专题 01 相交线与平行线
【考点1】对顶角、邻补角★
【考点2】点到直线的距离★
【考点3】垂线段最短★
【考点4】同位角，内错角和同旁内角★
【考点5】两直线平行的条件★★
【考点6】利用平行线的性质求角★★
【考点7】平行线与折叠综合★★
【考点8】平行线的生活中的实际应用★★
【考点9】平行线的性质与判定综合★★
【考点10】平行线中常考模型★★★
【考点11】图形的平移★
【考点12】利用平移的性质求解★★
知识点1：相交线的相关概念
1. 相交线的定义
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共
点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。
A D A D A
1
4 2 2
O O 1
3
C B C B C O B
图1 图2 图3
2. 对顶角的定义
若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶
角。
如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
3. 对顶角的性质：对顶角相等。4. 邻补角的定义
如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时
就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋
∠2＝180°。
知识点2：垂线
1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相
垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直
线互相垂直，记作 或AB⊥CD垂直于点O.
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三
角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知
点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最
短．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
P
m
A B C D
图4
如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。
知识点3：平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线 a与b平行，记作
a∥b．
2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
知识点4：三线八角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。
l a b
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线 的同一侧，直线 、 的同一方，这样位置
的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
l a b
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线 的两旁，直线 、 的两方，这样位置的一
对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
l a b
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线 的同一侧，直线 、 的两方，这样位置
的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
1 2
P
4
3
5 Q6
8 7
图5
知识点5：平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
知识点6：平行线性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相
等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
知识点7：图形的平移
1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这
种
移动，叫做平移变换，简称平移。
2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。
3. 平移的性质
（1）对应点的连线平行(或共线)且相等
（2）对应线段平行(或共线)且相等；
（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法
（1）找关键点；
（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点
（3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各
对称点进行相应连接，即得到平移后的图形
【考点1】对顶角、邻补角★
1．（24-25七年级下·山西大同·阶段练习）如图，两条直线相交于点O，若∠1+∠2=80°，
则∠3的度数为( )
A．40° B．80° C．100° D．140°
【答案】D
【分析】本题考查了对顶角和邻补角的概念，解题关键是掌握对顶角相等和邻补角互补．
由对顶角相等得到∠1=∠2，根据已知可求出∠1=40°，再由邻补角的性质即可求出
∠3的度数．
【详解】解：∵∠1=∠2，∠1+∠2=80°，
∴∠1=∠2=40°，
∵∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°−40°=140°．
故选：D．
2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，∠1和∠2互补，若∠1=140°，则∠2的度数
为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】B
【分析】本题考查补角，熟练掌握其定义是解题的关键．若两个角的和为180°，则这两个角互为补角，据此即可求得答案．
【详解】解：∵∠1和∠2互补，若∠1=140°，
∴∠2=180°−140°=40°，
故选：B．
3．（23-24七年级下·湖北宜昌·阶段练习）下列图形∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解决问题的关键．根据各
选项中的图形，依据对顶角的定义逐一进行判断即可．
【详解】解： A．∠1和∠2符合对顶角的定义，是对顶角，故A符合题意；
B． ∠1和∠2的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故B
不符合题意；
C．∠1和∠2的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故C不
符合题意；
D．∠1和∠2的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故D不
符合题意；．
故选：A．
【考点2】点到直线的距离★
1．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，点A在直线l 上，点B，C分别在直线l 上，
1 2
AB⊥l ，AC⊥l ，AB=4，BC=3，AC=5，则下列说法正确的是（ ）
2 1
A．点B到直线l 的距离等于4 B．点C到直线l 的距离等于5
1 1C．点A到直线l 的距离等于5 D．点B到直线AC的距离等于3
2
【答案】B
【分析】本题考查了点到直线的距离．解决本题的关键是熟记点到直线的距离．点到直
线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．直线外
一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念解答即
可．
【详解】解：A、∵AB不垂直与l ，∴点B到直线 l 的距离不等于4，故本选项错误；
1 1
B、∵AC⊥l ，∴点C到直线l 的距离等于5，故本选项正确；
1 1
C、∵AB=4，AB⊥l ，∴点A到直线l 的距离等于4，故本选项错误；
2 2
AB×BC 3×4 12
D、点B到直线AC的距离等于 = = ≠3，故本选项错误．
AC 5 5
故选：B．
2．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于
12
点D，若AB=5，AC=3，BC=4，CD= 则点C到直线AB的距离是（ ）
5
12
A． B．3 C．4 D．5
5
【答案】A
【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离∶直线外一点到直线
