文档内容
2023CEE-01
数学
重 庆 缙 云 教 育 联 盟
2023 年高考第一次诊断性检测
数学试卷
考生须知：公众号【黑洞视角】下载电子版
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．正方形 的边长为1，则 （ ）
A．1 B．3 C． D．
4．函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
5．双曲线 的右焦点恰是抛物线 的焦点 ，双曲线与抛物线在第一
象限交于点 ，若 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．设 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．英国数学家布鲁克 泰勒 ， 以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰
勒公式，我们可知：如果函数 在包含 的某个开区间 上具有 阶导数，那么对于 ，
有 ，其中， （此处 介于 和 之间）.若取 ，则 ，其中，
（此处 介于0和 之间）称作拉格朗日余项.此时称该式为函数 在 处的 阶
泰勒公式，也称作 的 阶麦克劳林公式.于是，我们可得 （此处 介于0和1
之间）.若用 近似的表示 的泰勒公式的拉格朗日余项 ，当 不超过 时，正整
数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数 的定义域为 ，且 是奇函数，当 时， ；当 时，
．当 变化时，方程 的所有根从小到大记为 ，则
取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．函数 ，且 ，则（ ）
A． 的值域为 B．不等式 的解集为
C． D．
10．为了研究汽车减重对降低油耗的作用，对一组样本数据 进行分析，其中
表示减重质量（单位：千克）， 表示每行驶一百千米降低的油耗（单位：升）， ，由此得到
的线性回归方程为 .下列说法正确的是（ ）
A． 的值一定为0
B． 越大，减重对降低油耗的作用越大
C．残差的平方和越小，回归效果越好
D．至少有一个数据点在回归直线上
11．已知1， ， ，…， ，2为等差数列，记 ， ，则（ ）
A． 为常数 B． 为常数
C． 随着n的增大而增大 D． 随着n的增大而增大
12．在三棱锥 中，已知 底面ABC， 分别是线段上的动点.则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B．当 时， 一定为直角三角形
C．当 时，平面 平面
D．当 平面AEF时，平面 与平面 不可能垂直
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数 的图象在点 处的切线方程是______．
14．若 ，则 ________．
15．2023年重庆市某旅行社拟推出主题为“新时代，新征程，新重庆”的主题旅游路线，这些旅游线路
中包含红岩革命纪念馆、渣滓洞、白公馆、大轰炸惨案遗址、周公馆等5个传统红色旅游景区，还有洪崖
洞、李子坝、解放碑、大足石刻、磁器口、天坑地缝、巫山小三峡等7个展现重庆人文山水奇妙魔幻景色
的景区.为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有
______种.
16．平面直角坐标系中，点 、 、 ，动点 在 的内切圆上，则
的最小值为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的
货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的
中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱
作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径为 ，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的
小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形
内用于刻铜钱上的字．设 ，五个正方形的面积和为 ．
(1)求面积 关于 的函数表达式；
(2)求面积 最小值．18．如图，在棱长为2的正方体 中，线段DB的中点为F，点G在棱CD上，且满足
.
(1)若E为棱 的中点，求证： ；
(2)求直线 与 所成角的余弦值.
19．截至 年末，某城市普通汽车（除新能源汽车外）保有量为 万辆.若此后该市每年新增普通汽
车 万辆，而报废旧车转购新能源汽车的约为上年末普通汽车保有量的 ，其它情况视为不计.
(1)设从 年起该市每年末普通汽车的保有量构成数列 ，试写出 与 的一个递推公式，并求
年末该市普通汽车的保有量（精确到整数）；
(2)根据（1）中 与 的递推公式，证明数列 是等比数列，并求从哪一年起，该市普通汽车的保
有量首次少于 万辆？（参考数据： ， ， ， ）
20．小明将四件物品 摆放在一起，然后让小狗不放回地去依次取 这四件物品，若当次小狗取的物品和小明给的指令一致，则给小狗记1分，若不一致则记0分．如小狗取得物品的顺序为
，则小狗得2分．显然小狗最低得0分，最高得4分．假设小狗是随机地取物品，设它的得分
为X．
(1)求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)若小明对小狗进行了辨别物品的训练之后，再让小狗取物品，当小狗连续两次得分都大于2分时，小明
认为自已的训练是卓有成效的．请从概率学的角度解释小明这么认为是否合理．
21．若椭圆C的对称轴为坐标轴，长轴长是短轴长的2倍，一个焦点是 ，直线l： ，P是l
上的一点，射线OP交椭圆C于点R，其中O为坐标原点，又点Q在射线OP上，且满足 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当P点在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程．
22．已知函数 .
(1)若 是函数 的极值点 ，证明： ；
(2)证明：对于 ，存在 的极值点 ， 满足 .
