文档内容
专题 12.5 判定两个三角形全等的常用思路【九大题型】
【人教版】
【题型1 已知两边找另一边，用SSS】..................................................................................................................1
【题型2 已知两边找夹角，用SAS】.....................................................................................................................4
【题型3 一直角边一斜边用HL】............................................................................................................................8
【题型4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】...............................................................................................13
【题型5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】...................................................................................17
【题型6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】..................................................................................21
【题型7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】...........................................................................................25
【题型8 已知两角找夹边，用ASA】...................................................................................................................31
【题型9 已知两角找任一角的对边，用AAS】...................................................................................................35
知识点：判定两个三角形全等的常用思路
【题型1 已知两边找另一边，用SSS】
【例1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图所示，已知AB=DC，AE=DF，EC=BF，且B，F，E
，C在同一条直线上．(1)求证：AB∥CD；
(2)若BC=11，EF=7，求BE的长度．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差．熟练掌握全等三角形的判
定与性质，平行线的判定，线段的和与差是解题的关键．
（1）证明△ABE≌△DCF(SSS)，则∠B=∠C，进而可证AB∥CD；
（2）由题意得，EC+BF=BC−EF=4，由EC=BF，可得EC=BF=2，根据BE=EF+BF，计算求
解即可．
【详解】（1）证明：∵EC=BF，
∴EC+EF=BF+EF，即CF=BE，
∵AB=DC，AE=DF，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SSS)，
∴∠B=∠C，
∴AB∥CD；
（2）解：∵BC=11，EF=7，
∴EC+BF=BC−EF=4，
∵EC=BF，
∴EC=BF=2，
∴BE=EF+BF=7+2=9，
∴BE的长度为9．
【变式1-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）已知BE=CD，BD=CE，求证：∠B=∠C．
【答案】证明见详解；【分析】
本题考查三角形全等的判定与性质，连接DE，根据边边边判定证明△BDE≌△CED即可得到答案；
【详解】
证明：连接DE，
在△BDE与△CED中，
{BE=CD
)
∵ BD=CE ，
DE=ED
∴△BDE≌△CED(SSS)，
，
∴∠B=∠C．
【变式1-2】（23-24·吉林白城·一模）如图，点E、F在BD上，且AB=CD,BF=DE,AE=CF，求证：
∠AEO=∠CFO．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据BF=DE，得BE=DF，利用SSS证△ABE≌△CDF，
再利用全等三角形性质即可证明结论，明解题的关键是学会利用全等三角形解决问题．
【详解】证明：∵BF=DE，
∴BF−EF=DE−EF，即BE=DF，
在△ABE和△DFC中，
¿，
∴△ABE≌△CDF(SSS)，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEO=∠CFO．
【变式1-3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，AB=AC，BO=CO，求证：∠ADC=∠AEB
．【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，连接OA，证明
△AOB≌△AOC(SSS)得出∠B=∠C，再由三角形外角的定义及性质即可得出答案，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】证明：如图，连接OA，
在△AOB和△AOC中，
{AB=AC
)
OB=OC ，
OA=OA
∴△AOB≌△AOC(SSS)，
∴∠B=∠C，
∵∠DOB=∠EOC，
∴∠B+∠DOB=∠C+∠EOC，
∴∠ADC=∠AEB．
【题型2 已知两边找夹角，用SAS】
【例2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在四边形ADBC中，AC∥BD，AC=BD，E，F分别是
对角线AB上两点，且AE=BF，连接DE，CF．试说明：
(1)CF∥DE；
(2)∠BCF=∠ADE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由SAS证明△ACF≌△BDE即可；
（2）由SAS证明△BFC≌△AED即可．
【详解】（1）解：因为AE=BF，
即AE+EF=BF+EF，
所以AF=BE，
因为AC∥BD．
