文档内容
专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）
题型一 判断三角形的三边能否构成直角三角形
题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点
题型三 在网格中判断直角三角形
题型四 利用勾股定理的逆定理求长度
题型五 利用勾股定理的逆定理求角度
题型六 利用勾股定理的逆定理求面积
题型七 勾股定理逆定理的实际应用
题型八 勾股定理逆定理的古代问题
题型九 勾股定理逆定理的综合问题
知识点一：勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1） 首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2） 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若
c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2
注意：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形，其中
c
为三角形的最大边.
【经典例题一 判断三角形的三边能否构成直角三角形】
【例1】（23-24八年级下·广东东莞·期中） 中， 的对边分别记为a，b，c，由下列条
件不能判定 为直角三角形的是（ ）A． B．
C． D．
1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若 的三边分别是 ， ， ，则下列条件不能判断
是直角三角形的是（ ）
A．
B．
C． ， ，
D． ， ，
2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在 中，下列条件：① ；②
；③ ；④ ， ， ．能判断 是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（24-25八年级下·四川广安·期末）在 中， ， ， 的对边分别是a，b，c，下列条件：
① 与 互余；② ；③ ，其中可以判定 是直角三角形的有
个．
【经典例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
【例2】（23-24八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的 的方格图中，点A和点B均为图中格点．点
C也在格点上，满足 为以 为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，A，B，P是 方格纸中的格点．请按要求画以 为边的
格点三角形（顶点在格点上）．
(1)在图1中画一个直角三角形 ，使点P在 的内部（不包括边界）．
(2)在图2中画一个等腰三角形 ，使点P在 一边的中垂线上．
5．（24-25八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的
线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：
（1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形 ；
（2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形 ；
（3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段 ；
（4）在图4中画出一个周长为 的格点直角三角形 ．
6．（24-25八年级下·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B
出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
【经典例题三 在网格中判断直角三角形】
【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为 ，点 ， ，
都在格点上， 是 边上的中线，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、 在
小正方形的顶点上．
(1) ______（是、不是）直角三角形．(2)在图中画出与 关于直线 成轴对称的 ．
(3) 的面积为______．
8．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）（1）如图1，在边长为1的 正方形网格中，点A，B，C为格点
（即正方形的顶点）．求证： 为等腰直角三角形．
（2）如图2，在边长为1的 正方形网格中，点A，B，C，D为格点．请仅用无刻度的直尺在直线
上求作一点P，使得 ，简单说明理由．
（3）如图3，在边长为1的 正方形网格中，点A，B，C，D为格点．请仅用无刻度的直尺在直线AB
上求作一点Q，使得 最小，简单说明理由．
9．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的 网格中， 的三个顶
点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)在网格中，画线段 ，且使 ，连结 ；
(2)线段 的长为______， 的长为______， 的长为______；
(3) 为______三角形，点A到 的距离为______．
【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求长度】
【例4】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点D，交
于点M， 的垂直平分线交 于点E，交 于点N，若 ， ， ，则AC的长
为（ ）．A． B． C． D．
10．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，已知 中， 的垂直平分线交 于点 ， 的
垂直平分线交 于点 ，点 为垂足， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知 ， ， ，则 的
长为 ．
12．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在 中， ，点 为边 上一点，已知
， ， ．
(1)求证： ；(2)求 的长．
【经典例题五 利用勾股定理的逆定理求角度】
【例5】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，点 都在方格纸的格点上，若 是
由 绕点 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）
A． B． C． D．
13．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示， ， ， ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
14．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图， 是等边三角形 内的一点，且 ， ，
，以 为边在 外作 ，连接 ，则 的度数为 ．15．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在 中， ， ， ，点 在
边上，将 沿着 折叠得 ，连接 ， ．
(1)用尺规作出 （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若 ， ，连接 ，求 的度数．
【经典例题六 利用勾股定理的逆定理求面积】
【例6】（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
且 ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
16．（23-24八年级下·全国·期末）在 中， ，则 的面积
为 （ ）
A． B． C． D．
17．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图是一块四边形绿地，其中 ， ，
， ， ．这块绿地的面积为 ．18．（2024八年级上·上海·专题练习）已知：如图，在四边形 中， ， ， ，
．
(1)求 的度数．
(2)求四边形 的面积．
【经典例题七 勾股定理逆定理的实际应用】
【例7】（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块
四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图， ，
， ， ， ，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶
需要200元，则铺满该区域需要的费用是（ ）
A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元
19．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，某社区有一块四边形空地 ， ， ，
．从点 修了一条垂直于 的小路 ，垂足为 ．点 恰好是 的中点，且 ．(1)求 的长；
(2)连接 ，判断 的形状并说明理由．
