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专题 02 与旋转有关的计算与证明
一．解答题
1．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，
连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB＝4，OC＝5，求AO的长．
2．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到
△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的大小．
3．如图，点O是等边△ABC内一点，∠BOC＝ ．将△BOC绕点C按顺时
α针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形．
（2）当 ＝150°时，OB＝4，OC＝3，求OA的长．
α
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点D为垂足，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，
点D落在点E处，延长AE交CB的延长线于点F，延长EB交AD的延长线于点G，求证：EG＝DF．
5．等边△ABC中，D为BC的中点，绕点B顺时针旋转△ABD得到△FBE，点A
的对应点为F，点D的对应点为E，EC∥BF．（1）求∠BEC的度数；
（2）若AB＝4，求EC的长度．
6．如图，已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝60°．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，AC与
DE交于点F．
（1）若AC⊥DE，求∠DAC的度数；
（2）若AD平分∠BAC，求∠CFE的度数．
7．已知△ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为旋转中心，将线段PC逆时针旋转n°（0＜n
＜180）得线段PQ，连接AP，BQ．
（1）如图1，若PC＝AC，画出n＝60时的图形，直接写出BQ和AP的数量及位置关系；（2）当n＝120时，若点M为线段BQ的中点，连接PM．判断MP和AP的数量关系，并证明．
8．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝ ，将△BOC绕点C
顺时针旋转60°得△ADC，连接OD．
α
（1）当 ＝150°，∠ODA＝ ；
（2）当 为多少度时，△AOD是等腰三角形？说明理由．
α
α
9．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，
EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到；（3）若BC＝8，DE＝2，求△AEF的面积．
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝2，∠DAC＝60°，点F在线段AO上，从
点A．至点O运动，连接DF，以DF为边作等边△DFE，点E和点A分别位于DF两侧．
（1）当点F运动到点O时，求CE的长；
（2）点F在线段AO上从点A至点O运动过程中，求CE的最小值．
11．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B，C重合）．将线段AE绕点A顺时针旋
转90°得线段AF．延长FB，DE交于点G．
（1）求证：BG⊥EG；
（2）连接AG，试探究： 是否为定值？若是，请求出定
值，若不是，说明理由．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向△ABC右侧作等边△BCD，把△ABD绕D点按顺时
针方向旋转60°后得到△ECD，若AB＝4，AC＝2．
（1）求∠ADE的度数；
（2）求AD的长．
13．已知两条平行线AB，CD和一块含45°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°），且点E，F不能同时落
在直线AB和CD之间．
（1）如图1，把三角尺的45°角的顶点E，G分别放在AB，CD上，若∠BEG＝150°，则∠FGC的度数
为 ；
（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，若点E恰好落在AB和CD之间，AB与
EF相交于点M，且所夹锐角为25°，求∠FGC的度数；
（3）把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在∠FGC＝11∠DGE（∠DGE＜45°）？若存在，请求出射线GF与AB所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由．
14．如图，正方形ABCD，AB＝8．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度 （0°＜ ＜90°），得到正方形
AEFG，EF交CD于点M，延长FE交BC于点N．
α α
（1）求证：MN＝DM+BN；
（2）顺次连接D，E，C，F，得到四边形DECF．在旋转过程中，四边形DECF能否为矩形？若能，求
出BN的值；若不能，请说明理由．15．在△ABC中，∠ABC＝60°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转 （0°＜ ＜90°）得到△DBE，其中
点A的对应点为点D，连接CE．
α α
（1）若 ＝30°，如图①，求∠BEC的度数；
（2）当点α D在边BC上时，如图②，若DC＝2， ，求AB的长．
16．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三
角板PAC，三角板PBD均可以绕点P旋转．
（1）在图1中，∠DPC＝ ；（2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，旋转角度为 （0°＜ ＜
180°），当 等于多少度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直；
α α
②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时
α
三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P顺时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM重合时，两三角
板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？
17．如图，△ABC是等边三角形，点D为边AC延长线上一点，点E为线段BC上一点，连接DE，将线段
DE绕点E逆时针旋转120°得到线段EF，点F恰好落线段AB上．过点E作EG∥AC交边AB于点G．
（1）证明：CD＝FG；