所以∠CAF=∠DBE，
在△ACF和△BDE中，
{
AC=BD，
)
∠CAF=∠DBE，
AF=BE，
所以△ACF≌△BDE(SAS)，
所以∠AFC=∠BED，DE=CF，
所以CF∥DE．
（2）解：因为∠AFC=∠BED，
所以∠BFC=∠AED，
在△BFC和△AED中，
¿
所以△BFC≌△AED(SAS)，
所以∠BCF=∠ADE．
【变式2-1】（23-24八年级·四川雅安·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，D为△ABC边AC上一点，BC=CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC=CE．连接BE交AC于F，G为边CE
上一点，满足CG=CF，连接DG交BE于H．
(1)∠BAC与∠DEC相等吗？为什么？
(2)求∠DHF的度数．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)60°
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用：
1
（1）先求出∠DCE= ∠ACM=60°，再证△BAC ≌△DEC(SAS)，可得∠BAC =∠DEC；
2
（2）先证△CDG ≌△CBF(SAS)，推出∠CDG =∠CBF，结合∠DFH =∠BFC，可得
∠DHF=∠FCB=60°．
【详解】（1）解：∠BAC与∠DEC相等，理由如下：
∵ ∠ACB=60°，CE平分∠ACM，
1 1 1
∴ ∠DCE= ∠ACM= (180°−∠ACB)= =(180°−∠60°)=60°，
2 2 2
在△BAC与△DEC中，
{
BC=DC
)
∠BCA=∠DCE=60° ，
AC=EC
∴ △BAC ≌△DEC(SAS)，
∴ ∠BAC =∠DEC；
（2）解：在△CDG与△CBF中，
{
CD=CB
)
∠DCG=∠BCF=60° ，
CG=CF
∴ △CDG ≌△CBF(SAS)，∴ ∠CDG =∠CBF，
又∵ ∠DFH =∠BFC，
∴ ∠DHF=∠FCB=60°．
【变式2-2】（23-24八年级·吉林·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，点D在BC边
上，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转80°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了图形的旋转全等三角形的判定与性质，由旋转性质可知AD=AE，∠DAE=80°，则
∠BAD=∠CAE，证明△BAD≌△CAE(SAS)即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：由旋转性质可知AD=AE，∠DAE=80°，
∴∠BAC=∠DAE=80°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE．
【变式2-3】（23-24八年级·陕西汉中·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点
E,AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG=BC，连接BG,CF=AB．
【问题解决】（1）试说明：△ABG≌△CFB；
【问题探究】（2）BF与BG垂直吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）BF与BG垂直，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，三角形的内角和定理．（1）根据AD⊥BC得出∠BAG+∠ABD=90°，根据CE⊥AB得出∠BCF+∠ABD=90°，即可推出
∠BAG=∠BCF，最后即可根据SAS得出△ABG≌△CFB；
（2）根据垂直的定义得出∠G+∠DBG=90°，根据全等三角形的性质得出∠G=∠CBF，则
∠CBF+∠DBG=90°，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，则∠BAG+∠ABD=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，则∠BCF+∠ABD=90°，
∴∠BAG=∠BCF，
在△ABG和△CFB中，
{
AG=BC
)
∠BAG=∠BCF ，
CF=AB
∴△ABG≌△CFB(SAS)．
（2）解：BF与BG垂直，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠BDG=90°，则∠G+∠DBG=90°，
由（1）可得：△ABG≌△CFB(SAS)，
∴∠G=∠CBF，
∴∠CBF+∠DBG=90°，即∠GBF=90°，
∴BF⊥BG．
【题型3 一直角边一斜边用HL】
【例3】（23-24八年级·河南平顶山·期末）在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′，AB=A′B′=6，
AC=A′C′=4，若边BC和B′C′上的高都是3，∠C=n°，则∠C′= ．
【答案】n°或180°−n°
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．过A作AD⊥BC于点D，过A′
作A′D′⊥B′C′于点D′，可得AD=A′D′=3，分四种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作AD⊥BC于点D，过A′作A′D′⊥B′C′于点D′，
∵边BC和B′C′上的高都是3，
∴AD=A′D′=3，
当B、C在点D的两侧，B′、C′在点D′的两侧时，如图，∵AD=A′D′=3，AC=A′C′=4，
∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′ (HL)，
∴∠C′=∠C=n°；
当B、C在点D的同侧，B′、C′在点D′的同侧时，如图，
同理可得：∠A′C′D′=∠ACD，∠A′C′B′=∠ACB=n°；
当B、C在点D的两侧，B′、C′在点D′的同侧时，如图，
∵AD=A′D′=3，AC=A′C′=4，
∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′ (HL)，
∴∠A′C′D′=∠C=n°，即∠A′C′B′=180°−∠A′C′D′=180°−n°；
当B、C在点D的同侧，B′、C′在点D′的两侧时，如图，
同理可得：∠C′=∠ACD=180°−∠ACB=180°−n°；
综上，∠C′的值为n°或180°−n°．
故答案为：n°或180°−n°．
【变式3-1】（23-24八年级·四川甘孜·期末）如图，已知∠C=∠F=90°，∠A=51°，AC=DF，
AE=DB，BC与EF交于点O．(1)求证：△ABC≌△≝¿．
(2)求∠BOF．
