文档内容
第 01 讲 直线的方程
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：直线的倾斜角和斜率.........................................................................................................4
知识点2：直线的方程.........................................................................................................................5
题型一：倾斜角与斜率的计算............................................................................................................6
题型二：三点共线问题........................................................................................................................8
题型三：过定点的直线与线段相交问题..........................................................................................11
题型四：直线的方程..........................................................................................................................16
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题......................................................................................20
题型六：两直线的夹角问题..............................................................................................................27
题型七：直线过定点问题..................................................................................................................30
题型八：中点公式..............................................................................................................................32
题型九：轨迹方程..............................................................................................................................35
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................39
05课本典例·高考素材........................................................................................................................41
06易错分析·答题模板........................................................................................................................43
易错点：错误理解斜率与倾斜角间的关系......................................................................................43
答题模板：求斜率的取值范围..........................................................................................................44考点要求 考题统计 考情分析
高考对直线方程的考查比较稳定，考查
（1）直线的倾斜角与斜
2008年江苏卷第9题，5分 内容、频率、题型难度均变化不大，备考时
率
2006年上海卷第11题，4分 应熟练掌握直线的倾斜角与斜率、直线方程
（2）直线的方程
的求法等，特别要重视直线方程的求法.
复习目标：
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
（2）根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．知识点1：直线的倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角
若直线 与 轴相交，则以 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与 重合所成的角称为直线 的
倾斜角，通常用 表示
（1）若直线与 轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2、直线的斜率
设直线的倾斜角为 ，则 的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当 时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程
相联系）
（4） 越大，直线越陡峭
（5）倾斜角 与斜率 的关系
当 时，直线平行于轴或与轴重合；
当 时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随 的增大而增大；
当 时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随 的增大而增大；
3、过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点， ， 则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．（2）若 ，则直线 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4、三点共线．
两直线 的斜率相等→ 三点共线；反过来， 三点共线，则直线 的斜
率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
【诊断自测】过点 和点 的直线的倾斜角为 ，则 的值是 .
【答案】
【解析】 ， ，
，则 ，
解得 ．
故答案为： ．
知识点2：直线的方程
1、直线的截距
若直线 与坐标轴分别交于 ，则称 分别为直线 的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为
与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2、直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 不含垂直于 轴的直线
斜截式 不含垂直于 轴的直线
两点式 不含直线 和直线
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
3、求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到
两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再
利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）4、线段中点坐标公式
若点 的坐标分别为 且线段 的中点 的坐标为 ，则 ，此
公式为线段 的中点坐标公式．
5、两直线的夹角公式
若直线 与直线 的夹角为 ，则 .
【诊断自测】过点 引直线，使 ， 两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是
（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】设所求的直线为 ，则直线 平行于 或直线 过线段 的中点，
因为 ， ，所以 ，
所以过点 且与 平行的直线为： 即 ，
因为 ， ，所以线段 的中点为 ，
所以过点 与线段 的中点为 的直线的方程为： ，
即 ，
所以这条直线的方程是： 或 ，
故选： .
题型一：倾斜角与斜率的计算
【典例1-1】直线 的倾斜角为 .
【答案】
【解析】由题意可将原直线方程变形 ，则直线的斜率为 ，
由倾斜角的取值范围 ，所以倾斜角为 .
故答案为： .
【典例1-2】（2024·上海青浦·二模）已知直线 的倾斜角比直线 的倾斜角小 ，则 的斜
率为 ．
【答案】
【解析】由直线 方程： 得 的倾斜角为 ，
所以 的倾斜角为 ，即 的斜率为 .
故答案为： .
【方法技巧】
正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式 ，根据该公式求出经过两
点的直线斜率，当 时，直线的斜率不存在，倾斜角为 ，求斜率可用 ，其
中 为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段， 是其分界，遇
到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在 上的图像来认识．
【变式1-1】（2024·河南信阳·二模）已知直线 的倾斜角为 ，则 的值是 ．
【答案】
【解析】由直线 方程，得直线斜率 ，
所以 .
