， a 3 ∴a＝3b，且b＜0， ∴（a+b）x＞b﹣a， 即4bx＞﹣2b， 1 ∴x＜− ． 2 故选：A． { 1 x−1＞0 ) 4．（2024春•云梦县期末）已知不等式组 2 ，如果这个不等式组有解，则a的取值范围为 2a−1＜x＜a+1 （ ） 3 3 A．1＜a＜2 B．a＞ C．1＜a＜ D．a＜2 2 2 【分析】分别解每个不等式求得x的范围，依据不等式组有解得出关于a的不等式组，解不等式组即可 得． 1 【解答】解：解不等式 x−1＞0，得：x＞2， 2 ∵不等式组有解，{ a+1＞2 ) ∴ ， 2a−1＜a+1 解得：1＜a＜2， 故选：A． 5．（2024春•如皋市期末）已知a，b，c是三个非负数，且满足a+b＝2，3a+b﹣2c＝4，则式子2a﹣b+3c的 最大值为（ ） A．1 B．5 C．7 D．9 【分析】根据已知用a表述出b、c，代入所求算式，根据一次函数的思想，求出a的取值，再判断出6a﹣ 5的最值即可． 【解答】解：∵a+b＝2， ∴b＝2﹣a， 把b＝2﹣a代入3a+b﹣2c＝4得，c＝a﹣1， ∴2a﹣b+3c＝2a﹣（2﹣a）+3（a﹣1）＝6a﹣5， ∵a，b，c是三个非负数， ∴a≥0，2﹣a≥0，a﹣1≥0， ∴1≤a≤2， ∴当a＝2时6a﹣5最大， ∴6×2﹣5＝7， 故选：C． ax−3 2x 6．（2024春•河北区校级期末）已知关于x的方程 = +1的解是非负数，且关于y的不等式组 2 3 {y−1 −2＞ 2−3 y ) 2 4 至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ） 4−y≤2a−3 y A．27 B．28 C．35 D．36 【分析】根据所给方程的解是非负数，得出关于a的不等式，再由不等式组至多有3个整数解，得出关于a 的不等式，进而求出a的取值范围，据此可解决问题． ax−3 2x 【解答】解：解方程 = +1得， 2 3 15 x= ， 3a−4 因为此方程的解是非负数， 所以3a﹣4＞0， 4 解得a＞ ． 3y−1 2−3 y 解不等式 −2＞ 得， 2 4 12 y＞ ， 5 解不等式4﹣y≤2a﹣3y得， y≤a﹣2， 因为不等式组至多有3个整数解， 所以a﹣2＜6， 解得a＜8． 4 综上所述，a的取值范围是： ＜a＜8， 3 所以符合条件的所有整数a的和为：2+3+4+5+6+7＝27． 故选：A． { x−2y=m ) {3x+ y≤0) 7．（2024春•武昌区期末）若关于x，y的方程组 的解满足不等式组 ，则满 2x+3 y=2m+4 x+5 y＞0 足条件的m的整数值是（ ） A．2，3 B．2，﹣3 C．﹣2，﹣3 D．﹣2，3 【分析】解关于x、y的方程组，将求得的方程组的解代入不等式组，得到关于m的不等式组，解得m的取 值范围，再求出m的整数值，即可完成解答． { x−2y=m① ) 【解答】解： ， 2x+3 y=2m+4② ②﹣①×2，得7y＝4， 4 解得y= ， 7 4 8 把y= 代入①，得x＝m+ ， 7 7 8 24 4 {x=m+ ) {3m+ + ≤0) 7 7 7 将 代入不等式组，得 ， 4 8 20 y= m+ + ＞0 7 7 7 {3m+4≤0) 即 ， m+4＞0 4 解得﹣4＜m≤− ， 3则m的整数值为﹣3或﹣2． 故选：C． {x+2y=−a+1) 8．（2024春•和平区期末）已知关于x，y的二元一次方程组 （a是常数），若不论a取什么 x−3 y=4a+6 实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【分析】根据原方程得出x，y的表达式，整理得kx﹣y＝（a+3）k﹣（﹣a﹣1），推出当k＝﹣1时，不论 a取何值，kx﹣y＝3k+1＝﹣2，从而得解． {x+2y=−a+1) 【解答】解：∵ （a是常数）， x−3 y=4a+6 ∴y＝﹣a﹣1， x＝a+3， 则kx﹣y＝（a+3）k﹣（﹣a﹣1）， ∴kx﹣y＝（k+1）a+3k+1， 当k＝﹣1时，不论a取何值，kx﹣y＝3k+1＝﹣2， 故k的值为﹣1， 故选：A． 9．（2024春•湖北期末）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]＝1，[ ]＝3，[﹣2.82]＝﹣3 等．[x]+1是大于x的最小整数，则方程6x﹣3[x]+9＝0的解是（ ） π 8 19 A．x=− B．x=− 3 6 7 8 19 C．x=− 或x＝﹣3 D．x=− 或x=− 2 3 6 【分析】根据题意可判断2x+3是整数，得出x的取值范围为﹣4＜x≤﹣3，进而得出2x+3的取值范围，则 答案可解． 【解答】解：由题意得：[x]≤x＜[x]+1， ∵6x﹣3[x]+9＝0， ∴[x]＝2x+3， ∵[x]表示不大于x的最大整数， ∴2x+3是整数， ∴2x+3≤x＜2x+3+1， 解得：﹣4＜x≤﹣3， ∴﹣5＜2x+3≤﹣3， ∵2x+3是整数，∴2x+3＝﹣4或2x+3＝﹣3， 7 ∴x=− 或x＝﹣3． 2 故选：C． 10．（2024春•慈溪市期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头 一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头， 刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人， 小和尚有y人．则下列方程或方程组中，正确的有（ ） { x+ y=100 ) ① 1 ； x+3 y=100 3 { x+ y=100 ) ② 1 ； 3x+ y=100 3 1 ③3x+ （100﹣x）＝100； 3 1 ④ y+3（100﹣y）＝100． 3 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据100个和尚分100个馒头且大和尚1人分3个馒头、小和尚 1 1 3人分一个馒头，即可得出关于x，y的二元一次方程组，变形后可得出3x+ （100﹣x）＝100或 y+3 3 3 （100﹣y）＝100，此题得解． 【解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人， { x+ y=100 ) 依题意，得： 1 ； 3x+ y=100 3 ∴y＝100﹣x，或x＝100﹣y． 1 1 ∴3x+ （100﹣x）＝100或 y+3（100﹣y）＝100． 3 3 ∴②③④正确． 故选：D． 11．（2024春•咸安区期末）端午节前夕，某食品加工厂准备把生产的粽子装入A，B两种不同型号的包装盒 中，A种包装盒每盒可装8个粽子，B种包装盒每盒可装10个粽子，若将生产的200个粽子全部装入这两 种包装盒中（两种包装盒都使用且装满），最少需要两种包装盒共（ ）A．20个 B．21个 C．22个 D．23个 【分析】设需要A种包装盒x个，B种包装盒y个，由“将生产的200个粽子全部装入这两种包装盒中（两 种包装盒都使用且装满）”，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【解答】解：设需要A种包装盒x个，B种包装盒y个， 由题意得：8x+10y＝200， ∴y＝20﹣0.8x， ∵两种包装盒都使用， ∴x、y均为正整数， { x=5 ) {x=10) {x=15) {x=20) ∴ 或 或 或 ， y=16 y=12 y=8 y=4 ∴x+y的最小值＝5+16＝21， 故选：B． 12．（2024春•宜昌期末）下列命题； ①在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，8），B（a，8），其中a≠﹣2，则AB∥x轴； ②若x2＝7，则x=❑√7； {2x+ y=2m−3) ③关于x，y的方程组 ．无论m为何值4x﹣y＝3恒成立； x−y=3−m ④若1≤x＜b的整数解有3个，则b的取值范围为3＜b≤4． 其中是真命题的有（ ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】根据平面直角坐标系、平方根的概念、二元一次方程组、一元一次不等式组的整数解判断即可． 【解答】解：①在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，8），B（a，8），其中a≠﹣2，则AB∥x轴，是真 命题； ②若x2＝7，则x＝±❑√7，故本小题命题是假命题； {2x+ y=2m−3①) ③关于x，y的方程组 ， x−y=3−m② ①+②×2，得4x﹣y＝3恒成立， 则无论m为何值4x﹣y＝3恒成立，本选项命题是真命题； ④若1≤x＜b的整数解有3个，则b的取值范围为3＜b≤4，是真命题； 故选：C． 13．（2024春•黄埔区期末）如图，点E在BA延长线上，EC与AD交于点F，且∠E＝∠DCE，∠B＝∠D， ∠EFA是∠FCB的余角的5倍，点M是线段CB上的一动点，点N是线段MB上一点且满足∠MNF＝ ∠MFN，FK平分∠EFM．下列结论：①BE∥CD；②AD∥CB；③FN平分∠AFM；④∠D+∠E＝ 105°；⑤∠KFN＝30°．其中结论正确的个数是（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据∠E＝∠DCE，得出BE∥CD，故结论①正确；根据∠EAD＝∠B，得出AD∥CB，故结论② 正确；根据∠AFN＝∠MFN，得出FN平分∠AFM，故结论③正确；∠D+∠E＝∠B+∠E＝180°﹣∠FCB＝ 1 1 1 1 180°﹣75°＝105°，故结论④正确；∠KFN＝∠MFK﹣∠MFN= ∠EFA+ ∠AFM− ∠AFM= ∠EFA＝ 2 2 2 2 37.5°，故结论⑤错误． 【解答】解：∵∠E＝∠DCE， ∴BE∥CD，故结论①正确； ∴∠EAD＝∠D， ∵∠B＝∠D， ∴∠EAD＝∠B， ∴AD∥CB，故结论②正确； ∴∠AFN＝∠FNM， ∵∠MNF＝∠MFN， ∴∠AFN＝∠MFN， ∴FN平分∠AFM，故结论③正确； ∵AD∥CB， ∴∠EFA＝∠FCB， ∵∠EFA是∠FCB的余角的5倍， ∴∠EFA＝5（90°﹣∠FCB）， ∴∠FCB＝75°＝∠EFA， ∵∠B＝∠D，∠B+∠E+∠FCB＝180°， ∴∠D+∠E＝∠B+∠E＝180°﹣∠FCB＝180°﹣75°＝105°，故结论④正确； ∵FK为∠EFM的平分线， 1 1 1 ∴∠MFK= ∠EFM= ∠EFA+ ∠AFM， 2 2 2 ∵FN平分∠AFM， 1 ∴∠MFN= ∠AFM， 21 1 1 1 ∴∠KFN＝∠MFK﹣∠MFN= ∠EFA+ ∠AFM− ∠AFM= ∠EFA＝37.5°，故结论⑤错误； 2 2 2 2 综上所述，正确的结论有①②③④， 故选：C． {ax−by=c) {x=4) {2ax−3by=5c) 14．（2024春•芜湖期末）已知方程组 的解为 ，则方程组 的解为（ mx−ny=k y=1 2mx−3ny=5k ） {x=4) {x=10 ) A． B． 3 y=1 y= 5 {x=20) {x=10 ) C． D． 5 y=5 y= 3 2 3 2 { ax− by=c) { x=4) 5 5 5 【分析】先将方程组变形为 ，再根据题意得到 ，即可求解． 2 3 3 mx− ny=k y=1 5 5 5 2 3 { ax− by=c) {2ax−3by=5c) 5 5 【解答】解： 变形为 ， 2mx−3ny=5k 2 3 mx− ny=k 5 5 {ax−by=c) {x=4) ∵方程组 的解为 ， mx−ny=k y=1 2 3 2 { ax− by=c) { x=4) 5 5 5 ∴ 的解为 ， 2 3 3 mx− ny=k y=1 5 5 5 {x=10 ) 解得： 5 ． y= 3 故选：D． 15．（2024秋•衡东县期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作 FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分 ∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，利用直角 三角形两锐角互余解答． 【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选B． 16．（2024春•白云区期末）现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共7元．1角、5角、1元硬 币的取法共有（ ）A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 【分析】设取出x枚1角硬币，y枚5角硬币，则取出（15﹣x﹣y）枚1元硬币，根据取出硬币的总金额为 7元，可列出关于x，y的二元一次方程，结合0≤x≤10，0≤y≤10，0≤15﹣x﹣y≤10，且x，y，（15﹣x ﹣y）均为整数，即可得出共有1种取法． 【解答】解：设取出x枚1角硬币，y枚5角硬币，则取出（15﹣x﹣y）枚1元硬币， 根据题意得：x+5y+10（15﹣x﹣y）＝70， 9 ∴y＝16− x． 5 又∵0≤x≤10，0≤y≤10，0≤15﹣x﹣y≤10，且x，y，（15﹣x﹣y）均为整数， {x=5) ∴ ， y=7 ∴1角、5角、1元硬币的取法共有1种． 故选：B． 17．（2024春•江岸区期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆O ，O ，O ，…，组 1 2 3 成一条平滑的曲线，其中O （﹣2，0），O （2，0），O （6，0），…，在每一段半圆上均有靠近直径端 1 2 3 点的两个四等分点，P (−2−❑√2，❑√2)，P (−2+❑√2，❑√2)，P (2−❑√2，−❑√2)，P (2+❑√2，−❑√2) 1 2 3 4 ，P (6−❑√2，❑√2)，P (6+❑√2，❑√2)，…，则点P 的坐标为（ ） 5 6 2024 A．(4046+❑√2，−❑√2) B．(4046−❑√2，❑√2) C．(4042+❑√2，−❑√2) D．(4042−❑√2，❑√2) 【分析】首先根据圆心的坐标规律发现 O （4n﹣6，0）（n≥1），然后根据题意可知P 为半圆O n 2024 1012 上靠近直径右端点的四等分点，且O （4042，0），根据规律即可写出 P 的坐标． 1012 2024 【解答】解：∵O （﹣2，0），O （2，0），O （6，0），O （10，0），…， 1 2 3 4 ∴O （4n﹣6，0）（n≥1）， n 由题意可知，P 为半圆 O 上靠近直径右端点的四等分点，O （4042，0）， 2024 1012 1012 根据规律，半圆 O 上靠近直径右端点的四等分点P (−2+❑√2，❑√2)， 1 2 半圆 O 上靠近直径右端点的四等分点P (2+❑√2，−❑√2) 2 4 半圆 O 上靠近直径右端点的四等分点P (6+❑√2，❑√2)， 3 6半圆 O 上靠近直径右端点的四等分点P (10+❑√2，−❑√2)， 4 8 ∴半圆O 上靠近直径右端点的四等分点P (4042+❑√2，−❑√2)， 1012 2024 故选：C． 18．（2024春•洪山区期末）小明同学在一次数学探究活动中，将小正方形放置在如图所示的平面直角坐标系 中，使得小正方形的中心（即正方形对角线的交点）位于原点，各顶点在坐标轴上，若各顶点到原点的距 离为1．接下来，按如图方式作新正方形，即从第二个正方形开始，以前一个正方形的一条对角线为边作 正方形，则第十个正方形中心O 的坐标为（ ） 10 A．（8，16） B．（8，20） C．（15，46） D．（15，48） 【分析】根据所给图形，求出正方形边长的变化规律，再由第偶数个正方形的左边的边在一条直线上即可 解决问题． 【解答】解：由题知， 第一个正方形的边长为❑√2， 第二个正方形的边长为2， 第三个正方形的边长为2❑√2， …， 所以第n个正方形的边长为(❑√2) n（n为正整数）． 观察所给图形可知， 第偶数个正方形的左边在一条直线上． 当n＝10时， (❑√2) n=32， 32 所以 −1=15， 2 即第十个正方形中心O 的横坐标为15． 10又因为(❑√2) 2=2，(❑√2) 4=4，(❑√2) 6=8，(❑√2) 8=16， 所以2+4+8+16+16＝46， 即第十个正方形中心O 的纵坐标为46， 10 所以点O 的坐标为（15，46）． 10 故选：C． 19．（2024春•汉阳区期末）如图，在平面坐标系xOy中，已知A（﹣5，4），B（﹣1，2），将线段AB平 移，得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段AB上任一点（x，y）在平移后的 对应点为（x+m，y﹣n），其中m≥0，n≥0，若m+n＝6，且平移后三角形BCD的面积最大，则此时， m，n的值为（ ） A．m≥0，n≤6 B．m＝6，n＝0 C．m＝0，n＝6 D．m＝n＝3 【分析】利用图象法判断即可． 【解答】解：观察图象可知，当m＝0，n＝6时，△BCD的面积最大． 故选：C．x+2 x { ＞ +1 ) 3 2 20．（2024春•武汉期末）若关于x的不等式组 的解集是x＜﹣2，且关于y的方程（a+2） 3 4x+ a＜x−1 2 ﹣（y+2）＝2（y﹣1）的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先通过不等式组的解确定a的范围，再根据方程的解求a的取值范围即可得出答案． x+2 x 【解答】解：由不等式 ＞ +1得：x＜﹣2， 3 2 3 1 1 由4x+ a＜x﹣1得：x＜− − a， 2 3 2 ∵不等式组的解集是x＜﹣2， 1 1 ∴− − a≥−2， 3 2 10 解得a≤ ， 3 a+2 解方程得y= ， 3 a+2 由题意知 ＞0， 3 解得a＞﹣2， 则符合条件的整数a的值之和为﹣1+0+1+2+3＝5， 故选：C．21．（2024春•十堰期末）如图，直线AB经过原点O，点C在y轴上，D为线段AB上的一点，若A（﹣2， m），B（4，n），C（0，3），AB＝9，则CD长度的最小值是（ ） 9 1 A．2 B．1 C． D． 4 2 【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，结合点A、B、C的坐标易得AE＝2，BF＝ 4，OC＝3，进而可解得S△ABC ＝S△OAC +S△OBC ＝9，结合垂线段最短可知当CD⊥AB时，CD取最小值，结合 三角形面积公式解得CD的值，即可获得答案． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F， ∵A（﹣2，m），B（4，n），C（0，3），AB＝9， ∴AE＝2，BF＝4，OC＝3， 1 1 1 1 ∴S =S +S = OC⋅AE+ OC⋅BF= ×3×2+ ×3×4=9， △ABC △OAC △OBC 2 2 2 2 ∵垂线段最短， ∴当CD⊥AB时，如图所示，CD取最小值， 1 此时可有S = AB⋅CD=9， △ABC 2 1 即 ×9×CD=9，解得CD＝2， 2 ∴CD长度的最小值是2． 故选：A．{x+ y=2a+1) 22．（2024春•荔湾区期末）已知关于x，y的方程组 ，下列说法中正确的有（ ）个． 2x−y=7−a 13 ①当x＝y时，a= ； 4 ②当x≥2y时，a的最小值为2； ③a取任意实数，5x﹣y的值始终不变； ④不存在实数a，使2x＝3y成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二元一次方程组的解法求出方程组的解，再根据每个结论的题设列出方程或不等式进行解答 即可． {x+ y=2a+1①) 【解答】解： ， 2x−y=7−a② ①+②得，3x＝a+8， a+8 解得x= ， 3 a+8 a+8 把x= 代入①得， +y＝2a+1， 3 3 5a−5 解得y= ， 3 a+8 { x= ) 3 所以方程组的解为 ， 5a−5 y= 3 a+8 5a−5 13 ①当x＝y时，即 = ，解得a= ，因此①正确； 3 3 4 a+8 5a−5 ②当x≥2y时，即 ≥2× ，解得a≤2，所以a的最大值为2，因此②不正确； 3 3 a+8 5a−5 5a+40−5a+5 ③5x﹣y＝5× − = =15，是定值，因此③正确； 3 3 3 a+8 5a−5 31 ④当2x＝3y时，即2× =3× ，解得a= ，因此④不正确． 3 3 13 综上所述，正确的结论有①③，共2个， 故选：B． {4x+3 y=16，) {3x+2y=16，) 23．（2024春•黄石港区期末）已知关于x，y的方程组① 的解x，y比② bx+ay=28 ax−by=−8 相应的解x，y正好都小1．则a，b的值分别为（ ）A．2和3 B．﹣2和﹣3 C．6和4 D．﹣6和﹣4 {3x+2y=16) {x=p) 【分析】设 的解为 ，根据题意可以列出关于p与q的方程组，从而可求出答案． ax−by=−8 y=q {3x+2y=16) {x=p) 【解答】解：设 的解为 ， ax−by=−8 y=q {4x+3 y=16) {x=p−1) ∴ 的解为 ， bx+ay=28 y=q−1 { 3p+2q=16 ) ∴ ， 4(p−1)+3(q−1)=16 {p=2) 解得： ， q=5 {p=2) {3x+2y=16) {p=1) {4x+3 y=16) ∴ 是 的解， 是 的解， q=5 ax−by=−8 q=4 bx+ay=28 {2a−5b=−8) ∴ ， b+4a=28 {a=6) 解得： ． b=4 故选：C． 24．（2024春•崇川区期末）在平面直角坐标系中，点A（1﹣m，0），B（1+m，0），其中m＞0，点C（1， ﹣1），在线段AB，AC，BC所围成的区域内（包括边界），若横、纵坐标都是整数的点恰有6个，则m 的取值范围是（ ） A．2≤m＜3 B．2＜m≤3 C．2＜m＜3 D．3≤m＜4 【分析】根据题意画出图形，结合图形列出关于m的不等式，解之确定m的范围． 【解答】解：如图所示，除C（1，﹣1）外，所有整数点都位于AB上， 整数点除了（1，0）和（1，﹣1）外，还剩4个点， 只有在直线x＝1两边，才能使得在线段AB、AC、BC所围成的区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数 的点恰有6个， 即﹣2＜1﹣m≤﹣1， 解得：2≤m＜3． 故选：A． 25．（2024春•惠阳区期末）如图，在一个单位为1的方格纸上，△A 1 A 2 A 3 ，△A 3 A 4 A 5 ，△A 5 A 6 A 7 ，⋯⋯，是 斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形．若△A A A 的顶点坐标分别为A （2，0），A 1 2 3 1 2 （1，﹣1），A （0，0），则依图中所示规律，A 的横坐标为（ ） 3 2025A．1014 B．﹣1014 C．1012 D．﹣1012 【分析】根据题意可以发现规律，图中的各三角形都是等腰直角三角形，总结得出规律：A （2n+2， 4n+1 0），A （1，﹣2n﹣1），A （﹣2n，0），A （2，2n+2）；根据2023＝4×505+3，然后按照规律即 4n+2 4n+3 4n+4 可求解． 【解答】解：∵图中的各三角形都是等腰直角三角形，斜边长分别为2，4，6，… ∴A （2，0），A （1，﹣1），A （0，0），A （2，2），A （4，0），A （1，﹣3），A （﹣2，0），A 1 2 3 4 5 6 7 8 （2，4），A （6，0），A （1，﹣5），A （﹣4，0），A （2，6），..． 9 10 11 12 总结得出规律：A （2n+2，0），A （1，﹣2n﹣1），A （﹣2n，0），A （2，2n+2）， 4n+1 4n+2 4n+3 4n+4 ∵2025＝4×506+1， ∴点A 在x轴负半轴上，横坐标为2×506+2＝1014． 2023 故选：A． 26．（2024春•海珠区期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交 AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内 部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH＝37°； ④∠MGK等于16°．其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①②③④ 【分析】根据平行线的判定定理得到AD//BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK＝∠CKG，等量代 换得到∠AGK＝∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到∠FGA＝∠DGH＝37°，故③正确；设∠AGM＝∠1，∠MGK＝∠2，得到∠AGK＝∠1+∠2根据角平分线的定义即可得到结论． 