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专题 12.2 角平分线中的几何综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
◆ 知识点总
结
一、角平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
二、角平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB◆ 典例分析
【典例1】已知△ABC，AD是一条角平分线．
AB BD
【探究发现】如图1，若AD是∠BAC的角平分线．可得到结论： = ．
AC DC
小艳的解法如下：
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，过点A作AP⊥BC于点P，
∵AD是∠BAC的角平分线，且DM⊥AB，DN⊥AC，
∴__________________
1
AB×DM
S 2
∴ △ABD = =__________________
S 1
△ADC AC×DN
2
1
BD×AP
S 2 BD
又∵ △ABD = = ，
S 1 CD
△ADC CD×AP
2
∴__________________
AC AD
【类比探究】如图2，若CD是∠ACB的外角平分线，CD与BA的延长线交于点D．求证： = ．
BC BD
【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠BAC=60°，BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线且相交
ED 4 BD
于点D，若 = ，直接写出 的值是__________________．
CD 7 DC
【思路点拨】
探究发现：根据题干中的解题思路求解即可；
类比探究：过点D作DN⊥AC交CA延长线于N，过点D作DM⊥BC延长线于M，过点C作CP⊥BD
于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可；
拓展应用：在BC上取点G，使得BG=BE，连接DG，先利用全等三角形的判定得出△BDE≌△BDG，再由其性质及前面的结论求解即可．
【解题过程】
探究发现：
解：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，过点A作AP⊥BC于点P，
∵AD是∠BAC的角平分线，且DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
1
AB×DM
S 2 AB
∴ △ABD = = ，
S 1 AC
△ADC AC×DN
2
1
BD×AP
S 2 BD
又∵ △ABD = = ，
S 1 CD
△ADC CD×AP
2
AB BD
∴ = ；
AC DC
AB AB BD
故答案为：DM=DN， ， = ；
AC AC DC
类比探究：
证明：过点D作DN⊥AC交CA延长线于N，过点D作DM⊥BC延长线于M，过点C作CP⊥BD于点
P．
∵CD平分∠MCN，
∴DN=DM．
1 1
AC×DN AD×CP
S 2 AC S 2 AD
∴ △ACD= = ， △ACD= = ，
S 1 BC S 1 BD
△DBC BC×DM △DBC BD×CP
2 2
AC AD
∴ = ；
BC BD
拓展应用：在BC上取点G，使得BG=BE，连接DG，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BD,CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
1
∴∠DBE=∠DBG，∠DCG=∠DCF，∠DBC+∠DCB= (∠ABC+∠ACB)=60°，
2
∴∠BDC=120°，
∴∠BDE=60°，
∵BD=BD，
∴△BDE≌△BDG，
∴∠BDE=∠BDG=60°，
∴∠BDG=∠CDG=60°
∴DG是∠BDC的角平分线
DE BE 4
由（1）知， = = ，
DC BC 7
设BE=4x，BC=7x，则BG=4x，CG=3x，
BD BG 4
由（1）知 = = ，
DC CG 3
BD 4
即 = ．
DC 3
◆ 学霸必刷
1．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与
∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结
论：①PM=PN恒成立；②OM+ON的值不变；③四边形PMON的面积不变；其中正确的个数为
（ ）A．3 B．2 C．1 D．0
2．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上一
点，BE=BA，过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；②
∠BCE+∠BCD=180°；③∠ABE=∠DAE；④BA+BC=2BF；正确的为（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
3．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点
O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB=90°+∠C；②
若AB=4，OD=1，则S =2；③当∠C=60°时，AF+BE=AB；④若OD=a，AB+BC+CA=2b
△ABO
，则S =ab．其中正确的结论为（ ）
△ABC
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
4．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∠ACF，AB∥CD，下列结论：①∠BDC=∠BAC；②∠BEC=90°+∠ABD；③∠CAB=∠CBA
；④∠ADB+∠ABC=90°，其中正确的为（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
5．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，
∠ACB，且交于点F．则下列说法中①∠AFC=120°；②S =S ；③若AE=EB，则CE⊥AB；
△ABD △ADC
④CD+AE=AC；⑤S :S =AE:CD．哪些是正确的（ ）
△AEF △CDF
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