（2）若AF＝2CD＝4，求BC长．18．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°， ，点 D 为△ABC 内一点，∠BAD＝15°，
，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使 AB与AC重合，点D的对应点为点
E，连接DE，DE交AC于点F，
（1）求∠AFD的度数．
（2）求△ADE中DE边上的高．
（3）求CF的长．
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）如图1，AC＝15，BC＝20，CM⊥AB于点M，NM＝AM，连接CN，求线段BN的长；
（2）如图2，将线段CB绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CD，将线段AB绕点A按顺时针方向旋
转90°，得到线段AE，连接DE，点G为DE中点，连接AG，CG．求证：AC＝ CG．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别
为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝36°．则∠BAF的度数为 ；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
21．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到
△CBF．延长AE交CF于点G，连接DE．
（1）试判断四边形BEGF的形状，并说明理由；
（2）若BE＝2，CG＝1，求DE．22．已知正方形ABCD，点E在边BC上（不与两端点重合）．
（1）如图1，点F在对角线AC上，连接AE、EF，若EF⊥AC，4AF＝3AC，AB＝8，求AE的长．
（2）如图2，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AH，过点H作HF⊥AC交AC于点F，延长FH
交CD于点G．求证： ．
23．如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转
中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB、DC于点E，F．
（1）如图1，当BE＝DF时，试判断AE与AF的数量关系，并说明理由；
（2）旋转∠MAN，如图2，当BE≠DF时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，
请说明理由．
24．给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边
形．（1）在你学过的四边形中，写出一种勾股四边形的名称 ．
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝
30°．
①直接写出∠BCE的度数是 ．
②判断四边形BDCE是否为勾股四边形，并说明理由．
25．将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，
∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的
速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．
（1）如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值；
（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板 ABC的其中一边平行于三角板 EDC的某一边时，求此时 t等于
（直接写出答案即可）．26．在△ABC中，∠ABC＝ ，以点B为中心，将△ABC顺时针旋转 ，得到△A BC ；再以点A 为中心，
1 1 1
将△A 1 BC 1 顺时针旋转 α ，得到△A 1 B 1 C 2 ；连结AB 1 ． α
（1）如图1，若AB＝2，
α
＝90°，求AB
1
的长；
（2）如图2，60°＜ ＜90α°，探究AB
1
与A
1
B的位置关系，
并说明理由．
α
27．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点
放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．
（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，
求∠CON的度数；
（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第
秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）；
（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之
间的数量关系，并说明理由．
28．如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点
F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，
连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数
量关系，并证明你的猜想．29．已知：直线AB与直线CD平行，点N、点E在直线CD上，点H、点M在直线AB上，∠DNH＝
2∠AME，直线EM交直线NH于点P．
（1）如图1，求证：∠MPH＝∠AME．
（2）如图2，以点N为旋转中心顺时针旋转直线NH交直线AB于点G，以点M为旋转中心顺时针旋转
直线ME交直线CD于点F，∠EMF＝∠HNG+40°，当NG∥MF时，求∠AME的度数．
（3）在（2）的条件下，如图3，直线ME交直线NG于点R，直线NH交直线FM于点S，∠NRM的平
分线所在直线与∠NSF的平分线所在直线交于点K，若∠HNG＝50°，当点N在线段EF上移动时，求
∠RKS的度数．30．如图，一副三角板，其中∠EDF＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°．
（1）若这副三角板如图摆放，EF∥CD，求∠ABF的度数．
（2）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D
以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0≤t≤180，若边BC与三角板的一条直角
边（边DE，DF）平行时，求所有满足条件的t的值．
（3）将一副三角板如图3所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋
转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转．设旋转时何为t秒，如图4，∠BAH＝t°，
∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出满足
条件的t的值．