【答案】(1)证明见解析
(2)78°
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，
（1）根据HL证明两个三角形全等即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论；
解题的关键是掌握三角形全等的判定．
【详解】（1）证明：∵AE=DB，
∴AE+EB=DB+EB，即AB=DE，
∵∠C=∠F=90°，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
{AC=DF)
，
AB=DE
∴Rt△ABC≌Rt△≝(HL)；
（2）解：∵∠C=90°，∠A=51°，
∴∠ABC=90°−∠A=90°−51°=39°，
由（1）知：Rt△ABC≌Rt△≝¿，
∴∠ABC=∠≝¿，
∴∠≝=39°，
∴∠BOF=∠ABC+∠BEF=39°+39°=78°，
∴∠BOF的度数为78°．
【变式3-2】（23-24八年级·重庆北碚·期末）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点F、G分别为AC
、AB上的一点，接GF并延长交BD延长线于点E，若EF=AB，DF=DB，∠C+∠2=180°，求证：
CB⊥AB．
证明：∵BD⊥AC
∴∠EDF=∠ADB=90°{(____①__ __))
在Rt△EDF和Rt△ADB中，
DF=DB
∴Rt△EDF≌Rt△ADB（ ② ）
∴∠E=∠A
在△ABD中
∵∠A+∠1+∠ADB=180°（③ ）
∴∠A+∠1=90°
∴④ +∠1=90°
∴∠AGE=∠E+∠1=90°
∵∠C+∠2=180°
∴ ⑤ （ ⑥ ）
∴∠ABC=∠AGE=90°
∴CB⊥AB
【答案】EF=AB；HL；三角形的内角和定理，∠E；EG∥BC；同旁内角互补，两直线平行．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，灵活运用平行线的判定和性质得出角的关系式解
题的关键．根据全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质以及垂线定义判断求解即可．
【详解】解：证明：∵BD⊥AC
∴∠EDF=∠ADB=90°
{EF=AB)
在Rt△EDF和Rt△ADB中，
DF=DB
∴Rt△EDF≌Rt△ADB（HL）
∴∠E=∠A
在△ABD中
∵∠A+∠1+∠ADB=180°（三角形的内角和定理）
∴∠A+∠1=90°
∴∠E+∠1=90°∴∠AGE=∠E+∠1=90°
∵∠C+∠2=180°
∴EG∥BC (同旁内角互补，两直线平行)
∴∠ABC=∠AGE=90°
∴CB⊥AB
故答案为：EF=AB；HL；三角形的内角和定理，∠E；EG∥BC；同旁内角互补，两直线平行．
【变式3-3】（23-24八年级·重庆·期中）如图，△ABC中，∠C=90°,AC=16cm,BC=8cm，过点A作
AM⊥AC，点P，Q分别在线段AC和射线AM上移动．若PQ=AB，则当AP= 时，△ABC和
△APQ全等．
【答案】8cm或16cm
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分
类讨论，以免漏解．分情况讨论：①AP=BC=8cm时，Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)；②当P运动到与C
点重合时，Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)，此时AP=AC=16cm．
【详解】解：①当P运动到AP=BC时，如图所示：
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
{BC=PA)
，
AB=QP
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
即AP=BC=8cm；②当P运动到与C点重合时，如图所示：
在Rt△ABC和Rt△PQA中，
{AC=PA)
，
AB=QP
∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)），
即AP=AC=16cm．
综上所述，AP的长度是8cm或16cm．
故答案为：8cm或16cm．
【题型4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】
【例4】（23-24八年级·河北唐山·期中）如图，在△ABC和△CDE中，点B，C，E在同一条直线上，
∠B=∠E=∠ACD，AC=CD，若AB=2，BE=6，则DE的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明△ABC≌△CED(AAS)，由
DE=BC=BE−AB即可求出结果．
【详解】解：∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠B=∠E=∠ACD，
∴∠ACD+∠ACB+∠BAC=180°，
∵ ∠ACD+∠ACB+∠DCE=180°，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CED中，
{∠BAC=∠DCE
)
∠B=∠E ，
AC=CD
∴ △ABC≌△CED(AAS)，∴BC=DE,AB=CE，
∵ AB=2，BE=6，
∴ DE=BC=BE−CE=BE−AB=6−2=4，
故选：C．
【变式4-1】（23-24八年级·广东惠州·期中）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，点
E是BC的中点， DE⊥AB于点F，且AB=DE．
(1)求证：△ACB≌△EBD；
(2)若DB=12．
①求AC的长；
②求△DCE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①6；②36
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
（1）由题意知，∠ABC+∠ABD=90°，∠ABD+∠EDB=90°，则∠ABC=∠EDB，证明
△ACB≌△EBD(AAS)；
1 1 1
（2）①由题意知，CE=BE= BC，由△ACB≌△EBD(AAS)，可得AC=BE= BC= BD，计算求解
2 2 2
1
即可；②根据S = CE×BD，计算求解即可．
△DCE 2
【详解】（1）证明：∵∠DBC=90°，
∴∠ABC+∠ABD=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DFB=90°，即∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ABC=∠EDB，∵∠ACB=∠EBD，∠ABC=∠EDB，AB=DE，
∴△ACB≌△EBD(AAS)；
（2）①解：∵点E是BC的中点，
1
∴CE=BE= BC，
