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专题03 勾股定理的实际应用模型
勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股
定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在
的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②
若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把
另一边用含有未知数的式子表示出来）。
模型1、梯子滑动模型
相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。
解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。
梯子滑动模型解题步骤：
1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；
2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；
3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。
例1．（2023春·福建三明·八年级统考阶段练习）一架云梯长25米，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端
B放在距离墙根C点7米处，另一头A靠墙．(1)这架云梯的顶端A距地面有多高？(2)如果云梯的顶端下滑
了4米，那么它的底部在水平方向滑动了多少米？
例2．（2023春·四川广元·八年级校联考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠
在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离 为0.7米，顶端距离墙顶的距离 为0.6米．如果保持梯子底
端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离 为1.5米，顶端距离墙顶的距离 为1
米，则墙的高度为多少米？例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水
平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米
时，滑块B滑动了 厘米．
例4．（2023·河南·八年级统考期中）如图，一游船在水面上，河岸离水面的高度为5m工作人员站在岸边
用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长BC为13m，工作人员以0.5m/s的速度拉绳子，10s后船移动到D点的
位置（B，D，A三点在同一直线上），请你计算船向岸边移动的距离．（假设绳子是直的，结果保留根
号）
模型2、轮船航行模型
相关模型背景：轮船航行等。
解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。
航行模型解题步骤：
1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；
2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；
3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。
例1．（2023春·广东中山·八年级校联考期中）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出
发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B
两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile．例2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度
向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行， 小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17
海里，问乙船的航速是多少？
例3．（2023·内蒙古包头·八年级期末）如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再
从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即 ）．
(1)若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
(2)请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由．
模型3、信号站（中转站）选择模型
相关模型背景：信号塔、中转站等。
解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。
信号塔、中转站模型解题步骤：
1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；
3）根据斜边长相等建立方程求解。
例1．（2023春·湖北·八年级校考期中）如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于
点A，CB⊥AB于点B，已知DA=16 km，CB=11 km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得
C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
例2．（2023·江苏·八年级专题练习）如图， ，点C在OA边上，OA=36cm，OB=12cm，点P
从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两
点恰好在C点相遇，求BC的长度？
例3．（2023春·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，
CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D
两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（ ）
A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定
模型4、台风（噪音）、爆破模型相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。
解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。
台风、爆破模型解题步骤：
1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；
2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；
3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。
例1．（2023春·安徽池州·八年级统考期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆
破，已知点 与公路上的停靠站 的距离为300米，与公路上另一停靠站 的距离为400米，且 ，
如图，为了安全起见，爆破点 周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路 段是否有危险？
是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
例2．（2023春·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，四边形 为某街心公园的平面图，经测量
米， 米，且 ．（1）求 的度数；（2）若 为公园的车辆
进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点 处安装一个监控装置来监控道路 的车辆通
行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？
例3．（2023秋·河南周口·八年级校考期末）如图，公路 和公路 在点P处交汇，且 ，点
Q处有一座火箭发射塔， ，假设龙卷风来临时，周围150km内都会受到大风影响．
(1)若龙卷风恰好沿公路 由B向A处行进，火箭发射塔是否会受到影响？请说明理由；(2)已知龙卷风的速度为300km/h，若受影响，那么火箭发射塔受影响的时间为多少分钟？
例4．（2023·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O
处，以每小时40km的速度向南偏东60°的OB方向移动，距台风中心130km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到台风的影响，求出受台风影响的时间有多
长？
模型5、超速模型
相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。
解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。
超速模型解题步骤：
1）根据勾股定理计算行驶的距离；
2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度；
3）比较实际行驶速度和规定速度。
例1．（2023·河北·八年级专题练习）在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高
行驶速度不能超过60 km/h（即 ），并在离该公路100 m处设置了一个监测点A．在如图的平面直
角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北
偏东45°方向上．另外一条公路在y轴上，AO为其中的一段．(1)求点B和点C的坐标；(2)一辆汽车从点B
匀速行驶到点C所用的时间是15 s，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．(参考数据：≈1.7)
例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出