的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，
根据定义可知点C到直线AB的距离即垂线段CD的长即可解答．
12
【详解】解：∵CD⊥AB，CD= ，
5
12
∴点C到直线AB的距离是CD= ，
5
故选A．
3．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，
PA=6，PO=5，PB=5.5，OC=4，则点P到直线l的距离为（ ）A．3 B．4 C．5 D．5.5
【答案】C
【分析】本题主要考查了点到直线的距离判断．根据点到直线的距离的概念确定出那条
线段的长度即可．
【详解】解：点P到直线l的距离是点P到直线l垂线段的长度，
∵PO⊥l，且PO=5，
∴点P到直线l的距离是5，
故选：C．
4．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且
CE=4cm,CD=3cm,CF=6cm．则点C到AB的距离是 cm．
【答案】3
【分析】根据点到直线的距离，即可求解．
【详解】解：∵CD⊥AB，点E、F在AB上，CD=3cm，
∴点C到AB的距离是CD=3cm，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离是点到直线的垂线段
的长度是解题关键．
【考点3】垂线段最短★
1．（23-24八年级上·湖南永州·开学考试）如图，计划从河边的A，B，C，D处引水到P
处，能使所用的水管最短的引水处是（ ）A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【答案】B
【分析】本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．根据垂线段的性质：垂线段
最短，可得答案．
【详解】解：∵PB⊥AD，
∴由垂线段最短可知，从B处引水，能使所用的水管最短．
故选：B．
2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路MN旁有
一村庄P， 现要建一个汽车站，且有A， B， C， D四个地点可供选择．若要使汽车
站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点之间，垂线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】C
【分析】本题考查了线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短
即可解答．
【详解】解：根据题意，若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是
“垂线段最短”．
故选：C．
3．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，计划把水渠中的水引到水池中，可过点C作
AB的垂线CD，然后沿CD开渠，则能使新开的渠道最短，这种设计方案的数学根据
是 ．【答案】垂线段最短
【分析】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，过直线外一点作直线的垂线，这一
点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．体现了数学的实际运用价值．
【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最
短，
∴沿CD开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：垂线段最短．
【考点4】同位角，内错角和同旁内角★
1．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（ ）
A．∠1和∠2 B．∠3和∠2 C．∠4和∠5 D．∠4和∠2
【答案】A
【分析】本题考查角的关系，结合图形理解对顶角、领补角、同旁内角的概念是解题关
键．根据对顶角的定义的判定即可．
【详解】解：A、∠1和∠2为对顶角，故符合题意；
B、∠3和∠2互为同旁内角，故不符合题意；
C、∠4和∠5为邻补角，故不符合题意；
D、∠4和∠2为同旁内角，故不符合题意．
故选：A．
2．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ）A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠3是同旁内角
C．∠2与∠3是同位角 D．∠3与∠4是内错角
【答案】A
【分析】此题主要考查邻补角、同位角、内错角、同旁内角，根据邻补角、同位角、
内错角、同旁内角对选项进行判断即可求解．
【详解】解：A. ∠1与∠2是同旁内角，说法正确；
B. ∠1与∠3是邻补角，原说法错误；
C. ∠2与∠3是内错角，原说法错误；
D. ∠3与∠4是同旁内角，原说法错误；
故选：A．
3．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线AB与直线CD被直线EF所截，分别交
AB、CD于点F、M，过点M作射线MN，则图中∠1的同位角有（ ）
A．∠3 B．∠2或∠DME
C．∠2或∠3 D．∠2或∠3或∠DME
【答案】B
【分析】本题主要考查三线八角的识别，结合图形，掌握三线八角的识别方法是解题
的关键．
根据同位角的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：由题意可知，∠1的同位角为∠2，或者∠DME．
故选：B．
4．（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中，∠1与∠2是内错角的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键．两条直线被第
三条直线所截形成的八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有
这样位置关系的一对角叫做内错角．
根据内错角的定义可知，内错角是成“Z”字形的两个角，据此逐项分析可得答案．
【详解】解：A.、∠1与∠2是内错角，符合题意；
B、∠1与∠2不是内错角，不符合题意；
C、∠1与∠2不是内错角，不符合题意；
D、∠1与∠2不是内错角，不符合题意；
故选：A．
【考点5】两直线平行的条件★★
1．（23-24七年级下·新疆吐鲁番·期中）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中不
能判断BD∥AC的是（ ）
A．∠3=∠4 B．∠1=∠2 C．∠D=∠DCE D．
∠D+∠ACD=180°
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根
据平行线的判定定理即可直接作出判断．
【详解】解：A．∵∠3=∠4，
∴BD∥AC，故A不符合题意；
B．∠1=∠2，不能判断BD∥AC，故B符合题意；
C．∵∠D=∠DCE，
∴BD∥AC，故C不符合题意；
D．∵∠D+∠ACD=180°，
∴BD∥AC，故D不符合题意；
故选：B．
2．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，由下列条件：①∠B+∠BAD=180°；②
∠B=∠5；③∠D=∠5；④∠1=∠2；不能判定AD∥BC的条件为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定是解题关键；
根据平行线的判定，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行，分别判
定即可求解；
【详解】解：①∵∠B+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，正确；
②∵ ∠B=∠5，
∴AB∥CD，错误；
③∵∠D=∠5，
∴AD∥BC，正确；
④∵∠1=∠2，
∴AD∥BC，正确；
综上所述，②不能判定AD∥BC，
故选：B
3．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，直线a,b被直线c所截，请添加一个条件，使得a∥b，该条件可以是 ．
【答案】∠1=∠3（答案不唯一）
【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键，在图中发现
直线a,b被直线c所截，故可按内错角相等，两直线平行补充条件．
【详解】解：∵∠1=∠3，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故答案为：∠1=∠3（答案不唯一）．
4．（23-24七年级下·北京丰台·期末）如图，将木条a，b与木条c钉在一起，∠1=70°，
转动木条b，当∠2= °时，木条a与b平行．