【解答】解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D， ∴∠EAD＝∠B， ∴AD//BC，故①正确； ∵AD//BC， ∴∠AGK＝∠CKG， ∵∠CKG＝∠CGK， ∴∠AGK＝∠CGK， ∴GK平分∠AGC；故②正确； ∵∠FGA的余角比∠DGH大16°， ∴90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝16°， ∵∠FGA＝∠DGH， ∴90°﹣2∠FGA＝16°， ∴∠FGA＝∠DGH＝37°，故③正确； 设∠AGM＝∠1，∠MGK＝∠2， ∴∠AGK＝∠1+∠2， ∵GK平分∠AGC， ∴∠CGK＝∠AGK＝∠1+∠2， ∵GM平分∠FGC， ∴∠FGM＝∠CGM， ∴∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK， ∴37°+∠1＝∠2+∠1+∠2， ∴∠2＝18.5°， ∴∠MGK＝18.5°，故④错误， 故选：A． 27．（2024春•广州期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”．中 国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3方格，每一行、每一列及斜 对角的三个数之和都相等，也称之为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中的字母 m表示的数是（ ）A．5 B．7 C．8 D．6 【分析】根据题意和表格中的数据，可以先求出p的值，然后可以表示出第一列第三个数，再根据一列的 三个数之和等于第二排的三个数之和，可以列出关于m的方程，从而可以求得m的值． 【解答】解：由题意可得， 4+p+m＝2+7+m， 解得p＝5， 设第一列第三个数为x， 则4+5+m＝2+5+x， 解得x＝m+2， ∵第一列的三个数之和等于第二排的三个数之和， ∴4+m+2＝5+7， 解得m＝6， 故选：D． 28．（2024春•武汉期末）已知正方形ABCD，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内 一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段GH折叠，使点E落在EF上点E′，如图（2），展开后沿过 P点的线段MN折叠，使点G落在GH上点G′，若∠NMA'＝24°，则∠FHG的度数为（ ） A．66° B．48° C．36° D．24° 【分析】根据折叠的性质可得：∠NMA'＝∠AMN＝24°，GH⊥MN，然后根据垂直定义可得∠GPM＝90°， 从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算可得：∠DGH＝66°，再根据正方形的性质可得AD∥BC，从 而利用平行线的性质可得∠DGH＝∠FHG＝66°，即可解答． 【解答】解：由折叠得：∠NMA'＝∠AMN＝24°，GH⊥MN， ∴∠GPM＝90°，∴∠DGH＝90°﹣∠AMN＝66°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠DGH＝∠FHG＝66°， 故选：A． {3x+2y=−a−1 ) 29．（2024春•河北区期末）已知关于x、y的二元一次方程组 2 13 的解满足x≥y，且关于s的 x− y=a+ 9 9 { s＞ a−7 ) 不等式组 3 恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ） s≤1 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可． 2 {3x+2y=−a−1 ) { x= a+1 ) 3 【解答】解：解方程组 2 13 得： ， x− y=a+ 3 9 9 y=− a−2 2 ∵x≥y， 2 3 ∴ a+1≥− a﹣2， 3 2 18 解得：a≥− ， 13 { s＞ a−7 ) a−7 解不等式组 3 得 ＜s≤1， 3 s≤1 { s＞ a−7 ) ∵关于s的不等式组 3 恰好有4个整数解（﹣2，﹣1，0，1）， s≤1 a−7 ∴﹣3≤ ＜−2， 3 解得：﹣2≤a＜1， 18 ∵a≥− ， 13 18 ∴− ≤a＜1， 13 ∴所有符合条件的整数a有﹣1，0，共有2个，故选：C． 30．（2024春•越秀区校级期末）下列说法：①立方根等于它本身的数是1或﹣1或0；②如果两条直线都垂 直于同一直线，那么这两条直线平行；③❑√10在两个连续整数a和b之间，那么a+b＝7；④无理数就是 {x≥a+1) 开方开不尽的数；⑤若关于x的不等式组 无解，则b﹣a≤﹣1；⑥若关于x的不等式组 x≤b+2 { x≥a+1 ) 1 有解且每个解都不在﹣1＜x≤3的范围内，则a＞− ；其中正确说法的个数为（ ） x≤3a+2 2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据立方根的定义、平行线公理推论、无理数的估算、无理数的定义，解不等式组逐项判断即可 得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解答】解：∵√31=1，√30=0，√3−1=−1， ∴立方根等于它本身的数是1或﹣1或0，故①正确，符合题意； 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线平行，故②错误，不符合题意； ∵9＜10＜16， ∴❑√9＜❑√10＜❑√16，即3＜❑√10＜4， ∴a＝3，b＝4， ∴a+b＝7，故③正确，符合题意； 初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数， 故④错误，不符合题意； π π {x≥a+1) ∵关于x的不等式组 无解， x≤b+2 ∴a+1＞b+2， 解得：b﹣a＜﹣1，故⑤错误，不符合题意； { x≥a+1 ) ∵关于x的不等式组 有解， x≤3a+2 ∴3a+2≥a+1，a+1≤x≤3a+2， 1 解得：a≥− ， 2 ∵每个解都不在﹣1＜x≤3的范围内， ∴当3a+2≤﹣1时，解得：a≤﹣1，此时无解； 当a+1＞3时，解得：a＞2，故⑥错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①③，共2个， 故选：B．【填空题篇·30 题】 1．（2024春•黄石期末）如图，AB∥CD，∠ABG的平分线BE和∠GCD的平分线CF的反向延长线交于点 E，且3∠E﹣5∠G＝172°，则∠G＝ 2 8 度． 【分析】分别过E、G作AB的平行线EM和GN，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和 ∠GCD分别表示出∠BEC和∠BGC，从而可找到∠BEC和∠BGC的关系，结合条件可求得∠BGC． 【解答】解：如图，分别过E、G作AB的平行线EM和GN， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥CD∥GN， ∵BE是∠ABG的平分线，CF是∠GCD的平分线， 1 1 ∴∠BEM＝∠ABE= ∠ABG，∠MEF＝∠DCF= ∠GCD，∠BGN＝∠ABG，∠GCD+∠CGN＝180°， 2 2 1 ∴∠BEC＝∠BGM+∠MEF= （∠ABG+∠GCD）， 2 ∠BGC＝∠BGN﹣∠CGN＝∠ABG﹣（180°﹣∠GCD）＝∠ABG+∠GCD﹣180°， ∴∠BGC＝2∠BEC﹣180°， ∵3∠BEC﹣5∠BGC＝172°， ∴3∠BEC＝5∠BGC+172°， 2 ∴∠BGC= （5∠BGC+172°）﹣180°， 3 ∴3∠BGC＝10∠BGC+344°﹣540°， ∴∠BGC＝28°． 故答案为：28． 2．（2024春•石首市期末）如图，某同学设计了一种计算流程图，据图完成下列问题：（1）任意写出一个实数，使得该值经过一次运行就能输出结果，则该数为 3 （答案不唯一） ； （2）如果要使开始输入的x的值经过两次运行才能输出结果，那么x的整数值为 1 或 2 ． 【分析】（1）根据输入的数值经过一次运行就能输出结果，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出 x的取值范围，再取其内的任意一值，即可得出结论； （2）根据输入的数值经过两次运行才能输出结果，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取 值范围，再取其内的所有整数，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：4x+1＞12， 11 解得：x＞ ， 4 ∴x的值可以为3． 故答案为：3（答案不唯一）； { 4x+1≤12 ) （2）根据题意得： ， 4(4x+1)+1＞12 7 11 解得： ＜x≤ ， 16 4 ∵x为整数， ∴x＝1或2， ∴x的整数值为1或2． 故答案为：1或2． {2x+4≤a+x+3) 3．（2024春•宜城市期末）已知关于x的不等式组 有4个整数解，那么实数a的取值范围 3x−5≥x−4 是 5 ≤ a ＜ 6 ． 【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组有4个整数解，确定出a的范围即可． {x≤a−1 ) 【解答】解：不等式组整理得： 1 ， x≥ 2 ∵不等式组有4个整数解， ∴整数解为1，2，3，4， ∴4≤a﹣1＜5， ∴5≤a＜6． 故答案为：5≤a＜6．{3x−y=14−2m) 4．（2024春•硚口区期末）已知关于x，y的方程组 ，下列四个结论： 5x+ y=2+6m ①当m＝2时，方程组的解也是方程2x﹣y＝7的解； ②若x+y﹣5m＞1，则m＞﹣7； ③无论m取什么实数，y﹣7x的值始终不变； ④存在实数m使得3x+y＝﹣17． 其中正确的结论是 ①③④ .（填写序号） { x=3 ) 【分析】先解含有字母参数m的方程组，求出x，y，再把 代入方程2x﹣y＝7，通过计算，判断左 y=−1 1 7 右两边是否相等，然后根据二元一次方程的解的定义进行判断①的正误；把x=2+ m，y= m−8代入 2 2 1 7 x+y﹣5m＞1，解不等式，判断②的正误；把x=2+ m，y= m−8代入y﹣7x，通过计算判断③的正 2 2 1 7 误；把x=2+ m，y= m−8代入3x+y＝﹣17得到关于m的方程，解方程从而判断④的正误，综合以上 2 2 正误，得到答案即可． {3x−y=14−2m①) 【解答】解： ， 5x+ y=2+6m② 1 ①+②得：x=2+ m， 2 1 7 把x=2+ m代入②得：y= m−8， 2 2 1 7 当m＝2时，x=2+ ×2=2+1=3，y= ×2−8=7−8=−1， 2 2 { x=3 ) 把 代入方程2x﹣y＝7，左边＝2×3﹣（﹣1）＝6+1＝7，右边＝7，左＝右， y=−1 { x=3 ) ∴ 是方程2x﹣y＝7的解，即m＝2时，方程组的解也是方程2x﹣y＝7的解， y=−1 故①正确； ∵x+y﹣5m＞1， 1 7 ∴2+ m+ m−8−5m＞1， 2 2 4m﹣5m﹣6＞1， ﹣m＞7， m＜﹣7，故②错误； 1 7 ∵x=2+ m，y= m−8， 2 2 ∴y﹣7x 7 1 = m−8−7(2+ m) 2 2 7 7 = m−8−14− m 2 2 7 7 = m− m−8−14 2 2 ＝﹣22， ∴无论m取什么实数，y﹣7x的值始终不变， 故③正确； 1 7 把x=2+ m，y= m−8代入3x+y＝﹣17得： 2 2 1 7 3(2+ m)+ m−8=−17， 2 2 3 7 6+ m+ m−8=−17， 2 2 5m﹣2＝﹣17， 5m＝﹣15， m＝﹣3， ∴存在实数m＝﹣3时，使得3x+y＝﹣17， 故④正确，综上可知正确的结论是：①③④， 故答案为：①③④． 5．（2024春•青山区期末）关于x、y的二元一次方程：ax+y+2a﹣4＝0（a＞0），则下列四个结论： {x=−2) ①无论a为何值时，该方程都有一组解 ； y=4 ②若a＝1，则方程ax+y+2a﹣4＝0有三组非负整数解； ③若y＝﹣2x，则不等式ax+y+2a﹣4＞0的解集为x＞﹣2； {x=c) {x=c+1) ④若 和 是方程ax+y+2a﹣4＝0的两组解，则m＞n． y=m y=n 其中正确的结论是 ①②④ .（请填写序号） 【分析】将x＝﹣2，y＝4代入方程即可判断①； 当 a＝1 时，方程为x+y﹣2＝0，方程的非负整数解即可判断②；把y＝﹣2x 代入方程即可判断③； x＝c，y＝m 和x＝c+1，y＝n是方程 ax+y+2a﹣4＝0 的两组解代入解得即可判断④． 【解答】解：将x＝﹣2，y＝4代入方程，可得a×（﹣2）+4+2a﹣4＝0，所以无论a为何值时，该方程都有 一组解x＝﹣2 y＝4，故①正确； {x=0) {x=1) {x=2) ②当 a＝1 时，方程为x+y﹣2＝0，方程的非负整数解为 ， ， 故②正确； y=2 y=1 y=0 4−2a −2(a−2) ③当 y＝﹣2x 时，﹣2x+ax+2a﹣4＞0，当a＞2时，解得x＞ = =−2，当a＜2时，x a−2 a−2 4−2a −2(a−2) ＜ = =−2，故③不正确； a−2 a−2 { ac+m+2c−4=0 ) ④若x＝c y＝m 和x＝c+1和y＝n是方程 ax+y+2a﹣4＝0 的两组解，则 ， a(c+1)+n+2a−4=0 { (a+1)c+m+2a−4=0 ) 即 两式相减得，m﹣n＝a， (a+1)c+a+n+2a−4=0 因为a＞0， 所以m﹣n＞0，即m＞n，故④正确． 故答案为：①②④． 6．（2024春•武汉期末）如图，∠BCD＝∠BDC，AD∥BC，∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线 与CD延长线交于点F，∠F＝75°，则∠A＝ 150 ° ． 【分析】由平行线的性质可得∠ADC+∠BCD＝180°，结合∠BCD＝∠BDC及角平分线可得∠EDC＝90°， 由∠F＝15°，可得∠FGD＝15°，进而可得∠FBD+∠EDB＝15°，进而可得∠ABD+∠ADB＝30°，再利用三 角形内角和可得结论． 【解答】解：如图，设BF，DE交于点G， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∵DE平分∠ADB，∠BCD＝∠BDC，1 ∴∠BDE= ∠ADB， 2 1 ∴∠EDB+∠BDC= （∠ADC+∠BCD）＝90°，即∠EDC＝90°， 2 ∴∠FGD＝90°﹣∠F＝15°， ∴∠FGD＝∠EDB+∠FBD＝15°， ∵∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线与CD延长线交于点F， ∴∠ABD＝2∠FBD，∠ADB＝2∠EDB， ∴∠ABD+∠ADB＝2（∠FBD+∠EDB）＝30°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABD+∠ADB）＝150°． 故答案为：150°． 7．（2024春•武汉期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C、 D的对应点分别是C ，D ，ED 交BC于G，再将四边形C D GF沿FG折叠，点C 、D 的对应点分别是 1 1 1 1 1 1 1 C 、D ，GD 交EF于H，给出下列结论： 2 2 2 ①∠EGD ＝∠EFG； 2 ②2∠EFC＝∠EGC+180°； ③若∠FEG＝26°，则∠EFC ＝102°； 2 ④∠FHD ＝3∠EFB． 2 上述正确的结论是 ②③④ ． 【分析】由折叠性质得到∠DEF＝∠GEF，∠D GF＝∠D GF，根据平行线性质得到∠DEF＝∠GEF＝ 2 1∠EFG，再由三角形外角性质确定∠DGF＝∠GEF+∠GFE，设∠EGD ＝ ，∠EFG＝ ，则 +4 ＝ 2 180°，只有当 ＝ ＝36°时结论①才成立；由ED 1∥FC 1 ，得到∠EGC＝∠αGFC 1 ，结合β折叠性质α求证β 即可得 到②正确；在 α①的 β 求证过程中可知∠GEF＝∠EFG＝26°，设∠EFC 2 ＝ ，则∠GFC 2 ＝26°+ ＝∠GFC 1 ， 从而由折叠性质表示出角度关系列方程求解即可得到③正确；在①的证 α 明过程中∠FGH＝∠ αD 1 GF＝ ∠GEF+∠GFE＝2∠EFB，结合外角性质即可得到④正确；从而得到答案． 【解答】解：由折叠性质得∠DEF＝∠GEF，∠D GF＝∠D GF， 2 1 ∴∠EGD +∠D GF+∠D GF＝180°， 2 2 1 ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFG，则∠DEF＝∠GEF＝∠EFG， ∵∠D GF是△EGF一个外角， 1 ∴∠D GF＝∠GEF+∠GFE， 1 设∠EGD ＝ ，∠EFG＝ ，则 +4 ＝180°， 2 当∠EGD 2 ＝ α ∠EFG时， β ＝ ＝ α36°， β 但题中并未明确∠EGD 2 、 α ∠ βEFG的度数，故①错误； ∵ED 1∥FC 1 ， ∴∠EGC＝∠GFC ， 1 由折叠性质可知∠EFC＝∠EFC ，则2∠EFC＝∠BFC+∠GFC ＝∠EGC+180°，故②正确； 1 1 由折叠性质得∠EFC ＝∠EFC，∠GFC ＝∠GFC ． 1 2 1 由①的证明过程可知，∠GEF＝∠EFG＝26°， 设∠EFC ＝ ，则∠GFC ＝26°+ ＝∠GFC ， 2 2 1 ∴∠EFC＝∠ αEFC 1 ＝26°+（26°+α ）＝ +52°， ∵∠EFG+∠EFC＝180°， α α ∴26°+ +52°＝180°， 解得 ＝102°，即∠EFC ＝102°，故③正确； α 2 由①α 知∠FGH＝∠D 1 GF＝∠GEF+∠GFE＝2∠EFB， ∵∠FHD 是△HGF的一个外角， 2 ∴∠FHD ＝∠FGH+∠EFB＝3∠EFB，故④正确； 2 综上所述，题中正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 8．（2024春•洪山区期末）我们规定：[x]表示不超过x的最大整数．如：[3.2]＝3，[❑√8]=2． 则[❑√1]+[❑√2]+[❑√3]+[❑√4]+[❑√5]+⋯+[❑√47]+[❑√48]的值为 20 3 ．【分析】根据[x]的意义，原式＝1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13进行计算即可． 【解答】解：∵[❑√1]＝1，[❑√4]＝2，[❑√9]＝3，[❑√16]＝4，[❑√25]＝5，[❑√36]＝6，[❑√49]＝7， ∴原式＝1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13 ＝3+10+21+36+55+78 ＝203． 故答案为：203． 9．（2024春•黄石港区期末）高斯函数[x]，也称取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.5]＝2， {2x−4 ≤x−1) [5]＝5，[﹣2.5]＝﹣3．若关于x的不等式组 3 的整数解恰有3个，则a的取值范围为 2 ≤ a [a]−x＞0 ＜ 3 ． 【分析】首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围； {2x−4 ≤x−1) 【解答】解：解不等式组 3 得：﹣1≤x＜[a]， [a]−x＞0 由不等式组整数解恰有3个得，[a]＝2， ∴2≤a＜3， 故答案为：2≤a＜3． 10．（2024春•恩施州期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中 “→”方向排列，如（1，0），（1，1），（2，1），（2，0），（3，0），（3，1）⋯，根据这个规 律，第2025个点的坐标为 （ 1 ， 4 4 ） ． 【分析】由第1个点的坐标为（1，0），第9个点的坐标为（1，2），第25个点的坐标为（1，4），得第 （2n﹣1）2个点的横坐标为1（n为正整数），由2025＝（2×22+1）2可得第2025个点的横坐标为1，又由 图可得当点的横坐标为1，纵坐标为偶数时，该点的纵坐标等于❑√n−1，据此即可求解． 【解答】解：由图可得，第1个点的坐标为（1，0），第9个点的坐标为（1，2），第25个点的坐标为 （1，4），∴第（2n﹣1）2个点的横坐标为1（n为正整数）， ∵2025＝（2×22+1）2， ∴第2025个点的横坐标为1， 又当点的横坐标为1，纵坐标为偶数时，该点的纵坐标等于❑√n−1， ∵❑√2025=45， ∴第2025个点的纵坐标为❑√2025−1=44， ∴第2025个点的坐标为（1，44）， 故答案为：（1，44）． 11．（2024春•阳新县期末）在平面直角坐标系中，已知A（﹣a，3a+2），B（2a﹣3，a+2），C（2a﹣3，a ﹣2）三个点，下列四个命题：①若AB∥x轴，则a＝2；②若AB∥y轴，则a＝﹣1；③若a＝1，则A、 5 1 B、C三点在同一条直线上；④若a＞1，三角形ABC的面积等于8，则点C的坐标为( ， )．其中真命 3 3 题有 ③④ （填序号）． 【分析】①根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同求出a的值，再判断即可；②根据平行于y轴的直 线上的点的横坐标相同求出a的值，再判断即可；③根据a＝1，求出A，B，C三点坐标即可判断；④根 据B、C横坐标相同，可判断BC∥y轴，得出BC＝4，再表示出点A到BC的距离，再根据三角形ABC的 面积等于8列出关系式求出a的值即可求出点C的坐标． 【解答】解：①∵AB∥x轴， ∴3a+2＝a+2， ∴a＝0，故①错误； ②∵AB∥y轴， ∴﹣a＝2a﹣3， ∴a＝1，故②错误； ③∵a＝1， ∴A（﹣1，5），B（﹣1，3），C（﹣1，﹣1）， ∵A、B、C三点的横坐标相同， ∴A、B、C三点在同一条直线上，故③正确； ④∵B（2a﹣3，a+2），C（2a﹣3，a﹣2） ∴BC∥y轴， ∴BC＝4， ∵A（﹣a，3a+2），a＞1， ∴点A到BC的距离为2a﹣3﹣（﹣a）＝3a﹣3， ∵△ABC的面积等于8，1 ∴ ×4×(3a−3)=6a−6=8， 2 7 ∴a= ， 3 7 5 7 1 ∴2a−3=2× −3= ，a−2= −2= 3 3 3 3 5 1 ∴点C的坐标为( ， )，故④正确； 3 3 综上分析可知，真命题为③④． 故答案为：③④． 3−x y+2 z+5 12．（2024春•海珠区期末）已知非负数x，y，z满足 = = ，设M＝3x﹣2y+z．则M的最大值 2 3 4 与最小值的和为 ﹣ 6 ． 3−x y+2 z+5 【分析】首先设 = = = k，求得x＝﹣2k+3，y＝3k﹣2，z＝4k﹣5，又由x，y，z均为非负实 2 3 4 数，即可求得k的取值范围，则可求得M的取值范围． 3−x y+2 z+5 【解答】解：设 = = = k， 2 3 4 则x＝﹣2k+3，y＝3k﹣2，z＝4k﹣5， ∵x，y，z均为非负实数， {−2k+3≥0 ) ∴ 3k−2≥0 ， 4k−5≥0 5 3 解得 ≤k≤ ， 4 2 于是M＝3x﹣2y+z＝3（﹣2k+3）﹣2（3k﹣2）+（4k﹣5）＝﹣8k+8， 3 5 ∴﹣8× +8≤﹣8k+8≤﹣8× +8， 2 4 即﹣4≤M≤﹣2． ∴M的最大值是﹣2，最小值是﹣4， ∴M的最大值与最小值的和为﹣6， 故答案为：﹣6． 13．（2024春•荔湾区期末）观察图中数的排列规律并回答问题：如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对（m，n），例如数2在第2行第1列，记它的位 置为有序数对（2，1）．按照这种方式，数❑√71的位置为有序数对 （ 9 ， 7 ） ． 【分析】由数表可以看出：偶数行第一个数是所在行数，平方后依次减少1，奇数行第一个数是上行数平 方加1再开方，平方后依次增加1，奇数列第一个数是所在列数，平方后依次减少1，偶数列第一个数是所 在上列数平方加1再开方，平方后依次增加1；由此规律得出答案即可． 【解答】解：∵偶数行第一个数是所在行数，平方后依次减少1，到第行数加1列为止；奇数列第一个数是 所在列数，平方后依次减少1， ∵8＜❑√71＜9， ∴第9行的第一个数是❑√65，65+7﹣1＝71，❑√71位置为有序数对是（9，7）． 故答案为：（9，7）． 14．（2024春•洪山区期末）下列说法：①如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；②若 {x≥2a−3) ❑√3.14≈1.77，且❑√−x≈17.7，则x≈﹣314；③若关于x的不等式组 无解，则a+b≥4；④若 x≤5−2b { 2x≥a+1 ) 关于x的不等式组 有解且每个解都不在﹣1＜x≤3的范围内，则a＞5．其中正确说法是 3x−2≤4a+3 ②④ ．