2
由（1）可知，△ACB≌△EBD(AAS)，
∴AC=BE,BC=BD，
1 1
∴AC=BE= BC= BD=6，
2 2
∴AC的长为6；
1 1
②解：由题意知，S = CE×BD= ×6×12=36，
△DCE 2 2
∴△DCE的面积为36．
【变式4-2】（23-24·四川达州·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE⊥AF于
点E，AD=BE，求证△BEA≌△ADF．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
根据题意证明∠ABE=∠FAD，根据AAS即可得到答案．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠DAB+∠D=180°，
∵∠D=90°，
∴∠DAB=90°，
∵BE⊥AF，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−∠BAE=∠FAD，
在△BEA和△ADF中，{
∠ABE=∠FAD
)
∠AEB=∠D=90° ，
BE=AD
∴△BEA≌△ADF(AAS)．
【变式4-3】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）如图，教学楼与操场上的旗杆相距19m，小林同学从教
学楼B点沿BD走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得CP和AP的夹角为90°，且CP=AP，已知
∠ABD=∠CDB=90°，旗杆CD的高为7m，小林同学行走的速度为0.5m/s．
(1)请你求出教学楼AB的高度；
(2)小林从P点到达D点还需要多长时间？
【答案】(1)12m
(2)24s
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；
（1）先证明∠CPD=∠PAB，再结合CP=AP，即可得到结论；
（2）利用路程除以速度即可得到答案．
【详解】（1）解：∵CP和AP的夹角为90°，
∴∠APB+∠CPD=90°．
∵∠ABD=90°，
∴∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPD=∠PAB．
在△CDP和△PBA中，
¿，
∴△CDP≌△PBA(AAS)，
∴CD=PB，PD=AB．
∵CD=7m，
∴PB=7m．
∵BD=19m，∴PD=12m，
∴AB=12m．
答：教学楼AB的高度为12m．
（2）12÷0.5=24(s)．
答：小林从P点到达D点还需要24s．
【题型5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】
【例5】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，△ABC中，∠B=90°，以AC为边向右下方作△ACD，
1 6 13
满足CA=AD，点M为BC上一点，连接AM,DM，若∠BAM= ∠CAD，BM= ，CM= ，则
2 5 5
DM= ．
【答案】5
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
延长CB到E，使BE=BM，连接AE，先证明△ABE≌△ABM(SAS)，得到∠BAE=∠BAM，AE=AM
，再证明△EAC≌△MAD(SAS)，得到EC=DM，即可由DM=EB+BM+CM=2BM+CM，进而即可
求解．
【详解】解：延长CB到E，使BE=BM，连接AE，如图，
∵BE=BM，∠ABE=∠ABM=90°，AB=AB，
∴△ABE≌△ABM(SAS)，
∴∠BAE=∠BAM，AE=AM，1
∴∠BAM= ∠EAM，
2
1
∵∠BAM= ∠CAD，
2
∴∠EAM=∠CAD，
∴∠EAM+∠CAM=∠CAD+∠CAM，
∴∠EAC=∠MAD，
在△EAC与△MAD中，
{
AE=AM
)
∠EAC=∠MAD ，
AC=AD
∴△EAC≌△MAD(SAS)，
∴EC=DM，
6 13
∴DM=EB+BM+CM=2BM+CM=2× + =5．
5 5
故答案为：5．
【变式5-1】（23-24八年级·江苏苏州·期末）如图，在△ABC中，D为AC中点，F为AB边上一点，连接
FD，并延长FD至点 E，使得ED=DF，连接CE．
(1)求证：△CDE≌△ADF；
(2)若EF∥BC，∠A=60°，∠E=50°，求∠BCD的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)∠BCD=70°．
【分析】（1）由D为AC中点得AD=CD，然后用“SAS”证明即可；
（2）由△CDE≌△ADF，得∠A=∠DCE=60°， 三角形的内角和得∠CDE=70°，最后由平行线的
性质即可求解；
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵D为AC中点，
∴AD=CD，
在△CDE和△ADF中，
{
AD=CD
)
∠ADF=∠CDE ，
DF=DE
∴△CDE≌△ADF(SAS)；
（2）由（1）得：△CDE≌△ADF，
∴∠A=∠DCE=60°，
∵∠CDE+∠E+∠DCE=180°，∠E=50°，
∴∠CDE=70°，
∵EF∥BC，
∴∠BCD=∠CDE=70°．
【变式5-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，AB=AC，BD=CE．
(1)如图1，求证：∠B=∠C；
(2)如图2，BE与CD相交于点O，若∠A=36°，∠B=30°，求∠DOB的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)84°
【分析】
本题考查三角形全等的判定与性质、三角形外角性质及三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等的
判定与性质是解决问题的关键．
（1）利用三角形全等判定与性质，证得△ABE≌△ACD(SAS)，即可得证∠B=∠C；
（2）利用全等三角形性质得到∠C=∠B=30°，再由三角形外角性质与三角形内角和定理数形结合即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵ AB=AC，BD=CE，
∴AD=AE，
在△ABE和△ACD中，
{
AD=AE
)
∠A=∠A
AB=AC
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴ ∠B=∠C；
（2）解：由（1）知，∠C=∠B=30°，
在△ACD中，∠BDC是其外角，则∠BDC=∠A+∠C=36°+30°=66°，
∴在△BOD中，∠DOB=180°−∠B−∠BDO=180°−30°−66°=84°．
【变式5-3】（23-24八年级·江西吉安·阶段练习）如图，某游乐园有两个滑梯BC与EF，滑梯BC的高AC
与滑梯EF水平方向DF的长度相等，且BD的长度等于长方形ADEG周长的一半．
