文档内容
2023 届高三年级阶段测试
数学试卷
2022.10
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上.
2．用2B铅笔将考生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上.作答选择题时，选出每小题答案
后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢㞺詋签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂
改带.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设集合 ， ，则 的子集个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 8
2. 已知 ，且 ，其中 ， 为实数，则 （ ）
A. 1 B. 3 C. D. 5
3. 把120个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和是较小的两份之和的
7倍，则最小一份的面包个数为（ ）
A. B. 2 C. 6 D. 11
4. 基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人
数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：
描述累计感染病例数 随时间 （单位：天）的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足．有学者基于已有数据估计出 ， ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感
染病例数增加2倍需要的时间约为（ ， ）（ ）
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
5. 双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 若 的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（ ）
A. B. 160 C. D. 1120
7. 设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知 ， 为异面直线， ， 为两个不同平面， ， ．若直线 满足 ， ，
， ，则（ ）
A. ，
B. ，
C. 与 相交，且交线垂直于
D. 与 相交，且交线平行于
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样
分别抽取了男生50名和女生30名，测量他们的身高所得数据（单位： ）如下：
性别 人数 平均数 方差
男生 50 172 18
女生 30 164 30
根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本平均数 与总样本方差 分别是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 的极小值为2
B. 有两个零点
C. 点 是曲线 的对称中心
D. 直线 是曲线 的切线
11. 如图，一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心 距离水面的高度为 ．
设筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 （单位： ）（在水面下则 为负数）．若以盛水筒 刚浮出
水面时开始计算时间， 与时间 （单位： 之间的关系为
，则下列结论正确的是（ ）A. B.
C. D.
12. 已知 为椭圆 的左焦点，经过原点 的直线 与椭圆 交于 两点， 轴，
垂足为 (异于原点)， 与椭圆 的另一个交点为 ，则（ ）
A.
的
B. 面积 最大值为
的
C. 周长 最小值为12
D. 最小值为
的
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量 ， 满足 ， ， ．则 ________．
14. 某品牌手机的电池使用寿命 （单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使
用寿命不少于9年的概率为 ，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为
________．
15. 若 ，且 ，则 ________．
16. 在梯形 中， ， ， ，将 沿 折起，连接 ，
得到三棱锥 ．当三棱锥 的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图“ ”．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角
谷猜想”）．比如取正整数 ，根据上述运算法则得出 ，共
需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．猜想的递推关系如下：已知数列 满足 （ 为正
整数）， ;
（1）当 时，试确定使得 需要多少步雹程；
（2）若 ，求 所有可能的取值集合 ．
18. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
19. 如图，在直三棱锥 中， ， ， ， 是 的中点．
（1）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（2）若 是 的中点， ，则在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？
若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由．
的
20. 最新研发 某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为 ．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记 为
试验结束时所进行的试验次数， 的数学期望为 ．
（1）证明： ；
（2）某公司意向投资该产品，若 ，每次试验的成本为 元，若试验成功则获利 元，则
该公司应如何决策投资？请说明理由．
21. 已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的距离的最大值为
6．
（1）求 的方程；
（2）若点 在圆 上， ， 是 的两条切线， ， 是切点，求 面积的最小值．
22. 已知函数 ．
（1）当 时，证明： ；
（2）若 ，求 的取值范围．2023 届高三年级阶段测试
数学试卷
2022.10
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上.
2．用2B铅笔将考生号、座位号等填涂在答题卡相应位置上.作答选择题时，选出每小题答案
后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢㞺詋签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂
改带.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】AC
【12题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【13题答案】
【答案】2
【14题答案】
【答案】0.4##
【15题答案】
【答案】 ##
【16题答案】
【答案】
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【17题答案】
【答案】（1）16 （2）
【18题答案】
【答案】（1） ；
.
（2）
【19题答案】
【答案】（1）（2）存在点 ，且 的长为 ；
【20题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）应该投资，理由见解析
【21题答案】
【答案】（1）
（2）
【22题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