故答案为：
【变式1-2】若过点 ， 的直线的斜率等于1，则m的值为 ．
【答案】1
【解析】由已知可得 ，
过点 ， 的直线的斜率 ，
解得 ，
故答案为： .【变式1-3】若过点 ， 的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为直线 的斜率 ，
又因为直线 的倾斜角为锐角，
所以 ，解得 .
故答案为：
【变式1-4】（2024·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知直线 的一个方向向量为 ，则
直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：直线 的斜率 ，即直线 的倾斜角为 .
故选：A
题型二：三点共线问题
【典例2-1】若点 、 、 在同一直线上，则实数k的值为 ．
【答案】
【解析】因为三点 、 、 在同一直线上，
∴ 的斜率和 的斜率相等，
即 ，
∴ .
故答案为： ．
【典例2-2】若三点 ， ， (其中 )共线，则 .
【答案】【解析】由于 ， ， 三点共线且 、 ，
显然 、 的斜率存在，则 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故答案为：
【方法技巧】
斜率是反映直线相对于 轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线
上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
【变式2-1】若三点 共线，则 的值为 ．
【答案】
【解析】依题意有 ，即 ，解得 .
【变式2-2】数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂
心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知 的顶点分别为 ， ， ，则
的欧拉线方程为 .
【答案】
【解析】由题可知， 的重心为 ，
可得直线AB的斜率为 ，则AB边上高所在的直线斜率为 ，
则方程为 ，即 ，
直线AC的斜率为 ，则AC边上高所在的直线斜率为 ，
则方程为 ，即 ，
联立方程 ，解得 ，即 的垂心为 ，
则直线GH斜率为 ，则可得直线GH方程为 ，
故 的欧拉线方程为 .故答案为： .
【变式2-3】已知 ， ， 三点在同一条直线上，则实数 m 的值为 ．
【答案】
【解析】由题意易得A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此其中任意两点所确定的直线斜率都存
在，
设直线AB，BC的斜率分别为 ， ．
由斜率公式可得 ， ．
因为A，B，C三点在同一条直线上，则 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ．
故答案为： .
【变式2-4】已知 三点在同一条直线上，则实数 的值为 ．
【答案】5
【解析】根据题意可得： ，
即： ， ，
解得 或−2；
又当 时， 是同一个点，不满足题意，故舍去；
综上所述，实数 的值为： .
故答案为： .
题型三：过定点的直线与线段相交问题
【典例3-1】已知 ，若点 在线段AB上，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】设 ，则 ， ，点 是线段 上的任意一点，
的取值范围是 ， ，
故答案为： ，
【典例3-2】已知点 过点A的直线 与线段BC相交，则直线 的斜率 的取值范围
是 .
【答案】
【解析】
如图，要使过点A的直线 与线段BC相交，需使直线 的倾斜角介于直线 的倾斜角之间，
即需使斜率 满足 ，
因 ， ，故 .
故答案为： .
【方法技巧】
一般地，若已知 ，过 点作垂直于 轴的直线 ，过 点的任一直线 的
斜率为 ，则当 与线段 不相交时， 夹在 与 之间；当 与线段 相交时， 在 与 的两
边．
【变式3-1】已知点 ， ，直线 是过点 且与线段AB相交且斜率存在，则 的斜率
的取值范围是
【答案】【解析】因为 ， ， ，
所以 ， ．
直线 过点 且与线段 相交，如下图所示：
或 ，
直线 的斜率 的取值范围是： ．
故答案为： ．
【变式3-2】已知曲线 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数 ，
则函数在 上单调递增，在 上单调递减，函数图象如下所示：
当 时 ，即 ，当 时 ，则 ，
表示曲线上的点 与 连线的斜率，令 ，
又 ， ，
由图可得 或 ，
即 的取值范围为 .
故答案为：【变式3-3】已知直线 ，若直线 与连接 两点的线段总有公共点，
则直线 的倾斜角范围是 ．
【答案】
【解析】如下图，由题意，
直线方程 可化为 ，
由 解得 ，
则直线 过定点 ，
又 ，
则由直线 与连接 两点的线段总有公共点知:
直线 的斜率满足 或 ，
又当直线 的斜率存在时， ，
所以 或 ，
则直线 的倾斜角为 或 ，
又 也符合题意，
则直线 的倾斜角范围是 .
