文档内容
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河北省２０２３届高三年级质量监测考试
数 学
本试卷共４页，满分１５０分，考试用时１２０分钟。
注意事项：
１．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场／座位号、考生号填写在答题卡上。
２．回答选择题时，选出每小题答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
３．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
１．若（１－犻）２＝（１＋犻）狕，则狕珔在复平面内对应的点所在的象限为 （ ）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
狓＋１
２．设集合犝＝｛－１，０，１，２，３｝，犅＝｛狓∈犖｜ ≤０｝，则瓓犅＝ （ ）
狓－２ 犝
Ａ．｛－１，０，３｝ Ｂ．｛－１，０，２｝ Ｃ．｛－１，２，３｝ Ｄ．｛２，３｝
３．已知向量犪＝（４，－３），犫＝（－５，１２），则犪·犫＋｜犫｜等于 （ ）
Ａ．５２ Ｂ．－４３ Ｃ．－１０ Ｄ．７６
４．风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已２０００多
年．因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞
场面壮观，气势磅礴而广受喜爱．某团队耗时３个多月做出一长
达１８０米、重约２０公斤，“龙身”共有１４０节“鳞片”的巨龙风筝．制
作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用
的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作．则
所有鳞片中竹质鳞片个数为 （ ）
Ａ．１２０ Ｂ．１２４ Ｃ．１２８ Ｄ．１３０
５．右图直角梯形犃犅犆犇中，犃犇／／犅犆，且犅犆＝２犃犅＝２犃犇＝２，以犃犅为轴旋转一周，形成的几
何体中截一正四棱台的最大体积为 （ ）
７ １４ A D
Ａ． Ｂ．
３ ３
２８
Ｃ．７ Ｄ．
３ B C
６．下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是 （ ）
７．由空间一点犗出发不共面的三条射线犗犃，犗犅，犗犆及相邻两射线所在平面构成的几何图形
【高三年级质量监测考试·数学 第１页（共４页）】
书书书叫三面角，记为犗－犃犅犆．其中犗叫做三面角的顶点，面犃犗犅，犅犗犆，犆犗犃叫做三面角的面，
∠犃犗犅，∠犅犗犆，∠犃犗犆叫做三面角的三个面角，分别记为α，
β
，γ，二面角犃－犗犅－犆、犅－
犗犃－犆、犃－犗犆－犅叫做三面角的二面角，设二面角犃－犗犆－犅的平面角大小为狓，则一定
成立的是 （ ）
ｃｏｓα－ｃｏｓβｃｏｓγ ｃｏｓα＋ｃｏｓβｃｏｓγ
Ａ．ｃｏｓ狓＝ Ｂ．ｃｏｓ狓＝
ｓｉｎβｓｉｎγ ｓｉｎβｓｉｎγ
ｓｉｎα－ｓｉｎβｓｉｎγ ｓｉｎα＋ｓｉｎβｓｉｎγ
Ｃ．ｃｏｓ狓＝ Ｄ．ｃｏｓ狓＝
ｃｏｓβｃｏｓγ ｃｏｓβｃｏｓγ
８．已知函数犳（狓）＝犲狓－犪－ｌｎ狓－犪有两个零点，则犪的取值范围为 （ ）
Ａ．（１，＋∞） Ｂ．（犲，＋∞） Ｃ．［１，＋∞） Ｄ．［犲，＋∞）
二、不定项选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得５分，有选错的得０分，部分选对的得２分。
９．下列大小关系正确的是 （ ）
２
Ａ． ＜ｌｎ２ Ｂ．２２．２＜２．２２
ｌｎ２
Ｃ．３．３２＞２３．３ Ｄ．３．３４＜４３．３
１０．已知抛物线犆：狔２＝４狓的焦点为犉，直线狔＝犽（狓－１）（犽∈犚且犽≠０）交犆与犃、犅两点，直
线犗犃、犗犅分别与犆的准线交于犕、犖两点，（犗为坐标原点），下列选项错误的有 （ ）
→ → → → → → → →
Ａ．犽∈犚且犽≠０，犗犕·犗犃＝犗犖·犗犅 Ｂ．犽∈犚且犽≠０，犗犕·犗犖＝犗犃·犗犅
→ → → → → →
Ｃ．犽∈犚且犽≠０，犗犕·犗犖＝犗犉２ Ｄ．犽∈犚且犽≠０，犗犕·犗犖＝犗犉２
１ １
１１．函数犳（狓）＝ ＋ ，则 （ ）
｜ｓｉｎ狓｜ ｜ｃｏｓ狓｜
Ａ．犳（狓）的最小正周期为２π Ｂ．犳（狓－π）为偶函数
π
Ｃ．犳（狓）的最小值为２槡２ Ｄ．犳（狓）在区间（０， ）单调递增
２
１２．已知函数犳（狓）＝（犲狓＋１）狓－犪（犲狓－１），则 （ ）
Ａ．犪＞０时，犳（狓）＞０
Ｂ．犪≤２时，犳（狓）单调递增
Ｃ．犪＞２时，犳（狓）有两个极值点
Ｄ．若犳（狓）＝０有三个不等实根狓、狓、狓，则狓＋狓＋狓＝０
１ ２ ３ １ ２ ３
三、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。