20．（24-25八年级上·四川巴中·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 、 ，
其中 ，由于某种原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取
水点 （ 、 、 在同一条直线上），并新修一条路 ，测得 米， 米， 米．
(1)问 是否为从村庄 到河边最近的路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线 的长．
21．（24-25八年级上·海南儋州·期末）如图，某公园有一块四边形草坪 ，计划修一条 到 的小路，
经测量， ， ， ， ， ．
(1)求小路 的长；
(2)萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点 处，小狗从点 开始以 的速度在小路上沿
的方向奔跑，跑到点 时停止奔跑，当小狗在小路 上奔跑时，小狗需要跑多少秒与萌萌的距离最近？
【经典例题八 勾股定理逆定理的古代问题】
【例8】（23-24八年级下·广东广州·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样
一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 里， 里， 里，则该沙田的面积为（ ）平方里．
A． B． C． D．
22．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的
数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，属于“勾股数”的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
23．（2024·广东佛山·三模）综合与实践
【提出问题】学习完勾股定理后，思考它的逆命题：两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，
这个命题正确吗？教材是没有证明的．
【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时，曾用下列的方法确定直角：把一根长绳打上等距离的
13个结，然后以3、4、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
【动手操作】 如图，三条线段a、b、c的长度比满足 ，某数学小组利用这三条线段，设计
了如下作图步骤对上述问题开展了验证：
① 作线段 ；
② 以点A为圆心，b为半径画弧．以点B为圆心，a为半径画弧．两弧相交于 C点；
③ 连接 ，得到 ．
(1)根据作图步骤，完成作图（要求：保留作图痕迹）．
【问题解决】
(2)由三线段的长度比可知，（1）中的 三边满足 ．请你证明：边长满足
的 是直角三角形．
24．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，
较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四
弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
请你观察下列三组勾股数： …分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
当勾为3时，股 ，弦 ；
当勾为5时，股 ，弦 ；
当勾为7时，股 ，弦 ．
(1)如果勾用 （ ，且 为奇数）表示时，请用含有 的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ，则
据此规律第四组勾股数是 ．
(2)若 ，其中 且 是整数．求证：以 为边的 是直角三角形．
【经典例题九 勾股定理逆定理的综合问题】
【例9】（23-24八年级下·山西太原·期中）如图，已知 中， 的垂直平分
线分别交 于 连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
25．（2020·广西百色·模拟预测）在 ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5
且a2＝b2+c2﹣bc，则 ABC的面积为△（ ）
△
A． B． C． D．
26．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在 中，点 为 的中点， ， ，
，则 边 上的高为 ．27．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图①等边 内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求 的度数．为了
解决本题，我们可以将 绕顶点A旋转到 处，此时 ，这样就可以利用旋转变换，
将三条线段 ， ， 转化到一个三角形中，从而求出 ；
(2)基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图②， 中， ， ，E，F为 上的点且 ，求证：
；
(3)能力提升
如图③，在 中， ， ， ，点O为 内一点，连接 ， ，
，且 ，求 的值．
1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D． ， ，9
2．（24-25七年级上·山东东营·期中）已知 三边为 ， ， ，下列条件不能判定 是直角三角
形的是（ ）
A． ， ， B．
C． D． ， ，3．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在2×3的正方形网格中， （ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，三个正方形的面积分别为 ， ， ，且K是 中点．若
， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．5
5．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图所示，在 中， 的平分线交 于点D，E为线段
上一动点，F为边 上一动点，若 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
6．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知 的三边长分别为6，10，8，则 的面积为 ．
7．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；
④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ．
8．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
，则四边形 的面积是 ．9．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点 是 的中点，
如果将 沿 翻折后，点 的对应点为点 ，那么 的长等于 ．
10．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图， 中， ，点 在线段 上，点 在线段
的延长线上， ，连接 交 于 ，过 作 交 于 ，连接 ，若 的面
积为3，且 ，则线段 的长为 ．
11．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图， ， ， ， ， ．
(1)求 的长度；
(2)线段 与线段 的位置关系是什么？请说明理由．
12．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在 中，D是 的中点， ，垂足为D，交 于点E，且 ．
(1)求证： 是直角三角形；
(2)若 ， ，求 的长．
13．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳
动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形 空地改造为“劳动乐
园”．经测量， 米， 米， 米， 米， ．该“劳动乐园”即将迎来盛
大的劳动成果展示活动．
【解析】
(1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的 、 两点连接起来，求至少需要多少
米装饰彩带？
(2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形 区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形
区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉．
14．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，在 中，D为 边上的一点，连接 ，过点A作
交 的延长线于点E．已知 ， ， ， ．
(1)求线段 的长．
(2)判断 是什么特殊三角形，并说明理由．
15．（2025八年级下·全国·专题练习）已知：如图，在 中， ， ， 的周长为30．
(1)证明： 是直角三角形；
(2)过点 作 于点 ，点 为 边上的一点，且 ，过点 作 交 的角平
分线于点 ．
①证明： ；
②求线段 的长．
