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专题 12 平行四边形提优练习重难点分类训练（原卷版）
类型一 平行四边形中的基本图形
（一）出现角的平分线
【典例1】（2022秋•乳山市期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，且
∠ABE＝∠CDF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接CE，若CE平分∠DCB，CF＝3，DE＝5，求平行四边形ABCD的周长．
【变式训练】
1．（2023春•九江期末）在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD边于E，∠DCB的平分线交
AD边于F，若AB＝7，EF＝3，则BC的长为（ ）
A．11或17 B．11或12
C．12或17 D．11或12或17
2．（2023春•温州月考）如图，在 ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行▱四边形；
（2）若DE为∠ADC的角平分线，且AD＝6，EB＝4，求 ABCD的周长．
▱（二）出现边上的中点
【典例2】（2023•扬州）如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE相交
于点M，连接AG、CH相交于点N．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）若 AMCN的面积为4，求 ABCD的面积．
▱ ▱
【变式训练】
1．（2023•黄冈一模）如图，在 ABCD中，∠A＝70°，将 ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处
（点F、E都在AB所在的直线▱上），折痕为MN，则∠AM▱F等于（ ）
A．70° B．40° C．30° D．20°
2．（2021春•新罗区校级月考）已知，如图，在 ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE
的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、▱AG，∠1＝∠2．
（1）若CF＝2，AE＝3，求BE的长；
（2）证明：△EGC≌△DFC；
1
（3）求证：∠CEG= ∠AGE．
2类型二 求平行四边形的顶点坐标
【典例3】（2023春•东港市期末）如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（1，0），点B的坐标为
（4，0），点C在y的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C
为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为 ．
【变式训练】
1．（2021•商河县模拟）如图，已知平行四边形OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，点O是
坐标原点，则点B的横坐标为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
2．（2017春•雁塔区月考）平面直角坐标系中，已知 ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，
﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（ ）▱
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
类型三 平行四边形中的面积问题
【典例4】（2023春•都昌县期末）如图1，ABCD是平行四边形对角线AC，BD相交于点O，直线EF过
点O，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：AE＝CF．
（2）如图2，若ABCD是老张家的一块平行四边形田地．P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，
为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻．请你帮老张家设计一下．画出图形，并说明
理由？【变式训练】
1．（2020秋•荥阳市月考）在 ABCD中，AB＝3，BC＝4，当 ABCD的面积最大时，下列结论：①AC
＝5；②∠A+∠C＝180°；③▱AC⊥BD；④AC＝BD．其中正▱确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
2．（2023•崇安区一模）在面积为60的 ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点
F，若AB＝10，BC＝12，则CE+CF的▱值为（ ）
A．22+11❑√3 B．22﹣11❑√3
C．22+11❑√3或22﹣11❑√3 D．22+11❑√3或2+❑√3
3．（2022秋•北安市期末）如图， ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝5，P是对角线AC上任一点（点
P不与点A、C重合），且PE∥B▱C交AB于E，且PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积为（ ）
A．5❑√3 B．5 C．10 D．10❑√3
4．（2023•郯城期中）如图，E是平行四边形内任一点，若 S ABCD＝18，则图中阴影部分的面积是（
） ▱
A．6 B．8 C．9 D．10
5．（2023春•宣化区期中）如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于
▱
点E，连接AF与DE相交于点P，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）cm2
S =2cm2 S =8cm2
△APD △BQC
A．24 B．17 C．18 D．10
6．（2022秋•张店区期末）如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝
3BG，S ＝1.5，则S ＝ ▱ ．
BEPG AEPH
▱ ▱7．（2023•鼓楼区期中）在一块平行四边形的实验田里种四种不同的农作物，现将该实验田划成四个平行
四边形地块（如图），已知其中三块田的面积分别是10m2，15m2，30m2，则整个这块实验田的面积为
m2．
8．（2023春•泰兴市期末）如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE交于点P，
BF与CE交于点Q，若S△APD ＝20cm▱2，S△BQC ＝30cm2，则图中阴影部分的面积为 cm2．
9．（2023秋•青神县期中）已知平行四边形ABCD内有一点P，S△PAB ＝4，S△PBC ＝6，计算图中阴影部分
△PBD的面积（要求写出过程）．
类型四 平行四边形的最值问题
【典例5】（2022秋•扶风县期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，D是BC边上任意一点，
连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为 ．
【变式训练】
1．（2022春•宁海县期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝6，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，点F为BC上一点，点G为BE上一点，连接CG，FG，则CG+FG的最小值为 ．
2．（2022春•海陵区月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0）、B（0，﹣4），点P是y轴上
一动点，连接AP并延长至点D，使PD＝AP，以AB、AD为邻边作 ABCD，连接OC，当OC长最小
时，则点P的坐标是 ． ▱类型五 平行四边形中的动点问题
【典例6】（2022春•济南期中）如图，平行四边形 ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以
每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运
动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四
点组成平行四边形的次数有（ ）
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
【变式训练】
1．（2021春•西宁期末）如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG
以1cm/s的速度运动；点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当t为
s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
2．（2022春•海安市月考）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），
动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方
向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造 PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满
足PE＝AO，设点P运动时间为t秒． ▱
（1）当点C运动到线段OB中点时，t＝ ，点E的坐标为 ；
（2）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（3）当OC＝2时，求四边形ADEC的周长．3．（2021•南关区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝3，BC＝10，AD＝6．点P
从点B出发，沿射线BC方向以每秒4个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿AD以每秒1
个单位长度的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P、Q同时停止运动，设点Q的运动的时间为t
秒．
（1）CD的长为 ．
（2）求PC的长（用含t的代数式表示）．
（3）当以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
（4）直接写出△PCD是以CD为腰的等腰三角形时t的值．
类型六 平行四边形中的判定和性质的综合运用
【典例7】（2023春•榕城区期末）在 ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长
线与边AD交于点F，连接BF、DE▱如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．【变式训练】
1．（2023•六安模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D、E分别在AC边和AB边上，沿
着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF＝2，则BE的长为（ ）
3❑√2 7❑√2
A．6 B．5❑√2 C． D．
2 2
类型七 三角形中位线定理
【典例8】（2023春•桥西区期末）【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝
45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，
BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．【变式训练】
1．（2023春•鼓楼区期中）如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点．对“中位线定理”逆向
思考，可得以下3则命题：
1
Ⅰ．若D是AB的中点，DE= BC，则E是AC的中点；
2
1
Ⅱ．若DE∥BC，DE= BC，则D，E分别是AB，AC的中点；
2
Ⅲ．若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点．
（1）从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）从以上命题中选出一个真命题，并进行证明．
2．（2021•临淄区一模）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中
点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长是多少？