（填正确结论的序号） 【分析】①根据“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”判断即可； ②根据“算术平方根的平方等于被开方数”计算即可； ③当2a﹣3＞5﹣2b时不等式组无解； 1 1 1 1 { (a+1)≤ (4a+5)) { (a+1)≤ (4a+5)) 2 3 2 3 ④根据题意，得 或 ，求它们的解集即可． 1 1 (a+1)＞3 (4a+5)≤−1 2 3 【解答】解：①在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行， ∴①不正确，不符合题意；②∵❑√3.14≈1.77， ∴3.14≈1.772， ∵❑√−x≈17.7， ∴﹣x≈17.72＝（1.77×10）2＝1.772×102， ∴x≈﹣314， ∴②正确，符合题意； ③若不等式组无解，则2a﹣3＞5﹣2b，解得a+b＞4， ∴③不正确，不符合题意； 1 1 ④不等式组的解集为 （a+1）≤x≤ （4a+5）， 2 3 ∵原不等式组有解，且每个解都不在﹣1＜x≤3的范围内， 1 1 1 1 { (a+1)≤ (4a+5)) { (a+1)≤ (4a+5)) 2 3 2 3 ∴ 或 ， 1 1 (a+1)＞3 (4a+5)≤−1 2 3 解得第一个不等式组的解集为a＞5，第二个不等式组无解， ∴当a＞5时，原不等式组有解且每个解都不在﹣1＜x≤3的范围内， ∴④正确，符合题意． 综上，②④正确． 故答案为：②④． 15．（2024春•花都区期末）如图，点E，F为长方形ABCD的边AD，BC上的点，连接CE，AF，将三角形 EDC沿着CE翻折得到三角形EGC，三角形ABF翻折得到三角形AHF．此时，点H恰好落在线段EG上， 且∠AFB＝∠GED．以下结论：①AF∥EQ；②∠EAH+∠HFQ＝90°；③∠EHA＝∠CED；④∠QEC＝ ∠ECQ，其中结论正确的是 ①②④ ．（填入所有正确的序号） 【分析】由∠AFB＝∠GED及平行线的性质即可判定①；由折叠的性质即可判定②；由折叠性质及三角 形①的结论即可判定③；由折叠性质及平行线性质即可判定④，最后可确定答案． 【解答】解：在长方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠GED＝∠EQF；∵∠AFB＝∠GED， ∴∠AFB＝∠EQF， ∴AF∥EQ； 故①正确； 由折叠知，∠BAF＝∠HAF，∠AFH＝∠AFB，∠AHF＝∠B＝90°， ∴∠HAF+∠AFH＝90°； 由长方形性质得∠BAE＝90°， 则∠EAH＝90°﹣2∠HAF， ∵∠HFQ＝180°﹣2∠AFH， ∴∠EAH+∠HFQ ＝90°﹣2∠HAF+180°﹣2∠AFH ＝270°﹣2（∠HAF+∠AFH） ＝270°﹣2×90° ＝90°； 故②正确； ∵AF∥EQ， ∴∠EHA＝∠HAF，∠DEQ＝∠EAF＝∠EAH+∠HAF， 由折叠知，∠CED＝∠CEQ， ∴∠EAH+∠EHA＝2∠CED， 当∠EAH＝∠EHA＝30°时，∠EHA＝∠CED， 否则∠EHA≠∠CED； 故③错误； ∵AD∥BC，∠CED＝∠CEQ， ∴∠QCE＝∠CED＝∠CEQ， 故④正确； 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． {x−y(x≥ y)) 16．（2024春•郯城县期末）对x，y定义一种新的运算G，规定G（x，y）= ，若关于x的不 y−x(x＜y) {G(x，1)＞1 ) 等式组 恰好有2个整数解，则m的取值范围是 6 ≤ m ＜ 7 或 0 ≤ m ＜ 1 ． G(−2，x)≤m {G(x，1)＞1 ) 【分析】由 得到关于x的不等式组，解之得出x的取值范围，再根据不等式组整数解的 G(−2，x)≤m个数可得m的取值范围． {x−1＞1) 【解答】解：由题意可知，当x≥1时，则 ， x+2≤m 解x﹣1＞1，得x＞2， 解x+2≤m，得x≤m﹣2， ∵不等式组恰好有2个整数解， ∴4≤m﹣2＜5， 解得6≤m＜7， {1−x＞1 ) 当x＜﹣2时，则 ， −2−x≤m 解1﹣x＞1，得x＜0， 解﹣2﹣x≤m，得x≥﹣m﹣2， ∵不等式组恰好有2个整数解， ∴﹣3＜﹣m﹣2≤﹣2， 解得0≤m＜1， 综上，m的取值范围是6≤m＜7或0≤m＜1． 故答案为：6≤m＜7或0≤m＜1． 17．（2024春•滨海新区期末）如图，AF平分∠BFE，延长EF到点G，作∠BFG 的角平分线，与AB的延长 线交于点D，点C是线段AD上异于点B的点，连接CG交DF于点N，使得∠FNG＝∠NFG，连接CE交 AF于点M，已知∠ADF+∠AFE＝90°，以下结论：①∠AFD＝90°；②AD∥EF；③∠G+∠ABF＝180°； ④∠CMF+∠CNF＝180°，其中正确的有 ①②③ （请填写序号） 1 1 【分析】由角平分线的定义得∠AFB= ∠BFE，∠BFD= ∠BFG，可得∠AFB+∠DFB＝90°，可判断① 2 2 正确；由∠ADF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFG＝90°，得∠BDF＝∠DFG，可判断②正确；由AD//EG得 ∠ABF＝∠BFG＝∠BFD+∠DEG，由∠BFN＝∠NFG，∠NFG＝∠FNG得∠NGF+∠BFG＝180°，从而可 判断③正确；无法判断∠CMF+∠CNF＝180°，从而可判断④错误． 【解答】解：AF平分∠BFE，DF平分∠BFG， 1 1 ∴∠AFB= ∠BFE，∠BFD= ∠BFG， 2 2 ∵∠EFB+∠GFB＝180°，1 1 ∴∠AFB+∠BFD= （∠BFE+∠BFG）= ×180°＝90°， 2 2 ∴∠AFD＝90°，故①正确； ∵∠AFD＝90°， ∴∠AFE+∠DFG＝90°， 又∵∠ADF+∠AFE＝90°， ∴∠ADF＝∠DFG， ∴AD∥EG，故②正确； ∵AD∥EG， ∴∠ABF＝∠BFG， ∵FD平分∠BFG， ∴∠BFD＝∠NFG， 又∵∠FNG＝∠NFG， ∴∠BFD＝∠FNG， ∵∠NFG+∠FGN+∠FNG＝180°， ∴∠BFN+∠GFN+∠FGN＝180°， ∴∠BFG+∠FGN＝180°， ∴∠ABF+∠FGN＝180°，故③正确； ∵∠ECG不是直角， ∴无法得到∠CMF+∠CNF＝180°，故④错误；综上，正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 18．（2024春•河北区期末）在长为4，宽为x（2＜x＜4）的长方形纸片上，从它的一侧，剪去一个以长方形 纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的长方形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二 12 次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 或 3 ． 5 【分析】先求出第一次操作后的两边分别为x和（4﹣x），第二次操作后的两边长分别为4﹣x和2x﹣4， 再根据2x﹣4和4﹣x的大小分两种情况，根据剩下的纸片恰为正方形，列出方程求解即可． 【解答】解：第一次操作后的两边分别为x和（4﹣x）， 第二次操作后的两边长分别为4﹣x和[x﹣（4﹣x）]即4﹣x和2x﹣4， 8 当2x﹣4＞4﹣x，即x＞ 时，第三次操作后一边长为4﹣x，另一条边长为2x﹣4﹣（4﹣x）即3x﹣8， 3 ∴4﹣x＝3x﹣8， ∴x＝3，8 当2x﹣4＜4﹣x，即x＜ 时，第三次操作后一边长为2x﹣4，另一条边长为4﹣x﹣（2x﹣4）即8﹣3x， 3 ∴2x﹣4＝8﹣3x， 12 ∴x= ， 5 12 则x的值为 或3， 5 12 故答案为： 或3． 5 19．（2024春•海安市期末）在平面直角坐标系中，点A（m﹣3，m+3），B（m+3，m﹣3），当n≤m≤n+1 时，线段AB（含端点）始终与x轴相交，则n的取值范围为 ﹣ 3 ≤ n ≤ 2 ． {m+3≥0) {m+1≤3) 【分析】根据题意列出不等式组 ，解得﹣3≤m≤3，依据条件n≤m≤n+1，列出 ，解 m−3≤0 n≥−3 出不等式组解集即可． 【解答】解：∵线段AB（含端点）始终与x轴相交， {m+3≥0) ∴ ， m−3≤0 解得﹣3≤m≤3， ∵n≤m≤n+1， {m+1≤3) ∴ ， n≥−3 ∴﹣3≤n≤2． 故答案为：﹣3≤n≤2． 20．（2024春•海门区期末）在平面直角坐标系中，A（a，5），B（1，4﹣2a），C（1，b），若2a+b＝8， 10≤3a+b≤13．则△ABC面积的最大值为 8 ． 【分析】观察三个点的坐标可知BC＝6，再由2a+b＝10，并且13≤3a+b≤13可得3≤a≤5，可得BC边上 高的最大值，再根据三角形面积公式即可求解． 【解答】解：∵B（1，4﹣2a），C（1，b），2a+b＝8， ∴BC＝b﹣4+2a＝4， ∵10≤3a+b≤13， ∴2≤a≤5， ∴BC边上高的最大值是5﹣1＝4， ∴△ABC面积的最大值为4×4÷2＝4． 故答案为：8． 21．（2024春•厦门期末）如图，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且DE⊥CD．则下列结论中：①∠AED＝∠ADE；②BD平分∠ABC；③∠OBE+∠OEB＝∠OAD；④∠DBC+2∠BDC＝180°．正确的 是 ①④ ． 【分析】根据BD∥AE，可得∠AED＝∠BDE，设∠AED＝∠BDE＝x，结合DE平分∠ADB，可得∠AED＝ ∠ADE＝x，即可判断①； 根据AD∥BC，得出∠DBC＝∠ADB＝2x，要使BD平分∠ABC，则∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，即AB＝ AD，即可判断②； 根据三角形外角的定义可得∠OBE+∠OEB＝∠DOB，∠DOB＝∠OAD+∠ODA＞∠OAD，即可判断③； 根据AD∥BC，得出∠DBC＝∠ADB＝2x，结合DE⊥CD，得出∠BDC＝90°﹣x，即可得∠DBC+2∠BDC＝ 2x+2（90°﹣x）＝180°，即可判断④． 【解答】解：∵BD∥AE， ∴∠AED＝∠BDE， 设∠AED＝∠BDE＝x， ∵DE平分∠ADB， ∴∠ADE＝∠BDE＝x， ∴∠AED＝∠ADE＝x，故①正确，符合题意； ∵AD∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB＝2x， 要使BD平分∠ABC， 则∠ABD＝∠DBC＝∠ADB， 即AB＝AD， 题干中没有条件可证， 故②不符合题意； ∵∠OBE+∠OEB＝∠DOB，∠DOB＝∠OAD+∠ODA＞∠OAD， ∴∠OBE+∠OEB＞∠OAD， 故③错误，不符合题意； ∵AD∵BC， ∴∠DBC＝∠ADB＝2x， ∵DE⊥CD， ∴∠EDC＝90°，∴∠BDC＝90°﹣x， ∴∠DBC+2∠BDC＝2x+2（90°﹣x）＝180°， 故④正确，符合题意； 故答案为：①④． { x−y=a ) {x=m−1) 22．（2024春•通州区期末）已知关于x，y的方程组 的解满足 ，其中m，n都是实 3x+ y=2b y=3n+2 数，且m﹣n＝5．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 3 ． a+2b { x= ) 4 { x−y=a ) 【分析】先解二元一次方程组求出方程组的解为 ，根据关于x，y的方程组 的 2b−3a 3x+ y=2b y= 4 {x=m−1) a+2b 2b−3a a+2b 解满足 得出 = m﹣1， = 3n+2，根据m﹣n＝5求出m＝5+n，求出 = 4+n， y=3n+2 4 4 4 a+2b { =4+n ) 4 {a=2−2n) 求出方程组 的解为 ，根据a，b均为正整数得出2﹣2n＞0且7+3n＞0，求出 2b−3a b=7+3n =3n+2 4 不等式组的解集，再求出整数n即可． a+2b { x= ) { x−y=a ) 4 【解答】解：解方程组 得： ， 3x+ y=2b 2b−3a y= 4 { x−y=a ) {x=m−1) ∵关于x，y的方程组 的解满足 ， 3x+ y=2b y=3n+2 a+2b 2b−3a ∴ = m﹣1， = 3n+2， 4 4 ∵m﹣n＝5， ∴m＝5+n， a+2b ∴ = m﹣1＝4+n， 4 a+2b { =4+n ) 4 {a=2−2n) 解方程组 得： ， 2b−3a b=7+3n =3n+2 4 ∵a，b均为正整数， ∴2﹣2n＞0且7+3n＞0，7 解得：− ＜n＜1， 3 ∵n为整数， ∴n为﹣2，﹣1，0， 所以符合题意的n的个数是3． 故答案为：3． 23．（2024春•思明区校级期末）已知实数a，b，m，n（m≠n）满足|a−n+m|+❑√2a+b−2n+5=0，若 2 关于x的不等式ax+b＞﹣5的解集为x＜ ，则关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是 m ＞﹣ 4 ． 5 【分析】根据非负数的性质即可求出a、b的值，利用实数的运算即可求得c的值，将a、b的值代入不等 式得不等式的解集，即可求得﹣4m＝n解答即可． 【解答】解：∵|a﹣n+m|+❑√2a+b−2n+5=0， ∴a＝n﹣m，b＝2n﹣2a﹣5＝2m﹣5， a、b的值代入不等式ax+b＞﹣5， （n﹣m）x＞﹣2m， 2 ∵ax+b＞﹣5的解集为x＜ ， 5 ∴n﹣m＜0， ∴n＜m， −2m 2 x＜ = ， n−m 5 ∴n＝﹣4m， ∴﹣4m＜m， ∴m＞0， ∴mx﹣n＞0， ∴m＞﹣4． 故答案为：m＞﹣4． 24．（2024春•崇川区校级期末）已知非负数a，b，c满足条件3a+2b+c＝4，2a+b+3c＝5，设s＝5a+4b+7c的 最大值是m，最小值是n，则m+n的值为 2 6 ． 7−7a {b= ) {3a+2b+c=4) 5 【分析】联立 ，把a看作常数，解得 ，则5a+4b+7c＝﹣2a+14，根据a≥0， 2a+B+3c=5 6−a c= 5 b≥0，c≥0，解得a≤1，则0≤a≤1，当a＝0时，m＝14；当a＝1时，n＝12，即m＝14，n＝12，故m+n 可求．{3a+2b+c=4) 【解答】解：联立 ， 2a+B+3c=5 7−7a {b= ) 5 把a看作常数，解得 ， 6−a c= 5 7−7a 6−a ∴5a+4b+7c＝5a+4× +7× =−2a+14， 5 5 ∵a≥0，b≥0，c≥0， 7−7a { ≥0) 5 ∴ ， 6−a ≥0 5 解得a≤1， ∴0≤a≤1， 当a＝0时，m＝14； 当a＝1时，n＝12， ∴m+n＝26． 故答案为：26． 25．（2024春•思明区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长 线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH ＝110°，则∠BEG的度数为 35 ° ． 【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠GEH＝180°﹣2∠GEH，在 △AEF中，70°+2∠FEB+180°﹣2∠GEH＝180°，故∠GEH﹣∠FEB＝35°，即可等量代换求解． 【解答】解：∵∠FBE＝∠FEB，∠AFE＝∠FBE+∠FEB， ∴∠AFE＝2∠FEB， ∵∠FEH的角平分线为EG， ∴∠GEH＝∠FEG， ∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC， ∴∠D+∠BAD＝180°， ∴AB∥CD， ∵∠DEH＝110°， ∴∠CEH＝∠FAE＝70°， ∵∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠GEH＝180°﹣2∠GEH， ∴70°+2∠FEB+180°﹣2∠GEH＝180°， ∴∠GEH﹣∠FEB＝35°， ∴∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝∠GEH﹣∠FEB＝35°． 故答案为：35°． 26．（2024春•海沧区期末）将一副三角板按图所示叠放，仅转动三角板BEC，在转动过程中保持直角顶点C 重合，且点E始终在直线AC的上方，∠ACE＜135°．当这两块三角板有两条边平行时（不考虑重合或共线 的情况），∠ACE＝ 45 ° 或 30 ° 或 120 ° ． 【分析】分类讨论BE∥AC，BC∥AD，AD∥CE三种情况，利用平行线的性质定理解答即可． 【解答】解：当BE∥AC时， ∠ACE＝∠E＝45°， 当BC∥AD时，∠BCD＝∠D＝30°， ∵∠ACE+∠ECD＝90°，∠BCD+∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD＝30°， 当AD∥CE时， ∠DCE＝∠D＝30°， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝90°+30°＝120°． ∴综上所述，∠ACE为45°或30°或120°． 故答案为：45°或30°或120°． 3 27．（2024春•海安市期末）在平面直角坐标系xOy中有点P（2，0），点M（3﹣2m，1），点N（ m﹣3， 2 1），且M在N的左侧，连接MP、NP、MN，若△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且5 8 只有4个，则m的取值范围为 ≤m＜ ． 2 3 【分析】根据题意画出图形，结合题意列出关于m的不等式，解之确定m的范围． 3 【解答】解：依题意有： m﹣3＞3﹣2m， 2 12 解得m＞ ， 7 ∵点P是一个整数点，除此以外，所有的整数点都位于MN上， 又∵△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且只有4个， ∴MN线段上有4﹣1＝3（个）整数点． 当M、N是整数点时，MN＝2， 当M、N不是整数点时，MN＜4， 7 即2≤ m﹣6＜4， 2 16 20 ∴ ≤m＜ ， 7 7 16 11 当m= 时，3﹣2m=− ， 7 7 20 3 9 当m= 时， m﹣3= ， 7 2 7 5 3﹣2m＝﹣2时，m= ， 2 3 8 m﹣3＝1时，m= ． 2 3 5 8 故m的取值范围为 ≤m＜ ． 2 3 5 8 故答案为： ≤m＜ ． 2 3 28．（2024春•惠城区期末）如图1，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝26˚，分别以BE、CE为 1 折痕进行折叠压平，如图2，若图2中∠AED＝n°，则∠DEC的度数为 （ 2 6+ n ） ． 2【分析】求∠CED的大小只需根据折叠规律、平角知识和角的和差求出∠CED大小即可． 【解答】解：∵∠ABE＝26°， ∴∠BEA'＝∠BEA＝64°， 又∵∠CED'＝∠CED， 1 ∴∠DEC= ∠DED'， 2 1 ∴∠DEC= （180°﹣∠A'EA+∠AED） 2 1 = （180°﹣128°+n°） 2 1 ＝（26+ n）°． 2 1 故答案为：26+ n． 2 29．（2024春•芜湖期末）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上 有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问 计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考： 第1步：确定√359319的位数．因为103＝1000，1003＝1000000，1000＜59319＜1000000，所以√359319是2 位数； 第2步：确定个位数字．因为59319的个位上的数是9，93＝729，所以√359319的个位上的数是9； 第3步：确定十位数字．划去59319后面的三位319得到数59，33＝27，43＝64，而27＜59＜64，由此能 确定√359319的十位上的数是3． 综合以上可得√359319=39． 已知103823是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是 4 7 ． 【分析】根据题目提供的方法，类推确定103823的立方根即可． 【解答】解：第1步：由103＝1000，1003＝1000000，确定√3103823是两位数． 第2步：由103823的个位上的数是3，73＝343，能确定√3103823的个位上的数是7．第3步：如果划去103823后面的三位823得到数103，而43＝64，53＝125，由此确定√3103823的十位上的 数是4． 因此，103823的立方根是47． 故答案为：47． 30．（2024春•无为市期末）定义[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1，[﹣1.2]＝﹣2．有下 1 7 列结论：①当x= 时，[1+x]+[1﹣x]的值为1；②[x﹣1]＝[x]﹣1；③x﹣1＜[x]≤x；④x=− 是方程3x 2 3 ﹣2[x]+1＝0的唯一解，其中，正确的有 ②③① ．（填序号） 1 3 1 【分析】当x= 时，[1+x]+[1−x]=[ ]+[ ]=1+0=1，可判断①的正误；设[x]＝n，则n≤x＜n+1，n 2 2 2 ﹣1≤x﹣1＜n，[x﹣1]＝n﹣1，可得[x﹣1]＝[x]﹣1，可判断②的正误；由题意知，x的整数部分为[x]，则 小数部分为x﹣[x]，由0≤x﹣[x]＜1，可求x﹣1＜[x]≤x，可判断③的正误；由3x﹣2[x]+1＝0，可得 3x+1 3x+1 3x+1 3x+1 [x]= ，x的整数部分为 ，则小数部分为x− ，且0≤x− ＜1，可求﹣3＜x≤﹣ 2 2 2 2 1，然后分情况求解，进而可判断④的正误． 1 3 1 【解答】解：当x= 时，[1+x]+[1−x]=[ ]+[ ]=1+0=1，①正确，故符合要求； 2 2 2 设[x]＝n，则n≤x＜n+1， ∴n﹣1≤x﹣1＜n， ∴[x﹣1]＝n﹣1， ∴[x﹣1]＝[x]﹣1，②正确，故符合要求； 由题意知，x的整数部分为[x]，则小数部分为x﹣[x]， ∴0≤x﹣[x]＜1， 解得，x﹣1＜[x]≤x，③正确，故符合要求； ∵3x﹣2[x]+1＝0， 3x+1 ∴[x]= ， 2 3x+1 3x+1 3x+1 ∴x的整数部分为 ，则小数部分为x− ，且0≤x− ＜1， 2 2 2 解得，﹣3＜x≤﹣1， 当﹣3＜x＜﹣2时，[x]＝﹣3， ∴3x﹣2×（﹣3）+1＝0， 7 解得，x=− ； 3 当﹣2≤x＜﹣1时，[x]＝﹣2，∴3x﹣2×（﹣2）+1＝0， 5 解得，x=− ； 3 当x＝﹣1时，[x]＝﹣1， ∴3x﹣2×（﹣1）+1＝0， 解得，x＝﹣1； 7 5 综上所述，x=− 或x=− 或x＝﹣1是3x﹣2[x]+1＝0的解，④错误，故不符合要求； 3 3 故答案为：①②③． 【解答题篇·40 题】 1．（2024春•江岸区期末）如图1，平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b），且a，b满足 |a+3|+❑√b+4=0． （1）求点A，B的坐标； （2）将线段AB平移至CD处，点C与点A是对应点，C（x，y），F是线段CD上的点，点F的坐标为 （x+1.5，y﹣2），点E是x轴上一动点，点E的坐标为（m，0）． 9 ①当x= ，y＝6，且m＞3时，三角形CFE的面积与三角形BFE的面积相等，求m的值； 2 ②如图2，若点C，D均在第一象限，且满足4x+12＝ny，连接AC，BD，ED，若三角形ACE的面积小于 n−6 n−3 三角形BED的面积，且不小于三角形BED面积的一半，直接写出m的取值范围 ≤m＜ 或 3 2 m ≤﹣ n ﹣ 6 .（用含有n的式子表示） 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负数的性质即可求解； （2）利用构造法（割补法），将三角形BEF和三角形CEF的面积表示出来，建立关于m的方程即可求 解；（3）先利用S△BDT ＝S△BTK +S△DTK 得到k＝n，根据E和AK之间的位置关系分类讨论，将△AEC和△BED 1 的面积表示出来，再利用 2 S△BED ≤S△AEC ＜S△BED建立不等式求解即可 ． 