故答案为： .【变式3-4】一质点在矩形 内运动，从 的中点 沿一确定方向发射该质点，依次由线段 、
、 反射.反射点分别为 、 、 （入射角等于反射角），最后落在线段 上的 （不包括端点）.
若 、 、 和 ，则 的斜率的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意知： ， ，设 ，则线段 的斜率： ，
为使 点落在线段 上（不包括端点），所以得：当 落到点 ，点 时为相应的两种临界位置，
当 落到点 时：
由题意知： 点为AB的中点，且从 点出发又回到 点，所以可得：此时P 位于线段 的中点位置，
1
所以得此时 的斜率： ；
当 落到点 时：
点与 点重合，如下图所示，设 ，可得： ，且 ，
所以得： ， ， ，
所以得： ，解之得： ，
所以此时斜率： ，
综上所述：可得 的斜率范围为： ，即 .
故答案为： .【变式3-5】已知直线 和以 为端点的线段相交，则实数 的取值范围为
.
【答案】
【解析】直线 ，过定点 ，
则 ，
直线 和以 为端点的线段相交，
由图可知， 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
题型四：直线的方程
【典例4-1】已知ΔABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为 ，斜边上中线CE所在直线方
程为 ，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为 .
【答案】
【解析】因为中线CE所在直线方程为 ，
所以可设 ，
由AC中点为 ，可得 ，所以 ，
为等腰直角三角形，CE为中线，
， ，
①，
又 是 的中点， ，
， ，
化简得： ②，
由①②解得 ，
所以点 ，又因为 ，
所以直线 方程为 ，
即所求方程为 .
故答案为：
【典例4-2】已知直线过点 ，它在 轴上的截距是在 轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 ．
【答案】 或
【解析】当直线经过原点时，直线方程为： ．
当直线不经过原点时，设直线方程为： ，
把点 代入 ，解得 ．
直线方程为 ．
综上可得直线方程为： 或 ，
故答案是： 或 ．
【方法技巧】
要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，
尤其是点斜式、斜截式和一般式．
【变式4-1】已知点 ，直线 与 轴相交于点 ，则 中， 边上的高
所在直线的方程是 .
【答案】【解析】直线 与 轴交点 的斜率 ，
所以 边上的高 的斜率 ，
所以 所在直线方程为 .
故答案为：
【变式4-2】已知 的顶点 ， ，其外心（外接圆圆心）、重心（三条中线交点）、垂
心（三条高线点）在同一条直线上，且这条直线的方程为 ，则顶点 的坐标是 .
【答案】 或
【解析】设顶点 的坐标是 ，则 的重心坐标为 ，
由题意可知： ，即 ，
可知线段 的中点为 ，斜率 ，
则线段 的中垂线的方程为 ，即 ，
联立方程 ，解得 ，即 的外心坐标为 ，
由 ，即 ，
可得 ，解得 或 ，
即 或 ，
经检验 或 均符合题意.
故答案为： 或 .
【变式4-3】若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高
BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为 .
【答案】6x－5y－9＝0
【解析】先计算AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，设B（x，y），AB的中点M为 ，根
0 0据 解得答案.由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，
又A（5，1），AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，
联立直线AC与直线CM方程得 解得
顶点C的坐标为C（4，3）.设B（x，y），AB的中点M为 ，
0 0
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x－y－1＝0，
0 0
B在直线x－2y－5＝0上，得x－2y－5＝0，
0 0
联立 解得 所以顶点B的坐标为（－1，－3）.
于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
故答案为：6x－5y－9＝0
【变式4-4】如图，在 中， ， 所在直线方程分别为 和 ，则
的角平分线所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】联立 ，解得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
设 的角平分线所在直线的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，则 ，
则 ，
即 的角平分线所在直线的斜率为 ，所以 的角平分线所在直线的方程为 ，即 .
故选：A.
【变式4-5】已知 的顶点 ， 边上的中线所在直线方程为 ， 边上的高所在
直线方程为 ，则 所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， 边上的高所在直线方程为 ，
所以 ，
所以 边所在直线的方程为 ，即 .
又 边上的中线所在直线方程为 ，
由 ，解得 ，
所以 .