【答案】70
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意可知∠2=∠3，再结合“同位角相
等，两直线平行”得出答案．
【详解】解：如图，
木条转动时∠2=∠3．
当∠3=∠1=70°时，a∥b．
∴当∠2=70°时，木条a与b平行．故答案为：70．
【考点6】利用平行线的性质求角★★
1．（23-24九年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，l ∥ l ,AB⊥CD，若∠1=35°，则
1 2
∠2的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】A
【分析】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．根据两
直线平行，同位角相等解答即可．
【详解】解：∵l ∥ l ，
1 2
∴∠2=∠1=35°，
故选：A．
2．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，AB∥ CD，将一副直角三角板作如下摆
放，∠GEF=60°，∠MNP=45°．则∠BEF=（ ）
A．60° B．75° C．80° D．85°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，与三角板有关的角的运算；过G作GQ∥ CD，
则∠QGN=∠MNG=45°，由AB∥ CD得GQ∥ AB；由平行线的性质得
∠AEG=∠EGQ=45°，则由∠BEF=180°−∠AEG−∠GEF即可求解．
【详解】解：如图，过G作GQ∥ CD，∴∠QGN=∠MNG=45°，
∵AB∥ CD，
∴GQ∥ AB；
∴∠AEG=∠EGQ；
∵∠EGF=90°，
∴∠AEG=∠EGQ=45°，
∴∠BEF=180°−∠AEG−∠GEF=180°−45°−60°=75°．
故选：B．
3．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，已知直线AB∥CD，点E是线段MN上的动
点，若∠2=95°，∠3=50°，则∠1= 度．
【答案】45
【分析】本题考查了平行线的性质，过点E作EF∥AB，由AB∥CD得
EF∥AB∥CD，进而得∠1=∠MEF，∠3=∠CEF，再根据
∠2=∠MEF+∠CEF=∠1+∠3进行求解即可．
【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠1=∠MEF，∠3=∠CEF，∴∠2=∠MEF+∠CEF=∠1+∠3，
∵∠2=95°，∠3=50°，
∴∠1=∠2−∠3=95°−50°=45°．
故答案为：45．
4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，
表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向
后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1=41°，∠2=18°，则∠CGF的度数是
°．
【答案】59
【分析】此题考查了平行线的性质．根据平行线的性质得到∠CGF+∠AFG=180°，
由平角的定义得到∠2+∠1+∠AFG=180°，即可得到∠CGF=∠1+∠2=59°．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠CGF+∠AFG=180°，
∵∠2+∠1+∠AFG=180°，
∴∠CGF=∠1+∠2=41°+18°=59°．
故答案为：59
【考点7】平行线与折叠综合★★
1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，把一张两边分别平行的纸条沿着EF
折叠，ED交BF于点G，∠EFB=48°，则∠EGF=（ ）
A．48° B．42° C．84° D．72°
【答案】C【分析】本题主要考查平行线的性质以及折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题
的关键．根据题意得到∠EFB=∠HEF=48°，由于折叠得到
∠HEF=∠FEG=48°，即可求出∠AEG=84°，即可得到答案．
【详解】解：∵两边分别平行，
∴ ∠EFB=∠HEF=48°，
∵沿着EF折叠，
∴ ∠HEF=∠FEG=48°，
∴∠AEG=180°−∠FEG−∠HEF=84°，
∴∠EGF=∠AEG=84°．
故选C．
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图1是长方形纸条，∠≝=α，将纸条沿EF折叠成
图2，再沿BF折叠成图3；用α表示图3中∠CFE的大小为
【答案】180°−3α
【分析】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
由四边形ABCD为长方形，利用平行线的性质可得出∠BFE和∠CFE，再结合图2
中∠CFB=∠CFE−∠BFE及图3中∠CFE=∠CFB−∠BFE，即可求出∠CFE．
【详解】图1中，∵四边形ABCD为长方形，∠≝=α，
∴AD∥ BC，
∴∠BFE=∠≝=α，
∴∠CFE=180°−α，
∴图2中，∠CFB=∠CFE−∠BFE=180°−α−α，∴图3中，∠CFE=∠CFB−∠BFE=180°−α−α−α，
∴∠CFE=180°−3α．
故答案为：180°−3α．
3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如图，一张长方形纸条ABCD沿EF折叠．已知：
∠AED′=63°24′，则∠EFB= ．
【答案】58°18'
【分析】本题考查的知识点是折叠的性质、角度的运算、平行线的性质，解题关键是
熟练掌握折叠的性质．
先根据折叠性质得出∠≝=∠D'EF，再计算出∠≝¿的角度，再由平行线的性质即可
得解．
【详解】解：根据折叠性质可得：∠≝=∠D'EF，
∵∠AED'=63°24'，
∴∠≝=∠D'EF=58°18'，
∵长方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EFB=∠≝=58°18'．
故答案为：58°18'．
4．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点
A，B分别落在A′，B′的位置，再沿AD边将∠A′折叠到∠H处，已知∠1=48°，则
∠FEH= ．
【答案】18°/18度
【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，由折叠的性质可得
∠BFE=∠B′FE，∠AEF=∠A′EF，∠A′EG=∠HEG，由邻补角的定义可求得∠BFB′=132°，则有∠BFE=66°，由平行线的性质得∠AEF=114°，
∠FEG=66°，从而可求解．
【详解】解：由折叠性质得：∠BFE=∠B′FE，∠AEF=∠A′EF，
∠A′EG=∠HEG，
∵∠1=48°，
∴∠BFB′=180°−∠1=132°，
1
∴∠BFE= ∠BFB′=66°，
2
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥ BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，∠FEG=∠BFE=66°，
∴∠AEF=180°−∠BFE=180°−66°=114°，
∴∠A'EF=114°，
∴∠A'EG=∠A'EF−∠FEG=114°−66°=48°，
∴∠HEG=48°，
∴∠FEH=∠FEG−∠HEG=66°−48°=18°．
故答案为：18°．
【考点8】平行线的生活中的实际应用★★
1．（23-24八年级上·山西阳泉·期末）为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学
校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空
竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知
AB∥CD，∠EAB=82°，∠ECD=110°，则∠E的度数为（ ）
A．20° B．25° C．26° D．28°
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质的应用；过点E作EF∥ CD，则EF∥ CD∥ AB；
利用两线平行，同旁内角互补可分别求得∠CEF、∠AEF的度数，从而可求解．
【详解】解：如图，过点E作EF∥ CD，∵AB∥CD，
∴EF∥ CD∥ AB；
∴∠CEF+∠ECD=180°、∠AEF+∠EAB=180°，
∴∠CEF=180°−110°=70°、∠AEF=180°−82°=98°，
∴∠AEC=∠AEF−∠CEF=98°−70°=28°；
故选：D．