【解答】解：（1）∵|a+3|≥0，❑√b+4≥0， 又∵|a+3|+❑√b+4=0， ∴|a+3|=❑√b+4=0， ∴a+3＝b+4＝0， ∴a＝﹣3，b＝﹣4， ∴A（﹣3，0），B（0，﹣4）； （2）①连接DC，DF， 延长CD与x轴交于点H， 过点C、D、F分别作CP⊥x轴于点P，作DQ⊥x轴于点Q，作FR⊥x轴于点R， 令BF与x轴交于点G， 9 15 由题可得C( ，6)，F（6，4），则D( ，2)， 2 2 9 15 ∴P( ，0)，Q( ，0)， 2 2 则S△OBF ＝S△OGB +S△OGF ， 1 1 1 ∴ OB×FR= OG×OB+ OG×FR， 2 2 2 1 1 1 ∴ ×4×6= ×40G+ ×4OG， 2 2 2 ∴0G＝3， ∴G（3，0）， 又∵S△OCD ＝S△OCH ﹣S△ODH ＝S△OCP +S梯形CPQD ﹣S△ODQ ， 1 1 1 1 1 ∴ OH×CP− OH×DQ= OP×CP+ PQ×(DQ+CP)− DQ×OQ， 2 2 2 2 21 1 1 9 1 15 9 1 15 ∴ ×60H− ×20H= × ×6+ ( − )(2+6)− × ×2， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴0H＝9， ∴H（9，0） 1 1 ∵S△BEF ＝S△BEG +S△EFG = 2 EG⋅BO+ 2 EG⋅FR= 4EG＝4（m﹣3）， 1 1 S△CEF ＝S△ECH ﹣S△CFH = 2 EH•CP− 2 EH•FR＝EH＝|m﹣9|， ∵S△BEF ＝S△CEF ， ∴4（m﹣3）＝|m﹣9|， 21 解得：m＝1（舍）或m= ， 5 ②∵点C，D均在第一象限，且满足4x+12＝ny， 4x+12 ∴y= ， n (m+3)⋅y (m+3)(4x+12) ∴S△ACE = 2 = 2n ， 如图，过D作DT⊥x轴，BT∥x轴，DT和BT交于点T，设BD交x轴于点T，设K（k，0）， ∵S△BDT ＝S△BTK +S△DTK ， (x+3)⋅y (x+3)⋅4 (x+3−k)⋅y ∴ = + ， 2 2 2 整理得ky＝4x+12， 4x+12 n ∴k= =（4x+12）• =n， y 4x+12 ∴k＝n， 即K（n，0）， 1 ∴S△BED ＝S△BEK +S△DEK = 2 |n﹣m|•y，1 1°，当E在AK之间时，S△BED ＝S△BEK +S△DEK = 2 （n﹣m）•y， 1 ∵ 2 S△BED ≤S△AEC ＜S△BED ， ∴n﹣m≤2（m+3）＜2（n﹣m）， n−6 n−3 解得 ≤m＜ ； 3 2 −3−m 1 2°，当E在A左边时，S△ACE = 2 •y，S△BED = 2 （n﹣m）•y， 1 ∵ 2 S△BED ≤S△AEC ＜S△BED ， ∴n﹣m≤2（﹣3﹣m）＜2（n﹣m）， ∴m≤﹣n+6， 3°，当E在K右侧时，S△AEC ＞S△BED ， ∴不符合题意； n−6 n−3 综上， ≤m＜ 或m≤﹣n﹣6． 3 2 n−6 n−3 故答案为： ≤m＜ 或m≤﹣n﹣6． 3 2 2．（2024春•武昌区期末）定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐不等式”． •只要其中任意两个代数式的和大于第三个代数式； •满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数． 例如：若三个代数式A，B和C构成关于x的不等式满足A+B＞C且解集为x＞2，则称A，B和C构成“和 谐不等式”． （1）判断代数式A＝x﹣4，B＝x+2，C＝2是否构成“和谐不等式”？请说明理由． （2）若A＝2x+m，B＝x，C＝3m+2构成“和谐不等式”，则m＝ ﹣ 1 或 2 ． （3）若A＝ax+a，B＝﹣bx，C＝2b构成“和谐不等式”，求关于x的一元一次不等式组 {ax−a＞bx−2b) 的解集． ax＜a+2b 【分析】（1）由x﹣4+x+2＞2，即2x﹣2＞2的解集为x＞2即可得出答案； （2）根据“和谐不等式”得定义分类讨论即可； （3）分ax+a﹣bx＞2b、ax+a+2b＞﹣bx、当﹣bx+2b＞ax+a三种情况，依据新定义得出a、b之间的数量关 系及a、b的正负情况，再代入方程组消掉a或b，进一步求解即可． 【解答】解：（1）A＝x﹣4，B＝x+2，C＝2可以构成“和谐不等式”， ∵x﹣4+x+2＞2，即2x﹣2＞2的解集为x＞2，∴A＝x﹣4，B＝x+2，C＝2可以构成“和谐不等式”， （2）∵A＝2x+m，B＝x，C＝3m+2构成“和谐不等式”， 2m+2 ①当2x+m+x＞3m+2时，则x＞ ， 3 ∴x＞2 2m+2 ∴ = 2， 3 ∴m＝2． ②当2x+m+3m+2＞x时，则x＞﹣4m﹣2， ∵x＞2， ∴﹣4m﹣2＝2， ∴m＝﹣1． ③x+3m+2＞2x+m时，则x＜2m+2，此时与定义不符，舍去． 综上，m的值为﹣1或2． 故答案为：﹣1或2． （3）①当ax+a﹣bx＞2b时，则（a﹣b）x＞2b﹣a， ∵x＞2， {a−b＞0 ) ∴ 2b−a ， =2 a−b 3 { b= a) 4 解得： ， a＞0 b＞0 {ax−a＞bx−2b) 5 代入 得：﹣2＜x＜ ． ax＜a+2b 2 ②当ax+a+2b＞﹣bx时，则（a+b）x＞﹣a﹣2b， ∵x＞2， { a+b＞0 ) ∴ −a−2b ， =2 a+b 3 { b=− a) 4 解得： ， a＞0 b＜010 {x＞ ) {ax−a＞bx−2b) 7 代入 得： ， ax＜a+2b 1 x＜− 2 ∴无解． ③当﹣bx+2b＞ax+a时，则（a+b）x＜2b﹣a， ∵x＞2， {a+b＜0 ) ∴ 2b−a ， =2 a+b 解得：a＝0， ∴不成立． 5 综上：﹣2＜x＜ ． 2 3．（2024春•青山区期末）已知点A（a，3b），点B（3a，b），且a，b满足❑√a+b−3+|a+3b−7|=0． （1）a＝ 1 ，b＝ 2 ； （2）如图1，点C（4，6），连接OC交AB于点E，连接AC，OB．求三角形ACE与三角形OBE的面积 差； （3）如图2，点P（m，﹣2m+2）在第二象限，且为直线AB左侧一点，求三角形PAB的面积？ 【分析】（1）由非负性的性质可得关于a，b的二元一次方程组，解之即可； （2）延长CA交y轴于点D（0，6），作BF⊥y轴于F（0，2），根据S△ACE ﹣S△OBE ＝S△OCD ﹣S四边形OBAD 代入计算即可； （3）作AD∥y轴，BD∥x轴交AD于点D（1，2），连接PD，作PQ⊥AD于Q（1，﹣2m+2），由S△ABP ＝S△ABD +S△ADP ﹣S△PBD 可得结论； 【解答】解：（1）∵❑√a+b−3+|a+3b−7|=0， ❑√a+b−3≥0，|a+3b﹣7|≥0， ∴❑√a+b−3=0，|a+3b﹣7|＝0，{a+b−3=0 ) 即 ， a+3b−7=0 {a=1) 解得 ， b=2 故答案为：1；2； （2）如图1，延长CA交y轴于点D（0，6），作BF⊥y轴于F（0，2）， ∴BF＝3，CD＝4，OF＝2，OD＝6，DF＝4，AD＝1， ∴S△ACE ﹣S△OBE ＝（S△ACE +S四边形AEOD ）﹣（S△OBE +S四边形AEOD ） ＝S△OCD ﹣S四边形OBAD 1 1 1 = ×4×6﹣[ ×（1+3）×4+ ×3×2] 2 2 2 ＝1； （3）如图2，作AD∥y轴，BD∥x轴交AD于点D（1，2），连接PD，作PQ⊥AD于Q（1，﹣2m+2）， ∴AD＝4，BD＝2，PQ＝1﹣m， 由 ∴S△ABP ＝S△ABD +S△ADP ﹣S△PBD 1 1 1 = ×2×4+ ×4×（1﹣m）− ×2×（﹣2m+2﹣2） 2 2 2 ＝4+2﹣2m+2m＝6． ∴△PAB的面积为6． 4．（2024春•江汉区期末）定义：在平面直角坐标系中，已知点M（a，b），N（c，d），可以得到MN的中 a+c b+d 点P的坐标为( ， )；当d≥0时，将点P向上平移d个单位，得到Q；当d＜0时，将点P向下平 2 2 移|d|个单位，得到Q，我们称点Q为M关于N的中心平移点．例如：M（1，2），N（2，3），MN的中点 P的坐标为（1.5，2.5），M关于N的中心平移点Q的坐标为（1.5，5.5）． （1）已知A（﹣3，1），B（1，3），C（﹣5，﹣5），直接写出A关于B的中心平移点D及A关于C的 中心平移点E的坐标； （2）已知F（﹣3，m），G（5，m+2）位于x轴的同侧，F关于G的中心平移点为H，若△OHG的面积比 △OHF的面积大6，求m的值； （3）已知R（n，n），S（0，2n）（n≠0），将点S向下平移1个单位得到T，将点S向上平移6个单位 得到U，分别过点S与U作x轴的平行线l 与l ．若点V在线段ST上，且V关于R的中心平移点在l 与l 1 2 1 2 之间（不含l ，l ），直接写出n的取值范围． 1 2 【分析】（1）根据中心平移点的定义，即可求解； （2）取FG的中点P，连接PH，OP，则PH＝|m+2|，可得FG的中点坐标为（1，m+1），根据点P为FG 的中点，可得S△HPG +S△OPG ＝S△HPF +S△OPF ，然后根据△OHG的面积比△OHF的面积大6，可得S△OPH ＝ 3，即可求解； （3）根据题意可得点T（0，2n﹣1），U（0，2n+6），设点V的坐标为（0，y），可得2n﹣1＜y＜2n，从 n 3n+ y 5n−1 3n+ y 5n 而得到V关于R的中心平移点的坐标为( ， )，进而得到 ≤ ≤ ，再由V关于R的 2 2 2 2 2 5n−1 { ＞2n) 2 中心平移点在l 与l 之间（不含l ，l ），可得 ，即可求解． 1 2 1 2 5n ＜2n+6 2【解答】解：（1）∵点A（﹣3，1）和B（1，3）的中点坐标为（﹣1，2）， ∴A关于B的中心平移点D的坐标为（﹣1，5）， ∵点A（﹣3，1）和C（﹣5，﹣5）， ∴AC的中点坐标为（﹣4，﹣2）， ∴A关于C的中心平移点E的坐标为（﹣4，﹣7）； （2）如图，取FG的中点P，连接PH，OP，则PH＝|m+2|， ∵F（﹣3，m），G（5，m+2）， −3+5 m+m+2 ∴FG的中点坐标为( ， )， 2 2 即（1，m+1）， ∵点P为FG的中点， ∴S△HPG ＝S△HPF ，S△OPG ＝S△OPF ， ∴S△HPG +S△OPG ＝S△HPF +S△OPF ， ∵△OHG的面积比△OHF的面积大6， ∴S△OHG ﹣S△OHF ＝2S△OPH ＝6， ∴S△OPH ＝3， 1 ∴ ×1×|m+2|=3， 2 解得m＝﹣8或4； （3）∵S（0，2n）（n≠0），将点S向下平移1个单位得到T，将点S向上平移6个单位得到U， ∴点T（0，2n﹣1），U（0，2n+6）， 设点V的坐标为（0，y），∵点V在线段ST上， ∴2n﹣1＜y＜2n， ∵R（n，n）， n 3n+ y ∴V关于R的中心平移点的坐标为( ， )， 2 2 2n−1+n 3n+ y 2n+n ∴ +n≤ ≤ +n， 2 2 2 5n−1 3n+ y 5n 即 ≤ ≤ ， 2 2 2 ∵V关于R的中心平移点在l 与l 之间（不含l ，l ）， 1 2 1 2 5n−1 { ＞2n) 2 ∴ ， 5n ＜2n+6 2 解得1＜n＜12． 5．（2023春•硚口区期末）已知❑√b−5+|b−c−8|=0，d为4的算术平方根，点A（a，b），B（a﹣d，b ﹣3），C（c，0），且a＞0． （1）直接写出b＝ 5 ，c＝ ﹣ 3 ，d＝ 2 ； （2）如图1，若点C在直线AB上，求a的值； （3）平移线段AB，点A的对应点M在y轴的正半轴上，点B的对应点N恰好在x轴的负半轴上，点P以 每秒3个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒2个单位长度从N点向x轴正半轴运动， 直线NP，MQ交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒． ①如图2，当1＜t＜2时，探究三角形MPD的面积和三角形NQD的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形MDN的面积为10，直接写出点D的坐标． 【分析】（1）由算术平方根、绝对值的非负性知b﹣5＝0，b﹣c﹣8＝0，解得b＝5，c＝﹣3，d=❑√4=2 ．1 （2）过A作AK⊥x轴，连接BK，则K（a，0），S△ABK +S△BCK ＝S△ACK ，求得a= 3 ． （3）根据题意，沿y轴负方向平移2个单位，得M（0，3），N（﹣2，0）， 1 1 ①MP＝3t，NQ＝2t，S △MOQ = 2 ×3(2t−2)=3t−3，S △NOP = 2 ×2(3t−3)=3t−3，于是，可证S△MPD ＝S△NQD ； ②t＝2 时，P（0，﹣3），Q（2，0），MQ∥NP，点D不存在．当0＜t≤1，如图，点D在三角形MON 内部，此 时S△MND ＜S△Moy ＝3，不符合题意；当1＜t＜2时，如图，点D在第四象限，设D（m，n），由 7 7 ①得S△MPD ＝S△NQD ，得3m＝﹣2n，连接OD，则S△MON +S△MOD +S△NOD ＝S△MND ，解得D( 3 ，− 2 )；当 t ＞2时，如图，点D在第二象限，S△MPD ＝S△NQD ，得﹣3m＝2n，连接OD，则S△DON +S△MOD ﹣S△MON ＝ 13 13 S△MMD ，解得D(− 3 ， 2 )． 【解答】解：（1）由❑√b−5+|b−c−8|=0 知， b﹣5＝0，b﹣c﹣8＝0， 解得b＝5，c＝﹣3， ∴d=❑√4=2． （2）如图，过A作AK⊥x轴，连接BK． 由（1）得A（a，5），B（a﹣2，2），C（﹣3，0）， ∴K（a，0）， ∴AK＝5，CK＝a+3， ∵S△ABK +S△BCK ＝S△ACK ， 1 1 1 ∴ ×2×5+ ×2(a+3)= ×5(a+3)， 2 2 2 1 解得a= ． 3 （3）根据题意，平移后点A（a，5）的对应点M在y轴的正半轴上，点B（a﹣2，2）的对应点N在x轴的负半轴， 沿y轴负方向平移2个单位， ∴M（0，3），N（﹣2，0）， ①S△MPD ＝S△NQD ，理由如下： 由题意得MP＝3t，NQ＝2t， ∴OP＝3t﹣3，OQ＝2t﹣2， 1 S = ×3(2t−2)=3t−3， △MOQ 2 1 S = ×2(3t−3)=3t−3， △NOP 2 ∴S△MOQ ＝S△NOP ， ∴S△MOQ +S四边形OPDQ ＝S△NOP +S四边形OPDQ ， 即S△MPD ＝S△NQD ． ②当t＝2时，P（0，﹣3），Q（2，0），PQ可以看作由MN向下平移3个单位长度，向右平移2个单位 长度得到， 此时MQ∥NP，点D不存在， 当0＜t≤1，如图，点D在三角形MON内部，此时S△MND ＜S△MON ＝3，不符合题意； 当1＜t＜2时，如图，点D在第四象限，设D（m，n），由①得S△MPD ＝S△NQD ， 1 1 ∴ ×3t⋅m= ×2t⋅(−n)， 2 2 ∴3m＝﹣2n， 连接OD， ∵S△MON +S△MOD +S△NOD ＝S△MND ， 1 1 1 ∴ ×2×3+ ×3m+ ×2(−n)=10， 2 2 2 ∴3m﹣2n＝14， 7 7 ∴m= ，n=− ， 3 2 7 7 ∴D( ，− )； 3 2 当t＞2时，如图，点D在第二象限，∵S△MPD ＝S△NQD ， 1 1 ∴ ×3t⋅(−m)= ×2t⋅n， 2 2 ∴﹣3m＝2n， 连接OD， ∵S△DON +S△MOD ﹣S△MON ＝S△MND ， 1 1 1 ∴ ×2n+ ×3(−m)− ×2×3=10， 2 2 2 ∴2n﹣3m＝26， 13 13 ∴m=− ，n= ， 3 2 13 13 ∴D(− ， )， 3 2 7 7 13 13 综上，点D的坐标为( ，− )或(− ， )． 3 2 3 2 6．（2024春•湖北期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（﹣4，﹣2），连接AB，与x 轴、y轴分别相交于点G、H，点G（a，0）、点H（0，b）满足(a+2) 2+❑√b−2=0． （1）【基础训练】请你直接写出G、H两点的坐标； （2）【能力提升】如图2，点C（m，n）在线段GH上，m、n满足n+m＝﹣1，点D在y轴负半轴上，连 接CD交x轴的负半轴于点M，且S△CGM ＝S△MOD ，求点D的坐标； （3）【拓展延伸】如图3，P为直线AB上一点（异于A，B，G三点），过P点作AB的垂线交x轴于点 E，∠PEG和∠BGE的平分线所在的直线相交于Q点．当P在直线AB上运动时，请直接写出∠EQG的度 数． 【分析】（1）(a+2) 2+❑√b−2=0，（a+2）2≥0且b﹣2≥0，得出a＝﹣2，b＝2，G（﹣2，0），H（0， 2）； 1 1 3 2 2 （2）S = CE⋅HD= × (2+OD)=2，得出OD= ，D(0，− )； △HCD 2 2 2 3 3 （3）分点P在点G上方和点P在点G下方两种情况进行讨论．【解答】解：（1）∵(a+2) 2+❑√b−2=0，（a+2）2≥0且b﹣2≥0， ∴（a+2）2＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣2，b＝2， ∴G（﹣2，0），H（0，2）； （2）连接CO，过点C分别作CE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F， ∵S△CGM ＝S△MOD ， ∴S△GOH ＝S△CDH ， 1 ∴S = GO⋅HO=2， △GOH 2 ∵S△GOH ＝S△GCO +S△HCO ， 1 1 ∴ ×2n+ ×2(−m)=2， 2 2 ∴n﹣m＝2， {m+n=−1) ∴ ， n−m=2 1 { n= ) 2 ∴ ， 3 m=− 2 3 1 ∴C(− ， )， 2 2 1 1 3 ∵S = CE⋅HD= × (2+OD)=2， △HCD 2 2 2 2 ∴OD= ， 3 2 ∴D(0，− )； 3 （3）分别过点P，Q作l ∥x轴，l ∥x轴，依题意设∠1＝∠2＝t，则∠6＝∠1＝t， 1 2 ∴∠3＝2t，∠4＝180°﹣90°﹣2t＝90°﹣2t，①如图1，当点P在点G上方时，易得∠4＝∠5＝90°﹣2t， ∵GQ平分∠BGE， ∴∠AGQ＝45°+t， ∴∠EQG＝180°﹣∠6﹣∠QGE＝180°﹣t﹣（135°﹣t）＝45°； ②如图2，当点P在点G下方时，易得∠4＝∠GEP＝90°﹣2t， 又∵EQ平分∠GEP， ∴∠5＝∠GEQ＝45°﹣t， ∴∠EQG＝180°﹣∠6﹣∠5＝180°﹣t﹣（45°﹣t）＝135°， 综上所述，∠EQG＝45°或135°． 7．（2023春•武穴市期末）如图，A为x轴负半轴上一点，C（0，﹣3），D（﹣4，﹣3）．（1）求△BCD的面积； （2）如图（2），若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交CO于P，交CA于Q，判断∠CPQ与∠AQB有何数量 关系，并说明理由； （3）如图（3），若∠ADC＝∠DAC，点B在x轴正半轴上任意运动，∠ACB的平分线CE交DA的延长线 ∠E 于点E，在B点的运动过程中， 的值是否变化？若不变化，求出其值；若变化，说明理由． ∠ABC 【分析】（1）根据点的坐标求得CD＝4，即可求出面积； （2）根据BQ平分∠CBA，以及三角形内角和定理便可求出∠AQB+∠CPQ＝180°； （3）设∠ADC＝∠DAC＝ ，∠ECA＝ ，依据角平分线和平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），D（﹣4，﹣3）， α β ∴CD＝4，CD∥x轴， 1 ∴S = ×4×3=6； △BCD 2 （2）∠AQB+∠CPQ＝180°，理由如下： 如图2， ∵BQ平分∠CBA，∴∠ABQ＝∠CBQ， ∵AC⊥BC， ∴∠CBQ+∠CQP＝90°， 又∵∠ABQ+∠OPB＝90°，∠OPB＝∠CPQ， ∴∠ABQ+∠CPQ＝90°， ∴∠CQP＝∠CPQ， 又∵∠AQB+∠CQP＝180°， ∴∠AQB+∠CPQ＝180°； ∠E （3）在B点的运动过程中， 的值不发生变化，理由如下： ∠ABC 设∠ADC＝∠DAC＝ ，∠ECA＝ ，如图3， α β ∴∠E＝180°﹣∠EAC﹣∠ECA＝180°﹣（180﹣∠DAC）﹣∠ECA ＝∠DAC﹣∠ECA＝ ﹣ ， ∵CE平分∠ACB， α β ∴∠ACB＝2∠ACE＝2 ， ∵AB∥CD， β ∴∠BAC+∠DAC+∠ADC＝180°， ∴∠BAC+2 ＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣2 ， α ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣2 ）﹣2 ＝2 ﹣2 ＝2∠E， α ∠E 1 ∴ = ． α β α β ∠ABC 2 1 8．（2024春•石首市期末）在平面直角坐标系中，已知M( ，0)，A（1，a），B（2a，b）， 2 1 C(− ，b+1)，过点M作直线l 平行于y轴． 2 1（1）如果线段BC与x轴有公共点，求b的取值范围； （2）若线段AC通过平移能够与线段BM重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出a、b 的值； （3）若直线外一点到这条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点A 是 （填写“是”或“不是”）直线l 的“密接点”； 1 ②将△ABC平移到△DEF，平移后点A、点B、点C分别对应点D、点E、点F，点F刚好落在直线l 上， 1 点E落在y轴上且纵坐标为2a﹣b，如果△ODE的面积为4，过点A作直线l 平行于x轴，点B是否为直线 2 l 的“密接点”，说明理由． 2 【分析】（1）根据线段BC与x轴有公共点，得到点B在x轴下方，点C在x轴上方，据此列不等式求解 即可； {x −x =x −x ) （2）根据线段AC通过平移能够与线段BM重合，得到 B M A C ，据此列式求解即可； y −y = y −y B M A C （3）①根据“密接点”的定义求解；②根据平移变换的定值分别求出a，b的值，可得结论． 【解答】解：（1）如果线段BC与x轴有公共点，则点B在x轴下方， ∴b≤0， 点C在x轴上方， ∴b+1≥0，即b≥﹣1， ∴﹣1≤b≤0； （2）∵线段AC通过平移能够与线段BM重合， {x −x =x −x ) { 2a− 1 =1−(− 1 ) ) ∴ B M A C ，即 2 2 ， y −y = y −y B M A C b−0=a−(b+1) {a=1) 解得 ； b=0 1 （3）①∵点A到直线l 的距离为 ＜1 1 2 ∴点A是直线l 的“密接点” 1 故答案为：是； ②点B不是l 的“密接点”，理由如下： 2 1 ∵点F刚好落在直线l 上，C(− ，b+1) 1 2 ∴△ABC向右平移的距离为1， ∴点E的横坐标为2a+1，点D的横坐标为2，1 由题意可得：2a+1＝0，解得a=− ， 2 点E的纵坐标为：2a﹣b＝﹣1﹣b， ∵△ODE的面积为4， 1 ∴ ×|−1−b|×2=4， 2 解得b＝﹣5或b＝3， 1 1 7 当a=− ，b＝3时，A(1，− )，B（﹣1，3），此时点B到l 的距离为 ，则点B不是l 的“密接 2 2 2 2 2 点”； 1 1 9 当a=− ，b＝﹣5时，A(1，− )，B（﹣1，﹣5），此时点B到l 的距离为 ，则点B不是l 的“密接 2 2 2 2 2 点”； 综上，点B不是l 的“密接点”． 2 9．（2024春•十堰期末）在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（﹣a，2a），C（b，0）满足 |2a+b+1|+❑√a+2b+8=0． （1）求点A，B，C的坐标． （2）如图1，过点A作AD∥BC交y轴于点D，∠ADO和∠ACB的角平分线交于点E，求∠E的度数． （3）如图2，点M是y轴负半轴上的一点，连接BM交x轴于点N，是否存在点M，使S△AMN ＝S△BCN ？若 存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． {2a+b+1=0) 【分析】（1）先根据非负数的性质得到 ，解方程组即可得到答案； a+2b+8=0 （2）过点E作EF∥AD，由平行线的性质得到∠ACB＝∠CAD，则∠ACB+∠ODA＝90°；再由角平分线的 1 1 定义得到∠BCE= ∠ACB，∠ADE= ∠ADO，证明AD∥BC∥EF，得到∠CEF＝∠BCE，∠DEF＝ 2 2 1 1 ∠ADE，则∠CED= ∠ACB+ ∠ADO=45°； 2 2 （3）连接OB，设m（0，m），N（n，0），则OM＝﹣m，ON＝﹣n，根据S△BOM ＝S△BON +S△MON ，推出mn＝4n﹣2m；根据S△AMN ＝S△BCN ，得到mn﹣2m＝20+4n，据此可得m＝﹣5，则M（0，﹣5）． 【解答】解：（1）∵|2a+b+1|+❑√a+2b+8=0， {2a+b+1=0) ∴ ， a+2b+8=0 { a=2 ) ∴ ， b=−5 ∴﹣a＝﹣2，2a＝4， ∴A（2，0），B（﹣2，4），C（﹣5，0）； （2）如图1，过点E作EF∥AD， ∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD， ∵∠OAD+∠ODA＝90°， ∴∠ACB+∠ODA＝90°； ∵∠ADO和∠ACB的角平分线交于点E， 1 1 ∴∠BCE= ∠ACB，∠ADE= ∠ADO， 2 2 ∵EF∥AD，AD∥BC， ∴AD∥BC∥EF， ∴∠CEF＝∠BCE，∠DEF＝∠ADE， 1 1 ∴∠CED=∠CEF+∠≝=∠BCE+∠ADE= ∠ACB+ ∠ADO=45°； 2 2 （3）存在；理由如下： 如图2，连接OB，设M（0，m），N（n，0），∴OM＝﹣m，ON＝﹣n， ∵S△BOM ＝S△BON +S△MON ， 1 1 1 ∴ OM⋅(−x )= ON⋅y + ON⋅(−y )， 2 B 2 B 2 M 1 1 1 ∴ ×2⋅(−m)= ×4⋅(−n)+ ×(−m)⋅(−n)， 2 2 2 1 ∴−m=−2n+ mn， 2 ∴mn＝4n﹣2m； ∵S△AMN ＝S△BCN ， 1 1 ∴ (2−n)⋅(−m)= ×4(5+n)， 2 2 ∴mn﹣2m＝20+4n， ∴4n﹣2m﹣2m＝20+4n， ∴m＝﹣5， ∴M（0，﹣5）． 