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第 04 讲 二次根式 80 道计算题专项训练（8 大题型）
【经典计算题一 二次根式的加减计算】
1．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算： ．
2．（2024九年级下·浙江·专题练习）计算： ．
3．（23-24九年级上·吉林长春·期中）计算： ．
4．（23-24九年级上·吉林长春·期中）计算： ．
5．（23-24九年级上·吉林长春·期末）计算： ．
6．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
7．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算： ．
8．（23-24九年级上·福建泉州·期中）计算： ．9．（23-24八年级下·广西梧州·期末）计算：
10．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）计算： ．
【经典计算题二 二次根式的乘除计算】
11．（23-24八年级下·浙江台州·期中）计算：
(1) ．
(2) ．
12．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
13．（23-24七年级下·福建福州·期中）计算：
14．（23-24八年级下·浙江·期中）计算：
(1) ；
(2) ．15．（23-24九年级上·四川乐山·期中）计算： ．
16．（2023八年级下·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
17．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算：
18．（23-24八年级上·陕西西安·期中）计算：
(1)
(2)
19．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）计算
(1)
(2)
20．（23-24七年级下·上海静安·期中）计算： ．
【经典计算题三 二次根式的化简求值】
21．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）已知实数 ， ， 在数轴上对应的点如图所示，化简22．（2024八年级上·全国·专题练习）在下列条件下化简 ．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
23．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知 、 是实数，且 ，求 的值．
24．（24-25八年级上·全国·期中）实数 在数轴上的对应点如图所示，化简 ．
25．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知实数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简：
26．（24-25九年级上·海南海口·阶段练习）已知 ，化简： ．
27．（24-25八年级上·山西·阶段练习）求代数式 的值，其中 ．以下是小芳的解答
过程．原式 请你模仿小芳的解答过程，求解代数式 的值，
其中 ．
28．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习） 是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下
问题：
(1)化简： ，
(2)已知实数 在数轴上的对应点如图所示．① ，
②化简：
29．（24-25八年级上·上海·阶段练习）求代数式 的值，其中 ，如图是小亮和小芳
的解答过程：
(1)__________的解法是错误的；
(2)求代数式 的值，其中 ．
30．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）（1）已知方程① ，
② 请判断这两个方程是否有解?并说明理由；
（2）已知 ，求 的值．
【经典计算题四 二次根式的混合运算】
31．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）计算： ．
32．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算：
(1) ；
(2) ；(3) ．
33．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算： ．
34．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算：
(1)
(2)
35．（24-25八年级上·北京通州·期末）计算： ．
36．（24-25八年级上·北京通州·期末）计算： ．
37．（24-25八年级上·河南焦作·期中）计算．
(1) ；
(2)
38．（24-25八年级上·全国·期末）计算：
(1)
(2)
39．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）计算下列各式：
(1)
(2) ．
40．（24-25八年级上·广东梅州·期中）计算：
(1)(2)
【经典计算题五 复合二次根式的化简】
41．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）因为 ，所以
因为 ，所以
因为 ，所以
请你根据以上规律，结合你的经验化简：
（1） = ；
（2） = ；
（3） = ；
（4） = ．
42．（24-25八年级上·四川雅安·期中）有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数m、n，
使m2＋n2＝a 且mn＝ ，则a±2 将变成m2＋n2±2mn，即变成(m±n)2，从而使 得以化简．例
如，因为5＋2 ＝3＋2＋2 ＝( )2＋( )2＋2 × ＝( ＋ )2，所以 ＝
．
请仿照上面的例子化简下列根式：
(1) (2)
43．（24-25八年级上·四川·期中）先阅读下列的解答过程，然后作答：形如 的化简，只要我们找到两个数 、 使 、 ，这样 ，
那么便有
例如：化简 ．
解：首先把 化为 ，
这里 ， ．由于 ， ，
即 ， ，
．
由上述；例题的方法化简：
（1） ；
（2） ．
44．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得 + ＝m，
＝ ，那么便有：
＝ ＝ ± （a＞b）．
例如：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即 + ＝7， × ＝
∴ ＝ ＝ ＝2+ ．
由上述例题的方法化简： ．
45．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）同学们，我们以前学过完全平方公式 ，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平
方，如 ， ，下面我们观察： ，反之，
，∴ ，∴
求：（1） ；
（2） ；
（3）若 ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
46．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）阅读理解题，下面我们观察：
反之 ，
所以 ，所以
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解： ；
（2）化简： ；
（3）化简： ．
47．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式
子的平方，如： ，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1） ，则 ______， _______；
（2）已知 是 的算术平方根，求 的值；（3）当 时，化简 _______．
48．（24-25七年级下·上海·期中）先阅读下列的解答过程，然再解答：
我们可以利用完全平方公式化简形如 的代数式，只要我们找到两个正数 、 ，使
使得 那么便有：
例如：化简
解：首先把 化为 ，这里 ，由于4+3=7，4×3=12
即
（1）填空 ______， _______．
（2）化简： ．
49．（24-25八年级下·福建莆田·期中）若要化简 我们可以如下做：
仿照上例化简下列各式：
（1）
（2）
50．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 的化简，只要我们找到两个数 、 使 ， ，这样 ， ，于是 .