2．（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）为响应国家新能源建设的号召，某市公交站亭装
上了太阳能电池板．已知，当地某一季节的太阳光线（平行光线）与水平线最大夹角
为64°，如图，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相互垂直，此时电池板CD与水
平线夹角为46°，要使AB∥CD，需将电池板CD逆时针旋转m°（0<m<90），则m
等于（ ）
A．16 B．20 C．26 D．44
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用，利用平行线的性质求解即可，熟练掌
握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键．
【详解】解：∵电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相互垂直，
∴AB与水平线的夹角为：90°−64°=26°，
∴要使AB∥CD，需要电池板CD与水平线的夹角为26°，
∴需将电池板CD逆时针旋转：46°−26°=20°，
故选：B．
3．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人
的回忆，图②是它的几何示意图．已知BC∥DE，AB∥CD，当∠ABD=70°，
∠CBD=44°时，∠CDE的度数为 ．【答案】66°/66度
【分析】本题考查了平行线的性质．根据AB∥ CD，可得∠BDC=∠ABD=70°，
根据BC∥DE，可得∠DBC+∠BDE=180°，由此可得∠BDE=180°−∠DBC，
∠CDE=∠BDE−∠BDC即可得解．
【详解】解：∵AB∥ CD，
∴∠BDC=∠ABD=70°，
∵BC∥ DE，
∴∠DBC+∠BDE=180°，
∴∠BDE=180°−∠DBC=180°−44°=136°，
∴∠CDE=∠BDE−∠BDC=136°−70°=66°，
故答案为：66°．
4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，
我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线
的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB形状，∠AOB=36°，
在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线DC
刚好与OB平行，则∠DEB的度数为 ．
【答案】72°/72度
【分析】本题考查平行线性质的应用，由DC∥ OB，可得∠ADC=∠AOB=36°，
∠CDE+∠DEB=180°，由反射的性质可得∠ADC=∠ODE，由此可解．【详解】解：∵ DC∥ OB，
∴ ∠ADC=∠AOB=36°，
由题意知，∠ADC=∠ODE，
∴ ∠CDE=180°−∠ADC−∠AOB=180°−36°−36°=108°，
∵ DC∥ OB，
∴ ∠CDE+∠DEB=180°，
∴ ∠DEB=180°−∠CDE=180°−108°=72°，
故答案为：72°．
【考点9】平行线的性质与判定综合★★
1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，
ED与FN交于点M，∠C=∠1，∠2=∠3．
(1)求证：AB∥ CD；
(2)若∠D=47°，∠EMF=80°，求∠AEP的度数．
【答案】(1)见解析
(2)127°
【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考
常考题型．
（1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可；
（2）先求出∠BEC的度数，根据对顶角相等得到∠AEP的度数即可．
【详解】（1）证明：∵∠2=∠3，
∴CE∥NF，
∴∠C=∠FND，
又∵∠C=∠1，
∴∠FND=∠1，
∴AB∥CD．（2）解：∵∠D=47°，CE∥ NF，AB∥CD，∠EMF=80°，
∴∠BED=∠D=47°，∠2=∠EMF=∠3=80°，
∴∠BEC=80°+47°=127°，
∴∠AEP=∠BEC=127°．
2．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底
座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D,AB与
DM交于点N,∠AOE=∠BNM．
(1)求证：OE∥DM；
(2)若OE平分∠AOF,∠ODC=30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠ANM=105°
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形
结合分析是关键．
（1）根据题意得到∠AOE=∠OND，由同位角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据平行线的性质得到∠AOD=150°，由角平分线的定义得到
1
∠EOF= ∠AOD=75°，则有∠CDN=∠ODC+∠ODN=30°+75°=105°，根
2
据AB∥CD，得∠ANM=∠CDN=105°即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠BNM=∠OND，∠AOE=∠BNM，
∴∠AOE=∠OND，
∴OE∥DM．
（2）解：∵AB∥EF,CD∥EF，
∴AB∥CD，
∴∠ODC+∠AOD=180°，∵∠ODC=30°，
∴∠AOD=150°，
∵OE平分∠AOF，
1
∴∠EOF= ∠AOD=75°，
2
∵OE∥DM，
∴∠ODN=∠EOF=75°，∠CDN=∠ODC+∠ODN=30°+75°=105°，
∵AB∥CD，
∴∠ANM=∠CDN=105°．
3．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）如图EF∥ AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．将
求∠AGD的过程填写完整．
∵ EF∥ AD ( )
已知
∴∠2=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _( )
又∵∠1=∠2( 已知 )
∴∠1=∠3( )
∴ AB ∥ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _( )
∴∠BAC+∠AGD=180°( )
又∵∠BAC=70°( 已知 )
∴∠AGD=180°−_ _ _ _ _ _ _ _ _ _=_ _ _ _ _．
【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；
两直线平行，同旁内角互补；已知；70°；110°
【分析】本题考查是平行线的判定与其性质，理解平行线的性质是解题的关键，根据
平行线的性质与判定完成填空，即可求解．
【详解】解：∵EF∥ AD（已知）
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等 ）
又∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠3（等量代换）
∴AB ∥ DG（内错角相等，两直线平行）∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠BAC=70°（已知）
∴∠AGD=180°−70°=110°.
4．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，D，E，F，G分别是△ABC边上的点，
∠1+∠2=180°，∠B=∠3．
(1)求证：DE∥BC；
(2)若∠C=78°，∠AED=2∠B，请求出∠CEF的度数．
【答案】(1)见详解
(2)63°
【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，准确识图，熟练掌握平行线的判定和
性质是解决问题的关键．
（1）根据∠1+∠2=180°,∠2=∠4得∠ 1+∠4=180°，进而得AB∥ EF，则
∠B=∠EFC，再根据∠B=∠3，得∠EFC=∠3，据此可得出结论；
（2）先由（1）的结论得∠AED=∠C=78°，进而得∠B=∠3=39°，由此可得
∠AEF的度数．最后根据邻补角的定义求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠1+∠2=180°,∠2=∠4，
∴∠1+∠4=180°，
∴ AB∥ EF，
∴∠B=∠EFC，
∵∠B=∠3，
∴∠EFC=∠3，
∴DE∥ BC；（2）解：由（1）可知：DE∥ BC，
∴∠AED=∠C=78°，
又∠AED=2∠B，