设 ，则线段 的中点 ，
则
解得即 ，
所以 所在直线的方程为 .
故选：D
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题
【典例5-1】在平面直角坐标系中，已知射线 ，过点 作直线分别交射线OA、x轴
正半轴于点A、B．
(1)当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程；
(2)求 面积的最小值．
【解析】（1）由题意可设 、 ，且 、 ．
当AB的中点为P时，则 ，解得 ， ，
所以 、B(4，0)．
所以直线AB的方程为 ，即一般式方程为： ．
（2）当过点 的直线斜率不存在时， 、 ，
此时 ．
当过点 的直线斜率存在时，
设直线AB的方程为 ．
直线AB与 相交，可得 ，
直线AB与x轴正半轴相交于B，可得 ．由 ，解得 或 ．
则 ．
令 ，则 （ 或 ），
可得 ，
由 或 ，可得 或 ， ，
当 ，即 ， 时， ，
即 ，则 ，
此时 、B(4，0)符合题意．
综上， ．
【典例5-2】已知直线 过点 .
(1)若直线 与直线 垂直，求直线 的方程；
(2)若直线 分别与 轴的正半轴， 轴的正半轴交于 、 两点， 为原点.若 的面积为 ，求直线
的方程.
【解析】（1）与直线 垂直的直线 的方程可设为 ，
将点 的坐标代入直线 的方程得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，
由题意可的 ，解的 ，
所以直线 的方程为 ，即 .【方法技巧】
（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），
因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．
（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件
恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用
点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方
程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．
【变式5-1】过点 的直线 可表示为 ，若直线 与两坐标轴围成三角形的面
积为6，则这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【解析】 可化为 ①，
要使 与两坐标轴能围成三角形，则 且 ，
由①令 得 ；令 得 ，
依题意，
，所以 或 ，
所以 或 ，
设 ，则 或 ，
则 或
解得 或 ，
即 或 ，
即 或 ，
所以这样的直线有 条.
故选：D
【变式5-2】已知直线 和直线 ，当实数 的值在区间
内变化时，
(1)求证直线 恒过定点，并指出此定点的坐标.
(2)求直线 与两坐标轴的正半轴围成的四边形面积的最小值.【解析】（1）解法1
当 时， ，无论 为何值，直线 过定点 ；
当 时， ，直线 过定点 ；
综上：直线 恒过定点 ；
解法2：将直线 化为 ，
由 ，得 ，即直线 恒过定点 .
（2）将直线 化为 ，得直线 恒过定点 ，
在直线 中，由于 ，令 得 ，
令 ，故直线 与 轴正半轴交于点 ，
同理在直线 中，令 ，得 ，故 与 轴正半轴交于点 ，
如图，在平面直角坐标系中取点 ，连接 ，当实数 的值在区间 内变化时，过点 作出直线
的大致图象， 与 轴交于点 与 轴交于点 .
则点 的坐标为 ，点 的坐标为 .
因为 ，所以 ，
在 中 边上的高为2，在 中 边上的高为2，
所以
，
所以当 时，所求四边形 的面积最小，最小值为 .
【变式5-3】（2024·高二单元测试）已知直线l过点 ，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点
B.（1）求 面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）；
（2）求 的最小值及取得最小值时l的直线方程.
【解析】（1）设l的方程为 ，由直线过点 知 ，即 ，由基本
不等式得 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
又知 ，所以 时等号成立，
此时l直线的方程为 ，
即 面积最小时直线l的方程为 .
（2）易知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为 ，所以得 ，
，所以 ，得
，等号成立时有k ，得 ，
此时直线的方程为 ，即 .
故 的最小值是24，取最小值时直线l的方程是 .