(1)两个滑梯BC与EF的长度是否相等？并说明理由．
(2)若∠BCD=90°，试说明CD∥EF．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的应用；确定两角的大小关系，通常可证明这两角所在的三角形全等，根
据对应角相等进行判定．
（1）根据BD的长度等于长方形ADEG周长的一半，得出AB=DE，证明△ABC≌△≝¿，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出∠B=∠≝¿，结合∠B+∠BDC=90°，得出∠≝+∠BDC=90°，证
出∠BDC=∠F，即可证明；
【详解】（1）解：BC=EF．
理由：∵BD的长度等于长方形ADEG周长的一半，BD=AD+AB∴BD=AD+DE，
∴AB=DE．
在△ABC和△≝¿中，
{
AB=DE
)
∠BAC=∠EDF=90° ，
AC=DF
∴△ABC≌△≝(SAS)，
∴BC=EF．
（2）∵∠BCD=90°，
∴∠B+∠BDC=90°．
∵△ABC≌△≝¿，
∴∠B=∠≝¿，
∴∠≝+∠BDC=90°．
∵∠≝+∠F=90°，
∴∠BDC=∠F，
∴CD∥EF．
【题型6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】
【例6】（23-24·四川达州·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE⊥AF于点
E，AD=BE，求证△BEA≌△ADF．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
根据题意证明∠ABE=∠FAD，根据AAS即可得到答案．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠DAB+∠D=180°，
∵∠D=90°，
∴∠DAB=90°，
∵BE⊥AF，∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−∠BAE=∠FAD，
在△BEA和△ADF中，
{
∠ABE=∠FAD
)
∠AEB=∠D=90° ，
BE=AD
∴△BEA≌△ADF(AAS)．
【变式6-1】（23-24·吉林松原·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，EF⊥AB于
点F，AE=CB．求证：△AEF≌△CBD．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意，利用
AAS证明即可．
【详解】证明：在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°．
∵DC⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°．
∴∠A=∠BCD．
∵EF⊥AB，
∴∠EFA=∠BDC=90°．
在△AEF和△CBD中，
{
∠A=∠BCD
)
∠EFA=∠BDC ，
AE=CB
∴△AEF≌△CBD(AAS)．
【变式6-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图， AD,BE 是 △ABC 的高线，AD与BE 相交于点F
．若AD=BD=6 ，且 △ACD 的面积为12，则AF的长度为（ ）3
A．1 B． C．2 D．3
2
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与
性质是解题的关键．利用ASA证明△ACD≌△BFD，得DF=DC，再根据三角形面积可得CD的长，从
而可得答案．
【详解】解：∵AD，BE是△ABC的高线，
∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°，
∵∠BFD=∠AFE，
∴∠DBF=∠CAD，
在△ACD和△BFD中，
{∠DBF=∠CAD
)
BD=AD ，
∠BDF=∠ADC
∴△ACD≌△BFD(ASA)，
∴DF=DC，
∵△ACD的面积为12，
1
∴ ×CD×6=12，
2
∴CD=4，
∴DF=4，
∴AF=AD−DF=2，
故选：C．
【变式6-3】（23-24八年级·重庆大渡口·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点
C作CE∥AB，连接AE．(1)基本尺规作图：作∠ABF=∠EAC，交线段AC于点F（保留作图疯迹）；
(2)求证：BF=AE．
解：∵CE∥AB，
∴________
∵∠BAC=90°
∴∠ACE=180°−∠BAC=90°=∠BAF
在△BAF和△ACE中
¿
∴△BAF≌△ACE(ASA)，
∴BF=AE（_______）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据运用作相等角的作图方法画图即可；
（2）根据平行线的性质可推出①及②，再根据全等三角形的判定定理和性质可得③④．
【详解】（1）解：如图：∠BAF即为所求；
（2）解：∵CE∥AB
∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC=90°∴∠ACE=180°−∠BAC=90°=∠BAF
在△BAF和△ACE中
{∠ABF=∠EAC
)
BA=AC
∠BAF=∠ACE
∴△BAF≌△ACE(ASA)
∴BF=AE（全等三角形的对应边相等）．
【题型7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】
【例7】（23-24八年级·湖北鄂州·期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，AE是BC边上
的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
(1)求证：AE=CD；
(2)若AC=12cm，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)6cm
【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在△AEC和△CDB中，在这两个三
角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．
1 1
（2）由（1）得BD=EC= BC= AC，且AC=12cm，即可求出BD的长．
2 2
【详解】（1）∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
在△DBC和△ECA中，
{
∠D=∠AEC
)
∵ ∠DBC=∠ECA
BC=AC
∴△DBC≌△ECA(AAS)．
∴AE=CD．（2）∵△CDB≌△AEC，
∴BD=CE，
∵AE是BC边上的中线，
1 1
∴BD=EC= BC= AC，且AC=12cm.