10．（2024春•宜昌期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b），其中a，b满足 |a−4|+❑√a−b+2=0． （1）请直接填空：a＝ 4 ，B点坐标为 （ 0 ， 6 ） ； （2）点C（x，y）是线段AB上一动点，求x，y之间满足的关系式（含x的式子表示y）； （3）如图2，将直线AB沿x轴向左平移，当平移后的直线DE经过点D（﹣2，0），点D是点A的对应点 时，解决如下问题： ①在直线DE上是否存在点P，使得三角形ADP的面积等于18？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说 明理由； ②已知Q（m，n）是直线DE上一动点，且点Q位于第二象限，若三角形BOQ的面积不大于9，求n的取 值范围．【分析】（1）由|a−4|+❑√a−b+2=0．得a＝4，b＝6，故B（0，6）． 1 1 1 3 （2）由△OAB面积＝△AOC面积+△BOC面积得 ×6×4= ×6x+ ×4y，故y=− x+6． 2 2 2 2 1 （3）①设P纵坐标为a，由△ADP面积= a×DE＝18，得a＝6．当P在第二象限时，点A向左平移6个 2 长度单位到点D，故P（﹣6，6）．当P在第三象限时，点B向下平移6个长度单位，再向右平移4个长度 单位，故P（2，﹣6）． 1 ②过P作PM⊥x轴，连BD．设△BOQ的面积＝9，得 ×6¿9，故m＝±3．当Q位于第二象限时，即m＝ 2 1 1 ﹣3时，△ADP面积＝△BPD面积＝梯形PMOB面积﹣△PMD面积﹣△BDO面积，得 ×6n= （n+6）×3 2 2 1 1 3 − ×1×n− ×2×6，故n= ．当Q'位于第四象限时，即m＝3时，由△ADQ'面积＝△BDQ'面积＝梯形 2 2 2 1 1 1 1 DHGB面积+△BCQ'面积﹣△DHG面积，得 ×6×（﹣n）= （﹣n+6﹣n）×2+ （6﹣n）×3− （﹣n） 2 2 2 2 15 15 3 ×5，故n=− ，因此− ＜n＜ ． 2 2 2 【解答】解：（1）∵|a−4|+❑√a−b+2=0． ∴a＝4，b＝6， ∴B（0，6）． 故答案为：4，（0，6）． （2）∵△OAB面积＝△AOC面积+△BOC面积， 1 1 1 ∴ ×6×4 = ×6x + ×4y， 2 2 2 3 ∴y=− x+6． 2（3）①设P纵坐标为a， 1 ∴△ADP面积= a×DE＝18， 2 1 ∴ a×6＝18， 2 ∴a＝6． 当P在第二象限时， 点A向左平移6个长度单位到点D， ∴P（﹣6，6）． 当P在第三象限时， 点B向下平移6个长度单位，再向右平移4个长度单位， ∴P（2，﹣6）． 综上所述，P（﹣6，6）或（2，﹣6）． ②过P作PM⊥x轴，连BD． 设△BOQ的面积＝9， 1 ∴ ×6¿9， 2 ∴m＝±3． 当Q位于第二象限时，即m＝﹣3时， ∵AB∥ED， ∴△ADP面积＝△BPD面积＝梯形PMOB面积﹣△PMD面积﹣△BDO面积， 1 1 1 1 ∴ ×6n = （n+6）×3− ×1×n− ×2×6， 2 2 2 2 3 ∴n= ． 2当Q'位于第四象限时，即m＝3时， ∵△ADQ'面积＝△BDQ'面积＝梯形DHGB面积+△BCQ'面积﹣△DHG面积， 1 1 1 1 ∴ ×6×（﹣n）= （﹣n+6﹣n）×2 + （6﹣n）×3− （﹣n）×5， 2 2 2 2 15 ∴n=− ， 2 15 3 ∴− ＜n＜ ． 2 2 11．（2024春•孝感期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且(a+b) 2+❑√a−b+4=0 ，AC与y轴相交于点F，过C作CB⊥x轴于点B． （1）填空：a＝ ﹣ 2 ，b＝ 2 ，三角形ABC的面积为 4 ； （2）如图2，过B作BD∥AC交y轴于D，若AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数； （3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不 存在，请说明理由． 【分析】（1）先依据非负数的性质可求得a、b的值，从而可得到点A和点C的坐标，再依据三角形的面 积公式求解即可； （2）过E作OM∥AC，根据平行线的判定和性质求解即可； （3）分两种情况，当点P在y轴正半轴时和点P在y轴负半轴时，根据三角形面积相等进行计算即可． 【解答】解：（1）∵(a+b) 2+❑√a−b+4=0， ∴a+b＝0，a﹣b+4＝0，解得：a＝﹣2，b＝2， ∴A（﹣2，0），C（2，2）， ∴AB＝4，BC＝2， 1 ∴三角形ABC的面积为 ×4×2=4； 2 故答案为：﹣2，2，4； （2）如图，过点O作OM∥AC，则∠AOM＝∠CAB，∵OM∥AC，BD∥AC， ∴OM∥BD， ∴∠DOM＝∠ODB， ∴∠AOD＝∠AOM+∠DOM＝∠CAB+∠ODB， 同理∠AED＝∠CAE+∠BDE． ∵x轴⊥y轴， ∴∠AOD＝90°， ∴∠CAB+∠ODB＝90°， ∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB， ∴∠C A B＝2∠C A E，∠ODB＝2∠BDE， ∴2∠CAE+2∠BDE＝90°，即∠CAE+∠BDE＝45°， ∴∠AED＝45°； （3）连接OC，过点C作CN⊥y轴于N， ∵A（﹣2，0），C（2，2），CB⊥x轴， ∴OA＝2，CN＝2，BC＝2， ∵S三角形AOF +S三角形COF ＝S三角形AOC ， 1 1 1 ∴ ×OF×OA+ ×OF×CN= ×OA×BC， 2 2 2 1 1 1 即 ×OF×2+ ×OF×2= ×2×2， 2 2 2 解得：OF＝1， ∴F（0，1），∵S三角形ACP ＝S三角形ABC ，S三角形ABC ＝4， ∴S三角形ACP ＝4，即S三角形APF +S三角形CPF ＝4， 1 1 1 1 ∴ ×PF×OA+ ×PF×CN=4，即 ×PF×2+ ×PF×2=4， 2 2 2 2 解得：PF＝2， 又∵F（0，1）， 当点P在y轴正半轴时，点P的坐标为（0，3）； 当点P在y轴负半轴时，点P的坐标为（0，﹣1）； ∴点P的坐标为（0，3）或（0，﹣1）． 12．（2024春•咸安区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0， 2），点C坐标C（m，n）满足❑√m−3+|n−4|=0，连接AC，BC，OC． （1）四边形OACB的面积为 1 1 ； （2）点D是x轴上一个动点，当三角形ADC的面积为10时，求点D的坐标； （3）将线段AC平移至线段PQ（点C的对应点为P，点A的对应点为Q），且点P在线段OB上，当三角 15 形PAC的面积为 时，求点Q的坐标． 2 【分析】（1）根据非负数的性质可得m﹣3＝0，n﹣4＝0，进而可得点C的坐标为（3，4）．利用割补法 求四边形OACB的面积即可． 1 （2）设点D的坐标为（m，0），根据题意可列方程为 ×|m−4|×4=10，求出m的值，即可得出答 2 案． 1 1 15 （3）设点P的坐标为（0，a），0≤a≤2，根据题意可列方程为11− ×(2−a)×3− ×4×a= ，可 2 2 2 得a＝1，则点P的坐标为（0，1），即线段AC是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度得到线 段PQ，结合平移的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵❑√m−3+|n−4|=0， ∴m﹣3＝0，n﹣4＝0， 解得m＝3，n＝4，∴点C的坐标为（3，4）． 1 1 ∴四边形OACB的面积为S△AOC +S△BOC = 2 ×4×4+ 2 ×2×3= 8+3＝11． 故答案为：11． （2）设点D的坐标为（m，0）， ∵三角形ADC的面积为10， 1 ∴ ×|m−4|×4=10， 2 解得m＝9或﹣1， ∴点D的坐标为（9，0）或（﹣1，0）． （3）如图， ∵点P在线段OB上， ∴设点P的坐标为（0，a），0≤a≤2， 1 1 15 ∴三角形PAC的面积为S四边形OACB ﹣S△PBC ﹣S△AOP =11− 2 ×(2−a)×3− 2 ×4×a= 2 ， 解得a＝1， ∴点P的坐标为（0，1）， ∴线段AC是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度得到线段PQ， ∴点A的对应点Q的坐标为（1，﹣3）． 13．（2024春•云梦县期末）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（a，0），B （2，b），C（4，0），其中a，b满足❑√1−a−b+|b−3|=0，AB与y轴交于点D．（1）求a，b的值及点D的坐标； （2）如图2，E是y轴上位于AB上方的一动点， ①连接AE，EB，OB，当△AEB和△OEB的面积相等时，求点E的坐标； ②如图3，过点E作EF∥AB，EM平分∠FEO，AM平分∠BAO，求∠EMA的度数． 【分析】（1）连接OB，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，由非负性可求a，b，c的 值，再由S△ABO ＝S△ADO +S△BDO 列出等式，即可求解； 1 1 （2）①过点B作BH⊥OE，由S△AEB ＝S△OEB 可得S△AED ＝S△BOD ，从而得出 2 ×DE×AO= 2 ×DO×BH 3 3 3 ，求得DE= ，可得OE=OD+DE= + =3，得出点E的坐标为E（0，3）； 2 2 2 ②过点M作MN∥AC，交y轴于点N，则∠NMA＝∠OAM，∠ENM＝∠DOC＝90°，由EF∥AB可得 ∠FEO＝∠BDO，再由∠BDO+∠ODA＝∠BAO+∠AOD+∠ODA＝180°得出∠BDO＝∠BAO+∠AOD＝ ∠BAO+90°，从而可得∠FEO＝∠BAO+90°，再由EM平分∠FEO可得 1 1 1 ∠MEO= ∠FEO= ∠BAO+45°，再由AM平分∠BAO可得∠NMA=∠OAM= ∠BAO，从而得 2 2 2 出∠EMA＝∠EMN+∠NMA＝45°． 【解答】解：（1）连接OB，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，如图1， {1−a−b=0) 依题可得 ， b−3=0 {a=−2) 解得 ， b=3 ∴A（﹣2，0），B（2，3），∵S△ABO ＝S△ADO +S△BDO ， 1 1 1 ∴ ×AO×BG= ×AO×DO+ ×DO×BH， 2 2 2 1 1 1 即 ×2×3= ×2×DO+ ×DO×2， 2 2 2 3 ∴DO= ， 2 3 ∴点D的坐标为D(0， )； 2 （2）①过点B作BH⊥OE，交OE于点H，如图2， ∵S△AEB ＝S△OEB ， ∴S△AED ＝S△BOD ， 1 1 ∴ ×DE×AO= ×DO×BH， 2 2 1 1 3 ∴ ×DE×2= × ×2， 2 2 2 3 ∴DE= ， 2 3 3 ∴OE=OD+DE= + =3， 2 2 ∴点E的坐标为E（0，3）； ②过点M作MN∥AC，交y轴于点N，如图3， 则∠NMA＝∠OAM，∠ENM＝∠DOC＝90°，∵EF∥AB， ∴∠FEO＝∠BDO， ∵∠BDO+∠ODA＝∠BAO+∠AOD+∠ODA＝180°， ∴∠BDO＝∠BAO+∠AOD＝∠BAO+90°， ∴∠FEO＝∠BAO+90°， ∵EM平分∠FEO， 1 1 ∴∠MEO= ∠FEO= ∠BAO+45°， 2 2 1 1 ∴∠EMN=180°−∠ENM−∠MEO=90°−( ∠BAO+45°)=45°− ∠BAO， 2 2 ∵AM平分∠BAO， 1 ∴∠NMA=∠OAM= ∠BAO， 2 ∴∠EMA＝∠EMN+∠NMA＝45°． 14．（2024春•大冶市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，a），B（b，0），C（0，c），且 |a−4|+(b−2) 2+❑√c−4=0． （1）求四边形ACOB的面积． （2）如图（1）点P从原点出发，沿y轴正半轴以每秒1个单位向点C匀速运动，运动时间为t秒，是否存 在S四边形APOB ＜2S△ACP ，存在，求t的取值范围，若不存在，请说明理由． （3）点P在线段OC上，且AP平分∠CAB，点G在x轴正半轴上运动，且AM平分∠BAG交x轴于点M， 过点M作MN⊥AP，交AP于点N，设∠AMN＝ ，∠AGB＝ ，试探究 与 的数量关系，画图并证明你 的结论． α β α β 【分析】（1）根据非负数的性质先求解a，b，c的值，再利用梯形的面积公式计算即可； 1 （2）求解S△ACP = 2 ×4（4﹣t）＝8﹣2t，S四边形APOB ＝12﹣8+2t＝4+2t，再建立不等式求解即可； （3）①当点G在B的右侧时，设∠AMN＝ ，∠AGB＝ ，设∠GAM＝∠BAM＝x°，∠CAP＝∠PAB＝ α βy°，再利用三角形的内角和定理与平行线的性质可得结论； ②设A∠MN＝ ，∠AGB＝ ，设∠GAM＝∠BAM＝x°，∠PAG＝y°，当点G在B的左侧时，∠CAP＝ ∠BAP＝2x°+y°，再利用三角形的内角和定理与平行线的性质可得结论． α β 【解答】（1）解：∵|a−4|+(b−2) 2+❑√c−4=0， ∴а﹣4＝0，b﹣2＝0，c﹣4＝0， 解得：a＝4，b＝2，c＝4， 点A（4，4），B（2，0），C（0，4）， 1 ∴S四边形ACOB = 2 ×（4+2）×4＝12， ∴四边形ACOB的面积为12； （2）解：由题意可得：OP＝t，CP＝4﹣t， 1 ∴S△ACP = 2 ×4（4﹣t）＝8﹣2t，S四边形APOB ＝12﹣8+2t＝4+2t， ∵S四边形АPOВ ＜2S△АСP ， ∴4+2t＜2（8﹣2t）， 解得：t＜2， ∴0≤t＜2； （3）解：当点G在B的右侧时，如图， 设∠AMN＝ ，∠AGB＝ ， ∵AM平分∠BAG， α β ∴设∠GAM＝∠BAM＝x°， ∵AP平分∠CAB， ∴∠CAP＝∠PAB＝y°， ∵MN⊥AP， ∴ ＝90°﹣x°﹣y°， ∴2 ＝180°﹣（2x°+2y°）， α ∵A（4，4），C（0，4）， α∴AC∥x轴， ∴ ＝180°﹣∠CAG＝180°﹣（2x°+2y° ）， ∴ ＝2 ； β ②如图， β α 设∠AMN＝ ，∠AGB＝ ， ∵AM平分∠BAG， α β ∴设∠GAM＝∠BAM＝x°，∠PAG＝y°， 当点G在B的左侧时， ∵AP平分∠CAB， ∴∠CAP＝∠BAP＝2x°+y°， ∵MN⊥AP， ∴ ＝90°﹣x°﹣y°， ∴2 ＝180°﹣（2x°+2y°）， α ∵A（4，4），C（0，4）， α ∴AC∥x轴， ∴ ＝∠CAG﹣2x°+2y°， ∴2 ＝180°﹣ ； β 综上：当点G在B的右侧时， ＝2 ；当点G在B的左侧时， ＝180﹣2 ． α β 15．（2024春•汉川市期末）在平面直角坐标系中，点A（m，0），B（n，﹣m），且m，n满足|m﹣3|+ β α β α （n+1）2＝0，AB＝5． （1）则点A的坐标是 （ 3 ， 0 ） ，点B的坐标是 （﹣ 1 ，﹣ 3 ） ；（2）求三角形AOB的面积； （3）若点P从点A出发在射线AB上运动（点P不与点A点B重合），点P的速度为每秒3个单位，在点 P运动的同时，点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴运动，连接OP，BQ．若某一时刻 t，三角形BOQ的面积是三角形BOP的面积的2倍时，求t的值，并写出点Q的坐标． 【分析】（1）根据非负数的性质：两个非负数的和为零，每一个非负数都为零求解即可； （2）结合图形，根据三角形面积公式计算即可； （3）过点O作OF⊥AB于F，利用△OAB的面积可求出OF的长，分点P在线段AB上和AB延长线上两 种情况，根据点P、点Q的速度用t表示出OQ、BP的长，根据S△BOQ ＝2S△BOP 列方程求出t值即可得答 案． 【解答】解：（1）|m﹣3|+（n+1）2＝0， ∴m﹣3＝0，n+1＝0， ∴m＝3，n＝﹣1． ∴A（3，0），B（﹣1，﹣3）； 故答案为：（3，0），（﹣1，﹣3）； （2）过点B作BH⊥OA交x轴于点H，如图， ∵A（3，0），B（﹣1，﹣3）， ∴OA＝3，BH＝3， 1 1 9 ∴S△AOB = 2 OA•BH = 2 ×3×3 = 2 ； （3）如图，过点O作OF⊥AB于F， 9 ∵S△AOB = 2 ，AB＝5， 1 1 9 ∴ AB•OF = ×5OF = ， 2 2 2 9 解得OF= ， 5当点P在线段AB上时， ∵点P的速度为每秒3个单位，点Q的速度为每秒2个单位， ∴OQ＝2t，BP＝5﹣3t， ∵B（﹣1，﹣3）， 1 1 9 27 ∴S△BOQ = 2 ×3OQ=3t，S△BOP = 2 BP•OF = 2 − 10 t， ∵S△BOQ ＝2S△BOP ， 9 27 ∴3t＝2×( − t)， 2 10 15 解得t= ， 14 15 ∴2t= ， 7 ∵点Q在x轴负半轴上， 15 ∴点Q坐标为（− ，0）； 7 如图，当点P在AB延长线上时， ∵点P的速度为每秒3个单位，点Q的速度为每秒2个单位，∴OQ＝2t，BP＝3t﹣5， 1 1 27 9 ∴S△BOQ = 2 ×3OQ＝3t，S△BOP = 2 BP⋅OF= 10 t− 2 ， ∵S△BOQ ＝2S△BOP ， 27 9 ∴3t＝2×（ t− ）， 10 2 15 解得t= ， 4 15 ∴2t= ， 2 ∵点Q在x轴负半轴上， 15 ∴点Q坐标为（− ，0）， 2 15 15 15 综上所述：存在某一时刻t，使△BOQ的面积是△BOP的面积的2倍，t值为 或 ，点Q坐标为（− 14 4 7 15 ，0）或（− ，0）． 2 16．（2024春•曾都区期末）如图所示，将一副三角板中的两块直角三角板按图1放置在两条平行线MN，PQ 之间，∠BAC＝∠BCA＝45°，∠EDF＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠DEF＝90°，此时点A与点D重合， 点A，C，E三点共线． （1）固定三角形DEF的位置不变，将图1中的三角形ABC沿DE方向平移，使得点C正好落在直线MN 上，如图2所示，此时∠BCM的度数为 15 ° ； （2）在图2的基础上，将三角形ABC绕点C逆时针旋转30°，试判断此时AC与DF的位置关系，并说明 理由；（3）在图2的基础上，将三角形ABC绕点C按逆时针方向进行旋转，如图3所示．若边AC与边EF相交 于点G，我们发现∠CGF﹣∠ACM的值为定值，请求出这个定值； （4）在图2的基础上，将三角形ABC绕点C按逆时针方向以每秒10°的速度旋转，至AC与直线MN首次 重合时停止运动．设旋转时间为t．试探究t为何值时，线段AB与三角形DEF的一条平行边，直接写出符 合条件的t的值． 【分析】（1）利用平行线的性质计算即可； （2）画出图形，先判定AC⊥MN，再利用MN∥PQ，得出AC⊥DF； （3）过点G作 GK∥MN，利用拐点的方法求解即可； （4）分别讨论当AB∥DF时，当AB∥EF时，当AB∥DE时三种情况，利用平行线的性质与判定解答即 可． 【解答】解：（1）∵MN∥PQ， ∴∠MCD＝∠EDF＝60°， ∵∠BCA＝45°， ∴∠BCM＝∠MCD﹣∠BCA＝60°﹣45°＝15°， 故答案为：15°； （2）AC⊥DF，理由如下： 由旋转得∠DCA＝30°， ∵∠MCD＝60°， ∴∠MCA＝∠MCD+∠DCA＝60°+30°＝90°， ∴AC⊥MN， ∵MN∥PQ， ∴AC⊥DF； （3）如图，过点G作GK∥MN， ∵MN∥PQ， ∴MN∥PQ∥GK， ∴∠ACM＝∠CGK，∠DFG＝∠KGF， ∴∠CGF﹣∠ACM＝（∠CGK+∠KGF）﹣∠ACM＝∠DFG＝30°， ∴∠CGF﹣∠ACM的值为定值，定值为30°；（4）t的值为4.5秒或7.5． 当AB∥DF时，如图， ∵AB∥DF， ∴AB∥MN， ∴∠MCB＝∠CBA＝90°， ∵∠MCD＝60°， ∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ACD＝45°+30°＝75°， 即旋转角等于75°， ∵旋转速度是每秒10°， ∴t＝75÷10＝7.5（秒）； 当AB∥EF时，设AC交EF于G，如图， ∵AB∥EF， ∴∠EGC＝∠A＝45°， ∴∠ACE＝45°， 即旋转角等于45°， ∵旋转速度是每秒10°， ∴t＝45÷10＝4.5（秒）； 当AB∥DE时，即BC⊥DE时，旋转角等于45°+90°＝135°， 又因为最大旋转角为120°，故不存在； 综上，当t的值为4.5秒或7.5秒时，线段AB与△DEF的一条边平行． 17．（2024春•广水市期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝ （0°＜ ＜90°）．小明将一个含45°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，∠P α α＝90°，∠PMN＝45°． （1）若∠PNB＝20°，则∠PMD＝ 70 ° ； （2）若PN⊥EF，射线NO在∠MNG内交直线CD于点O，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且 ∠GNO：∠MNO＝3：2，PM∥NO时，求 的度数； （3）小明将三角板PMN沿直线AB左右移动，保持PM∥EF，射线NO平分∠MNG，点N、M分别在直线 α AB和直线CD上移动，请直接写出∠MON的度数（用含 的式子表示）． 【分析】（1）过点P作直线JK∥AB，根据平行公理，则AB∥JK∥CD，再根据平行线的性质，即可解 α 答； （2）延长PN交EF于点K，根据PN⊥PM，PN⊥EF，则EF∥PM，再根据平行公理，得EF∥PM∥NO， 根据平行线的性质，则∠GHM＝∠NOM，∠PMN＝∠MNO，再根据∠GNO：∠MNO＝3：2，求出 3 3 ∠GNO= ∠MNO= ×45°=67.5°，最后再根据平行线的性质及等量代换，即可解答； 2 2 （3）分类讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当点N，M分别在点G，H的左侧，根据平行线的 性质及角平分线的性质，即可作答． 【解答】解：（1）过点P作直线JK∥AB，如图， ∵AB∥CD， ∴AB∥KJ∥CD， ∴∠PNB＝∠NPJ，∠PMD＝∠PM， ∴∠PNB+∠PMD＝∠NPJ+∠JPM＝∠NPK＝90°， ∵∠PNB＝20°，∴∠PMD＝70°， 故答案为：70°； （2）延长PN交EF于点K，如图， ∵∠P＝90°， ∴PN⊥PM， ∵PN⊥EF， ∴EF∥PM， ∵PM∥NO， ∴EF∥PM∥NO， ∴∠GHM＝∠NOM，∠PMN＝∠MNO， ∵∠PMN＝45°， ∴∠PMN＝∠MNO＝45°， ∵∠GNO：∠MNO＝3：2， 3 3 ∴∠GNO= ∠MNO= ×45°=67.5°， 2 2 ∵AB∥CD， ∴GNO＝∠NOM，∠GHM＝∠GNO＝67.5°， ∴ ＝67.5°； （3）①当N，M分别在点G，H的右侧，如图， α ∵PM∥EF， ∴∠EHM＝∠PMD＝ ， ∵∠PMN＝45°， α∴∠NMD＝45°+ ， ∵AB∥CD， α ∴∠ANM＝∠NMD＝45°+ ， ∵射线NO平分∠MNG， α 1 1 1 ∴∠MON=∠ANO=∠MNO= ∠ANM= (45°+α)=22.5°+ α； 2 2 2 ②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图， ∵PM∥EF， ∴∠EHD＝∠PMD＝ ， ∵∠PMN＝45°， α ∴∠NMD＝45°+ ， ∵AB∥CD， α ∴∠BNM+∠NMD＝180°，∠BNO＝∠MON， ∵射线NO平分∠MNG， 1 ∴∠MNO=∠BNO= ∠MNB， 2 ∴∠MNB＝180°﹣（45°+ ）， 1 1 1 ∴∠MON=∠BNO= ∠α MNB= [180°−(45°+α)]=67.5°− α， 2 2 2 1 1 综上所述，∠MON=22.5°+ α或∠MON=67.5°− α． 2 2 18．（2024春•越秀区期末）如图所示，点A（4，0），点B在y轴的正半轴上，OA＝2OB，点C（m，n）是 第一象限内一动点，且三角形ABC的面积为6，线段OC与AB交于点D． （1）求三角形AOB的面积； （2）若三角形AOD与三角形BCD的面积相等，求点C的坐标； （3）将线段BC沿射线BA平移，得到线段AE（点B与点A是对应点），连接OE，设三角形OBC的面积 为S ，三角形OAE的面积为S ，S＝S ﹣S ，当4＜S＜7时，求m的取值范围． 