文档内容
专题07 碰撞模型及其拓展
目录
1．碰撞问题遵循的三条原则....................................................................................................................................1
2．两种碰撞模型的特点............................................................................................................................................1
3．碰撞模型拓展........................................................................................................................................................2
(1)“保守型”碰撞拓展模型................................................................................................................................2
(2)“耗散型”碰撞拓展模型................................................................................................................................2
1．碰撞问题遵循的三条原则
2．两种碰撞模型的特点
(1)弹性碰撞
两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒定律和机械能守恒定律。
以质量为m、速度为v 的小球与质量为m 的静止小球发生弹性正碰为例，有
1 1 2
mv＝mv′＋mv′
1 1 1 1 2 2
mv2＝mv′2＋mv′2
1 1 1 1 2 2
解得v′＝，v′＝。
1 2
结论：
①当m＝m 时，v′＝0，v′＝v，两球碰撞后交换了速度。
1 2 1 2 1
②当m＞m 时，v′>0，v′>0，碰撞后两球都沿速度v 的方向运动。
1 2 1 2 1
③当m＜m 时，v′<0，v′>0，碰撞后质量小的球被反弹回来。
1 2 1 2
④当m m 时，v′＝v，v′＝2v。
1 2 1 1 2 1
≫
(2)完全非弹性碰撞
动量守恒，末速度相同，m
1
v
1
＋m
2
v
2
＝(m
1
＋m
2
)v共 ，机械能损失最多，机械能的损失 ΔE＝m
1
v
1
2＋m
2
v
2
2－
(m
1
＋m
2
)v共 2。3．碰撞模型拓展
(1)“保守型”碰撞拓展模型
图例(水平面光滑)
小球－弹簧模型 小球－曲面模型 小球－小球模型
相当于完全非弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv＝(m＋M)v
0
达到共速
，损失的动能最大，分别转化为弹性势能、重力势能或电势能
共
相当于弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv＝mv＋Mv，机械
0 1 2
再次分离
能守恒，满足mv2＝mv2＋Mv2
0 1 2
(2)“耗散型”碰撞拓展模型
图例(水平面或
水平导轨光滑)
相当于完全非弹性碰撞，动量满足mv
0
＝(m＋M)v共 ，损失的动能最大，
达到共速
分别转化为内能或电能
【模型演练1】(2022·全国乙卷·25)如图(a)，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上；
物块B向A运动，t＝0时与弹簧接触，到t＝2t 时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的v－t图像如图
0
(b)所示。已知从t＝0到t＝t 时间内，物块A运动的距离为0.36vt。A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后
0 00
滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾
角为θ(sin θ＝0.6)，与水平面平滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求
(1)第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
(2)第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
(3)物块A与斜面间的动摩擦因数。
【题后总结】【模型演练2】（2023上·四川成都·高三统考期中）如图，质量为 、半径 的 圆弧形凹