2 2
∴BD=6cm．
【点睛】三角形全等的判定一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或
求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
【变式7-1】（23-24八年级·江西吉安·阶段练习）将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆
放，连接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．
(1)试说明△ABC≌△DBE．
(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠BED=36°
【分析】（1）利用AAS证明三角形全等即可；
（2）全等三角形的性质，得到∠BED=∠BCA，证明△DBC≌△ABC(SSS)，得到
1
∠BCD=∠BCA= ∠ACD=36°，即可得解．
2
【详解】（1）解：因为∠DBA=∠CBE，
所以∠DBA+∠ABE=∠CBE+∠ABE，
即∠DBE=∠ABC．
在△ABC和△DBE中，{∠ABC=∠DBE
)
∠BAC=∠BDE ，
AC=DE
所以△ABC≌△DBE(AAS)．
（2）因为△ABC≌△DBE，
所以BD=BA，∠BCA=∠BED．
在△DBC和△ABC中，
{DC=AC
)
CB=CB ，
BD=BA
所以△DBC≌△ABC(SSS)，
1
所以∠BCD=∠BCA= ∠ACD=36°，
2
所以∠BED=∠BCA=36°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．
【变式7-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）已知：如图，在△ABN和△ACM中，
AB=AC,AD=AE,∠BAN=∠CAM．求证：
(1)BD=CE；
(2)△AEM≌△ADN．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形的全等判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
（1）根据∠BAN=∠CAM得到∠1+∠MAN=∠2+∠MAN即∠1=∠2，证明△ACE≌△ABD(SAS)
即可．
（2）根据△ACE≌△ABD(SAS)得到∠ADB=∠AEC，结合
∠ADB=∠MDO,∠AEC=∠NEO,∠MOD=∠NOE，得到180°−∠MDO−∠MOD=180°−∠NEO−∠NOE即∠M=∠N，证明即可．
【详解】（1）∵∠BAN=∠CAM，
∴∠1+∠MAN=∠2+∠MAN，
∴∠1=∠2，
{AB=AC
)
∵ ∠1=∠2 ，
AD=AE
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴BD=CE．
（2）∵△ACE≌△ABD(SAS)
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠ADB=∠MDO,∠AEC=∠NEO,∠MOD=∠NOE，
∴180°−∠MDO−∠MOD=180°−∠NEO−∠NOE，
∴∠M=∠N，
{
∠M=∠N
)
∵ ∠MAE=∠NAD ，
AE=AD
∴△AEM≌△ADN(AAS)．
【变式7-3】（23-24·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形ABCD中，
∠ABC=90°,AD∥BC,DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．
(1)求证：△ABC≌△AFE；
(2)如图2，连接AG，若∠ACB=30°，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是
△BEG面积的2倍．
【答案】(1)见详解
(2)△AEG,△ACG,△ACD,△ADG,△CDG【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握基本知识是
解题的关键；
（1）用AAS即可证明△ABC≌△AFE；
（2）先证明BA=BE，则S =2S ，再证明△AEG≌△ACG，则S =2S ，由△ACG与
△AEG △BEG △ACG △BEG
△CDG同底等高，得S =2S ，再证明△ADC≌△AGC，则S =2S ，最后△ACG与
△GCD △BEG △ACD △BEG
△CDG同底等高，
得S =S ，所以S =2S ．
△ACG △GCD △GCD △BEG
【详解】（1）证明：∵DE⊥AC
∴∠AFE=90°
∵∠ABC=90°
∴∠AFE=∠ABC
∴在△ABC和△AFE中，
{∠ABC=∠AFE
)
∠BAC=∠FAE ，
AC=AE
∴△ABC≌△AFE；
（2）
∵△ABC≌△AFE
∴AB=AF，
∵AG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，
∴∠1=∠2
∵∠ACB=30°，
1
∴∠1=∠2= ×60°=30°
2
∵△ABC≌△AFE，AE=AC
∴∠ACB=30°=∠E，∴∠1=∠E，
∴GA=≥¿，
∵∠ABC=90°，
∴BA=BE，
∴S =2S
△AEG △BEG
∵AG=AG ∠1=∠2，AE=AC,
∴△AEG≌△ACG，
∴S =2S
△ACG △BEG
∵AD∥BC
∴△ACG与△CDG同底等高，
∴S =S ,
△ACG △GCD
∴S =2S
△GCD △BEG
∵∠1=∠2=30°，∴∠DAC=30°，
∴∠2=∠DAC=30°,
∴∠ADG=∠AGD=60°，
∴AD=AG，∵AC=AC，
∴△ADC≌△AGC，
∴S =2S ，
△ACD △BEG
∵AD∥BC
∴△ACD与△DAG同底等高，