【变式5-4】（2024·河南郑州·高二宜阳县第一高级中学校联考阶段练习）已知直线 经
过定点P．
(1)证明：无论k取何值，直线l始终过第二象限；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，当 取最小值时，求直线l的方程．
【解析】（1）证明：由 可得： ，
由 可得 ，所以l经过定点 ；
即直线l过定点 ，且定点在第二象限，
所以无论k取何值，直线l始终经过第二象限．
（2）设直线l的倾斜角为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，令 ，
因为 ，可得 ，
即 ，
将 两边平方可得： ，
所以 ，
所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
故 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
此时 ，
可得 ，所以 ，
所以直线的方程为 ．
【变式5-5】（2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知直线 过定点 ，且交
轴负半轴于点 ､交 轴正半轴于点 ．点 为坐标原点．
（1）若 的面积为4，求直线 的方程；
（2）求 的最小值，并求此时直线 的方程；
（3）求 的最小值，并求此时直线 的方程．
【解析】设 ， ， .
（1）设 ，因为过点 ，所以 ，
所以 ，由 解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 ；
（2） ，所以 ，
当且仅当 ， 时取等号，所以直线 的方程为 ；
（3）依题意可知 三点共线， 在线段 上（且与 不重合），
所以
，
当且仅当 ， 时取等号，所以直线 的方程为 ．
【变式5-6】已知直线 ．
(1)当 时，求直线 与直线 的交点坐标；
(2)若直线 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ．
① 的面积为 ，求 的最小值和此时直线 的方程；
②已知点 ，当 取最小值时，求直线 的方程．
【解析】（1）当 时，直线 为 ，则 ，解得 ，
故所求交点为 ；
（2）①由题意，设 ，故直线 的方程为 ，
因为直线 过定点 ，代入方程可得 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，则 ，
所以 的面积的最小值是4，此时 ，解得 ；
所以此时直线 的方程为 ；
②法1：由题意 ，设 ，则 ，
，
令 ，则 ，故且 ，则 ，
在 上单调递增，当 时 取最大值，此时 取最小值，
当 时，有 ，解得 ，
所以直线 的倾斜角为 ，则 ，故直线方程为 ．
法2：由题设知 ，
由 三点共线，设 的中点为 ，所以 ，
且 ，而 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时直线方程为 .
题型六：两直线的夹角问题
【典例6-1】如果直线 与 的斜率分别是一元二次方程 的两个根，那么两直线的夹角为 .
【答案】 /60°
【解析】设直线 与 的斜率分别为 ， ， 与 夹角为 .
∵直线 的斜率分别为二次方程 的两个根
且
∴ ，
∴∵
∴ ，
故答案为： .
【典例6-2】（2024·上海长宁·二模）直线 与直线 的夹角大小为 ．
【答案】 /
【解析】设直线 与直线 的倾斜角分别为 ，
则 ，且 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即两条直线的夹角为 ，
故答案为： .
【方法技巧】
若直线 与直线 的夹角为 ，则 .
【变式6-1】当 时，直线 与直线 的夹角为60°．
【答案】0或
【解析】由 的倾斜角为 ，
所以直线 的倾斜角为 或 ，故 或 .
故答案为：0或
【变式6-2】（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，等边三角形 的边 所在直线斜率为 ，
则边 所在直线斜率的一个可能值为 .
【答案】 或
【解析】设直线 的倾斜角为 ，由已知得 ，设直线 的倾斜角为 ，
则 ，因为在等边三角形 中， ，所以 ，当 ， ，
所以
当 ， ，
所以
综上， 或 ，
故答案为： 或
【变式6-3】（2024·高三·上海浦东新·期末）直线 与直线 所成夹角的余弦值等于
【答案】
【解析】直线 ，即 ，则其斜率为 ，倾斜角为 ；
直线 ，即 ，则其斜率 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，而 ，
所以两直线的夹角为 ，
又因为 ，
则
所以 ，
故所求夹角的余弦值为 .
故答案为： .【变式6-4】（2024·全国·模拟预测）已知等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 与
，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 .
【答案】3
【解析】直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
设底边所在直线为 ，
由题意， 与 的夹角等于 与 的夹角，
于是有 ，即 ，
化简得 ，解得 或 ，
因为原点在等腰三角形的底边上，所以 .
故答案为：3.
【变式6-5】直线 与直线 的夹角为 .
【答案】
【解析】由直线 与直线 的方程可知，
两直线的斜率分别为： ，∴ ，∴ ，∴两直线的夹角为 .
故答案为： .
题型七：直线过定点问题
【典例7-1】不论k为任何实数，直线 恒过定点，若直线 过此定点
其m，n是正实数，则 的最小值是 .