1 2 1 2【分析】（1）求出OA，OB，即可解答； （2）根据△BCD与△AOD面积相等，列出式子，求出m，n，即可解答； 1 （3）根据题意求得n=5− m，分情况讨论：①当点E在x轴上方时，此时n﹣2＞0，即n＞2； ②当点 2 E在x轴下方时，此时n﹣2＜0，即n＜2；根据题意列式求解即可． 【解答】解：（1）∵点A（4，0）， ∴OA＝4， 又∵OA＝2OB， ∴OB＝2， ∴三角形AOB的面积为2×4÷2＝4； （2）∵△BCD与△AOD面积相等， ∴S△BCD +S△BOD ＝S△BOD +S△AOD ＝S△AOB ＝4， 1 ∴S =4= OB⋅m， △OBC 2 ∴m＝4， 同理S△AOC ＝S△AOD +S△ACD ＝S△ABC ＝6， 1 ∴ OA⋅n=6， 2 ∴n＝3， ∴点C的坐标为（4，3）； （3）∵A（4，0），B（0，2），C（m，n）， ∴E（m+4，n﹣2）， ∵点C在第一象限， 1 ∴S = ×OB⋅m=m， △OBC 2 1 ∴S = ×OA⋅n=2n， △OAC 2 ∵S△OBC +S△OAC ＝S△OAB +S△ABC ，∴m+2n＝4+6＝10， 1 即n=5− m， 2 ①当点E在x轴上方时，此时n﹣2＞0，即n＞2，如图， 1 ∴S = ×OA⋅(n−2)=2(n−2)， △OAE 2 1 又∵n=5− m， 2 1 ∴S =2(5− m−2)=6−m， △OAE 2 ∴S＝S ﹣S ＝m﹣（6﹣m）＝2m﹣6， 1 2 ∵4＜S＜7， ∴4＜2m﹣6＜7， ∴5＜m＜6.5， 又∵n＞2， 1 ∴5− m＞2， 2 ∴m＜6， ∴5＜m＜6； ②当点E在x轴下方时，此时n﹣2＜0，即n＜2，如图， 又∵点E（m，n）在第一象限， ∴n＞0， ∴0＜5﹣1m＜2，解得6＜m＜10， 1 ∴S = ×OA⋅|n−2|=2(2−n)=4−2n， △OAE 2 1 又∵n=5− m， 2 ∴S△OAE ＝m﹣6， ∴S＝S ﹣S ＝m﹣（m﹣6）＝6，符合4＜S＜7， 1 2 ∴6＜m＜10， 综上所述，5＜m＜6或6＜m＜10，即5＜m＜10且m≠6． 19．（2024春•海珠区期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和 不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0，方程的解为x＝2，使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x ﹣3＝1和不等式x+3＞0的“梦想解”． （1）x＝﹣1是方程2x+3＝1和下列不等式 ③ 的“梦想解”；（填序号） 1 3 x−1 ①x− ＞ ，②2（x+3）＜4，③ ＜3 2 2 2 {3x−2y=3m+2) {x＞y−5) （2）若关于x，y的二元一次方程组 和不等式组 有“梦想解”，且m为整 2x−y=m−5 x−y＜1 数，求m的值． {2x+3≥2n+1) （3）若关于x的方程x﹣4＝﹣3n和关于x的不等式组 有“梦想解”，且所有整数“梦想 x−1＜4 解”的和为10，试求n的取值范围． 【分析】（1）求出不等式组的解集，即可判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出﹣5＜2m+7＜1，解不等式组即可； {2x+3≥2n+1) （3）解方程x﹣4＝﹣3n得：x＝4﹣3n，解不等式组 有得：n+1≤x＜5，所有整数“梦想 x−1＜4 解”的和为10，即可得出整数“梦想解”为1，2，3，4，根据“梦想解”的定义得出1≤4﹣3n≤4，即可 得出0≤n≤1． 【解答】解：（1）解①得：x＞2，故方程2x+3＝1不是①的“梦想解”； 解②得：x＜﹣1，故方程2x+3＝1不是②“梦想解”； 解③得：x＜7，故方程2x+3＝1是③的“梦想解”； 故答案为：③ {3x−2y=3m+2) （2）解方程组 2x−y=m−5{ x=−m−12 ) 得： ， y=−3m−19 ∴x﹣y＝2m+7， {x＞y−5) ∵解是不等式组 的“梦想解”， x−y＜1 ∴﹣5＜2m+7＜1， ∴﹣6＜m＜﹣3， ∵m为整数， ∴m为﹣5或﹣4； （3）解方程x﹣4＝﹣3n得：x＝4﹣3n， {2 x+3≥2n+1) 解不等式组 得：n﹣1≤x＜5， x−1＜4 ∴4﹣3n≥n﹣1， 5 ∴n≤ ， 4 1 ∴x＝4﹣3n≥ ， 4 ∵所有整数“梦想解”的和为10， ∴整数“梦想解”为1，2，3，4， {2x+3≥2n+1) ∵关于x的方程x﹣4＝﹣3n和关于x的不等式组 有“梦想解”， x−1＜4 ∴1＜4﹣3n≤4， 解得0≤n＜1． 20．（2024春•天河区期末）在数学活动课中，同学们用一副直角三角板开展数学活动，其中△ABC和△DEF 分别为含45°和含30°的直角三角板，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，且EF＜ AB．通过操作发现： （1）如图1，将△DEF沿DF方向移动1cm，得到△D E F ，若EF＝1cm，DF＝2cm，DE=❑√3cm，求四边 1 1 1 形EDF E 的周长； 1 1 （2）将这副三角板如图2放置，点C与点F重合，并过点D作直线DG平行于边AC所在的直线，求 ∠EDG的度数； （3）在（2）的条件下，固定△DEF，将△ABC绕点A逆时针以20°/s的速度旋转t（0＜t≤9）秒，求当t 为何值时，直线AB与△DEF的任意一条边所在直线垂直．【分析】（1）由平移得：EE1＝FF1＝1，E1F1＝EF＝1，根据四边形EDF1E1的周长为 DE+DF1+E1F1+EE1，即可求得答案； （2）利用平行线的性质和角的和差关系即可求得答案； （3）分三种情况：当AB⊥EF时，当AB⊥DE时，当AB⊥DF时， 【解答】解：（1）由题意得：EE ＝FF ＝1，E F ＝EF＝1， 1 1 1 1 ∴四边形EDF E 的周长为DE+DF +E F +EE =❑√3+2+1+1+1=❑√3+5（cm）； 1 1 1 1 1 1 （2）∵AC∥DG， ∴∠CDG＝∠ACB＝45°， ∴∠EDG＝∠CDG﹣∠CDE＝45°﹣30°＝15°； （3）当AB⊥EF时，设直线AB、EF交于点H，如图，过点H作HK∥AB， ∵∠AFD＝45°，∠DFE＝60°， ∴∠AFE＝∠AFD+∠DFE＝45°+60°＝105°， ∵HK∥AB， ∴∠KHF＝∠AFE＝105°，∠FAH＝∠KHA， ∴∠KHA＝105°﹣90°＝15°， ∴∠FAH＝15°， ∵∠HAC＝45°，∴∠CAF＝∠HAC+∠FAH＝45°+15°＝60°， ∴20t＝60， 解得：t＝3； 当AB⊥DE时，设直线AB、DE交于点H，如图， ∵AB⊥DE， ∴∠AHE＝90°， ∴∠AHE+∠E＝90°+90°＝180°， ∴AB∥EF， ∴∠BAF＝∠AFE＝105°， ∴∠CAF＝∠BAC+∠BAF＝45°+105°＝150°， ∴20t＝150， 解得：t＝7.5； 当AB⊥DF时，设直线AB、DF交于点H，如图， 则∠BHF＝90°， ∴∠B＝∠BHF， ∴BC∥DF， ∴20t＝180，解得：t＝9； 综上所述，t＝3或7.5或9． 21．（2024春•白云区期末）如图1，已知A（﹣1，﹣2），D（0，1），将线段AD向右平移到BC，BC交x 轴于点M，连接OC，OB，DC，AB，S四边形ABCD＝12． （1）点B的坐标为 （ 3 ，﹣ 2 ） ，点C的坐标为 （ 4 ， 1 ） ； （2）求△BOC的面积和点M的坐标； （3）如图2，若点P（m，n）为四边形ABCD内的一点，且S△ADP ＝4，求m，n之间满足的等量关系并直 接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据平移的性质得到点D到AB的距离为3，CD＝AB，DC∥AB，得出四边形ABCD是平行 四边形，进而得到3AB＝12，则AB＝4，据此可得答案； （2）设AB与y轴交于F，先证明AB⊥y轴，CD⊥y轴，得到CD＝4，BF＝3，OD＝1，OF＝2，DF＝3， 再据S△BOC ＝S梯形BCDF ﹣S△COD ﹣S△BOF 进行求解即可； （3）过点P作HG∥y轴分别交AB、CD于G、H，则DH＝m，AG＝m﹣（﹣1）＝m+1，PH＝1﹣n，PG ＝n﹣（﹣2）＝n+2，根据S△ADP ＝S梯形AGHD ﹣S△DHP ﹣S△APG ，S△BOC＝S△COM+S△BOM，据此求解即 可． 【解答】解：（1）∵将线段AD向右平移到BC，A（﹣1，﹣2），D（0，1）， ∴点D到AB的距离为3，CD＝AB，DC∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵S四边形ABCD ＝12， ∴3AB＝12， ∴AB＝4， ∴B（3，﹣2），C（4，1）， 故答案为：（3，﹣2），（4，1）； （2）如图所示，设AB与y轴交于F，∵将线段AD向右平移到BC， ∴AB⊥y轴，CD⊥y轴， ∵B（3，﹣2），C（ 4，1）， ∴CD＝4，BF＝3，OD＝1，OF＝2，DF＝3， 3+4 1 1 ∴S△BOC ＝S梯形BCDF ﹣S△COD ﹣S△BOF = 2 ×3− 2 ×1×4− 2 ×2×3＝5.5， ∵S△BOC ＝S△COM +S△BOM ， 1 1 ∴ OM•y + OM•（﹣y ）＝5.5， 2 C 2 B 1 ∴ OM+OM＝5.5， 2 11 ∴OM= ， 3 11 ∴M（ ，0）； 3 （3）如图所示，过点P作HG∥y轴分别交AB，CD于G，H， ∵A（﹣1，﹣2），D（0，1），P（m，n）， ∴DH＝m，AG＝m﹣（﹣1）＝m+1，PH＝1﹣n，PG＝n﹣（﹣2）＝n+2， m+m+1 1 1 3 1 1 ∴S△ADP ＝S梯形AGHD ﹣S△DHP ﹣S△APG = 2 ×3− 2 m（1﹣n）− 2 （m+1）（n+2）= 2 m− 2 n + 2 ， 3 1 1 ∴ m− n + = 4， 2 2 2 ∴3m﹣n＝7，8 当n＝1时，m= ； 3 5 当n＝﹣2时，m= ； 3 ∵点P为四边形ABCD内部一点， 5 8 ∴ ＜m＜ ． 3 3 22．（2024春•番禺区期末）某书店用3000元首次购进了甲、乙两种图书，甲种图书每本进价为18元，乙种 图书每本进价为15元，书店在销售时甲种图书每本售价为26元，乙种图书每本售价为20元，全部售完后 共获利润1200元． （1）求书店购进甲、乙两种图书各多少本？ （2）若书店以原进价再次购进甲、乙两种图书，购进甲种图书的数量是第一次的2倍，而购进乙种图书的 数量比第一次增加了50%．现在甲种图书降价出售，而乙种图书按原售价打九折出售．当两种图书销售完 毕时，要使再次获利不少于1560元，求甲种图书每本最低售价应为多少元？ （3）某活动中心计划用300元购买甲、乙两种图书，购买单价是（2）的条件下的最低售价，在300元恰 好用完的条件下，有哪些可行的购买方案？哪种方案书店获利较少？ 【分析】（1）设书店购进x本甲种图书，y本乙种图书，利用总价＝单价×数量结合总利润＝每本书的销售 利润×购进数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲种图书每本售价为m元，利用总利润＝每本书的销售利润×购进数量，结合总利润不少于1560 元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （3）设购进a本甲种图书，b本乙种图书，利用总价＝单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结 合a，b均为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案书店获得的利润，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设书店购进x本甲种图书，y本乙种图书， { 18x+15 y=3000 ) 根据题意得： ， (26−18)x+(20−15)y=1200 {x=100) 解得： ． y=80 答：书店购进100本甲种图书，80本乙种图书； （2）设甲种图书每本售价为m元， 根据题意得：（m﹣18）×100×2+（20×0.9﹣15）×80×（1+50%）≥1560， 解得：m≥24， ∴m的最小值为24． 答：甲种图书每本最低售价应为24元； （3）设购进a本甲种图书，b本乙种图书，根据题意得：24a+20×0.9b＝300， 50−3b ∴a= ． 4 又∵a，b均为正整数， {a=11) {a=8) {a=5 ) {a=2 ) ∴ 或 或 或 ， b=2 b=6 b=10 b=14 ∴共有4种可行的购买方案， 方案1：购进11本甲种图书，2本乙种图书； 方案2：购进8本甲种图书，6本乙种图书； 方案3：购进5本甲种图书，10本乙种图书； 方案4：购进2本甲种图书，14本乙种图书． 方案1书店可获利（24﹣18）×11+（20×0.9﹣15）×2＝72（元）； 方案2书店可获利（24﹣18）×8+（20×0.9﹣15）×6＝66（元）； 方案3书店可获利（24﹣18）×5+（20×0.9﹣15）×10＝60（元）； 方案4书店可获利（24﹣18）×2+（20×0.9﹣15）×14＝54（元）． ∵72＞66＞60＞54， ∴方案4：购进2本甲种图书，14本乙种图书，书店获利最少． 23．（2024春•潮阳区校级期末）平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），a，b均为整数，且满足 a=❑√2−b+❑√b−2+4，点C在y轴负半轴上且BC＝5，将线段AB平移到DE，其中点A的对应点是点 D，点B的对应点是点E． （1）请直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图（1），若点E的坐标为（﹣5，2），点F（m，n）为线段AC上一点，且△BDF的面积大于3， 求m的取值范围； （3）如图（2），若DE与y轴的交点G在B点上方，点P为y轴上一动点，请直接写出∠EBO，∠BPD， ∠PDA之间的数量关系． 【分析】（1）由非负性可求a，b的值，利用线段BC的长可求点C坐标；1 1 （2）由平移得出D（﹣1，0），求出S △AOC = 2 OA⋅OC= 2 ×4×3=6，根据F（m，n），结合S△AOC ＝ 3 3m−12 S△OCF +S△OAF ，得出 2 m−2n=6，求出n= 4 ，根据S△BDF ＝S△BOD +S△BOF +S△DOF ，结合△BDF面积 5 5 大于3，得出 m+ ＞3，求出m的范围即可； 8 2 （3）分三种情况讨论，由平移的性质，平行线的性质以及角的数量关系可求解． 【解答】解：（1）∵a=❑√2−b+❑√b−2+4， {2−b≥0) ∴ ， b−2≥0 ∴b＝2， ∴a＝4， ∴A（4，0），B（0，2）， ∴OB＝2， ∵BC＝5， ∴OC＝5﹣2＝3， ∴点C坐标为 （0，﹣3）； （2）如图，连接OF， ∵将线段AB平移到DE，点E的坐标为 （﹣5，2），B（0，2）， ∴线段AB向左平移5个单位， ∵A（4，0）， ∴D（﹣1，0）， ∴OB＝2，OD＝1，OA＝4，OC＝3， 1 1 ∴S = OA⋅OC= ×4×3=6， △AOC 2 2 ∵F（m，n），1 1 3 ∴S△AOC ＝S△OCF +S△OAF = 2 ×3×m+ 2 ×4×(−n)= 2 m−2n， 3 ∴ m−2n=6， 2 3m−12 解得n= ， 4 ∵S△BDF ＝S△BOD +S△BOF +S△DOF 1 1 1 1 1 3m−12 5 5 = ×2×1+ ×2m+ ×1×(−n)=1+m− n=1+m− × = m+ ， 2 2 2 2 2 4 8 2 ∵△BDF的面积大于3， 5 5 ∴ m+ ＞3， 8 2 4 解得m＞ ， 5 ∵F为线段AC上一点， ∴m≤4， 4 ∴ ＜m≤4； 5 （3）如图，当点P在点B的下方时，延长EB交PD于F， 将线段AB平移到DE， ∴AB∥DE，AD∥BE， ∴∠ADP＝∠BFD， ∴∠PFB＝180°﹣∠BFD＝180°﹣∠PDA， ∵∠EBO＝∠BPD+∠BFP，∠EBO＝∠BPD+180°﹣∠PDA， ∴∠EBO+∠PDA﹣∠BPD＝180°； 如图，当点P在B的上方、AD的延长线与y轴的交点下方时，延长DP交BE于点F，∵将线段AB平移到DE， ∴AD∥BE， ∴∠PDA+∠BFD＝180°， ∴∠BFP＝180°﹣∠PDA， ∵∠EBO＝∠BFP+∠BPF， ∴∠EBO＝180°﹣∠PDA+180°﹣∠BPD， ∴∠EBO+∠PDA+∠BPD＝360°； 如图，当点P在AD的延长线与y轴的交点T上方时， ∵∠EBO＝∠BEG+∠EGB， 又∵BE∥AD， ∴∠BEG＝∠GDT， 由对顶角相等得∠EGB＝∠TGD， ∵∠PTD＝∠TGD+∠TDG， ∴∠PTD＝∠EBO，∵∠PDA＝∠PTD+∠TPD， ∴∠PDA＝∠EBO+∠BPD， 综上所述，当点P在点B的下方时，∠EBO+∠PDA﹣∠BPD＝180°；当点P在B与AD的延长线与y轴的 交点之间时，∠EBO+∠PDA+∠BPD＝360°；当点P在AD的延长线与y轴的交点T上方时，∠PDA＝ ∠EBO+∠BPD． 24．（2024春•金平区期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，2），（4，0），现 将点A向下平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A的对应点C． （1）连接AC，AB，点C的坐标为 （﹣ 2 ， 0 ） ，三角形ABC的面积为 6 ； （2）如图2，点D（3，3），若点P在x轴上，直线DP将四边形ACBD的面积分成3：8两部分，求点P 的坐标； 5 （3）点P（1，m）是一动点，若三角形PAB的面积是三角形AOB面积的 ，求m的值． 4 【分析】（1）根据点的坐标和平移方式，得到点C坐标，进而得到BC＝6，即可求出三角形ABC的面 积； （2）过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于点F，根据各点坐标，得出S△AFD ＝S△BED ，从而求出四边形 ACBD的面积＝S△AOC +S正方形OEDF ＝11，设P点坐标（x，0），则BP＝4﹣x，再分两种情况讨论，利用三 角形面积公式列方程求解即可； （3）由题意可知，S△PAB ＝5，点P在直线x＝1上运动，分两种情况讨论：当点P在第四象限时；当点P 在第一象限时，表示出各个线段的长，再利用割补法分别表示出三角形PAB的面积，求出m的值即可． 【解答】解：（1）∵A（0，2），点C由点A向下平移2个单位，再向左平移2个单位得到， ∴点C的坐标为（0﹣2，2﹣2）， 即（﹣2，0）， ∵B（4，0）， ∴BC＝4﹣（﹣2）＝6， 1 1 ∴三角形ABC的面积为 BC•OA= ×6×2＝6， 2 2 故答案为：（﹣2，0），6； （2）如图，过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于点F，∵D（3，3），A（0，2），B（4，0），C（﹣2，0）， ∴OA＝OC＝2，DE＝DF＝3，OB＝4，OE＝OF＝3， ∴AF＝BE＝1， ∴S△AFD ＝S△BED ， 1 ∴四边形ACBD的面积＝S△AOC +S四边形AOED +S△BED ＝S△AOC +S四边形AOED +S△AFD ＝S△AOC +S正方形OEDF = 2 1 OC•OА+DЕ•DF= ×2×2+3×3＝11， 2 设P点坐标（x，0）， 则BP＝4﹣x， ∵直线DP将四边形ACBD的面积分成3：8两部分， ①当S四边形ACPD ：S△BDP ＝3：8时， 此时S△BDP ＝8， 1 1 ∴ BP•DE = ×（4﹣x）×3＝8， 2 2 4 解得：x=− ， 3 4 ∴P点坐标为（− ，0）； 3 ②S四边形ACPD ：S△BDP ＝8：3时， 此时S△BDP ＝3， 1 1 ∴ BP•DE = ×（4﹣x）×3＝3， 2 2 解得：x＝2， ∴P点坐标为（2，0）； 4 综上可知，直线DP将四边形AcBD的面积分成3：8 两部分，点P的坐标为（− ，0）或（2，0）； 3 （3）∵OA＝2，OB＝4，1 1 ∴S△AOB = 2 OB•OA = 2 ×4×2＝4， 5 ∴三角形PAB的面积是三角形AOB面积的 ， 4 5 ∴S△PAB = 4 S△AOB ＝5， ∵点P（1，m）是一动点， ∴点P在直线x＝1上运动， ①如图，当点P在第四象限时，过点B作直线l∥y轴，过点A作AE⊥于点E，过点P作FG∥x轴交y轴 于点E，交直线l于点G， ∵AE＝OB＝FG＝4，BE＝OA＝2，PF＝1，PG＝3，OF＝BG＝﹣m，AF＝2﹣m， 1 1 1 ∴S△PAB ＝4（2﹣m）− 2 ×2×4− 2 ×1×（2﹣m）− 2 ×3×（﹣m）＝5， 解得：m＝﹣1； ②当点P在第一象限时， 1 1 同理可得：S△PNB ＝4m− 2 ×1×（m﹣2）− 2 ×3m＝5， 解得：m＝4， 5 综上可知，三角形PAB的面积是三角形AOB面积的 ，m的值为﹣1或4． 4 25．（2024春•恩平市期末）【阅读材料】： 材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：K（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），等式右 边是通常的四则运算．比如：K（1，2）＝a+2b；K（﹣2，3）＝﹣2a+3b． 材料二：“已知x，y均为非负数，且满足x+y＝8，求2x+3y的范围”，有如下解法： ∵x+y＝8， ∴x＝8﹣y， ∵x，y是非负数， ∴x≥0即8﹣y≥0，∴0≤y≤8，∵2x+3y＝2（8﹣y）+3y＝16+y，∴16≤16+y≤24，∴16≤2x+3y≤24． 已知：K（1，2）＝7；K（﹣2，3）＝0． 【回答问题】： （1）求出a，b的值； （2）已知x，y均为非负数，x+2y＝10，求4x﹣y的取值范围； 1 （3）（1）的条件下，已知x，y，z都为非负数，K（x，z）＝3+x，K(x， y)=4−3x，求W＝x﹣ 2 3y+4z的最大值和最小值． 【分析】（1）根据K（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），K（1，2）＝7；K（﹣2，3）＝0，得 { a+2b=7 ) ，解此方程组可得a，b的值； −2a+3b=0 （2）由x+2y＝10得x＝10﹣2y，根据x，y均为非负数得x≥0，y≥0，则10﹣2y≥0，进而得0≤y≤5，而 4x﹣y＝4（10﹣2y）﹣y＝40﹣9y，然后根据0≤y≤5，利用不等式的性质得﹣5≤40﹣9y≤40，由此即可得 出4x﹣y的取值范围； （3）依题意得a＝3，b＝2，由K（x，z）＝3+x，K（x，1/2y）＝4﹣3x，得3x+2z＝3+x，3x+y＝4﹣3x， {1.5−x≥0) 即z＝1.5﹣x，y＝4﹣6x，根据x，y，z都为非负数得x≥0，y≥0，z≥0，则 ，解此不等式组得 4−6x≥0 2 2 0≤x≤ ，而W＝x﹣3y+4z＝x﹣3（4﹣6x）+4（1.5﹣x）＝15x﹣6，然后根据0≤x≤ ，利用不等式的性质 3 3 得﹣6≤15x﹣6≤4，由此可得W的最大值和最小值． 【解答】解：（1）∵K（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），K（1，2）＝7；K（﹣2，3）＝0， { a+2b=7 ) {a=3) ∴ ，解得： ； −2a+3b=0 b=2 （2）∵x+2y＝10， ∴x＝10﹣2y， ∵x，y均为非负数， ∴x≥0，y≥0， ∴10﹣2y≥0，即y≤5， ∴0≤y≤5， ∵x＝10﹣2y， ∴4x﹣y＝4（10﹣2y）﹣y＝40﹣9y， ∵0≤y≤5， ∴﹣45≥﹣9y≤0， ∴40﹣45≤40﹣9y≤40，即﹣5≤40﹣9y≤40， ∴﹣5≤4x﹣y≤40； （3）∵在（1）的条件下， ∴a＝3，b＝2， ∵K（x，z）＝3+x，K（x，1/2y）＝4﹣3x， ∴3x+2z＝3+x，3x+y＝4﹣3x， ∴z＝1.5﹣x，y＝4﹣6x， ∵x，y，z都为非负数， ∴x≥0，y≥0，z≥0， ∴1.5﹣x≥0，4﹣6x≥0，解得：x≤2/3， 2 ∴0≤x≤ ， 3 ∵z＝1.5﹣x，y＝4﹣6x， ∴W＝x﹣3y+4z＝x﹣3（4﹣6x）+4（1.5﹣x）＝15x﹣6， 2 ∵0≤x≤ ， 3 ∴0≤15x≤10， ∴﹣6≤15x﹣6≤4， 即﹣6≤W≤4， ∴W的最大值为4，最小值为﹣6． 26．（2024春•滨海新区期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（m，0），B（n，4），C（5，0）， 且满足|2m+n|+（m﹣n+6）2＝0，线段AB交y轴于点F． （Ⅰ）求出点A，B的坐标； （Ⅱ）如图2，点D是y轴正半轴上的一点，若DB∥AC，∠BAC＝ ，AM，DM分别平分∠CAB， ∠ODB，求∠AMD（用含 的代数式表示）； α （Ⅲ）如图3，坐标轴上是否存在一点P（点C除外），使得三角形ABP的面积和三角形ABC的面积相 α 等？