槽N放在光滑水平面上，质量为 、初速度 的小球P从凹槽底端水平滑入。已知小球从滑
入凹槽到分离过程中因两者的摩擦而产生的热量 ，重力加速度 。
在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球和凹槽组成的系统因合外力不做功而机械能守恒
B．小球和凹槽组成的系统因水平方向合外力为零而水平方向动量守恒
C．小球能从凹槽顶端冲出并继续上升的最大高度为0.125m
D．小球与凹槽分离后并以 的速度向右做平抛运动
【总结提升】【模型演练3】（2024上·全国·高三专题练习）在光滑水平面上，A、B两个物体在同一直线上沿同一方向
运动，A的动量为18kg∙m/s，B的动量为 。A从后面追上B，它们相互作用一段时间后，B的动
量增大为 ，方向不变。下列说法正确的是（ ）
A．若此过程为弹性碰撞，则两物体的质量之比为
B．若此过程为非弹性碰撞，则两物体的质量之比可能为
C．若此过程为弹性碰撞，则两物体的质量之比为
D．若此过程为非弹性碰撞，则两物体的质量之比可能为
【模型演练4】(2023·广东省高三三模)如图所示，在光滑的水平面上有一质量M＝4 kg的平板车，小车右
端固定一竖直挡板，挡板的质量不计，一轻质弹簧右端固定在挡板上，在平板车左端 P处有一可以视为质
点的小滑块，其质量m＝2 kg。平板车上表面Q点的左侧粗糙，右侧光滑，PQ间的距离L＝10 m。某时刻
平板车以v ＝1 m/s的速度向左滑行，同时小滑块以v ＝8 m/s的速度向右滑行。一段时间后，小滑块与平
1 2
板车达到相对静止，此时小滑块与Q点相距d＝5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)小滑块与平板车相对静止时的速度v；
(2)小滑块与平板车之间的动摩擦因数μ；
(3)弹簧可能获得的最大弹性势能E。
p
【提炼总结】1．木板在光滑地面上滑动时，滑块和木板组成的系统满足动量守恒。
2．滑块不从木板上掉下的条件是两者达到共同速度，恰好不掉下的临界条件是滑块到达木板末端时两者
共速。
3．应注意区分滑块、木板各自的相对地面位移和它们的相对位移，用运动学公式或动能定理列式时位移
指相对地面位移；求系统摩擦生热时用相对位移(或相对路程)，即Q＝F·Δs(Δs为相对位移)。
f
1．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）如图所示，左端连接着轻质弹簧、质量为 的小球B静止在光滑水平地面上，质量为 的小球A以大小为 的初速度向右做匀速直线运动，接着逐渐压缩弹簧并使
小球B运动，一段时间后，小球A与弹簧分离，若小球A、B与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧
始终处于弹性限度内，则在上述过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球B的最大速度为
B．弹簧的最大弹性势能为
C．两小球的速度大小可能同时都为
D．从小球A接触弹簧到弹簧再次恢复原长时，弹簧对小球A、B的冲量相同
2．（2023上·广东佛山·高三统考阶段练习）光滑水平轨道与半径为R的光滑半圆形轨道在B处平滑连接，
质量为 的小球2静止在B处，质量为 的小球1以初速度 向右运动，当小球1与小球2发生弹性碰撞
后，小球2将沿光滑半圆形轨道上升，运动过程中未脱离半圆形轨道。已知当地重力加速度为g，
， ，不考虑多次碰撞的情况，则k不可能取到的数值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2023上·山东济南·高三山东省实验中学校考期中）如图所示，在光滑水平面上，质量为m的小球A
和质量为 的小球B通过轻弹簧相连并处于静止状态，弹簧处于自然伸长状态；质量为m的小球C以初
速度 沿AB连线向右匀速运动，并与小球A发生弹性碰撞。在小球B的右侧某位置固定一块弹性挡板
（图中未画出），当小球B与挡板发生正碰后立刻将挡板撤走。不计所有碰撞过程中的机械能损失，弹簧
始终处于弹性限度内，小球B与挡板的碰撞时间极短，碰后小球B的速度大小不变，但方向相反。则B与挡板碰后弹簧弹性势能的最大值可能是（ ）
A． B． C． D．
4.（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高三校考阶段练习）矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起，将其放
在光滑水平面上，如图所示，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块，若子弹击中上层，子弹刚好不穿出；
若子弹击中下层，则子弹整个刚好嵌入，由此可知（ ）
A．子弹射中上层时对滑块做功多 B．两次子弹对滑块做的功一样多
C．子弹射中上层系统产生热量多 D．子弹与上层之间的摩擦力较大
5.（2023上·北京东城·高三东直门中学校考阶段练习）如图甲，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静