OD⊥BC于点D，OD=4，若△ABC的面积为25，则△ABC的周长为 ．
7．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在∠AOB的边OA，OB上取点M，N，连接MN，PM平分
∠AMN，PN平分∠MNB，若MN=2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则△OMN的周长是
．
8．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，且
AD=2CD,BC=4EC，连接BD、AE交于点F,∠BAF的平分线交BD于点G，且AB:AF=2:1，若△AGF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
9．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，在△AOC和△BOD中，OA=OB，OC=OD，OA∠A)，角平分线BD、
CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论；①S :S =BC:BE；②∠EOF=∠ABC−∠A；③
△BOC △BOE
BE+CD=BC；④S =2S +S ，其中正确结论是 ．
四边形BEDC △BOC △EDO
11．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）若∠BAC=∠DAE=50°，请直接写出∠BFC的度数；
（3）连接AF，过点A作AH⊥BD于点H，求证：FA平分∠DFC；
（4）线段DH，EF与HF之间的数量关系是：________．
12．（22-23八年级上·湖北随州·期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，
∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°．
（1）求证：AE平分∠CAF；
（2）直接写出∠AEB的度数______；
（3）若AC+CD=14，AB=8.5，且S =21，求△ABE的面积．
△ACD
13．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）已知：在△ABC中，作∠ABC平分线BM，在BM上找一点
D，使得DA＝DC，过点D作DE⊥BC，交直线BC于点E．（1）依题意补全图形；
（2）用等式写出AB、BC、BE之间的数量关系，并给出证明；
（3）如果把作∠ABC的平分线BM，改为作∠ABC的外角∠PBA的平分线BM，其他条件不变，直接用
等式写出AB、BC、BE之间的数量关系．
14．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图， ∠CAB和∠CBA的角平分线AF，BD相交点P，
∠C=60°．
（1）求∠APB；
（2）求证：PD=PF；
（3）若∠ABC=80°，求证：AP=BC．
15．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分
线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE=45°．（1）求证：BF平分∠ABE；
（2）连接CF交AD于点G，若S =S ，求证：∠AFC=90°；
ΔABF ΔCBF
（3）在（2）的条件下，当BE=3，AG=4.5时，求线段AB的长．
16．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）【问题情境】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，
∠ACB=∠DCE=90°．
（1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接BD、AE，延长AE交BD于点F，则
AE与BD的数量关系是________，位置关系是________；
（2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接AE交DC于点H，连接BD交AE于
点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？
（3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG的大小固定吗？
若固定，求出∠AFG的度数；若不固定，请说明理由．17．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图1，在△ABC中，BD牛分∠ABC,CE平分∠ACB,BD
与CE交于点O．
图1 图2
（1）如图1，若∠A=60°．
①求∠BOC的度数；
②作OF⊥AB于点F，探究AE、AD、AF之间的数量关系并说明理由；
OD 4
（2）如图2，若∠A=90°,OE=kOC, = ，则k的值为________________．
OB 718．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC
、∠ACB交于点G．（1）如图1，求∠BGC的度数；
（2）如图2，求证：EG=FG；
（3）如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于
点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．
19．（22-23八年级下·广东梅州·阶段练习）已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分
∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．1
（1）如图1，求证：∠BOC=90°+ ∠BAC．
2
（2）如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
OD
（3）如图3，若∠BAC=60°，BD=4，CE=2，求 的值．
OC
20．（22-23八年级上·广东珠海·阶段练习）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD
分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BP交AD于点F，交
AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG=2，DF=4，求线段DB的长．