若存在，请宜接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性得出关于m，n的二元一次方程组，解方程组δ求出m，n即可 得到点A、B的坐标； （2）作MN∥AC，可得MN∥AC∥DB，利用平行线的性质求出∠DMN＝∠BDM＝45°，∠AMN＝∠MAC ＝ ，然后根据∠AMD＝∠AMN+∠DMN计算即可； 4 α （3）连接OB，由S△AOF +S△BOF ＝S△AOB ，可得F（0， 3 ），求出S△ABC ＝14，然后分情况讨论：①当点P 在y轴上时，②当点P在x轴上时，分别根据△ABP面积和△ABC面积相等列方程求解，即可得出P点的 坐标． 【解答】解（1）：∵|2m+n|+（m﹣n+6）2＝0， { 2m+n=0 ) ∴ ， m−n+6=0 {m=−2) 解得 ， n=4 ∴A（﹣2，0），B（4，4）； （2）∵DB∥AC， ∴DB⊥y轴，即∠BDO＝90°， ∵AM、DM别平分∠CAB，∠ODB， 1 ∴∠MAC= a，∠BDM＝45°， 2 如图，作MN∥AC， ∴MN∥AC∥DB， 1 ∴∠DMN＝∠BDM＝45°，∠AMN＝∠MAC= a， 2 1 ∴∠AMD＝∠AMN+∠DMN= a+45°； 2 （3）坐标轴上存在一点P（点C除外），使得三角形ABP的面积和三角形ABC的面积相等；理由如下： 根据题意，得AO＝2，DO＝DB＝4，OC＝5， ∴AC＝5+2＝7，1 ∴S△ABC = 2 ×7×4＝14； ①当点P在y轴上时， 如图，连接OB，根据题意，得AO＝2，DO＝DB＝4， 设F（0，h）， ∵S△AOF +S△BOF ＝S△AOB ， 1 1 1 ∴ ×2×h + ×h×4 = ×2×4， 2 2 2 4 解得h= ， 3 4 ∴F（0， ）； 3 4 设P（0，p），则PF＝|p− |， 3 ∵△ABP面积和△ABC面积相等， 1 4 ∴S△ABP = 2 •|p− 3 |×[4﹣（﹣2）]＝14， 10 解得：p＝6或− ， 3 10 ∴点P坐标为（0，6）或（0，− ）； 3 ②当点P在x轴上时，设P（e，0），则AP＝|e﹣（﹣2）|＝|e+2|， ∵△ABP面积和△ABC面积相等， 1 ∴S△ABP = 2 •|e+2|×4＝14， 解得：e＝5（不合题意，舍去）或﹣9， ∴点P坐标为（﹣9，0）， 10 综上，P点的坐标为（0，6）或（0，− ）或（﹣9，0）． 3 27．（2024春•河东区期末）在平面直角坐标系中，线段AB上有一点C，已知A（a，0），B（1，b），C（0，3），a，b满足|a+3|+（b﹣4）2＝0． （1）如图1，若点P（0，m）在线段OC上，且三角形ABP的面积为3，求点P的坐标； （Ⅱ）如图2，将（Ⅰ）中线段AB水平向左平移一个单位，得到线段A B ，点C随AB也向左移动了一个 1 1 单位，对应点为C ，点P（0，m）在y轴上运动，请用含m的代数式表示三角形A C P的面积（m≠4）， 1 1 1 并求出当三角形A C P面积等于6时，m的值； 1 1 （Ⅲ）如图3，在（Ⅰ）的条件下，过点B的直线BD交x轴于D（4，0），过点A作BD的平行线l，点Q 1 是直线l上的动点，且三角形ABQ的面积等于ABD面积的 ，直接写出点Q的纵坐标的所有可能的取值. 3 【分析】（1）过B作BH⊥y轴于H，由|a+3|+（b﹣4）2＝0，可得a＝﹣3，b＝4，A（﹣3，0），B（1， 1 1 3 3 4），根据三角形ABP的面积为3，得 （3﹣m）×3+ （3﹣m）×1＝3，m= ，故P（0， ）； 2 2 2 2 1 1 3 （2）当m＜4时，B P＝4﹣m，可得三角形A C P的面积为 （4﹣m）×4− （4﹣m）×1=− m+6；当三 1 1 1 2 2 2 3 角形A C P面积等于6时，− m+6＝6，m＝0，故P（0，0）；当m＞4时，同理可得三角形A C P的面积 1 1 2 1 1 1 1 3 3 为 （m﹣4）×4− （m﹣4）×1 = m﹣6；当三角形A C P面积等于6时， m﹣6＝6，m＝8，故P（0， 2 2 2 1 1 2 8）； （3）作B（1，4）关于x轴的对称点B'（1，﹣4），连接BB'交x轴于M，过Q作QT⊥x轴于T，连接 1 14 B'D，求出△ABD面积为 ×7×4＝14，三角形ABQ的面积等于 ，由A（﹣3，0），B（1，4），可得 2 3 △ABM是等腰直角三角形，故△AB'M是等腰直角三角形，AB'＝4❑√2，△AB'D的面积为14，知三角形 1 1 4❑√2 AQ 4 5 4 ABQ的面积等于AB'D面积的 ，可得AQ= AB'= ，从而AT＝QT = = ，即可得Q（− ，− 3 3 3 ❑√2 3 3 3 −13 4 ）；同理可得Q'（ ， ）． 3 3 【解答】解：（1）过B作BH⊥y轴于H，如图，∵|a+3|+（b﹣4）2＝0， ∴a+3＝0，b﹣4＝0， ∴a＝﹣3，b＝4， ∴A（﹣3，0），B（1，4）， ∵C（0，3）， ∴OA＝OC＝3，BH＝CH＝1， ∴∠ACO＝∠BCH＝45°， ∴C在线段AB上， ∵点P（0，m）在线段OC上， ∴PC＝3﹣m， ∵三角形ABP的面积为3， 1 1 ∴ （3﹣m）×3 + （3﹣m）×1＝3， 2 2 3 解得m= ， 2 3 ∴P（0， ）； 2 （2）当m＜4时，如图： 根据题意可得：A （﹣4，0），B （0，4），C （﹣1，3）， 1 1 1 ∴B P＝4﹣m， 1 1 1 3 ∴三角形A C P的面积为 （4﹣m）×4− （4﹣m）×1 =− m+6； 1 1 2 2 23 当三角形A C P面积等于6时，− m+6＝6， 1 1 2 解得m＝0， ∴P（0，0）； 当m＞4时，如图： ∴B P＝m﹣4， 1 1 1 3 ∴三角形A C P的面积为 （m﹣4）×4− （m﹣4）×1= m﹣6； 1 1 2 2 2 3 当三角形A C P面积等于6时， m﹣6＝6， 1 1 2 解得m＝8， ∴P（0，8）； 3 综上所述，当m＜4时，三角形A C P的面积为− m+6，若三角形A C P面积等于6，P的坐标为（0， 1 1 2 1 1 3 0）；当m＞4时，三角形A C P的面积为 m﹣6，若三角形A C P面积等于6，P的坐标为（0，8）； 1 1 2 1 1 （3）作B（1，4）关于x轴的对称点B'（1，﹣4），连接BB'交x轴于M，过Q作QT⊥x轴于T，连接 B'D，如图： ∵A（﹣3，0），B（1，4），D（4，0），∴AD＝7，BM＝4， 1 ∴△ABD面积为 ×7×4＝14， 2 1 ∵三角形ABQ的面积等于ABD面积的 ， 3 14 ∴三角形ABQ的面积等于 ， 3 ∵A（﹣3，0），B（1，4）， ∴AM＝BM＝4， ∴△ABM是等腰直角三角形， ∴∠BAM＝45°， ∵B，B'关于x轴对称， ∴∠B'AM＝45°，BM＝B'M＝4， ∴△AB'M是等腰直角三角形，AB'＝4❑√2，△AB'D的面积为14， 1 ∴三角形ABQ的面积等于AB'D面积的 ， 3 ∵直线l∥BD， 1 4❑√2 ∴AQ= AB'= ， 3 3 ∵∠B'AM＝45°，∠ATQ＝90°， ∴△ATQ是等腰直角三角形， AQ 4 ∴AT＝QT = = ， ❑√2 3 4 5 ∴OT＝OA﹣AT＝3− = ， 3 3 5 4 ∴Q（− ，− ）； 3 3 −13 4 同理可得Q'（ ， ）， 3 3 4 4 ∴点Q的纵坐标可能的取值为 或− ． 3 3 28．（2024春•河北区校级期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为 （0，b），点C的坐标为（2，3），连接AB．若a，b满足❑√a−4+|b+2|=0．平移线段AB，使点A与 点C重合，点B对应点为点D． （1）填空：a＝ 4 ，b＝ ﹣ 2 ，点D的坐标为 （﹣ 2 ， 1 ） ；（2）如图2，延长线段AB至点E（m，n）．连接OE，请利用△BOE，△AOB，△AOE的面积关系，求出 m，n满足的关系式； （3）过点D作射线DF∥x轴，交y轴于点F，动点P从点D出发沿射线以每秒2个单位的速度向右运动， 1 连接OP，BP，BP交x轴于点Q，设运动时间为t秒，△POQ的面积为S，若S≥ ，求t的取值范围． 3 【分析】（1）根据非负数的性质可得a，b的值，进而根据平移的性质得出从A到C的平移方式是，先左 平移2个单位，再向上平移3个单位，即可得出D点坐标； （2）延长线段AB至点E（m，n），则E在第三象限，则m＜0，n＜0，过点E作EF⊥y轴于点F，得到 AO＝4，BO＝2，OF＝﹣n，EF＝﹣m，进而分别表示出三个三角形的面积，根据S△AOE ＝S△AOB +S△BOE 即 可求解； 2 1 （3）根据S△BOP ＝S△OQP +S△OQB 得出OQ= 3 |−2+2t|，进而根据S≥ 3 得出表达式，解不等式，即可求 解． 【解答】解：（1）∵❑√a−4+|b+2|=0， ∴a﹣4＝0，b+2＝0， 解得：a＝4，b＝﹣2， ∴A（4，0），B（0，﹣2）， ∵平移线段AB，使点A与点C重合，点B对应点为点D、点C的坐标为（2，3）， ∴AB∥CD，AB＝CD， 从A到C的平移方式是：先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 将B（0，﹣2）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到D（0﹣2，﹣2+3），即D（﹣2，1）， 故答案为：4，﹣2，（﹣2，1）； （2）如图2，延长线段AB至点E（m，n），则E在第三象限，则m＜0，n＜0，过点E作EF⊥y轴于点 F，∵A（4，0），B（0，﹣2），E（m，n）， ∴AO＝4，BO＝2，OF＝﹣n，EF＝﹣m， 1 1 ∴S = BO×EF= ×2×(−m)=−m， △BOE 2 2 1 1 S = AO×BO= ×2×4=4， △AOB 2 2 1 1 S = AO×OF= ×4×(−n)=−2n， △AOE 2 2 ∵S△AOE ＝S△AOB +S△BOE ， ∴﹣2n＝4﹣m， 即m＝2n+4； （3）如图3所示： ∵D（﹣2，1）， 依题意得：PD＝2t，则P（﹣2+2t，1），OF＝1， ∴B（0，﹣2）， ∴OB＝2， ∵S△BOP ＝S△OQP +S△OQB ， 1 1 1 1 ∴ OB×PF= OQ×OF+ OQ×OB= OQ×BF， 2 2 2 2OB×PF 2×|−2+2t| 2 ∴OQ= = = |−2+2t|， BF 3 3 1 1 2 1 ∴S= OQ×OF= × |−2+2t|×1= |−2+2t|， 2 2 3 3 1 ∴s≥ ， 3 1 1 ∴ |−2+2t|≥ ，即﹣2+2t≤﹣1或﹣2+2t≥1， 3 3 1 3 解得：0≤t≤ 或t≥ ． 2 2 29．（2024春•甘井子区期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点M（x，y），若点N坐标为（x+2a，﹣y ﹣2a），其中a为常数，我们称点M与点N是等距平移点． 例如：当a＝0时，如图，点M（3，2）的等距平移点N为（3，﹣2）． （1）①当a＝﹣1时，点M坐标为（4，3），则它的等距平移点N的坐标为 （ 2 ，﹣ 1 ） ； ②若点M坐标为（﹣2，1），它的等距平移点N的坐标为（4，﹣7），则a＝ 3 ； （2）若点M在x轴上，且它的等距平移点N的坐标为（﹣2a+1，﹣9+4a） ①求△OMN的面积； ②若存在一点A（2，t），使△AMN的面积不大于△OMN面积的一半，请直接写出t的取值范围 19 9 − ≤t≤− ，且 t ≠﹣ 7 ； 2 2 1 1 （3）当3a− ≤x≤ a+1时，点M（x，y ）的等距平移点是N（x+2a，y ），若y ﹣y ＝2，且其中一个 2 2 1 2 1 2 点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求a的值． 【分析】（1）①掌握等距平移点的定义计算即可． ②掌握等距平移点的定义计算即可． （2）①由等距平移点的定义得0﹣2a＝﹣9+4a，再计算即可． ②由△AMN的面积不大于△OMN面积的一半，再计算即可．（3）由等距平移点的定义得﹣y ﹣2a＝y ，又y ﹣y ＝2，故y ＝1﹣a，y ＝﹣1﹣a，由一个点到x轴的距 1 2 1 2 1 2 离等于另一个点到x轴的距离的2倍，再分类计算即可． 【解答】解：（1）①∵a＝﹣1，M（4，3）， ∴4+2×（﹣1）＝2，﹣3﹣2×（﹣1）＝﹣1， ∴N（2，﹣1）． ②∵M（﹣2，1），N（4，﹣7）， ∴﹣2+2a＝4， ∴a＝3． 故答案为：N（2，﹣1），3． （2）①设M（x，0）， ∵N（﹣2a+1，﹣9+4a）， ∴0﹣2a＝﹣9+4a， 3 ∴a= ． 2 ∴x+2a＝﹣2a+1， ∴x＝﹣5， ∴M（﹣5，0）， 1 15 ∴△OMN面积= ×5×3= ． 2 2 ②∵△AMN的面积不大于△OMN面积的一半， 1 1 15 ∴ ¿[﹣2﹣（﹣5）]≤ × ， 2 2 2 19 9 ∴− ≤t≤− ，且t≠﹣7． 2 2 （3）∵M（x，y ）的等距平移点是N（x+2a，y ）， 1 2 ∴﹣y ﹣2a＝y ， 1 2 又y ﹣y ＝2， 1 2 ∴y ＝1﹣a，y ＝﹣1﹣a， 1 2 ∵一个点到x轴的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍， ∴¿2¿或2¿， 当1﹣a＝2（﹣1﹣a）时， 1 a=− ． 3 当1﹣a＝﹣2（﹣1﹣a）时，a＝﹣3． 当2（1﹣a）＝﹣1﹣a时， 1 a= ． 3 当2（1﹣a）＝﹣（﹣1﹣a）时， a＝3， 1 1 ∵3a− ≤x≤ a+1 2 2 ∴x≥8.5，或x≤2.5，无解． 1 1 综上所述，a=− 或﹣3或 ． 3 3 30．（2024春•如皋市期末）如图，AC⊥BC，C为垂足，过A点的直线MN∥BC，D为直线BC上方一点（不 在直线AC上），连接CD，∠BCD的平分线CE交MN于点E． （1）求证：∠AEC＝∠DCE； （2）若点D在直线MN上，∠ADC＝70°，求∠ACE的度数； （3）当点D在直线MN的上方时，连接AD，若∠DAC的平分线所在的直线与射线CE相交于点P，请探 究∠ADC与∠APC之间的数量关系． 【分析】（1）由MN∥BC得∠AEC＝∠BCE，由CE平分∠BCD得∠BCE＝∠DCE，由此可得出结论； （2）若点D在直线MN上，则∠FCD＝∠ADC＝70°，∠DAC＝∠ACB＝90°，进而得∠ACD＝20°，∠BCD ＝110°，根据CE平分∠BCD得∠ECD＝55°，由此可得∠ACE的度数； （3）分以下两种情况讨论：①当点D在直线AC的右边时，设∠PCB＝ ，∠CAM＝ ，由角平分线定义 得∠PCD＝∠PCD＝ ，∠CAD＝2∠CAM＝2 ，则∠PCA＝90°﹣ ，∠PAC＝180°﹣ ，进而得∠ACD＝2 α β ﹣90°，由三角形内角和定理得∠APC+∠PAC+∠PCA＝180°，∠ADC+∠ACD+∠CAD＝180°，即 + ＝ α β α β α ∠APC+90°，2（ + ）＝90°﹣∠ADC，由此可得出∠ADC与∠APC之间的数量关系；②当点D在直线AC α β 的左边时，∠PCB＝ ，∠CAP＝ ，由角平分线定义得∠BCP＝∠DCP＝ ，∠BCD＝2∠PCB＝2 ， α β ∠DAC＝2∠CAP＝2 ，则∠PCA＝90°﹣ ，∠ACD＝90°﹣2 ，由三角形内角和定理得 α β α α ∠APC+∠PCA+∠CAP＝180°，∠ADC+∠ACD+∠DAC＝180°，即 ﹣ ＝∠APC﹣90°，∠ADC﹣2（ ﹣ β α α α β α）＝90°，由此可得出∠ADC与∠APC之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵MN∥BC， β ∴∠AEC＝∠BCE， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∴∠AEC＝∠DCE； （2）当点D在MN上时，∠ADC＝70°，有以下两种情况： ①当点D在点A左侧时，如图1所示： ∵MN∥BC，AC⊥BC，∠ADC＝70°， ∴∠FCD＝∠ADC＝70°，∠DAC＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠ADC＝20°，∠BCD＝180°﹣∠FCD＝110°， ∵CE平分∠BCD， 1 ∴∠ECD= ∠BCD＝55°， 2 ∴∠ACE＝∠ECD﹣∠ACD＝55°﹣20°＝35°； ②当点D在点A右侧时，如图2所示： ∵MN∥BC，AC⊥BC，∠ADC＝70°， ∴∠BCD＝∠ADC＝70°，∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝20°， ∵CE平分∠BCD， 1 ∴∠ECD= ∠BCD＝35°， 2∴∠ACE＝∠ECD+∠ACD＝35°+20°＝55°． 综上所述：∠ACE的度数是35°或55°； （3）∵点D在直线MN的上方， ∴有以下两种情况： ①当点D在直线AC的右边时，如图3所示： 设∠PCB＝ ，∠CAM＝ ， ∴CE平分∠BCD，AM平分∠DAC， α β ∴∠PCD＝∠PCD＝ ，∠CAD＝2∠CAM＝2 ， ∵∠DAC＝∠ACB＝90°， α β ∴∠PCA＝90°﹣∠PCB＝90°﹣ ，∠PAC＝180°﹣∠CAM＝180°﹣ ， ∠ACD＝∠PCD﹣∠PCA＝ ﹣（90°﹣ ）＝2 ﹣90°， α β ∵∠APC+∠PAC+∠PCA＝180°，∠ADC+∠ACD+∠CAD＝180°， α α α ∴∠APC+180°﹣ +90°﹣ ＝180°，∠ADC+2 ﹣90°+2 ＝180°， ∴ + ＝∠APC+90°，2（ + ）＝90°﹣∠ADC， β α α β ∴2（∠APC+90°）＝90°﹣∠ADC， α β α β ∴∠ADC+2∠APC＝90°； ②当点D在直线AC的左边时，如图4所示： ∠PCB＝ ，∠CAP＝ ， ∵CE平分∠BCD，AM平分∠DAC， α β∴∠BCP＝∠DCP＝ ，∠BCD＝2∠PCB＝2 ，∠DAC＝2∠CAP＝2 ， ∵∠ACB＝90°， α α β ∴∠PCA＝90°﹣∠PCB＝90°﹣ ，∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣2 ， ∵∠APC+∠PCA+∠CAP＝180°，∠ADC+∠ACD+∠DAC＝180°， α α ∴∠APC+90°﹣ + ＝180°，∠ADC+90°﹣2 +2 ＝180°， ∴ ﹣ ＝∠APC﹣90°，∠ADC﹣2（ ﹣ ）＝90°， α β α β ∴∠ADC﹣2（APC﹣90°）＝90°， α β α β ∴2∠APC﹣∠ADC＝90°． 综上所述：∠ADC与∠APC之间的数量关系是2∠APC+∠ADC＝90°或2∠APC﹣∠ADC＝90°． 31．（2024春•鞍山期末）为庆祝“六一”儿童节，某校七年级学生举行趣味运动会，需要购买适合学生使用 的跳绳和毽子，经调查，已知2条跳绳和5只毽子共需90元，5条跳绳和8只毽子共需189元． （1）求每条跳绳和每只毽子的价格各是多少元？ （2）学校预购买跳绳与毽子共50个，其中跳绳不能少于10条，若学校预算经费不能超过600元，请通过 计算策划购买方案； （3）商场在“六一”期间开展促销活动，优惠方案如下表： 优惠活动一：（打折促销） 跳绳九折优惠，毽子八五折优惠 优惠活动二：（买一赠一） 买一条跳绳赠送一只毽子 根据（2）中的购买方案，选用哪一种优惠活动更合适？ 【分析】（1）设每条跳绳x元，每只毽子y元，根据2条跳绳和5只毽子共需90元，5条跳绳和8只毽子 共需189元，列出方程组进行求解即可； （2）设学校购买跳绳m条，根据学校预算经费不能超过600元，列出不等式进行求解即可； （3）分别表示出两种方案所需的费用，进行比较即可． 【解答】解：（1）设每条跳绳x元，每只毽子y元，根据题意得， {2x+5 y−90) ， 5x+8 y=189 {x=25) 解得 ， y=8 ∴每条跳绳25元，每只毽子8元； （2）设学校购买跳绳m条， 则25m+8（50﹣m）≤600， 13 解得m≤11 ， 17 ∵m≥10， ∴m取10或11，购买方案是：购买跳绳10条，毽子40只或跳绳11条，毽子39只；（3）活动一：25×0.9×m+8×0.85（50﹣m）＝15.7m+340， 活动二：25m+8（50﹣m﹣m）＝9m+400， 若15.7m+340＞′9m+400， 64 解得m＞8 ， 67 ∴选择优惠活动二更合适． 32．（2024春•湛江校级期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题， 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为3m2和1m2．已知新建1个地上充电 桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有 几种建造方案？并列出所有方案； （3）现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过a m2，在（2）的前提 下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围． 【分析】（1）设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，根据“1个地上充电 桩和2个地下充电桩需要0.8万元，2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元”列方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为（60﹣m）个，根据“不超过16.3万元的资金， 地下充电桩的数量不少于40个”列不等式组求解即可； a a （3）由总占地面积不得超过a m2得3m+60﹣m≤a，解得m≤ −30，结合m≥17知17≤m≤ −30，再 2 2 a 依据“仅有两种方案可供选择”，得18≤ −30＜19，解之即可． 2 【解答】解：（1）设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元， {x+2y=0.8) 依题意得， ， 2x+ y=0.7 {x=0.2) 解得 ， y=0.3 答：该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元． （2）设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为（60﹣m）个， {0.2m+0.3(60−m)≤16.3) 由题意得 ， 60−m≥40 解得17≤m≤20， ∴整数m的值为17，18，19，20． 一共有4种方案，分别为：方案①新建17个地上充电桩，43个地下充电桩； 方案②新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案③新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案④新建20个地上充电桩，40个地下充电桩． a （3）由题意可得3m+60﹣m≤a，解得m≤ −30， 2 由（2）知m≥17， a ∴17≤m≤ −30， 2 ∵仅有两种方案可供选择， a ∴18≤ −30＜19， 2 解得96≤a＜98， 因此，a的取值范围为96≤a＜98． 33．（2024春•和县期末）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润 1 率为20%，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了 ． 4 （1）该店销售记录显示，四月份销售A、B两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿 童床总利润相同，求该店四月份售出A、B两种品牌的儿童床的数量； （2）根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品 牌儿童床张数的70%，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货 方案： （3）在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的10%用于 购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元， 且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 【分析】（1）根据“销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同”列方程求解； （2）根据“购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的70%，而用于购买这两种儿童床的资金不超 过115000元”列不等式组求解； （3）根据“所捐的钱恰好用完”列方程求正整数解． 