止在光潜水平面上。物块B向A运动， 时与弹簧接触，到 时与弹簧分离，第一次碰撞结束，
A、B的 图像如图乙所示。A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再
次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为 （ ），与水平面光滑
连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
A．从 到 时间内，A的位移为
B．A、B两物体的质量比为
C．碰撞过程弹簧弹性势能的最大值为
D．A与斜面间动摩擦因数为0.25
6．（多选）（2023·河北唐山·统考二模）如图所示，在光滑的水平面上，有一质量为m的木板A，通过不
可伸长的轻绳与质量2m的足够长的木板B连接。质量为m可看成质点的物块C静止在木板B右端。开始时，A、B、C均静止，绳未拉紧。现在使木板A以 的速度向右运动，经过一段时间后系统达到稳定状态。
绳子拉直绷紧后瞬间，A、B同速，在绳子绷紧后瞬间，下列说法中正确的是（ ）
A．木板A的速度大小为 B．木板B的速度大小为
C．物块C的速度大小为0 D．木板A、B、C共速
7.（多选）（2023上·河北邯郸·高三统考期中）一质量为 的小球A以初速度 与正前方另一小球B发生
碰撞，碰撞过程A、B两球的 图像如图所示。已知地面光滑，则下列说法正确的是（ ）
A．图线P反映的是碰撞过程中A球的 图像
B．B球的质量可表示为
C．一定存在
D．碰撞过程中A、B两球的最大弹性势能为
8.(多选)(2023·河北省部分高中第三次模拟)物体间发生碰撞时，因材料性质不同，机械能会有不同程度的损
失，可用碰撞后二者相对速度的大小与碰撞发生前二者相对速度的大小的比值描述，称之为碰撞恢复系数，
用符号ε表示。现有一质量为m＝3 kg的物块A在光滑水平面上以速度v＝5 m/s向右运动，与静止的质量
1 0
为m＝2 kg的物块B发生正碰。关于A与B之间的碰撞，以下说法正确的是( )
2
A．若ε＝1，则表明A与B的碰撞为弹性碰撞
B．若ε＝0，则表明碰撞结束后A与B均停止运动
C．若ε＝0.6，则碰撞结束后物块B的速度大小为4.8 m/s
D．若ε＝0.5，则碰撞过程中系统机械能损失了50%9.（2023上·湖北·高三统考阶段练习）如图所示，倾角为 、足够长的粗糙斜面体固定在水平地面上，物
块B恰好静止在距斜面顶端 处，将另一物块A从斜面顶端由静止释放，之后物块A与物块B发生
弹性碰撞（碰撞时间极短）。已知物块A、B的质量分别为 ，物块A与斜面间的动摩擦
因数 ，两物块均可视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小
。求：
（1）第一次碰撞后物块B的速度大小 ；
（2）两物块从第一次碰撞到第二次碰撞经历的时间t。
10.（2023上·云南·高三云南省下关第一中学校联考阶段练习）如图甲所示，“打弹珠”是一种常见的民间
游戏，该游戏的规则为：将手中一弹珠以一定的初速度瞬间弹出后与一静止的弹珠发生碰撞，被碰弹珠进
入小坑中即为胜出。现将此游戏进行简化，如图乙所示，弹珠A和B与坑在同一直线上。将质量为m=5g
1
的弹珠A以 的水平初速度向前弹出，运动 后与质量为m=4g的弹珠B发生弹性正碰（碰撞时
2
间极短），碰后弹珠B经 入坑，入坑时速度恰好为零。已知弹珠与地面间的摩擦力均是其重力的0.2
倍，g取10m/s2，忽略空气阻力，弹珠均可看成质点。求：
（1）弹珠B与坑的间距 有多远?
（2）弹珠A的初速度 的大小。11.（2023上·河南南阳·高三西峡县第一高级中学校考阶段练习）如图所示，无限长的光滑绝缘水平轨道与
半径为R的竖直光滑绝缘半圆轨道在B点平滑连接，距离B点为 的A点处放置有质量为m的物块P，
某时刻它在 的水平向右的恒定拉力作用下向B点运动，并与B点放置的形状、大小和质量都完全
相同的物块Q发生弹性正碰，碰撞瞬间F消失。整个过程不考虑空气阻力且均可看作质点，重力加速度为
g。求：
（1）物块Q运动到距离地面高为 的C点时对半圆轨道的压力大小；
（2）若在物块Q从半圆轨道顶端抛出瞬间，对其施加大小 的外力，方向竖直向上，经历
的时间后撤去外力，求物块Q的落点到B点的距离。
12．（2023上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，滑块A（可视为质点）与物块B
（右侧为 光滑圆弧面）叠放静止置于光滑的水平面上，滑块A质量m =2kg，物块B质量m =4kg，滑块
A B
C质量为m =3kg，滑块C以v=7m/s的速度向右运动与B发生弹性正碰（作用时间极短），重力加速度大
C 0
小g取10m/s2。求：
（1）B、C碰后瞬间B、C速度的大小；
（2）物块A上升的最大高度。
13.（2023·广东佛山·统考模拟预测）有种桌游可用圆柱形旗子为道具，使之在圆形棋盘上滑动，既可以让
棋子刚好滑到圆心O，也可以将别的棋子撞击出圆形边界。如图所示，圆心O、棋子A、棋子B在同一直