∴2∠B=78°，
∴∠B=39°，
∴∠3=∠B=39°，
∴∠AEF=∠AED+∠3=78°+39°=117°．
∠CEF=180°−∠AEF=63°
【考点10】平行线中常考模型★★★
1．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，已知直线AB∥ CD，当点E在直线AB与CD
之间时．
(1)∠BED与∠ABE+∠CDE之间有怎样的关系（写出结论即可）；
(2)当点E在直线AB与CD之外时，试猜想这三个角的关系并加以证明．
【答案】(1)∠BED=∠ABE+∠CDE
(2)∠BED=∠CDE−∠ABE或∠BED=∠ABE−∠CDE，见解析
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，
（1）过点E作EF∥AB，先证明EF∥CD，得出
∠FED=∠CDE,∠BEF=∠ABE，根据角的和差计算得出结论；
（2）分两种情况：当E在AB的上方时或当E在DC的下方时，分别作辅助线根据平
行线的性质求出结论．
【详解】（1）解：∠BED与∠ABE+∠CDE之间的关系为：∠BED=∠ABE+∠CDE，理由如下：
如图1，过点E作EF∥AB，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠CDE,∠BEF=∠ABE，
∵∠BED=∠BEF+∠FED，
∴∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）解：如图2，当E在AB的上方时，∠BED=∠CDE−∠ABE，证明如下：
过点E作EF∥AB，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠CDE,∠FEB=∠ABE，
∴∠BED=∠FED−∠FEB=∠CDE−∠ABE；
如图3，当E在DC的下方时，∠BED=∠ABE−∠CDE，证明如下：
过点E作EF∥AB，∵CD∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠CDE,∠FEB=∠ABE，
∴∠BED=∠FEB−∠FED=∠ABE−∠CDE．
2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图①，已知AB∥ CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在直线
AB,CD之间，设∠AEP=∠α,∠CFP=∠β，求证：∠P=∠α+∠β．
证明：如图②，过点P作PQ∥AB,∴∠EPQ=∠AEP=∠α，
∵PQ∥AB,AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠FPQ=∠CFP=∠β，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠α+∠β，即∠EPF=∠α+∠β．
可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】
（1）如图③，已知AB∥CD,∠D=15°,∠GAB=70°，求∠P的度数．
（2）如图④，已知AB∥ CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接
PA、PE，则∠PAB、∠CEP、∠APE之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图⑤，已知AB∥ CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接
PA、PE，∠PED的平分线与∠PAB的平分线所在直线交于点Q，求
∠APE+2∠AQE的值．
【答案】（1）∠P=85°；（2）∠CEP−∠APE+∠PAB=180°，理由见解析；
（3）∠APE+2∠AQE=360°
【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键．（1）过P作PQ∥ AB，则PQ∥ AB∥ CD，利用平行线的性质得到
∠APQ=∠GAB=70°，∠QPD=∠D=15°，进而可求解；
（2）过P作PQ∥ AB，则PQ∥ AB∥ CD，利用平行线的性质得到
∠QPE=∠CEP，∠QPA+∠PAB=180°，进而可得结论；
（3）过P作HQ∥ AB，则HQ∥ AB∥ CD，利用平行线的性质推导出
∠AQE=∠HQE+∠HQA=∠QED+∠QAB，利用角平分线的定义得
1 1
∠QED=90°− ∠CEP，∠BAF= ∠PAB，结合（2）中结论得到
2 2
1
∠AQE=180°− ∠APE，进而可得结论．
2
【详解】解：（1）如图③，过P作PQ∥ AB，
∵AB∥ CD，
∴PQ∥ AB∥ CD，
∴∠APQ=∠GAB=70°，∠QPD=∠D=15°，
∴∠APD=∠APQ+∠QPD=85°；
（2）如图④，过P作PQ∥ AB，
∵AB∥ CD，
∴PQ∥ AB∥ CD，
∴∠QPE=∠CEP，∠QPA+∠PAB=180°，
∵∠QPA=∠QPE−∠APE，
∴∠CEP−∠APE+∠PAB=180°；（3）过P作HQ∥ AB，
∵AB∥ CD，
∴HQ∥ AB∥ CD，
∴∠QED=∠HQE，∠HQA=∠QAB，
∴∠AQE=∠HQE+∠HQA=∠QED+∠QAB，
∵∠PED的平分线与∠PAB的平分线所在直线交于点Q，
1 1 1 1
∴∠QED= ∠PED= (180°−∠CEP)=90°− ∠CEP，∠BAF= ∠PAB，
2 2 2 2
1 1 1
∴∠AQE=90°− ∠CEP+180°− ∠PAB=270°− (∠CEP+∠PAB)，
2 2 2
由（2）知∠CEP−∠APE+∠PAB=180°，
∴∠CEP+∠PAB=180°+∠APE，
1 1
∴∠AQE=270°− (180°+∠APE)=180°− ∠APE，
2 2
∴∠APE+2∠AQE=360°．
3．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）【探究】（1）如图1，AB∥ CD，点E在直
线AB与CD之间，连接AE，CE，试说明：∠BAE+∠DCE=∠AEC．请完成下面
的解题过程．
解：过点E作EF∥ AB，
∴∠1=∠ （ ）．
∵AB∥ CD，EF∥ AB，
∴CD∥ EF（ ），
∴∠2=∠ ，
∴∠BAE+∠DCE=∠1+∠2，
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC；
【应用】（2）如图2，AB∥ CD，点F在AB，CD之间，FE与AB交于点M，FG
与CD交于点N．若∠EFG=115°，∠EMB=55°，求∠DNG的度数；【拓展】（3）如图3，直线CD在直线AB，FE之间，且AB∥ CD∥ EF，点G，H
分别在AB，FE上，Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连接QG，QH．
若∠GQH=70°，直接写出∠AGQ+∠EHQ的度数．
【答案】（1）A，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，C；
（2）60°；（3）70°或290°
【分析】本题考查了平行线的判定及性质；
（1）由平行线的判定方法得AB∥ CD∥ EF，由平行线的性质得∠1=∠A，
∠2=∠C，则∠BAE+∠DCE=∠AEC，即可得证；
（2）利用（1）中的结论可知，∠MFN=∠AMF+∠CNF，则可得∠CNF的度数
为60°，由对顶角相等可得∠DNG=60°，即可求解；
（3）结合（1）中的结论可得，分类讨论：∠AGQ是钝角或∠AGQ是锐角时两种情
况，分别根据平行线的性质求解即可．
掌握平行线的判定及性质，并能利用平行线的判定及性质进行熟练求解是解题的关键．
【详解】解：（1）过点E作EF∥ AB，
∴∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥ CD，EF∥ AB，
∴CD∥ EF（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠2=∠C，
∴∠BAE+∠DCE=∠1+∠2，
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC；
（2）由（1）中探究可知，∠MFN=∠AMF+∠CNF，
∵∠AMF=∠EMB=55°，且∠MFN=115°，
∴∠CNF=115°−55°=60°，
∴∠DNG=∠CNF=60°；
故答案为：A，两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行，C；（3）如图，当∠AGQ为钝角时，
由（1）中结论可知，
∠GQH=∠BGQ+∠FHQ=70°，
∴∠AGQ+∠EHQ
=360°−(∠BGQ+∠FHQ)
=290°；
当∠AGQ为锐角时，如图，
由（1）中结论可知，
∠GQH=∠AGQ+∠EHQ，
即∠AGQ+∠EHQ=70°，