１３．９８１０除以１０００的余数是 ．
狓２ 狔２
１４．双曲线犆： － ＝１（犪＞０，犫＞０）的左焦点为犉，右顶点为犃，过犃且垂直于狓轴的直线交
犪２ 犫２
犆的渐近线于点犘，犘犗恰为△犘犉犃的角平分线，则犆的离心率为 ．
１５．土壤修复是使遭受污染的土壤恢复正常功能的技术措施．中国现有耕地有近１／５受到不同
程度的污染，但随着新发展理念深入贯彻落实，国家对环境保护工作越来越重视．２０２１年我
国正式启动（含已招标项目，不含未招标、流标项目）的土壤修复工程项目共５１０个，合同总
金额为１２１．５６亿元，覆盖全国除西藏、港、澳、台的３０个省（区、市）．如图为２０２１年３０个
省区市土壤修复工程类项目数量的前十名，则这３０个省（区、市）土壤修复工程类项目数据
的第８０分位数是 ，若图中未列出的其它２０个省（区、市）土壤修复工程类项
目数量的方差为４４．７，则这３０个省（区、市）土壤修复工程类项目数据的总体方差为
．
【高三年级质量监测考试·数学 第２页（共４页）】第１５题图 第１６题图
１６．将数据２０，２１，２２，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个２狀－１，第二行两个２狀－２，…，最下面
一行有狀个２０，狀∈犖）则数阵中所有数据的和为 ．
四、解答题：本题共６小题，共７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
１７．（１０分）在△犃犅犆中，角犃、犅、犆所对的边长分别为犪、犫、犮，且２犪ｃｏｓ犆－槡３犫ｃｏｓ犆＝槡３犮ｃｏｓ犅．
（１）求犆的值．
（２）若△犃犅犆的面积为１，求△犃犅犆的周长的最小值．
１８．（１２分）如图，圆柱犗′犗 的轴截面犃犅犆犇 是边长为４的正方形，犈犉为圆犗 的直径，
∠犇犗犉＝６０°．
（１）求点犃到面犅犇犉的距离；
（２）求平面犃犈犉与平面犅犈犉夹角的余弦值．
１９．（１２分）已知数列｛犪｝各项都不为０，犪＝２，犪＝４，｛犪｝的前狀项和为犛，且满足犪犪 ＝４犛．
狀 １ ２ 狀 狀 狀狀＋１ 狀
（１）求｛犪｝的通项公式；
狀
｛犫＋２狀＋１｝
（２）若犫＝犪犆１＋犪犆２＋犪犆３＋…＋犪 犆狀－１＋犪犆狀，求数列 狀 的前狀项和犜 ．
狀 １ 狀 ２ 狀 ３ 狀 狀－１ 狀 狀 狀 犫·犫 狀
狀 狀＋１
【高三年级质量监测考试·数学 第３页（共４页）】２０．（１２分）数据中心是全球协作的特 定设备网络，用于在网络上处理、存储和传递数据信息．由
于数据中心对 算力的要求很高，在高速运转时往往会产生巨大的热量．如果不对设备进 行散
热，会对设备的正常运作造成不可忽视的影响．氟化液是最为适合浸没式液冷系统的电子设
备冷却液．由于氟化液技术壁垒较高，此前高性能电子氟化液长期被国外垄断．２０２０年巨化
集团技术中心成功开发出高性能巨芯冷却液，填补了国内高性能大数据中心专用冷却液的
空白．一工厂生产某型号的氯化液其抗张强度≥１００Ｍｐａ为合格品，否则为不合格品．该厂
有新旧两套生产设备同时生产，按两设备生产量分层抽样进行检测，其中新设备和旧设备
生产的产品中分别抽取了１２桶和８桶，测得每桶抗张强度值（单位：Ｍｐａ）如下表所示：
甲 １０２．１１０１．０１００．８１０３．６１０７．６ ９９．９ １００．２１００．９１０５．７ ９８．８ １０３．２１０４．１
乙 １０３．３１０２．６１０７．１ ９９．５ １０２．８１０３．６ ９９．５ １０２．３
（１）根据抽检结果请完成下面的２×２列联表，试根据小概率值α＝０．１０的独立性检验，分
析新设备是否比旧设备好
合格（桶） 不合格（桶） 合计
新设备
旧设备
合计
（２）从旧设备产品抽得的样本中随机抽取３桶，求抽到的不合格桶数犡的分布列和数学期望；
（３）从该厂所有产品中任取一桶，用抽检频率估计概率，求抽到的一桶不合格的概率．
狀（犪犱－犫犮）２
参考公式： χ ２＝ （犪＋犫）（犮＋犱）（犪＋犮）（犫＋犱） ， α ０．１５ ０．１０ ０．０５ ０．０２５
狓 ２．０７２ ２．７０６ ３．８４１ ５．０２４
其中狀＝犪＋犫＋犮＋犱． α
狓２ 狔２
２１．（１２分）已知双曲线犆： － ＝１（犪＞０，犫＞０）的左焦点为犉（－２，０），其一渐近线的倾斜角
犪２ 犫２
π
为 ，过双曲线犆右焦点的直线犾与犆交于犕、犖两点．
６
（１）求双曲线犆的方程．
３
（２）已知点犃（－１，０），点犅（ ，０），直线犅犕、犅犖与狔轴分别交于点犘、犙，若四边形犃犘犅犙
２
存在外接圆，求直线犾的方程．
犲
２２．（１２分）若函数犳（狓）＝（狓－犪）犲狓，犵（狓）＝ ．
狓
（１）求函数犉（狓）＝ｌｎ狓·犵（狓）在（１，０）处的切线方程；
３
（２）当犪＝ 时，讨论函数犌（狓）＝犳（狓）－狋犵（狓）零点个数（狋∈犚）；
２
（３）当犪＝１时，证明：犳（狓）≥ｌｎ狓·犵（狓）．
【高三年级质量监测考试·数学 第４页（共４页）】