【答案】 /
【解析】直线 即 ，
由题意 ，解得 ，即直线恒过点 ，
因为直线 过此定点，其中m，n是正实数，所以 ，
则，当且仅当 即 时取等号，
所以 的最小值是 .
故答案为：
【典例7-2】不论m，n取什么值，直线 必过一定点为 .
【答案】
【解析】由题意，在
令 ，解得 ，
不论m，n取什么值，直线 必过一定点 .
故答案为：
【方法技巧】
合并参数
【变式7-1】直线 恒过定点
【答案】
【解析】直线 ，化为 ，
令 ，解得 ，
所以直线 恒过定点 ，
故答案为：
【变式7-2】直线 与直线 相交于点 ，对任意实数 ，
直线 分别恒过定点 ，则 的最大值为 .
【答案】4
【解析】直线 化为 ，
当 ，得 ，即直线 恒过点 ，即点 ，
直线 化为 ，当 ，得 ，即直线 恒过点 ，即点 ，
且两条直线满足 ，
，即 ，
，
，当且仅当 时，等号成立，
的最大值为4.
故答案为：4.
【变式7-3】已知函数 且 过定点 ，直线 过定点 ，则
【答案】5
【解析】 ， ；
由 得： ， 直线恒过定点 ； .
故答案为： .
题型八：中点公式
【典例8-1】若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为 ，则直线l的方程为： ．
【答案】
【解析】依题知，直线与x轴y轴的截距都存在且都不为0，
设直线方程为 ，
又线段AB的中点为 ，则 ，即
则直线方程为 ，即 .
故答案为：
【典例8-2】过点 的直线 ，被直线 ， 所截得的线段 的中点恰
好在直线 上，则直线 的方程为 ．
【答案】
【解析】设 中点为 ，
因为 ，所以 在直线 上，由 在直线 上，
联立可得 ，解得 ，即 中点为 ，
所以直线 的斜率 ，所以 的方程为 ，即 ．
故答案为： ．
【方法技巧】
若点 的坐标分别为 且线段 的中点 的坐标为 ，则
【变式8-1】已知直线 与直线 和 的交点分别为 ，若点 是线段
的中点，则直线 的方程为 .
【答案】
【解析】因为直线 与直线 和 的交点分别为 ，
设 ，
因为点 是线段 的中点，由中点公式可得 ，
解得 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故答案为： .
【变式8-2】过点 的直线 被两平行直线 与 所截线段 的中点恰
在直线 上，则直线 的方程是 ．
【答案】
【解析】设线段 的中点为 ，因为点 到 与 的距离相等，
故 ，解得 ，则点 ．
直线 的方程为 ，即 ．
故答案为：
【变式8-3】已知点A，B分别是直线 和直线 上的点，点P为 的中点，设点
P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；
（2）过点 的直线 与曲线C，x轴分别交于点M，N，若点D为 的中点，求直线 的方程.
【解析】（1）设点 ， ， ，
因为点P为 的中点，可得 ， ，
又由 ， ，
两式相加，可得 ，所以 ，即 ，
所以曲线C的方程为 .
（2）根据题意，设 ， ，
因为点 为 的中点，所以 ，解得 ， ，
即 ，所以直线 的方程为 ，整理得 ，
即直线 的方程 .
【变式8-4】已知直线 .
(1)求证：直线经过定点，并求出定点P；
(2)经过点P有一条直线l，它夹在两条直线 与 之间的线段恰被P平分，求直
线l的方程.
【解析】（1）证明：将直线l的方程改写为 ，
令 ，且 ，
两式联立，解得 ， ，
所以直线过定点 .
（2）如图，设直线l夹在直线 ， 之间的部分是AB，且AB被 平分，
设点A，B的坐标分别是 ， ，
则有 ， ，
又A，B两点分别在直线 ， 上，
所以 ， ，
由以上四个式子解得 ， ，即 ，
所以直线AB的方程为 .
题型九：轨迹方程
【典例9-1】（2024·高三·全国·课后作业）若过点 且互相垂直的两条直线 分别与 轴、 轴交于
、 两点，则 中点 的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设 ，则 ，连接 ，
， ，即 ，化简即得 .