综上，∠AGQ+∠EHQ的度数为70°或290°．
4．（24-25七年级上·福建漳州·期末）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产
生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的
“等角转化”功能．
(1)问题情景：如图1，已知∠CDF+∠DFE=180°,∠C=∠DAE．
①问题初探：求证：AD∥BC；
②拓展探究：试问∠ADF,∠AEB与∠DFE之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1=31°，求∠2+∠3的度数．（直接写出答案）
【答案】(1)①见解析；②∠DFE=∠ADF+∠AEB
(2)211°
【分析】本题考查了平行线的性质与判定；
（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得AE∥ DC，根据平行线的性质可得
∠AEB=∠C，结合已知条件得出∠AEB=∠DAE，根据内错角相等两直线平行，
即可得证；
②过点F作FG∥ AD，根据两直线平行内错角相等得出∠DFG=∠ADF，
∠GFE=∠AEB，进而即可求解；
（2）根据题意以及平行线的性质得出，∠2+∠3=180°+∠1，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵∠CDF+∠DFE=180°，
∴AE∥ DC，
∴∠AEB=∠C
∵∠C=∠DAE
∴∠AEB=∠DAE
∴AD∥BC；
②∠DFE=∠ADF+∠AEB，理由如下，
如图所示，过点F作FG∥ AD
∴∠DFG=∠ADF
∵AD∥ BC
∴FG∥ BC
∴∠GFE=∠AEB
∴∠DFE=∠DFG+∠EFG=∠ADF+∠AEB；
（2）解：如图所示，∠1，∠2，∠3的顶点分别为C,B,F，依题意，EF∥ CD，作AB∥ CD，
∴EF∥ AB
∴∠ABC=∠1=31°，∠3+∠FBA=180°
∴∠2+∠3=∠3+∠FBA+∠ABC=180°+31°=211°．
【考点11】图形的平移★
1．（23-24七年级下·全国·期末）如图平移得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小．根据平移的性质
判断即可．
【详解】解：A、图形能由原图平移得到，符合题意；
B、图形不能由原图平移得到，不符合题意；
C、图形不能由原图平移得到，不符合题意；
D、图形不能由原图平移得到，不符合题意；
故选：A．
2．（23-24七年级下·浙江·期中）观察下列四幅图案，通过平移可以得到左图的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
利用平移的性质即可得出答案．
【详解】
解：观察各选项中的图案可以发现，通过平移可以得到 的是B，
故选：B．
3．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）在5×5的方格纸中，将图①中的三角形甲平移
到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（
）
A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格
C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格
【答案】C
【分析】本题考查图形的平移，根据平移后图形的位置，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，图①中的三角形甲先向下平移2个单位，再向右平移3个单
位到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形；故选：C．
【考点12】利用平移的性质求解★★
1．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，将三角形ABC沿BC方向向右平移得到△≝¿，
若EC=3，且点E是BC的中点，则平移的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查平移的知识，熟练掌握平移的定义是关键；
本题根据点E是BC的中点，求得BE=EC=3，然后根据平移的定义即可求解；
【详解】解：∵EC=3，且点E是BC的中点，
∴BE=EC=3，
∵三角形ABC沿BC方向向右平移得到△≝¿，
∴点A和D对应，点B和点E对应，点C和点F对应，
∴平移的距离为：AD=BE=CF=3；
故选：A；
2．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将直角三角形ABC沿直角边BC所在的直
线向右平移得到△≝¿，AB=10，DO=4，BF=21，平移距离为6，则△OEC的面积
为（ ）
A．27 B．40 C．42 D．54
【答案】A
【分析】本题主要考查了平移的性质及三角形的面积公式，根据平移的性质得出
BE=CF=6，DE=AB=10是解题的关键．根据平移的性质得出BE=CF=6，
DE=AB=10，则OE=4，根据三角形的面积公式即可求解．【详解】解：由平移的性质知，BE=CF=6，DE=AB=10，BF=21，
∴OE=DE−DO=10−4=6，EC=21−6−6=9，
1
∴△OEC的面积= ×6×9=27．
2
故选：A
3．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，这是一个9级台阶的侧面示意图，在台阶上铺
地毯至少需（ ）
A．4.5m B．5m C．6m D．7m
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的加法的应用，可以将台阶的横面、竖面平移，横向和为
4米，竖向和为3米，再根据有理数的加法法则列式计算即可得出答案．
【详解】解：可以将台阶的横面、竖面平移，横向和为4米，竖向和为3米，
故在台阶上铺地毯至少需4+3=7(m)，
故选：D．
4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑
同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，
求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．(20−x)(32−x)=540 B．(20−x)(32−x)=32×20−540
C．(20−2x)(32−2x)=540 D．(20−2x)(32−2x)=32×20−540
【答案】A
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合
的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．
设小路宽为xm，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了(32−x)(20−x)m2，进而即可列出方程，求出答案．
【详解】解：利用平移，原图可转化为如图，
设小路宽为xm，
根据题意得：(20−x)(32−x)=540．
故选：A．
5．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺
设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米60元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地
毯至少需要（ ）
A．298元 B．288元 C．287元 D．297元
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的平移，熟记平移的性质并理解地毯长度的求法是解题的
关键．根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据
长方形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解．
【详解】解：地毯的长度至少为：0.8+1.6=2.4（米）；
2.4×2×60=288（元）．
答：铺设梯子的红地毯至少需要花费至少288元．
故选B．一、单选题
1．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图所示的车标图案，其中可以看作由“基本图
案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了图形的平移，把一个图形沿着某个方向移动一定的距离叫做平移，
根据平移的定义进行判断．
【详解】解：A、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，
故不符合题意；