∴S =S ，
△ACD △GAD
∴S =2S ，
△AGD △BEG
∴△AEG,△ACG,△ACD,△ADG,△CDG的面积为△BEG面积的2倍．
【题型8 已知两角找夹边，用ASA】
【例8】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC,BE⊥CE，下列结论∶①
CE 平分∠BCD；②AB+CD=AD；③CE·BE=S ；④AE=DE．其中正确的有（ ）
四边形ABCDA．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．
根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出∠DCE+∠ABE=90∘，再由角平分线及等量代换可判断
①；根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，即可得出结果．
【详解】解：∵ AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180∘
∵BE⊥CE
∴∠BEC=90∘
∴∠BCE+∠CBE=90∘
∴∠DCE+∠ABE=180∘−(∠BCE+∠CBE)=90∘，
∵ BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE
∴∠BCE=∠DCE，
∴CE 平分∠BCD，故①正确；
在BC上截取BF=BA，连接EF，
在△FBE和△ABE中，
{
BF=BA
)
∠FBE=∠ABE
BE=BE
∴△FBE≅△ABE(SAS)
∴FE=AE,∠FEB=∠AEB
∵∠FEC+∠FEB=∠BEC=90∘
∴∠DEC+∠AEB=180∘−∠BEC =90∘
∴∠FEC=∠DEC，
在△FEC和△DEC中，{∠FEC=∠DEC
)
CE=CE
∠FCE=∠DCE
∴△FEC≅△DEC(ASA)
∴CF=CD,FE=DE
∴AB+CD=FB+FC=BC ≠AD，AE=DE，
故②不正确，④正确；
∵S =S ,S =S
△FBE △ABE △FEC △DEC
∴S +S +S +S =S =S
△FBE △ABE △FEC △DEC △BEC 四边形ABCD
1
∴2S =2× CE×BE=CE×BE，
△BEC 2
∴CE·BE=S ，
四边形ABCD
故③正确；
故选：C．
【变式8-1】（23-24八年级·云南昭通·期末）如图，C，F为线段BE上两点，AB∥DE，∠1=∠2，
EF=BC．求证：AF=DC．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先由AB∥DE证明∠B=∠E，再证EC=BF，即可证明
△AFB ≌△DCE(ASA)，由此可得AF=DC．
【详解】证明：∵ AB∥DE，
∴ ∠B=∠E，
∵ EF=BC，
∴ EF+FC=BC+FC，即EC=BF，
在△AFB和△DCE中，
{∠1=∠2
)
BF=EC ，
∠B=∠E
∴ △AFB ≌△DCE(ASA)，
∴ AF=DC．【变式8-2】（23-24八年级·辽宁阜新·期末）如图，AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F，AB与DE交于
点O，且EC=BF，∠OEB=∠OBE．求证：AE=BD．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先利用ASA证明△ACB≌△DFE(ASA)得到AC=DF
，进而利用SAS证明△ACE≌△DFB，即可证明AE=DB．
【详解】证明：∵AC⊥CF，DF⊥CF，
∴∠ACB=∠DFE=90°．
∵EC=BF，
∴EC+EB=BF+EB，即CB=FE，
又∵∠OEB=∠OBE，即∠ABC=∠≝¿
∴△ACB≌△DFE(ASA)，
∴AC=DF，
在△ACE与△DFB中，
{
AC=DF
)
∠ACE=∠DFB ，
CE=FB
∴△ACE≌△DFB(SAS)，
∴AE=DB．
【变式8-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）在 △ABC中， ∠ABC和 ∠ACB的平分线BD、CE
相交于点 F．
(1)如图1，连接AF，求证：∠BFC−∠BAF=90°
(2)如图2，当∠A=60°时，若BE=4,CD=3，求BC的长．
【答案】(1)见解析(2)7
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质：
（1）在△BCF中，根据三角形内角和定理可得∠CBF+∠BCF=180°−∠BFC，再由角平分线的定义
可得∠ABC+∠ACB=2∠CBF+2∠BCF=360°−2∠BFC，从而得到2∠BAF=2∠BFC−180°，
即可解答；
（2）连接AF，在BC上截取BG=BE=4，连接FG，由（1）得：∠BFC−∠BAF=90°，从而得到
∠BFC=120°，∠DFC=∠BFE=60°，再证明△BEF≌△BGF，可得∠BFE=∠BFG=60°，从而
得到∠CFG=∠CFD，可证明△FCG≌△FCD，从而得到CG=CD=3，即可求解．
【详解】（1）证明：在△BCF中， ∠CBF+∠BCF=180°−∠BFC，
∵∠ABC和 ∠ACB的平分线BD、CE相交于点 F．
∴∠ABC=2∠CBF,∠ACB=2∠BCF，∠BAC=2∠BAF，
∴∠ABC+∠ACB=2∠CBF+2∠BCF=2(∠CBF+∠BCF)=360°−2∠BFC，
∴∠BAC=180°−(∠ABC+∠ACB)=180°−2(∠CBF+∠BCF)=2∠BFC−180°，
∴2∠BAF=2∠BFC−180°，
∴∠BFC−∠BAF=90°；
（2）解：如图，连接AF，在BC上截取BG=BE=4，连接FG，
由（1）得：∠BFC−∠BAF=90°，
∵∠BAC=60°，
1
∴∠BAF= ∠BAC=30°，
2
∴∠BFC=120°，