故答案为：
【典例9-2】在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知点 ，若点 满足 （
，且 ），则点 的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】 点 满足 （ ，且 ），
，
， ，
由共线向量定理可知， 三点共线， 点 的轨迹为直线 ，又 ，
直线 的方程为： ，
整理得： ，
故点 的轨迹方程为 ，
故答案为：
【方法技巧】
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到
两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再
利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
【变式9-1】已知 ，点 在直线 上运动， ，则点 的轨迹方程
是 ．
【答案】
【解析】设 ， ， ，则 ，
故 ，点 在直线 ，故 ，
整理得到 .
故答案为： .
【变式9-2】已知 的顶点A、C的坐标分别为 、 ，顶点D在直线 上移动，
则顶点B的轨迹方程为 ．
【答案】 （除点 外）
【解析】设点 ，在 中，对角线AC的中点为 ，于是得点 ，
而点 在直线 上，则有 ，即 ，
直线 的方程为： ，即 ，由 解得 ，
在 中，点A，B，C不共线，因此点 不在点B的轨迹上，
所以顶点B的轨迹方程为： （除点 外）.
故答案为： （除点 外）
【变式9-3】已知 满足方程 ，则M的轨迹为（ ）
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线【答案】A
【解析】 满足方程 ，
即 满足方程 ，
几何意义为：点M到直线x-2y+3=0和到点（-1，1）的距离相等，
又因为点（-1，1）在直线x-2y+3=0上，
所以点M的轨迹为一条直线，
故选：A
【变式9-4】在平面直角坐标系中，已知 的顶点坐标分别为 、 、 ，点 在直线
上运动，动点 满足 ，求点 的轨迹方程．
【解析】设点 、 ，直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
， ， ， ，
由 可得 ，
所以， ，可得 ，
因为点 在直线 上，则 ，即 ，整理可得 ，
因此，点 的轨迹方程为 .
【变式9-5】（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在平行四边形 中，点 是原点，点 和点 的坐标分别
是 、 ，点 是线段 上的动点.
(1)求 所在直线的一般式方程；
(2)当 在线段 上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程.
【解析】（1） ， 所在直线的斜率为： .所在直线方程是 ，即 ；
（2）设点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
由平行四边形的性质得点 的坐标是 ，
是线段 的中点， ， ，
于是有 ， ，
点 在线段 上运动，
，
，即 ，
由 得 ，
线段 的中点 的轨迹方程为 .
【变式9-6】如图，已知点 是直线 上任意一点，点 是直线 上任意一点，
连接 ，在线段 上取点 使得 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)已知点 ，是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设 ， ， ，
由 ，
，
又 ，
得： ，
把①②代入上式得 ，即为点 的轨迹方程.（2）设 ，由 ，得 ，
又点 满足 ，
联立得方程组 ，解得 或 .
故存在点 满足条件，点 的坐标为 或 .
1．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（四川卷））直线 绕原点逆时针旋转 ，再向
右平移1个单位，所得到的直线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当直线 绕原点逆时针旋转 时，所得直线斜率为 ，此时，该直线方程为 ，
再将该直线向右平移1个单位可得： ，即 .
故选：A.
2．（2002年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））到两坐标轴距离相等的点的轨迹方
程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点 ，则到两坐标轴距离相等，即 ，即 .
故选：D
3．（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖北卷））已知点 和 ．直线
与线段 的交点M分有向线段 的比为 ，则m的值为（ ）
A． B． C． D．4【答案】D
【解析】设 ，且 ，
则 ，得 ，解得： ，
代入直线 ， ，得 .
故选：D
4．（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））直线 与直线 的夹角是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线 的倾斜角为 ，直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，
两条直线的夹角为 ，
故选：A
5．（2020年山东省春季高考数学真题）已知直线 的图像如图所示，则角 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【解析】结合图像易知， ， ，
则角 是第四象限角，
故选：D.1．判断 ， ， 三点是否共线，并说明理由．
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以A，B，C三点共线.