B、图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意；
C、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
D、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意．
故选：B．
2．（2025·山东·二模）如图，已知直线AB与CD交于点O，OE⊥OC，OF平分∠BOE．
若∠COF=32°，则∠AOD的度数为（ ）
A．24° B．26° C．28° D．30°
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂直的定义、角的和差、角平分线的定义、对顶角的性质等
知识点．由垂直的定义可得∠COE=90°，易得∠EOF=58°，再根据角平分线的定
义可得∠BOF=58°，然后运用角的和差可得∠BOC=26°，最后根据对顶角相等即可解答．
【详解】解：∵OE⊥CD，
∴∠COE=90°，
∵∠COF=32°，
∴∠EOF=∠EOC−∠COF=90°−32°=58°，
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOF=∠EOF=58°，
∴∠BOC=∠BOF−∠COF=58°−32°=26°，
∴∠AOD=∠BOC=26°．
故选：B．
3．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，AB∥ CD，若∠2=55°，则∠1的度数为
（ ）
A．35° B．125° C．50° D．55°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的
关键．根据两直线平行，同位角相等，求出∠3，再根据邻补角的定义列式计算即可
得解．
【详解】解：如图
∵ AB∥ CD ∠2=55°
， ，
∴ ∠3=∠2=55°，
∴ ∠1=180°−∠3=180°−55°=125°．
故选B．4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形ABC平移得到三角形A′B′C′，下列
结论中，不一定成立的是（ ）
A．A A′∥ BB′或A A′与BB′在同一条直线上B．BB′∥ CC′或BB′与CC′在同一条
直线上
C．A A′=BB′ D．BC=A′C′
【答案】D
【分析】本题考查的是平移的性质，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大
小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
根据平移的性质判断即可．
【详解】解：A、由平移的性质可知A A′∥ BB′或A A′与BB′在同一条直线上，故本
选项不符合题意；
B、由平移的性质可知BB′∥ CC′或BB′与CC′在同一条直线上，故本选项不符合题
意；
C、由平移的性质可知A A′=BB′，故本选项不符合题意；
D、由平移的性质可知BC=B′C′不一定等于A′C′，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知直线a,b,c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b
之间的距离为6cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（ ）
A．2cm B．6cm C．4cm或8cm D．8cm
【答案】C
【分析】本题主要考查线段之间的距离的计算，理解线段之间的距离的计算，分类讨
论思想是关键．
依题意有以下两种情况：①当直线c在直线a,b之间时，根据平行线间的距离可求出a
与c之间的距离；②当直线c在直线a,b外时，根据平行线间的距离可求出a与c之间的
距离，综上所述即可得出答案．【详解】解：∵a∥b∥c，a与b之间的距离为6cm，b与c之间的距离为2cm，
分两种情况讨论如下：
①当直线c在直线a,b之间时，如图1所示：
此时a与c之间的距离是：6−2=4(cm)；
②当直线c在直线a,b外时，如图2所示：
此时a与c之间的距离是：6+2=8(cm)，
综上所述：a与c之间的距离是4cm或8cm．
故选：C．
6．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，已知直线PQ∥MN，∠3=140°，则∠4的
度数是（ ）
A．36° B．40° C．44° D．100°
【答案】B
【分析】、本题考查了平行线的性质，根据PQ∥MN得∠3+∠4=180°，即可得出
答案．
【详解】解：∵PQ∥MN，
∴∠3+∠4=180°，
∵∠3=140°，
∴∠4=40°，
故选：B．7．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）随着5G时代到来，光纤通信越来越被大家熟知．如
图，是光信号在光纤中传输的一小段过程，图示中可看作两个平行放置的平面镜，光
信号经过平面镜反射时，∠1=∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A．110° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出∠4=∠2．由平
行线的性质推出∠4=∠2=30°，得到∠5=∠4=30°，由平角定义即可求出∠3的
度数．
【详解】解：如图：
∵
两平面镜平行，
∴∠4=∠2=30°，
∴∠5=∠4=30°，
∴∠3=180°−30°−30°=120°．
故选：B．
8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，若∠1=∠2，∠3=∠4，给出下面四个结论：
①AB∥CD；②AD∥BC；③∠B=∠BCD；④∠B+∠BCD=180°．上述结论中，
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据内错角相等，两直线平行结合两直线平
行，同旁内角互补，进行判断即可．
【详解】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD；故①正确；
∵∠3=∠4，
∴AD∥BC，故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°；故③错误，④正确；
故选D．
二、填空题
9．（23-24七年级下·广西河池·期末）已知∠1和∠2互为邻补角，若∠1=80°，则∠2=
．
【答案】100°
【分析】本题考查邻补角，由邻补角的性质得到∠1+∠2=180°，又∠1=80°，即
可求出∠2=100°．
【详解】解：∵∠1和∠2互为邻补角，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=80°，
∴∠2=100°．
故答案为：100°．
10．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，若∠D=80°，再增加一个条件，使
得AB ∥ DF，则符合要求的一个条件是 ．
【答案】∠CEB=80°（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
根据平行线的判定方法进行求解即可．
【详解】解：①添加：∠CEB=80°，
∴∠CEB=∠D=80°，
∴AB ∥ DF；②添加：∠AEC=100°，
∵∠AEC=∠BED=100°，
∴∠BED+∠D=180°，
∴AB ∥ DF；
③添加：∠AED=80°，
∴∠AED=∠D=80°，
∴AB ∥ DF；
③添加：∠BED=100°，
∵∠D=80°，
∴∠BED+∠D=180°，
∴AB ∥ DF；
故答案为：∠CEB=80°（答案不唯一）．
11．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，将△ABC沿BC方向平移一定距离得到△≝¿．
若AB=5, BE=3, DG=2，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了平移的性质：平移前后两图形的形状和大小完全相同；新图形中
的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对
应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到S =S ，
△ABC △≝¿¿
DE=AB=5，则¿=3，再利用S +S =S +S 得到
阴影部分 △GEC 梯形ABEG △GEC
S =S ，然后根据梯形的面积公式计算．
阴影部分 梯形ABEG
【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移一定距离得到△≝¿，
∴S =S ，
△ABC △≝¿，DE=AB=5¿
∴¿=DE−DG=5−2=3，
∵S +S =S +S ，