∴∠DFC=∠BFE=60°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵BF=BF，BG=BE，
∴△BEF≌△BGF(SAS)，
∴∠BFE=∠BFG=60°，∴∠CFG=∠BFC−∠BFG=60°，
∴∠CFG=∠CFD，
∵∠FCG=∠FCD,CF=CF，
∴△FCG≌△FCD(ASA)，
∴CG=CD=3，
∴BC=BG+CG=7．
【题型9 已知两角找任一角的对边，用AAS】
【例9】（23-24八年级·福建三明·期中）如图，在△ABC中，∠B=80°，将AB沿射线BC的方向平移至
A′B′，连接A A′，设A′B′与AC的交点为O．
(1)若B′为BC的中点，求证：△AOA′≌△COB′；
(2)若AC平分∠BA A′，求∠C的度数．
【答案】(1)见解析
(2)50°
【分析】本题主要考查几何变换，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握和理
解这些性质进行推理是解题的关键．
（1）根据平移性质得到A A'∥BB'，A A′=BB′，从而得到∠OA A′=∠C，再根据B′为BC的中点，得
到A A′=B′C，从而证明结论；
（2）根据AC平分∠BA A′，得到∠BAC=∠OA A′，从而证明∠BAC=∠C．再根据三角形内角和定理
以及∠B=80°，即可求解；
【详解】（1）解：∵A′B′由AB沿射线BC的方向平移所得，
∴A A′∥BB′，A A′=BB′，
∴∠OA A′=∠C，
∵B′为BC的中点，
∴BB′=B′C，
∴A A′=B′C．
在△AOA′和△COB′中{ ∠OA A′=∠C )
∠AOA′=∠COB′ ，
A A′=B′C
∴△AOA′≌△COB′ (AAS)；
（2）∵AC平分∠BA A′，
∴∠BAC=∠OA A′，
又∵∠OA A′=∠C，
∴∠BAC=∠C．
∵∠BAC+∠C+∠B=180°，∠B=80°，
∴∠C=(180°−80°)÷2=50°．
【变式9-1】（23-24·陕西西安·三模）如图，点B，F，C，E在一条直线上，点A，D在这条直线的两侧，
已知∠B=∠E，∠BAC=∠EDF，BF=CE．求证：AC∥FD．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键：先推出
BC=EF，由此证得△ABC≌△≝¿，得到∠ACB=∠EFD，即可推出AC∥FD．
【详解】证明：∵BF=CE，
∴BF+CF=CE+CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△≝¿中，
{∠BAC=∠EDF
)
∠B=∠E
BC=EF
∴△ABC≌△≝(AAS)，
∴∠ACB=∠EFD，
∴AC∥FD．【变式9-2】（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图，在Rt△ABC和Rt△≝¿中，点A、D、B、E在
同一直线上，∠C=∠F=90°，AD=BE，∠A=∠E．
(1)求证：Rt△ABC≌Rt△EDF；
(2)当∠CBA=65°时，求∠E的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)∠E=25°．
【分析】（1）由AD=BE可得AB=ED，利用AAS即可证明Rt△ABC≌Rt△EDF；
（2）∠C=90°，∠CBA=65°可得∠A=∠E=25°，即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD，
即AB=ED，
在Rt△ABC和Rt△EDF中，
{∠C=∠F=90°
)
∠A=∠E ，
AB=ED
∴Rt△ABC≌Rt△EDF(AAS)；
（2）解：∵∠C=90°，∠CBA=65°，
∴∠A=180°−90°−65°=25°，
∵Rt△ABC≌Rt△EDF
∴∠E=∠A=25°．
【变式9-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC>∠BAC．在
∠ABC内部作∠ABE=∠BAC，BE交AC于点D．将一个含有45°角的三角板FGH如图放置，使直角边
FH与BE重合，三角板FGH沿EB平移．(1)如图1，当三角板FGH的另一条直角边FG过点A时，试证明AF=BC；
(2)将三角板FGH沿EB平移至图2的位置，FG与AB交于点M，过点M作MN⊥AC，垂足为点N，试判
断线段MN，MF，BC之间的关系．
【答案】(1)见解析
(2)MN+MF=BC
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到AD=BD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
(2)过A作AP⊥FG于P，AQ⊥BE于Q，则四边形APFQ是矩形，根据矩形的性质得到AQ=PF，
AP∥FQ，根据平行线的性质得到∠PAM=∠ABF，得到MN=MP，由(1)知，AQ=BC，等量代换得
到PF=BC，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵∠ABE=∠BAC，
∴AD=BD，
在△ADF与△BDC中，
{∠AFD=∠C=90°
)
∠ADF=∠BDC ，
AD=BD
∴△ADF≌△BDC(AAS)，
∴AF=BC；
（2）MN+MF=BC.
理由：过A作AP⊥FG于P，AQ⊥BE于Q，
则四边形APFQ是长方形
AQ=PF，AP∥FQ，
∴∠PAM=∠ABF，∵∠ABE=∠BAC，
∴∠MAN=∠PAM，
∵MN⊥AC，
∴MN=MP，
由(1)知，AQ=BC，
∴PF=BC，
∵PF=FM+PM，
∴BC=FM+MN．
【点睛】本题考查了作图一平移变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性
质，正确地作出辅助线是解题的关键．