例如：化简 .
解：这里 ， ，由于 ， ，即 ， ，
.
由上述例题的方法化简：（1） ；（2）
【经典计算题六 分母有理化】
51．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知 ，求 的值．
52．（24-25八年级上·四川成都·期中）若 ， ，求代数式 的值．
53．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）阅读下列运算过程：
，
， ，
，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”．通过分母有理化，可把不是最简的二次根式
化成最简二次根式．请参考上述方法，解决下列问题：
(1)化简： ， ， ；
(2)计算： ；(3)计算： ．
54．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）有这样一个问题：已知 ，求 的值．
小明是这样解答的：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
根据小明的解答过程，解决以下问题：
(1)计算： ．
(2)已知 ．
①求 的值；
②求 的值．
55．（24-25八年级上·福建三明·期中）阅读理解：已知 ，求 的值．小明是这样分析
与解答的：
∵
∴ ，∴
∴ ，∴
问题解决：(1)化简： ；
(2)若 ，求 的值．
56．（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像 ，……这种两
个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运
算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题：
(1)化简： _____；
(2) 的有理化因式是______， ______；
(3)比较大小： ______ （填 ， ， ， 或 中的一种）；
(4)若 ，求 的值．
57．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）材料阅读题：
把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
例如：化简 ．
解： ．
观察上面解题过程，并解答下列问题：
(1)求 ______， 的倒数是______；
(2)若a是 的小数部分，化简： ；
(3)利用上面的解法，请化简： ．58．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）认识概念：
一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化
因式；
如： ； ，我们称 的一个有理化因式为 ， 的一个有理化因
式是 ；
二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含
根号，这种变形叫做分母有理化．
如： ；
理解应用：
（1）填空： 的有理化因式是________；将 分母有理化得________；
（2）化简： ；
拓展应用：
（3）利用以上解题方法比较 与 的大小，并说明理由．
59．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，
我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)请参照上面的方法化简：
(2)直接写出化简结果： _______， _______(3)计算：
60．（24-25八年级上·广东佛山·期中）我们知道 ，因此在计算 时，分子和分
母同时乘以 ，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化．
(1)化简： ；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ， ，比较 和 的大小．
【经典计算题七 二次根式中的新定义运算】
61．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于实数a，b定义一种新运算“ ”，规定 ，
如 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求x的值．
62．（23-24八年级下·云南昆明·期中）已知实数 ， ，定义“★”运算规则如下：
，求 的值．
63．（23-24七年级下·辽宁·期末）我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若无理数t， （其中m、n为两个连续的整数），则称无理数t的“整数区间”为 ．例如： ，
则 的“整数区间”为 ； ，则 的“整数区间”为 ．
(1)无理数 的“整数区间”为______，无理数 的“整数区间”为______；
(2)若实数x、y满足 ，求 的“整数区间”；
(3)若一个无理数的“整数区间”为 ，且满足 ，其中 是关于x，y的二元一次方
程 的一组正整数解，求a的值．
64．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 为有理数，则称
与 是关于 的共轭二次根式．
(1) 与 是关于______的共轭二次根式；
(2)若 与 是关于2的共轭二次根式，则 ______；
(3)若 与 是关于12的共轭二次根式，求 的值．
65．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分
母有理化．
如：将 分母有理化，解：原式 ．
运用以上方法解决问题：
已知： ．
(1)化简 ；
(2)求 的值．
66．（23-24八年级上·福建漳州·期中）定义：已知 都是实数，若 ，则称 与 是关于3的“实
验数”．(1)4与是______关于3的“实验数”， 与______是关于3的“实验数”．
(2)若 ，判断 与 是否是关于3的“实验数”，并说明理由．