线上，OA、QB间距均为L，棋子B与边界的距离为2L，已知质量相同的棋子A、B可看作质点，与棋盘
间的动摩擦因数均相同。当A以速度v向O点运动时，恰好可到达O点。
（1）求棋子与地面间的动摩擦因数；（2）若让棋子A以速度2v向棋子B运动，A与B发生弹性对心碰撞，判断A能否将B撞出界。
14．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）某校师生对碰撞的特性进行了相关的探索和研究。如图所示，
光滑水平面上，质量为5m的小物体A以1.2v的速度向右运动，在其运动正前方有一个质量为m的物体B
处于静止状态。随后，A和B发生弹性碰撞，求：
（1）碰后物体A的动量大小 ；
（2）碰撞过程中，物体B对A物体的冲量I；
（3）若B的左侧连有一个处于原长状态的轻弹簧，如图所示。物体A仍然相同速度1.2v向右运动，则弹
簧弹性势能的最大值 。
15．（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）如图所示，足够长的固定斜面上放置一长条形木盒，斜面
的倾角为 。现将一可看作质点的光滑小球置于木盒中的某点，并且和木盒同时由静止开始释放，小球
刚释放时与木盒下端的距离为 ，已知木盒的质量 ，小球的质量 ，取 ，
， ，木盒与斜面间的动摩擦因数为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且小球和
木盒底端的碰撞为弹性碰撞。
（1）求小球和木盒从释放后到发生第一次碰撞所需的时间。
（2）求小球和木盒第一次至第二次碰撞期间小球与木盒底端的最大距离。
（3）求从开始释放至小球和木盒第二次碰撞系统损失的机械能。16.（2023·浙江宁波·校考模拟预测）如图所示，在足够长的光滑水平地面MN上固定一光滑的竖直半圆形
轨道NP，NP的半径为 ，N点处切线水平且与地面平滑连接。质量 的物块A与轻弹簧一
端连接，以速度 沿水平地面向右运动，物块B静止，在物块A运动的前方。与物块A连接的轻弹
簧从接触B到弹簧被压缩到最短的过程中，物块B运动的距离为0.15m，经历的时间为 。在此后的
运动中，B与弹簧分离后，滑上轨道NP，沿NP运动时恰能经过最高点P。物块A、B均可视为质点，弹
簧始终处于弹性限度内，重力加速度为 。求：
（1）物块B在N点的速度大小；
（2）物块B的质量；
（3）弹簧的最大压缩量。
17．（2024上·辽宁抚顺·高三校联考期末）如图所示，在足够大的光滑水平地面上，静置一质量为 的
滑块，滑块右侧面的 圆弧形槽 的半径为 点切线水平，离地面的距离为 。质量为 、可视为质
点的小球以一定的水平速度从 点冲上滑块，恰好能到达 点，重力加速度大小为 ，不计空气阻力，求：
（1）滑块的最大速度 ；
（2）小球离开滑块时受到的支持力大小 ；
（3）小球落地时到滑块上 点的距离 。
18．（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）如图所示，光滑水平面上静置一个质量M＝3 kg的滑块，滑块的一侧是一个 圆弧形槽，凹槽半径R＝0.6 m，E点切线水平．一个质量m＝1 kg的小球以速度v＝8
0
m/s从E点冲上滑块，从与圆心等高的F点脱离滑块．g取10 m/s2，不计一切摩擦．求：
（1）小球脱离滑块时，滑块的速度大小；
（2）小球脱离滑块后在空中运动的时间；
（3）小球全程对滑块做功的大小．
19．（2023上·重庆·高三重庆市育才中学校联考阶段练习）如图所示，长木板C静置在粗糙水平地面上，
小物块B（视为质点）静置在长木板上表面的最左端。用长为 、不可伸长的轻绳将小球A悬挂在
O点，初始时轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放，下摆至最低点刚好与物块B发生弹性碰撞，物
块B恰好没有滑离长木板C。BC间的动摩擦因数为 ，C与地面间的动摩擦因数为 ，A、
B、C的质量均为1kg，重力加速度为 ，忽略空气阻力。求：
（1）A与B碰撞前瞬间轻绳的拉力大小；
（2）长木板C的长度L。
20.(2023·湖南衡阳市二模)质量为3m的小车C静止于水平面上，小车上表面由水平轨道与半径为R的圆轨
道平滑连接组成。一个质量为m的小球B静止在小车的左端。用一根不可伸长、长度为L轻质细绳悬挂一
质量也为m的小球A，小球A静止时恰好和B接触，现将小球A向左拉到与悬点同一高度处(细绳处于伸
直状态)由静止释放，当小球A摆到最低点时与小球B刚好发生对心弹性碰撞，小球B水平冲上小车C恰
好可以滑到轨道的最高点(所有表面均光滑，A、B两小球半径r相等且r远小于L与R，B与C作用过程中
没有机械能损失)。(1)求小车C上的圆轨道半径R；
(2)若将悬点的位置提高至原来的4倍，使绳长变为4L，再次将小球A向左拉到与悬点等高处(细绳处于伸
直状态)由静止释放，小球A与小球B对心弹性相碰后，求小球B上升过程中距圆轨道最低点的最大高度；
(3)在(2)条件不变情况下，若小车C的质量为M(M与m的关系未知)，试通过计算说明小球B再次返回小车
左端时可能的速度。