2．菱形的两条对角线分别位于x轴和y轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线的方程．
【解析】由题意作出菱形图形，如图，
直线 的方程： ，即 ，
直线 的方程： ，即 ，
直线 的方程： ，即 ，
直线 的方程： ，即
3．求经过点 ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．
【解析】（1）当截距为0时：直线为 。
（2）当截距不为0时，设截距为 ，则直线为 ，将 代入解得 ，
所以直线为 .
综上所述：直线为 或 .
4．求直线 （A，B不同时为0）的系数A，B，C分别满足什么关系时，这条直线有以下性质：
（1）与两条坐标轴都相交；
（2）只与x轴相交；
（3）只与y轴相交；
（4）是x轴所在的直线；
（5）是y轴所在的直线．
【解析】（1）直线 （A，B不同时为0）与x轴相交时，
方程组 有唯一解，所以 ，
同理直线 （A，B不同时为0）与y轴相交时，
方程组 有唯一解，所以 ，
所以当 ， 时，直线 与两条坐标轴都相交；
（2）已知直线只与x轴相交，
所以直线 与y轴平行或重合，
所以当 ， 时，直线 只与x轴相交；
（3）已知直线只与y轴相交，
所以直线 与x轴平行或重合，
所以当 ， 时，直线 只与y轴相交；
（4）当 ， ， 时，直线 是x轴所在的直线；
（5）当 ， ， 时，直线 是y轴所在的直线；
5．画出直线 ，并在直线l外取若干点，将这些点的坐标代入 ，求它的值；观察有
什么规律，并把这个规律表示出来．
【解析】画出直线 的图象，如图：
取点 ，把点代入直线方程，
代入分别为 与 ；
将 代入分别为 与 ；
可得如下规律：
在直线的左上方的点，坐标代入 ，值小于 ；
在直线的右下方的点，坐标代入 ，值大于 ；
在直线上的点，坐标代入 ，值等于 ；
易错点：错误理解斜率与倾斜角间的关系
易错分析： 斜率与倾斜角是直线在平面几何中的两个重要属性，它们之间存在紧密的关系，但也容
易被误解。斜率表示直线的倾斜程度，是纵坐标差与横坐标差之商；而倾斜角则是直线与 x轴正方向之间
的夹角。误解常在于将斜率与倾斜角的正弦值混淆，或忽视了斜率不存在（即直线垂直于 x轴）时倾斜角
为90度这一特殊情况。
【易错题1】若经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角是直线4x－3y＋2 019＝0的倾斜角的一半，
则y的值为 .
【答案】
【解析】因为直线4x－3y＋2 019＝0的斜率为 ，
所以由倾斜角的定义可知直线4x－3y＋2 019＝0的倾斜角α满足 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
由已知及倾斜角与斜率的关系得 ，所以 .
故答案为： .【易错题2】直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 的倾斜角为 ，
由题意可知：直线的斜率 ，
即 ，且 ，所以 .
故选：C.
答题模板：求斜率的取值范围
1、模板解决思路
求解斜率的取值范围问题时，通常的做法是先通过关键点计算出相关的斜率值，这些值往往作为临界
值存在。接着，结合图形的直观分析，判断斜率的取值范围是位于这些临界值的中间区域，还是分布在临
界值的两侧。简而言之，就是先找临界斜率，再结合图形确定取值范围是居中还是分居两侧。
2、模板解决步骤
第一步：确定直线与几何图形有公共点的边界点.
第二步：求出已知点与边界点所在直线的斜率.
第三步：分析直线的变化范围，写出直线的斜率的取值范围.
【经典例题1】已知两点 ，B(2,1)，过点 的直线 与线段 （含端点）有交点，则直线
的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，
直线 逆时针旋转到 的位置才能保证过点 的直线与线段 有交点，从 转到 过程中，倾斜角变大到 ，斜率变大到正无穷，
此时斜率 ，所以此时 ；
从 旋转到 过程中，倾斜角从 开始变大，斜率从负无穷开始变大，
此时斜率 ，所以此时 ，
综上可得直线 的斜率的取值范围为 .
故选：A
【经典例题2】已知直线 和以 ， 为端点的线段相交，则实数k的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为直线 恒过定点 ，如图.
又因为 ， ，所以直线的斜率k的范围为 .
故选：C.