67．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）定义：任意两个数 ， ，按规则 扩充得到一个新数 ，
称所得的新数 为“如意数”．
(1)若 ， ，求出 ， 的“如意数” ．
(2)如果 ， ，求 ， 的“如意数” ，并证明“如意数” ．
(3)已知 ，且 ， 的“如意数” ，求 的值．
68．（23-24九年级上·吉林长春·期中）定义：我们将 与 称为一对“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶
式”来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，所以 ．
(1)已知： ，求：
① ；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程： ；
(2)代数式 中 的取值范围是 ；
(3)计算： ．
69．（23-24七年级上·福建福州·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数
，（其中 为满足不等式的最大整数， 为满足不等式的最小整数），则称无理数 的“麓外
区间”为 ，如 ，所以 的麓外区间为 ．(1)无理数 的“麓外区间”是 ；
(2)若 ，求 的“麓外区间”；
(3)实数 满足 ，求 的算术平方根的“麓外区
间”．
70．（24-25八年级下·北京海淀·期中）定义，任意两个数 ， ，按规则 扩充得到一个新数
，称所得的新数 为“扩充数”．
(1)若 ，直接写出 ， 的“扩充数” ；
(2)如果 ， ， 为 ， 的“扩充数”，求 （用含 的式子表示）；
(3)在（1）的条件下，先化简，再求值： ．
【经典计算题八 二次根式中的规律计算】
71．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律：
；
；
；…
利用发现的规律解决下列问题．
(1)化简式子 ______；
(2)直接写出式子的值： ；(3)计算： （n为正整数）．
72．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理
化因式．
例1： ， 我们称 的一个有理化因式是 ， 的一个有理
化因式是 ．
材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不
含根号，这种变形叫分母有理化．
例2：
请仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1) 的有理化因式是________． 的有理化因式是________（均写出一个即可）．
(2)若 是 的小数部分，化简 ．
(3)利用你发现的规律计算下面式子的值
73．（24-25八年级上·江西抚州·期中）阅读下列解题过程，并解答问题．
① ；
② ．
(1)直接写出结果 ________；(2)利用上面的规律，计算： ；
(3)比较大小： 与 ．
74．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象：
(1)具体运算，发现规律，
① ；
② ；
③ ；
④ _________；
(2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果 为正整数 ，用含 的式子表示上
述的运算规律；
(3)证明你的猜想．
75．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）阅读下列解题过程：
，
，
……
请解答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，请写出 ；
(2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律；(3)利用上面的规律，请化简： ．
76．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的
方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律，
特例1：
特例2：
特例3： ＝
特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子）
(2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ；
(3)请证明你的猜想；
(4)应用运算规律计算： ．
77．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程
，
验证：
，
验证：
(1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想 的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用 （ 为自然数且 ）表示的等式并给出说明．
78．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）阅读下列解题过程：
请根据上面的解题过程解答下列问题：
（1）仿照上面的解题过程化简：
①
②
（2）请你用含 （ 为正整数）的关系式表示上面各式子的变形规律：_____________；
（3）利用（2）中的结论，试求
的值．
79．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以
分母的有理化因式的方法就可以了，例如： ，
，
(1)若 ，求 的值；
(2)比较 与 的大小，并说明理由．
(3)利用这一规律计算： ．
80．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）（1）观察下列各式的特点： ，
， ，…根据以上规律可知： ______ ．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
，…
根据观察，请写出式子 的化简过程．
（3）计算下列算式： ．
