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2025 年高考天津卷数学真题
一、单选题
1．已知集合𝑈 ={1,2,3,4,5},𝐴 ={1,3},𝐵 ={2,3,5}，则∁ (𝐴∪𝐵)=（ ）
𝑈
A．{1,2,3,4} B．{2,3,4} C．{2,4} D．{4}
2．设𝑥 ∈𝑅，则“𝑥 =0”是“sin2𝑥 =0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数𝑦 =𝑓(𝑥)的图象如下，则𝑓(𝑥)的解析式可能为（ ）
A．𝑓(𝑥)= 𝑥 B．𝑓(𝑥)= 𝑥 C．𝑓(𝑥)= |𝑥| D．𝑓(𝑥)= |𝑥|
1−|𝑥| |𝑥|−1 1−𝑥2 𝑥2−1
4．若m为直线，𝛼,𝛽为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若𝑚//𝛼,𝑛 ⊂𝛼，则𝑚//𝑛 B．若𝑚 ⊥𝛼,𝑚 ⊥𝛽，则𝛼 ⊥𝛽
C．若𝑚//𝛼,𝑚 ⊥𝛽，则𝛼 ⊥𝛽 D．若𝑚 ⊂𝛼,𝛼 ⊥𝛽，则𝑚 ⊥𝛽
5．下列说法中错误的是（ ）
A．若𝑋 ∼𝑁(𝜇,𝜎2)，则𝑃(𝑋 ≤𝜇−𝜎)=𝑃(𝑋 ≥𝜇+𝜎)
B．若𝑋 ∼𝑁(1,22)，𝑌 ∼𝑁(2,22)，则𝑃(𝑋 <1)<𝑃(𝑌 <2)
C．|𝑟|越接近1，相关性越强
D．|𝑟|越接近0，相关性越弱
6．𝑆 =−𝑛2+8𝑛，则数列{|𝑎 |}的前12项和为（ ）
𝑛 𝑛
A．112 B．48 C．80 D．64
7．函数𝑓(𝑥)=0.3𝑥−√𝑥的零点所在区间是（ ）
A．(0,0.3) B．(0.3,0.5) C．(0.5,1) D．(1,2)
8．𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔 >0,−π<𝜑 <π)，在[− 5π , π ]上单调递增，且𝑥 = π为它的一条对称轴，( π ,0)是它的一
12 12 12 3
个对称中心，当𝑥 ∈[0, π ]时，𝑓(𝑥)的最小值为（ ）
2
A．− √3 B．− 1 C．1 D．0
2 2
9．双曲线𝑥2
−
𝑦2
=1(𝑎 >0,𝑏 >0)的左、右焦点分别为𝐹 ,𝐹 ，以右焦点𝐹 为焦点的抛物线𝑦2 =2𝑝𝑥(𝑝 >0)与双曲
𝑎2 𝑏2 1 2 2
线交于第一象限的点P，若|𝑃𝐹 |+|𝑃𝐹 |=3|𝐹 𝐹 |，则双曲线的离心率𝑒 =（ ）
1 2 1 2
A．2 B．5 C．√2+1 D．√5+1
2 2
二、填空题
10．已知i是虚数单位，则| 3+i |= ．
i
11．在(𝑥−1)6的展开式中，𝑥3项的系数为 ．
12．𝑙 :𝑥−𝑦+6=0，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与(𝑥+1)2+(𝑦−3)2 =𝑟2交于C、D两点，|𝐴𝐵|=3|𝐶𝐷|，
1则𝑟 = ．
13．小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二
次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小
桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望𝐸(𝑥)=
14．△𝐴𝐵𝐶中，D为AB边中点，𝐶⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ = 1 𝐶⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ ,𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =𝑎 ,𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =𝑏⃗ ，则𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ = （用𝑎 ，𝑏⃗ 表示），若|𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ |=5，𝐴𝐸 ⊥𝐶𝐵，则
3
𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ ⋅𝐶⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ =
15．若𝑎,𝑏 ∈R，对∀𝑥 ∈[−2,2]，均有(2𝑎+𝑏)𝑥2+𝑏𝑥−𝑎−1≤0恒成立，则2𝑎+𝑏的最小值为
三、解答题
16．在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐．已知𝑎sin𝐵 =√3𝑏cos𝐴，𝑐−2𝑏 =1，𝑎 =√7．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求sin(𝐴+2𝐵)的值．
17．正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 的棱长为4，𝐸、𝐹分别为𝐴 𝐷 ,𝐶 𝐵 中点，𝐶𝐺 =3𝐺𝐶 ．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1)求证：𝐺𝐹 ⊥平面𝐹𝐵𝐸；
(2)求平面𝐹𝐵𝐸与平面𝐸𝐵𝐺夹角的余弦值；
(3)求三棱锥𝐷−𝐹𝐵𝐸的体积．
18．已知椭圆𝑥2 + 𝑦2 =1(𝑎 >𝑏 >0)的左焦点为F，右顶点为A，P为𝑥 =𝑎上一点，且直线𝑃𝐹的斜率为1，△𝑃𝐹𝐴的
𝑎2 𝑏2 3
面积为3，离心率为1
.
2 2
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分∠𝐴𝐹𝐵.
19．已知数列{𝑎 }是等差数列，{𝑏 }是等比数列，𝑎 =𝑏 =2,𝑎 =𝑏 +1,𝑎 =𝑏 ．
𝑛 𝑛 1 1 2 2 3 3
(1)求{𝑎 }，{𝑏 }的通项公式；
𝑛 𝑛
(2)∀𝑛 ∈N∗，𝐼 ∈{0,1}，有𝑇 ={𝑝 𝑎 𝑏 +𝑝 𝑎 𝑏 +...+𝑝 𝑎 𝑏 +𝑝 𝑎 𝑏 |𝑝 ,𝑝 ,...,𝑝 ,𝑝 ∈𝐼}，
𝑛 1 1 1 2 2 2 𝑛−1 𝑛−1 𝑛−1 𝑛 𝑛 𝑛 1 2 𝑛−1 𝑛
（i）求证：对任意实数𝑡 ∈𝑇 ，均有𝑡 <𝑎 𝑏 ;
𝑛 𝑛+1 𝑛+1
（ii）求𝑇 所有元素之和．
𝑛
20．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−(ln𝑥)2
(1)𝑎 =1时，求𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程；
(2)𝑓(𝑥)有3个零点，𝑥 ,𝑥 ,𝑥 且(𝑥 <𝑥 <𝑥 ).
1 2 3 1 2 3
（i）求a的取值范围；
（ii）证明(ln𝑥 −ln𝑥 )⋅ln𝑥 < 4e．
2 1 3
e−1