1 【解答】解：A种儿童床的进价为：4200÷（1+0.2）＝3500（元），B儿童床的售价为：4200×（1+ ）＝ 4 5250（元）， （1）设该店四月份售出A种品牌的儿童床的数量x张， 则：（4200﹣3500）x＝（5250﹣4200）（20﹣x）， 解得：x＝12，∴20﹣x＝8， 答：该店四月份售出A种儿童床12张，B种品牌的儿童床8张； （2）设该店五月份计划购进A种儿童床a张， { 30−a≥0.7a ) 则： ， 3500a+4200(30−a)≤115000 5 11 解得：15 ≤a≤17 ， 7 17 ∴a的正整数解为：16，17， ∴有两种进货方案：①进A种儿童床16张，B种儿童床14张， ②进A种儿童床17张，B种儿童床13张； （3）设该店捐赠甲m台，乙款仪器n台， 当按照方案①进货时：0.1×[（4200﹣3500）×16+（5250﹣4200）×14]＝300m+130n， {m=3) 方程的正整数解为： ， n=13 当按照方案②进货时：0.1×[（4200﹣3500）×17+（5250﹣4200）×13]＝300m+130n， 方程无正整数解， ∴该店捐赠甲3台，乙款仪器13台． 34．（2024春•潮南区期末）某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳10根，乙种跳绳5 根，需要100元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要55元． （1）求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ （2）若该体育用品店刚好用了500元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙 种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于18根，那么该文具店共有哪几种购买方案？ （3）若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的 各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，然后根据题意建立二元一次方 程组求出其解即可； 500−5x （2）设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳( )个，然后根据题意建立不等式组求出其解即可； 10 （3）根据（2）的结论，结合题意，分别求得利润，比较即可求解． 【解答】解：（1）设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，由题意得： {10a+5b=100) ， 5a+3b=55 {a=5 ) 解得： ， b=10答：购进甲种跳绳每根需要5元，购进乙种跳绳每根需要10元． 500−5x {x≥3( )) 500−5x 10 （2）设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳( )个，根据题意得 ， 10 500−5x ≥18 10 解得：60≤x≤64， ∵x为正整数， ∴x＝60，61，62，63，64， 500−5x 当x＝60时， =20， 10 500−5x 当x＝61时， =19.5，不是整数，不符合题意，舍去， 10 500−5x 当x＝62时， =19， 10 500−5x 当x＝63时， =18.5，不是整数，不符合题意，舍去， 10 500−5x 当x＝64时， =18， 10 答：该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳60根，乙种跳绳20根；方案②购进甲种跳绳62根， 乙种跳绳19根；方案③购进甲种跳绳64根，乙种跳绳18根； （3）∵销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元， 由（2）可知，方案①：购进甲种跳绳60根，乙种跳绳20根，则利润为60×3+20×4＝260； 方案②：购进甲种跳绳62根，乙种跳绳19根，则利润为62×3+19×4＝262； 方案③：购进甲种跳绳64根，乙种跳绳18根，则利润为64×3+18×4＝264； ∵260＜262＜264， ∴方案③：购进甲种跳绳64根，乙种跳绳18根，获利最大，最大利润是 x =0.15×245+0.2×255+0.35×265+0.2×275+0.1×285=264元． n 35．（2024春•九龙坡区校级期末）小语种文化节展示周，校学生会设计并制作了一定数量的特色文化书签、 特色中性笔，在恩来广场举行义卖活动，将获得的所有利润全部捐献给家庭困难的老人．已知每个特色文 化书签、每支特色中性笔的成本分别为1元、1.5元，每个特色文化书签比每支特色中性笔售价少1元，并 且，当卖出特色文化书签20个和特色中性笔30支时，获得总利润90元． （1）求每个特色文化书签、每支特色中性笔的售价分别为多少元？ （2）校学生会同学制作的特色文化书签、特色中性笔的数量之和为900，并且投入的总成本不超过1200 元，获得的总利润不少于1648元，请你通过计算说明共有哪几种制作方案？ （3）义卖刚开始的半个小时，学生会的同学们发现他们已经获得了150元的利润，但由于销售量较多，同学们只记得售出特色文化书签的数量a个满足40≤a≤50，则a的值可能为多少？说明理由． 【分析】（1）设每个特色文化书签的售价是x元，则每支特色中性笔的售价是（x+1）元，根据“当卖出 特色文化书签20个和特色中性笔30支时，获得总利润90元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得 出x的值（即每个特色文化书签的售价），再将其代入（x+1）中，即可求出每支特色中性笔的售价； （2）设制作y个特色文化书签，则制作（900﹣y）支特色中性笔，根据“投入的总成本不超过1200元， 获得的总利润不少于1648元”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y 为正整数，即可得出各制作方案； 3 （3）根据获得的总利润及售出特色文化书签的数量，可得出售出（75− a）支特色中性笔，结合a，b均 4 为正整数且40≤a≤50，即可得出结论． 【解答】解：（1）设每个特色文化书签的售价是x元，则每支特色中性笔的售价是（x+1）元， 根据题意得：20（x﹣1）+30（x+1﹣1.5）＝90， 解得：x＝2.5， ∴x+1＝2.5+1＝3.5． 答：每个特色文化书签的售价是2.5元，每支特色中性笔的售价是3.5元； （2）设制作y个特色文化书签，则制作（900﹣y）支特色中性笔， { y+1.5(900−y)≤1200 ) 根据题意得： ， (2.5−1)y+(3.5−1.5)(900−y)≥1648 解得：300≤y≤304， 又∵y为正整数， ∴y可以为300，301，302，303，304， ∴共有5种制作方案， 方案1：制作300个特色文化书签，600支特色中性笔； 方案2：制作301个特色文化书签，599支特色中性笔； 方案3：制作302个特色文化书签，598支特色中性笔； 方案4：制作303个特色文化书签，597支特色中性笔； 方案5：制作304个特色文化书签，596支特色中性笔； （3）∵获得了150元的利润，且售出a个特色文化书签， 150−(2.5−1)a 3 ∴售出 =（75− a）支特色中性笔． 3.5−1.5 4 3 ∵a，（75− a）均为正整数，且40≤a≤50， 4 ∴a＝40或44或48． 答：a的值可能为40或44或48．36．（2024春•思明区校级期末）在平面直角坐标系中，A（a，c），B（b，3）． （1）若a＝b+3，c是❑√10的整数部分，则AB＝ 3 ． （2）将A（a，c），B（b，3）平移后得到C（c﹣m，m﹣c），D（﹣7，2c﹣21），且2b+3m＝6，a＝c， 求AD与BC的位置关系． （3）若a＞0，0＜t＜3，设B（﹣2t，3），点P（0，t），连接AP，BP，AB，AB交y轴于点M，且2PM ＝OP，S△APM ＝S△BOM ，若存在a的值，使得S△ABP ＞8，求t的取值范围． 【分析】（1）先利用放缩法求出❑√10的整数部分，可得A（b+3，3），则AB＝b+3﹣b＝3； （2）根据平移前后坐标列方程组，结合2b+3m＝6，a＝c求出a，b，c，m的值，进而得出A，B，C，D 的坐标，结合坐标系可得答案； （3）分点M在线段OP上、点M在线段OP的延长线上两种情况，利用2PM＝OP，S△APM ＝S△BOM 列方程 用t表示出a，再根据S△ABP ＞8列不等式，结合0＜t＜3即可求出t的取值范围． 【解答】解：（1）∵❑√9＜❑√10＜❑√16， ∴3＜❑√10＜4， ∴❑√10的整数部分是3， ∴c＝3， ∵a＝b+3， ∴A（b+3，3）， ∴AB＝b+3﹣b＝3， 故答案为：3； （2）∵将A（a，c），B（b，3）平移后得到C（c﹣m，m﹣c），D（﹣7，2c﹣21）， { c−m−a=−7−b① ) ∴ ， m−c−c=2c−21−3② ∵a＝c， ∴①可变形为m＝7+b， { m=7+b ) 将m＝7+b和2b+3m＝6联立得 ， 2b+3m=6 {m=4 ) 解得 ， b=−3 将m＝4代入②， 解得c＝7， ∴a＝c＝7， ∴A（7，7），B（﹣3，3），C（3，﹣3），D（﹣7，﹣7），∵A，D关于O点对称，B，C关于O点对称， ∴AD，BC相交于点O， ∵点A到x轴与y轴的距离相等， ∴∠AOM＝45°， ∵点B到x轴与t轴的距离相等， ∴∠BOM＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∴AD⊥BC； （3）分两种情况，当点M在线段OP上时，如图2所示：∵P（0，t），2PM＝OP， 1 1 ∴OP＝t，PM=OM= OP= t， 2 2 ∵S△APM ＝S△BOM 1 1 1 1 1 1 ∴ PM⋅x = OM⋅|x |，即 ⋅ t⋅a= ⋅ t⋅|−2t| 2 A 2 B 2 2 2 2 解得a＝2t， ∵S△ABP ＞8 1 1 1 ∴ PM⋅(x −x )＞8，即 ⋅ t⋅(2t+2t)＞8 2 A B 2 2 解得t＞2❑√2或t＜−2❑√2 ∵0＜t＜3， ∴2❑√2＜t＜3； 当点M在线段OP的延长线上时，如图3所示： ∵P（0，t），2PM＝OP， 1 1 3 ∴OP＝t，PM= OP= t，OM=OP+PM= t， 2 2 2 ∵S△APM ＝S△BOM ， 1 1 1 1 1 3 ∴ PM⋅x = OM⋅|x |，即 ⋅ t⋅a= ⋅ t⋅|−2t|， 2 A 2 B 2 2 2 2 解得a＝6t， ∵S△ABP ＞8，1 1 1 ∴ PM⋅(x −x )＞8，即 ⋅ t⋅(6t+2t)＞8， 2 A B 2 2 解得t＞2或t＜﹣2， ∵0＜t＜3， ∴2＜t＜3； 由2❑√2＜t＜3或2＜t＜3可得t的取值范围为2＜t＜3． 37．（2024春•长沙期末）不妨约定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c为常数，且abc≠0）， 若系数满足a+b＝2c，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程4x+2y＝3，其中a＝4，b＝2，c＝3，满 足a+b＝2c，且abc≠0，则方程4x+2y＝3是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开 心”方程组．根据上述规定，回答下列问题： （1）判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）； 1 1 1 ①4x+y＝10 不是 ；② x− y= 是 ．③x﹣y＝0 不是 ； 2 3 12 { ax+ y=b ) {x=p) （2）若关于x，y的“开心”方程组 的解为 ，求p﹣q的值． x+by=a+2 y=q { mx+ny=− k ) （3）关于x，y的“开心”方程组 2 满足n＜k≤m，其中n，m，k为整数，t为 (t−n)x+(m−t−2k)y=1 常数且t+6≠0，求m的值，并求此“开心方程组”的解． 【分析】（1）根据“开心”方程的定义求解即可； 5 5 1 {a=− ) {− x+ y=− ①) 3 3 3 （2）解方程组得 ，代入原方程组得 ，求出p﹣q＝0； 1 1 1 b=− x− y= ② 3 3 3 { mx+ny=− k ) { m+n=−k ) （3）根据“开心”方程的定义将方程组 2 整理为 (t−n)+(m−t−2k)=2 (t−n)x+(m−t−2k)y=1 {k=2m−2) { k=2 ) ，解得 ，由n＜k≤m求得m＝2，得到 代入原方程可求解， n=2−3m n=−4 【解答】解：（1）对于方程4x+y＝10，a＝4，b＝1，c＝10， ∵a+b＝5≠2×10＝2c， ∴方程4x+y＝10不是开心方程； 1 1 1 1 1 1 对于方程 x− y= ，a= ，b=− ，c= ， 2 3 12 2 3 121 1 1 1 ∵a+b= − = =2× =2c 2 3 6 12 1 1 1 ∴方程 x− y= 是开心方程； 2 3 12 对于方程x﹣y＝0，c＝0，所以，方程x﹣y＝0不是开心方程； 故答案为：不是；是；不是； { a+1=2b ) （2）由题意可知： ， 1+b=2(a+2) 5 {a=− ) 3 解得： ， 1 b=− 3 5 5 1 {a=− ) {− x+ y=− ①) 3 3 3 将 代回原方程组得： ， 1 1 1 b=− x− y= ② 3 3 3 2 2 由①+②得：− x+ y=0， 3 3 {x=p) ∵ ， y=q ∴p﹣q＝0； { m+n=−k ) （3）由题可知： ， (t−n)+(m−t−2k)=2 { m+n=−k ) 化简可得： ． m−n−2k=2 {k=2m−2) 解得 ， n=2−3m ∵n＜k≤m， ∴2﹣3m＜2m﹣2≤m， 4 解得 ＜m≤2， 5 ∵m为整数， ∴m＝1或2 k 根据新定义− ≠0，所以舍去1，则m＝2， 2{ k=2 ) ∴ ， n=−4 { 2x−4 y=−1 ) 代入原方程得： ， (t+4)x+(−t−2)y=1 消去y化简可得2（t+6）x＝t+6； ∵t≠﹣6， 1 {x= ) 2 所以：“开心方程组”的解为 ． 1 y= 2 38．（2024春•开福区校级期末）我们约定：不等式组m＜x＜n，m＜x≤n，m≤x＜n，m≤x≤n的“长度”均 为d＝n﹣m，（m＜n），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：﹣2＜x≤2的“长度”d＝2 ﹣（﹣2）＝4，“整点”为x＝﹣1，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： {5x+3＞3x) （1）不等式组 的“长度”d＝ 2 ；“整点”为 ﹣ 1 ， 0 ； 2x−1≤0 { 1≤x≤3 ) （2）若不等式组 1 的“长度”d＝2，求a的取值范围； ax−3＜ x+1 2 { 1≤x≤3 ) 3 （3）若不等式组 1 的“长度d= ，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组 a≤x≤ a+2 2 2 { y+1＞m ) 恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． ay−1≤2m 【分析】（1）求得不等式的解，然后根据约定求得d和“整点”． （2）求得不等式的解集，根据约定即可求解． （3）求得不等式的解集，根据约定即可求解． {5x+3＞3x) 【解答】解：（1）解不等式组 ，得﹣1.5＜x≤0.5， 2x−1≤0 {5x+3＞3x) ∴不等式组 的“长度”d＝0.5﹣（﹣1.5）＝2， 2x−1≤0 整点”为x＝﹣1，0． 故答案为：2；﹣1，0； 1 （2）解不等式ax−3＜ x+1得（2a﹣1）x＜8， 2 当2a﹣1＝0时，x可以是任意实数，1 当2a﹣1＞0时，即a＞ ， 2 8 则不等式解为：x＜ ， 2a−1 ∵x的最大值为3， 8 ∴ ≥3， 2a−1 1 11 解得： ＜a≤ ， 2 6 1 当2a﹣1＜0时，即a＜ ， 2 8 则不等式解为：x＞ ， 2a−1 8 ∵x的最小值为1， ≤1， 2a−1 9 解得a≤ ， 2 1 ∴a＜ ； 2 11 综上所述：a的取值范围为a≤ ； 6 （3）存在；理由如下： { 1≤x≤3 ) 解不等式组 1 ， a≤x≤ a+2 2 1 当a≤1＜3≤ a+2时，不等式的解集为1≤x≤3， 2 3 ∴d＝2，不符合d= ； 2 1 1 当a≤1＜ a+2≤3时，不等式的解集为1≤x＜ a+2， 2 2 3 ∵d= ， 2 1 3 ∴ a+2−1= ， 2 2 解得：a＝1，1 当1≤a＜3≤ a+2时，不等式的解集为a＜x＜3， 2 3 ∴3﹣a= ， 2 3 3 1 11 1 解得a= ，当a= 时， a+2= ＜3，不符合1＜a＜3＜ a+2， 2 2 2 4 2 1 当 a+2＜1或a＞3，方程组无解， 2 综上所述，a＝1， { y+1＞m ) {y+1＞m) ∴不等式组 为 ， ay−1≤2m y−1≤2m 解得：m﹣1＜y≤2m+1， { y+1＞m ) ∵关于y的不等式组 恰有4个“整点”， ay−1≤2m ∴m﹣1＜y≤1+2m， ∴d＝1+2m﹣m+1＝m+2， ∵有4个“整点”， ∴3＜m+2＜5，此时1＜m＜3，则0＜m﹣1＜2， 当1＜m＜2时，即0＜m﹣1＜1，要使有4个“整点”，则4≤2m+1＜5， 3 解得 ≤m＜2； 2 当2≤m＜3时，即1≤m﹣1＜2，有4个“整点”，则5≤2m+1＜6， 5 解得2≤m＜ ； 2 3 5 故m的取值范围是 ≤m＜ ． 2 2 39．（2024春•唐山期末）如图1，以直角三角形AOB的直角顶点O为原点，以OB、OA所在直线为x轴和y 行轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），B（b，0）满足❑√a+2b+|b+2|=0，点C为线段AB的中点． 在平面直角坐标系中，以任意两点M（x ，y ），N（x ，y ）为端点的线段中点坐标为 1 1 2 2 x +x y + y ( 1 2， 1 2 )． 2 2 （1）点A的坐标为 （ 0 ， 4 ） ；点B的坐标为 （﹣ 2 ， 0 ） ；点C的坐标为 （﹣ 1 ， 2 ） ； （2）若一动点P从点B出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t（t＞0） 1 秒．当△OCP的面积不小于△AOB面积的 时，请求出t的取值范围； 4（3）如图2所示，作OD∥AB，点F是线段AB上一点，连接OF，∠AOF＝∠AOD．点E是线段OA上一 ∠OEB 动点，连接BE交OF于点G，请直接写出 的值． ∠OGB+∠ABE 【分析】（1）根据非负数的性质得到b＝﹣2，a＝4，求得点A（0，4），点B（﹣2，0），根据中点坐标 公式即可得到结论； 1 （2）由题意得P（﹣2+2t，0），当0＜t≤1时，S△COP = 2 ×(2−2t)×2=2−2t，求得CP＝t，OP＝4﹣ 1 1 1 1 t，OQ＝2t，AQ＝8﹣2t，得到S△DOP = 2 OP•y D = 2 （4﹣t）×4＝8﹣2t，S△DOQ = 2 OQ•x D = 2 ×2t×2＝2t，根 据题意列不等式即可得到结论； （3）根据平行线的性质得到∠BAO＝∠AOD，求得∠AOF＝∠BAO，得到∠OEB＝∠BAO+∠ABE＝ ∠AOD+∠ABE，如图，过G点作AB的平行线，交x轴于P，则∠ABE＝∠PGB，PG∥OD，根据平行线的 性质得到∠PGO＝∠GOD＝∠AOD+∠AOF，于是得到结论． 【解答】解：（1）∵❑√a+2b+|b+2|=0， ∴b＝﹣2，a＝4， ∴点A（0，4），点B（﹣2，0）， ∵点C为线段AB的中点． ∴点C（﹣1，2）， 故答案为：（0，4）；（﹣2，0）；（﹣1，2）； 1 （2）由题意得P（﹣2+2t，0），S△AOB = 2 ×2×4= 4， 1 ∴当0＜t≤1时，S△COP = 2 ×(2−2t)×2=2−2t， ∵点Q在线段AO上， 即 CP＝t，OP＝4﹣t，OQ＝2t，AQ＝8﹣2t， 1 1 1 1 ∴S△DOP = 2 OP•y D = 2 （4﹣t）×4＝8﹣2t，S△DOQ = 2 OQ•x D = 2 ×2t×2＝2t，1 ∵△OCP的面积不小于△AOB面积的 ， 4 1 ∴2﹣2t≥ ×4， 4 1 ∴t≤ ； 2 ∠OEB 1 （3） 的值不变，其值为 ，理由如下：如图2中， ∠OGB+∠ABE 2 ∵∠AOF+∠BOF＝90°， ∵OD∥AB， ∴∠BAO＝∠AOD， ∵∠AOF＝∠AOD， ∴∠AOF＝∠BAO， ∴∠OEB＝∠BAO+∠ABE＝∠AOD+∠ABE， 如图，过G点作AB的平行线，交x轴于P，则∠ABE＝∠PGB，PG∥OD， ∴∠PGO＝∠GOD＝∠AOD+∠AOF， ∴∠OGB＝∠OGP+∠PGB＝∠DOF+∠ABE＝∠AOD+∠AOF+∠ABE， ∠OEB ∠AOD+∠ABE ∠AOD+∠ABE 1 = = = ∴ ． ∠OGB+∠ABE ∠AOD+∠AOF+∠AOE+∠AOE 2(∠AOD+∠ABE) 2 40．（2024春•长沙期末）如图1，点E是直线AB上一点，F是直线CD上一点，AB∥CD． （1）求证：∠P＝∠PEA+∠PFC； （2）如图2，∠PFC＝∠PFQ，FQ与∠AEP的平分线交于点Q，与PE相交于点M，若∠EMF＝120°，求 ∠P+∠Q的度数； （3）如图3，EQ平分∠AEP，FM平分∠PFD，FN∥EQ，当∠P的大小不变时，下列结论： ①∠PFC+∠NFD的度数不变；②∠MFN的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论 并说明理由．【分析】（1）过点P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ，进而得∠1＝∠PEA，∠2＝∠PFC，则∠1+∠2＝ ∠PEA+∠PFC，由此可得出结论； （2）设∠AEQ＝ ，∠PFC＝∠PFQ＝ ，则∠CFQ＝2 ，根据EQ平分∠AEP得∠AEQ＝∠PEQ＝ ， ∠AEP＝2 ， α β β α 由（1）的结论得∠Q＝∠AEQ+∠CFQ＝ +2 ，∠P＝∠AEP+∠PFC＝2 + ，∠EMF＝∠AEP+∠CFQ＝ α 2 +2 ，则∠P+∠Q＝3 +3 ，120°＝2 +2 ，由此可得∠P+∠Q的度数； α β α β （3）连接EF，设∠AEQ＝∠PEQ＝ ，设∠MFN＝ ，则∠AEP＝2 ，根据AB∥CD，FN∥EQ得∠AEQ＝ α β α β α β ∠NFD＝ ，则∠DFM＝a+ ，根据FM平分∠PFD得∠PFD＝2（a+ ），则∠PFC＝180°﹣2（a+ ），由 α β α 1 1 （1）的结α论得∠P＝∠AEP β +∠PFC，则 ＝90°− ∠P，即∠MFN＝β 90°− ∠P，然后根据∠P的大β小不变 2 2 得∠MFN的大小不变，由此可得出答案．β 【解答】（1）证明：过点P作PQ∥AB，如图1所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PQ， ∴∠1＝∠PEA，∠2＝∠PFC， ∴∠1+∠2＝∠PEA+∠PFC， ∴∠EPF＝∠PEA+∠PFC； （2）解：如图2所示：设∠AEQ＝ ，∠PFC＝∠PFQ＝ ， 则∠CFQ＝2 ， α β ∵EQ平分∠AEP， β ∴∠AEQ＝∠PEQ＝ ，∠AEP＝2 ， 由（1）的结论得：∠Q＝∠AEQ+∠CFQ＝ +2 ，∠P＝∠AEP+∠PFC＝2 + ， α α ∴∠EMF＝∠AEP+∠CFQ＝2 +2 ， α β α β ∵∠EMF＝120°， α β ∴∠P+∠Q＝3 +3 ，120°＝2 +2 ， ∴ + ＝60°， α β α β ∴∠P+∠Q＝180°； α β （3）解：结论②∠MFN的度数不变正确，理由如下：． 连接EF，如图3所示： ∵EQ平分∠AEP， ∴设∠AEQ＝∠PEQ＝ ，设∠MFN＝ ， ∴∠AEP＝2 ， α β ∵AB∥CD， α ∴∠AEF＝∠DFE①， ∵FN∥EQ， ∴∠QEF＝∠NFE②， ①﹣②得：∠AEF﹣∠QEF＝∠DFE﹣∠NFE， 即∠AEQ＝∠NFD＝ ， ∴∠DFM＝∠NFD+∠MFN＝a+ ， α β∵FM平分∠PFD， ∴∠PFD＝2∠DFM＝2（a+ ）， ∴∠PFC＝180°﹣∠PFD＝180°﹣2（a+ ）， β 由（1）的结论得：∠P＝∠AEP+∠PFC＝2 +180°﹣2（a+ ）， β 1 ∴ ＝90°− ∠P， α β 2 β 1 即∠MFN＝90°− ∠P， 2 ∵∠P的大小不变， ∴∠MFN的大小不变． 故结论②正确； ∵∠PFC＝180°﹣2（ + ）， ＝90°﹣1/2∠P， ∴∠PFC＝180°﹣2 ﹣180°+∠P＝∠P﹣2 ， α β β 又∵∠NFD＝ ， α α ∴∠PFC+∠NFD＝∠P﹣2 + ＝∠P﹣ ， α ∴∠PFC+∠NFD的度数随∠AEQ的度数的变化而变化， α α α 故结论①不正确．