发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如
图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发
3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
例3．（2023秋·湖南邵阳·八年级武冈市第二中学校考开学考试）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影
响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该
河的宽度BC为多少米？
模型6、风吹莲动模型
相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。
解题关键：“莲花”高度为不变量。风吹莲动模型解题步骤：
1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；
2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；
3）根据勾股定理列方程求解。
例1．（2023·四川成都·八年级校考期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池
一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，
1丈 尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1
尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好碰到池边的水面．则水池里水的深度是（ ）
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
例2．（2023春·湖南株洲·八年级统考期末）如图，有一架秋千，当它静止在 的位置时，踏板离地的垂
直高度为 ，将秋千 往前推送 ，到达 的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为 ，秋
千的绳索始终保持拉直的状态．(1)根据题意， _________ ， _________ ， _________ ；
(2)根据（1）中求得的数据，求秋千 的长度．
(3)如果想要踏板离地的垂直高度为 时，需要将秋千 往前推送_________ ．
例3．（2023·广东潮州·统考模拟预测）如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆
柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围为 ．模型7、折竹抵地模型
相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。
解题关键：“竹子”高度为不变量。
折竹抵地模型解题步骤：
1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度；
2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；
3）根据勾股定理列方程求解。
例1．（2023春·山西大同·八年级校考期中）《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．
问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地
处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面还有几尺？（1丈=10尺）设竹子折断处离地面还有x尺，
则可列方程为 ．
例2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期末）如图所示，在一次暴风雨后，一棵大树从离地面 处
被折断，经测量树的顶端与地面的接触点A离树根部C的距离 ，若在该树正上方离地面 处有
高压电线，请判断该树在折断前是否接触到电线？并说明你的理由．例3．（2023春·吉林松原·八年级统考阶段练习）八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算
如图所示的风筝高度 ，测得如下数据：①测得 的长度为 （ ）；②根据手中剩余线的长
度计算出风筝线 的长为 ；③松松身高 为 ．则风筝离地面高度 为 米．
例3．（2022春·湖北荆州·八年级统考期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到
地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5m处，发现此时绳子末端距离地面1m，则旗杆的高度为 m．
（滑轮上方的部分忽略不计）
模型8、不规则图形面积模型
相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。
解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。
面积模型解题步骤：
1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；
3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；
4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。
例1．（2022·山东滨州·八年级期末）如图，∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，则四边形
ABCD的面积为 _____．
例2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．
例3．（2023·辽宁·沈阳八年级阶段练习）在 中， 、 、 三边的长分别为 、 、 ，
求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），
再在网格中画出格点 （即 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求
的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将 的面积直接填写在横线上．
__________________
（2）我们把上述求 面积的方法叫做构图法．若 三边的长分别为 、 、 （
），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为 ）画出相应的 ，并求出它的面积．
（3） 若 ABC三边的长分别为 、 、 (m＞0，n＞0，且m≠n)，请利用图
△
③的长方形网格试运用构图法求出这三角形的面积．课后专项训练4
1．（2023·西安市八年级月考）如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿AB
竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD0.8米．竹竿高出水面的部分AD长0.2米，如果把
竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD为（ ）
A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米D．0.6米kun
2．（2020·广西中考真题）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读 ，门槛
的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，
双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺10寸)，则AB的长是（ ）
50.5 52 101 104
A． 寸 B． 寸 C． 寸 D． 寸
3．（2023春·河南开封·八年级统考期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地
面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为 （滑轮上方
的部分忽略不计）（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·云南昆明·八年级校考期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面 的B处撕裂折断，旗
杆顶部落在离旗杆底部 的A处，则旗杆折断部分 的高度是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·河南周口·八年级统考期末）如图，湖的两岸有 两点，在与 成直角的 方向上的点
处测得 米， 米，则 两点间的距离为（ ）A．40米 B．30米 C．50米 D． 米
6．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，在高为 ，坡面长为 的楼梯表面铺地毯，地毯的长
度至少需要（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探
究活动．如图，当张角为 时，顶部边缘B处离桌面的高度 为7cm，此时底部边缘A处与C处间
的距离 为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为 时（点D是点B的对应
点），顶部边缘D处到桌面的距离 为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离 为（ ）
A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm
8．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，露在水面的鱼线 长为3m，钓鱼者把鱼竿 提起
到 的位置，此时露在水面上的鱼线 长为4m，若 的长为1m，则钓鱼竿 的长为
m．9．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约
好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知 ， ，
， ，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发
