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湖北省部分重点中学高三年级 10 月联考数学试卷
命题学校：恩施高中
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题 .若命题 为假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数 在 的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
5.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代
间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感
染病例数 随时间 （单位：天）的变化规律，指数增长率 与 近似满足 .有学者基于已
有数据估计出 .据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为
（ ）
A. 1.8天 B. 2.4天 C. 3.0天 D. 3.6天
6.设函数 ，若对任意 ，都存在 ，使得
，则实数 的最大值为（ ）A.2 B. C. D.4
7.如图，已知 是半径为1，圆心角为 的扇形， 是扇形弧上的动点， 是扇形的内接矩形，记
，矩形 的面积最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知 满足 ，若在区间 内，关于 的方程 有4
个根，则实数 的取值范围是（ ）
A. 或 B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对
的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知 且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
10.函数 的图象关于 对称，且 ，则（ ）A. B. C. D.
11.设函数 定义域为 为奇函数， 为偶函数，当 时， ，则下
列结论正确的是（ ）
A. B. 为奇函数
C. 在 上为减函数 D.方程 恰有6个实数解
12.已知函数 ，若 ，且 ，则
（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小題，每小题5分，共20分.
13.已知 ，则 _______.
14.函数 在 的单调递增区间是________.
15.已知偶函数 定义域为 ，其导函数是 .当 时，有
，则关于 的不等式 的解集为________.
16.函数 ，已知 ，且对于任意的 都有
，若 在 上单调，则 的最大值为_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
17.（本题满分10分）设集合 .
（1）若 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
18.（本題满分12分）
党的十九大以来，恩施州深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化对接帮扶，州委州政府派恩施高中到杨家
庄村去考察和指导工作.该村较为䏌困的有200户农民，且都从事农业种植，据了解，平均每户的年收入为
0.3万元.为了调整产业结构，恩施高中和杨家庄村委会决定动员部分农民从事白茶加工，据估计，若能动员
户农民从事白杀加工，则㔞下的继续从事农业种植的农民平均每户的年收入有望提高 ，而从事
白杀加工的农民平均每户收入将为 万元.
（1）若动员 户农民从事白茶加工后，要使从事农业种植的农民的总年收入不低于动员前从事农业种植的农
民的总年收入，求 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事白杀加工的农民的总收入始终不高于从事农业种植的农民
的总收入，求 的最大值.
19.（本题满分12分）
已知函数 .
（1）求 及其对称中心；
（2）若函数 在区间 上的最大值为2，求 的值.
20.（本题满分12分）
已知 为自然对数的底数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个不同零点 ，求证： .
21.（本题满分12分）
已知 中， 是角 所对的边， ，且 .
（1）求 ；（2）若 ，在 的边 上分别取 两点，使 沿线段 折叠到平面 后，
顶点 正好落在边 （设为点 ）上，求此情况下 的最小值.
22.（本题满分12分）
已知函数 ，其中 .（ 为自然对数的底数）
（1）讨论 的极值点的个数；
（2）当 时，证明： .湖北省部分重点中学高三年级 10 月联考数学学科
（参考答案）
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C B D B A A
二、选择题：
题号 9 10 11 12
答案 BC ABD ABD BCD
三、填空题：
13. 14. ；（注： 也正确） 15. 16. 5
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
17.【详解】
（1）由题意得 ，
因为 ，所以 ，
则 .
（2）因为 ，所以 .
①当 时，由题意得 ，解得 ；
②当 时，由题意得 ，
解得 .
综上， 的取值范围为 .
18.【详解】
（1）动员 户农民从事白茶加工后，要使从事农业种植的农民的总年收入不低于动员前从事农业种植的农民
的总年收入.则 ，解得 .
（2）由于从事白茶加工的农民的总收入始终不高于从事农业种植的农民的总收入，则
，
化简得 .
由于 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，所以 的最大值为11.
19.【详解】
（1）
.
对称中心为 ， .
（2） ，
令 ，则 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ .
①当 时，即 时， .
令 ，解得 （舍）.
②当 时，即 时，，令 ，解得 或 （舍）.
③当 时，即 时，在 处 ，
由 ，得 .因此 或6.
20.【详解】
（1）解： ，
， ； ， ，
当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数；
当 ， 在 上是减函数，在 上是增函数.
（2）方法一：
证明： 有两个不同零点 ， ，则 ， ，
因此 ，即 .
要证 ，只要证明 ，即证 ，
不妨设 ，记 ，则 ， ，因此只要证明 ，即 .
记 ， ，令 ，则 ，
当 时， ，所以函数 在 上递增，则 ，
即 ，则 在 上单调递增，
∴ ，
即 成立，∴ .
方法二：本题可用对数平均不等式或者指数平均不等式证明，但需证明所用不等式，阅卷时可酌情给分.
21.【详解】（1）解：因为 ，
所以由正弦定理边角互化得 ，
因为 ， ， ，所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，即 .
（2）解：因为 ， ，所以 为等边三角形，即 ，
如图，设 ，则 ， ，
所以在 中，由余弦定理得
，
整理得 ，设 ， ，
所以 ，
由于 ，故 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 .方法二：本题其他方法，阅卷时可酌情给分.
22.【详解】
（1）方法1：由题意知，函数 的定义域为 ，
，
设 ， ，显然函数 在 上单调递增， 与 同号，
①当 时， ， ，
所以函数 在 内有一个零点，所以函数 在 上有且仅有一个极值点；
②当 时， ， ，
所以函数 有且仅有一个零点，所以函数 在 上有且仅有一个极值点；
③当 时， ， ，因为 ，
所以 ， ，又 ，
所以函数 在 内有一个零点，
所以函数 在 上有且仅有一个极值点；
综上所述，函数 在 上有且仅有一个极值点.
（1）方法2：（因教材给出了用极限判断正负，） ， ，
当 ， ； ， ， ，进而判断对应单调性，所以函数 在 上有且仅有一个极值点.（若有此解法，阅卷时酌情给分）
（2）由（1）知，当 时，函数 在 上有且仅有一个极值点，也是最小值点，
设 ， ，则函数 的最小值为 ，
由 可得 ，即 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
设 ，则 ， ，
对于函数 ， ，
设 ， ，则 恒成立，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