阴影部分 △GEC 梯形ABEG △GEC
1
∴S =S = ×(3+5)×3=12．
阴影部分 梯形ABEG 2
故答案为：12．
12．（23-24七年级下·新疆和田·阶段练习）某商场重新装修，准备在楼梯铺上地毯(地毯厚度忽略不计).如图是该楼梯的侧面截面图，长AC=8m，高BC=6m，若楼梯的宽度是
2m，则该地毯的面积为 m2．
【答案】28
【分析】本题考查平移性质的应用．根据平移的性质知地毯的长度为BC+AC的长，
据此即可求出地毯面积．
【详解】解：∵长AC=8m，高BC=6m，楼梯宽2m，
∴地毯的面积为：(6+8)×2=28(m2)．
故答案为：28．
13．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）早在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木
杆秤．木杆秤在称物时，所有秤绳都平行．如图，这是一杆古秤在称物时的一种状态，
若∠1=75°，则∠2的度数为 ．
【答案】105°/105度
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得到
∠BCD=∠1=75°，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，依题意，AB∥DC，
∴∠BCD=∠1=75°，
∴∠2=180°−∠BCD=105°
故答案为：105°．14．（2024七年级下·河南周口·专题练习）如图，已知AB∥CD，∠α= ．
【答案】85°
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，过点E作EF∥AB,由平行线的判定与性
质推出∠1=60°,∠2=25°，即可得到∠1的度数．
【详解】解：如图，过点E作EF∥AB,
∴∠1+∠ABE=180°,
∵∠ABE=120°,
∴∠1=60°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD,
∴∠2=∠ECD=25°,
∴∠α=∠1+∠2=60°+25°=85°．
故答案为：85°．
三、解答题
15．（23-24七年级下·天津河北·期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
(1)若∠EOC=60°，求∠BOD的度数；
(2)若∠EOC:∠EOD=2:3，求∠BOD的度数．
【答案】(1)30°(2)36°
【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，邻补角的定义，熟练掌握上述知识
是解题关键．
1
（1）根据角平分线的定义可求出∠AOC= ∠EOC=30°，再结合对顶角相等求解
2
即可；
2
（2）根据邻补角互补，结合题意可求出∠EOC= ×180°=72°，再由（1）同理即
5
可求解．
【详解】（1）解：因为∠EOC=60°，OA平分∠EOC，
1
所以∠AOC= ∠EOC=30°，
2
所以∠BOD=∠AOC=30°；
（2）解：因为∠EOC+∠EOD=180°，∠EOC:∠EOD=2:3，
2
所以∠EOC= ×180°=72°．
5
因为OA平分∠EOC，
1
所以∠AOC= ∠EOC=36°，
2
所以∠BOD=∠AOC=36°．
16．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，有一格点四边
形ABCD．（各顶点均在格点上）
(1)将四边形ABCD经过一次平移得到四边形A′B′C′D′，点A的对应点为点A′，请画
出平移后的四边形A′B′C′D′；
(2)在（1）的条件下，求线段AB在平移过程中扫过的面积．
【答案】(1)见详解
(2)27【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）观察发现，A′点是由A点向右平移9个单位，再向下平移2个单位得到的，因此
按照相同的规律，画出B、C、D三点平移后的对应点B′、C′、D′，再顺次连接A′、
B′、C′、D′即可得到平移后的四边形A′B′C′D′；
（2）线段AB扫过的图形为▱ABB′ A′，按照平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图：四边形A′B′C′D′即为所求；
（2）解：如图，线段AB扫过的图形为▱ABB′ A′，它的面积为：3×9=27．
17．（23-24七年级下·广东中山·期中）如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，F是AC上
一点，过点F作FE∥AD交BC于点E，点G在AB上且满足∠1+∠2=180°．
(1)求证：CA∥DG；
(2)若FE⊥BC于点E，∠3=78°，求∠BDG的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)51°
【分析】此题考查平行线的判定和性质，
（1）根据FE∥AD得到∠1+∠DAF=180°，由此得到∠2=∠DAF，即可证得
CA∥DG．
（2）根据FE∥AD，FE⊥BC得到∠ADB=∠FEB=90°，由角平分线定义及平
行线的性质求出∠CAD=39°，∠2=∠CAD=39°，即可求出
∠BDG=∠ADB−∠2=12°．【详解】（1）证明：∵FE∥AD，
∴∠1+∠DAF=180°
∵∠1+∠2=180∘（邻补角定义），
∴∠2=∠DAF，
∴CA∥DG．
（2）解：因为FE∥AD，FE⊥BC，
所以∠ADB=∠FEB=90°．
因为AD平分∠CAB，AC∥DG，
1 1
所以∠CAD=∠BAD= ∠3= ×78°=39°，∠2=∠CAD=39°．
2 2
所以∠BDG=∠ADB−∠2=51°．
18．（21-22七年级下·北京海淀·期中）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接
BC、CD．
(1)如图1，若∠ABC=145°，∠EDC=116°，求∠BCD的度数；
(2)如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，写出∠ABC和∠F之间的数量
关系；
(3)如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线FG交CD于点G，连接GB并延长至点
H，若BH平分∠ABC，求∠BGD−∠CGF的值．
【答案】(1)∠BCD=29°
(2)∠ABC−∠F=90°
(3)∠BGD−∠CGF=45°
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清
楚角与角之间的关系．
（1）过点C作CM∥AB，可得∠BCM=∠ABC=145°，再由平行线的性质得
∠DCM=∠EDC=116°，则可求得
∠BCD=∠BCM−∠DCM=145°−116°=29°；（2）过点C作CN∥AB，可证得CN∥EF，由∠F=∠FCN，结合垂线，从而可求
得∠ABC−∠F=90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，不难证得
1
∠FGQ=∠ABH−∠EFG，再由角平分线的定义得∠ABH= ∠ABC，
2
1 1 1 1
∠EFG= ∠CFD，可得∠FGQ= ∠ABC− ∠CFD= (∠ABC−∠CFD)，
2 2 2 2
结合（2）即可求解．
【详解】（1）解：过点C作CM∥AB，如图1，
∴∠BCM=∠ABC=145°，
∵AB∥DE，
∴CM∥DE
∴∠DCM=∠EDC=116°，
∵∠BCM=∠BCD+∠DCM，
∴∠BCD=∠BCM−∠DCM=145°−116°=29°；
（2）解：∠ABC−∠F=90°，理由：
过点C作CN∥AB，如图，
∴∠ABC=∠BCN，
∵AB∥DE，∴CN∥EF，
∴∠F=∠FCN，
∵∠BCN=∠BCF+∠FCN，
∴∠ABC=∠BCF+∠F，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ABC=90°+∠F，
即∠ABC−∠F=90°；
（3）解：延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3，
∴∠BGD=∠CGQ，
∵AB∥DE，
∴∠ABH=∠EQG，
∵GP∥EF，
∴∠EQG=∠PGQ，∠EFG=∠PGF，
∴∠PGQ=∠ABH，
∴∠BGD−∠CGF=∠CGQ−∠CGF=∠FGQ，
∵∠FGQ=∠PGQ−∠PGF，
∴∠FGQ=∠ABH−∠EFG，
∵BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，
1 1
∴∠ABH= ∠ABC，∠EFG= ∠CFD，
2 2
1 1 1
∴∠FGQ= ∠ABC− ∠CFD= (∠ABC−∠CFD)，
2 2 2
由（2）可得：∠ABC−∠CFD=90°，
1
∴∠FGQ= ×90°=45°，
2
即∠BGD−∠CGF=45°．