20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风
车，则a的取值范围是 。
10．（2023秋·湖北八年级课时练习）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数
学的基本框架，其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几
何？”题意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处
离地面多高？设折断处离地面x尺，则根据题意列方程为： ．
11．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏
离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为 米．
12．（2023秋·河南郑州·八年级校考开学考试）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计
算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，随板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”
翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步（两步=10尺），此时踏
板升高离地五尺，求秋千绳索的长度．13．（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）数学小组要测量旗杆 的高度，同学们发现系在旗杆顶端
的绳子垂到地面并多出一段（如图1所示），聪明的小迪发现：先测出绳子多出的部分 （该处绳子是
直的）的长度，再将绳子拉直（如图2所示），测出绳子末端D到旗杆底部B的距离 的长度，利用所
学知识就能求出旗杆 的长．已知 米， 米．
(1)求旗杆 的长；(2)小迪在D处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂（拉绳处E与脚底F的连线与地面垂
直），后退至将绳子刚好拉直为止（如图3所示），测得小迪手臂伸直后的高度 为2米，过点E作
于点G， ， ，求小迪后退了几米？
14．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线 横渡，由于受水流
的影响，实际沿着 航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现 比河宽 多10米．
(1)求该河的宽度 ；（两岸可近似看作平行）
(2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间．15．（2023春·河南驻马店·八年级统考阶段练习）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，
它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水
平距离为60cm，求水深是多少cm？
16．（2023秋·广东·八年级专题练习）某条道路限速 ，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行
驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方 的C处，过了 ，小汽车到达B处，此时测
得小汽车与车速检测仪间的距离为 ．(1)求 的长； (2)这辆小汽车超速了吗？
17．（2023·江苏苏州·八年级校考期中）小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家
相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在
公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离．18．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）如图，某电信公司计划在 ， 两乡镇间的 处修建一座 信
号塔，且使 ， 两个村庄到 的距离相等．已知 于点 ， 于点 ， ，
， ，求 信号塔 应该建在离 乡镇多少千米的地方？
19．（2022秋·四川遂宁·八年级校联考期末）在一次消防演习中，消防员架起一架20米长的云梯，如图斜
靠在一面墙上，梯子底端离墙12米．(1)求这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果消防员接到命令，要求
梯子的顶端下降4米（云梯长度不变），那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米？
20．（2023秋·广东·八年级专题练习）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃
（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙 寸，点
C、点D与门槛 的距离 尺（1尺=10寸），O是 的中点，连接 ．(1)求 的长，(2)求
门槛 的长．C, A, B,
21．（2023·湖北八年级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 河边原有两个取水点 其
中ABAC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点
H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH,测得CB1.5千米，CH 1.2千米，HB0.9千米．
（1）问CH 是否为从村庄C到河边的最近路．请通过计算加以说明；（2）求新路CH 比原路CA少多少千
米．
22．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图所示，在离水面高度为 的岸上，有人用绳子拉船靠岸，
开始时绳子 的长为 ，此人以 的速度收绳， 后船移动到点 的位置，求船向岸边移动的
距离（假设绳子是直的，结果保留根号）
23．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度
向南偏东 航行，乙船向北偏东 航行，2小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，若CB两岛相距40
海里，(1)直接写出 的度数；(2)求乙船的航速是多少？24．（2022·北京市初二期中）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）直接写出四边形ABCD的面积；（2）求证：∠BCD=90°．
25．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如
图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这
辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．
26．（2023春·河南洛阳·八年级校联考期中）如图，海上救援船要从距离海岸8海里的 点位置到海岸
的 处携带救援设备，然后到距离海岸16海里处的 点处对故障船实施救援．已知 间的距离为18海
里，为使救援船尽快赶到故障船实施救援，救援设备被放置在恰当位置．（1）试在图中确定点 的位置；
（2）若救援船的速度是20节（1节=1海里/小时），求这艘救援船最快多长时间到达故障船？27．（2023·广东·八年级专题练习）如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉
私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5
海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与
其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？
28．（2023·江苏八年级期中）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在
进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东
方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰
好在C处成功拦截．
29．（2023春·云南昭通·八年级统考期中）如图，四边形 为某街心花园的平面图，经测量， ，且 ．(1)试判断 的形状，并说明理由；(2)若射线
为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点 处安装一个监控装置来监控道路
的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过 ．已知摄像头能监控的最大范围为周围 （包含
），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据 ， ）
30．（2022·山东八年级专题练习）问题背景：
5 2 17
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ，3 ， ，求这个三角形的面积．
小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点
△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格
就能计算出它的面积．（1）请你直接写出△ABC的面积 ；
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思维拓展：（2）如果△MNP三边的长分别为 ，2 ， ，请利用图2的正方形网格（每个小正方
形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积．
31．（2023春·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中
心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿
北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．（1）A城市是否会受台风影响？为什么？（2）若会，将持续多长时间？（3）该城市受台风影响的最大风力为几
级？
