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专题13 动力学和能量观点的综合应用
目录
题型一 多运动组合问题...............................................................................................................................................1
题型二 “传送带”模型综合问题.............................................................................................................................11
类型1 水平传送带问题......................................................................................................................................12
类型2 倾斜传送带..............................................................................................................................................21
题型三 “滑块－木板”模型综合问题....................................................................................................................32
题型一 多运动组合问题
【解题指导】1．分析思路
(1)受力与运动分析：根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的
变化情况；
(2)做功分析：根据各种力做功的不同特点，分析各种力在不同运动过程中的做功情况；
(3)功能关系分析：运用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律进行分析，选择合适的
规律求解．
2．方法技巧
(1)“合”——整体上把握全过程，构建大致的运动情景；
(2)“分”——将全过程进行分解，分析每个子过程对应的基本规律；
(3)“合”——找出各子过程之间的联系，以衔接点为突破口，寻求解题最优方案．
【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图所示一轨道ABCD竖直放置，AB段和CD段的
倾角均为θ=37°，与水平段BC平滑连接，BC段的竖直圆形轨道半径为R，其最低点处稍
微错开，使得滑块能进入或离开。AB段和CD段粗糙，其余各段轨道光滑。将一质量为m
的小滑块从轨道上离B点距离L=125R处由静止释放，滑块经过圆形轨道后冲上CD段上升
一段距离后再次滑下，往返滑动多次后静止于轨道上某处。滑块和轨道AB、CD间的动摩
擦因数均为μ=0.5，重力加速度大小为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）滑块第一次到达圆轨道最高点时对轨道的压力大小；
（2）滑块第一次在CD段向上滑行的最大距离；
（3）整个过程中滑块在AB段滑行的总路程。【变式演练1】如图所示，斜面 和水平面 相交于B点， 是竖直放置
的半径为 的光滑半圆轨道， 与 相切于C点，E点与圆心O点等高。质量为
m的小球从离水平面h处由静止释放，经过水平面后并滑上半圆轨道，已知小球与水平地
面及与斜面间的动摩擦因数都为 ，斜面的倾角 ，BC长 ，取
，如果让小球进入半圆轨道后不脱离半圆轨道，则h的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练2】如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在距离水平地面高为h的O点，另一
端系有质量为m，可视为质点的小球，将小球从与O等高的A点由静止释放，小球在竖直
平面内以O点为圆心做半径为r的圆周运动。当小球运动到最低点B时，绳恰好被拉断，
小球水平飞出。不计空气阻力及绳断时的能量损失，重力加速度为g。求：
（1）小球飞出时的速率v。
（2）绳能承受拉力的最大值F 。
m
（3）小球落地点到B点的水平距离x。
【变式演练2】如图所示，桌面右侧的水平地面有一竖直放置的半径为R的光滑圆弧轨道为其竖直直径，桌面与圆弧轨道MNP中间有一光滑管道Q，其右端与P相切平
滑连接，管道内径略大于小球直径，桌面到水平地面的竖直距离也为R，劲度系数为k的
轻质弹簧放置在光滑的水平桌面上，一端固定在光滑桌面左端的挡板上。一质量为m、可
视为质点的小球与弹簧不粘连，现移动小球压缩弹簧后由静止释放小球，小球到达圆弧的
C点时刚好脱离轨道。已知弹簧压缩量为s，弹簧弹性势能的表达式为 （x为弹簧
的形变量），不计其他阻力及小球在管道Q和圆弧轨道中运动的能量损耗，重力加速度为
g。
（1）求C点与O点的高度差h；
（2）若只改变小球的质量，使小球运动过程中不脱离圆弧轨道，求小球质量的取值范围。
【变式演练3】小丁同学设计了一个玩具遥控赛车的轨道装置，轨道的主要部分可简化为
如图所示的模型，水平轨道AB和倾斜轨道OD分别与圆轨道相切于B点和D点，弯曲轨
道AE与水平轨道平滑连接，E点切线方向恰好水平。O点固定一弹射装置，刚开始时装置
处于锁定状态。当赛车从A点出发经过圆轨道进入OD轨道，到达O点时恰好可以触发弹
射装置将赛车原路弹回，最终进入回收装置F。测得赛车与弹射装置碰撞时机械能损失
，每次弹射后装置可自动锁定到初始时的弹性势能值。已知赛车质量为 ，电动机
功率恒为 ，圆轨道半径为 ，E点离水平轨道高度和与F点间水平距离均为 ，
AB轨道长 ，赛车在水平轨道上运动时所受阻力等于其对轨道压力的0.25倍，赛车在轨
道其余部分上所受摩擦力可忽略，赛车看成质点。
（1）若赛车恰好能过C点，求赛车经过H点时对轨道的压力大小；
（2）若某次测试时，赛车电动机工作 ，经过一次弹射后恰好落入回收装置之中，则此
次测试中给弹射装置设置的弹性势能为多大？
（3）若某次测试时，赛车电动机工作 ，最终停在水平轨道AB上，且运动过程中赛车
不能脱轨，求弹射装置的弹性势能取值范围。【变式演练4】（2024·河北保定·三模）如图所示，处于竖直平面内的轨道装置，由倾角
光滑直轨道AB、圆心为 的半圆形光滑轨道BCD，圆心为 的光滑圆弧外轨道
EF组成。且 ，B为轨道间的相切点，B、 、D、和 处于同一直线上。已
知滑块质量 ，轨道BCD和EF的半径为 。滑块开始时从轨道AB上某点
由静止释放。（ ， ， ， ， ）
（1）若释放点距离B点的高度差为h，求滑块在最低点C时轨道对滑块支持力 与高度h
的函数关系；
（2）若释放点距离地面的高度差为 ，滑块在轨道BCD上的P点刚好脱离轨道，求滑
块能达到距离地面的最大高度；（结果保留3位有效数字）
（3）若释放点距离地面的高度差为5R，求滑块从F点抛出后水平位移和重力的冲量。
（结果保留2位有效数字）
【变式演练5】自由滑雪大跳台是冬奥会比赛项目，其赛道简化为如图所示的模型，其中
助滑区倾斜赛道AB与圆弧赛道BCD相切于B点，圆弧赛道半径R=10m，起跳点D与圆心
的连线与竖直方向的夹角θ=25°。质量m=50kg（连同装备）的运动员从助滑区的A点由静
止开始下滑，到达起跳点D时斜向上飞离雪道，落在着陆坡上的E点。已知A点到C点
（C为圆弧赛道的最低点）的竖直高度差h=30m，运动员到达圆弧上的D点时对赛道的压
1
力F =950N，D、E两点间的竖直高度差h=12m，重力加速度g取10m/s2，sin25°=0.4，
N 2
cos25°=0.9，不计空气阻力，运动员可视为质点。求：
（1）运动员从A点运动到D点克服阻力做的功；
（2）起跳点D到落地点E之间的水平距离。题型二 “传送带”模型综合问题
【解题指导】1．计算摩擦力对物块做的功和摩擦力对传送带做的功要用动能定理，计算摩
擦产生的热量要用Q＝Fx 或能量守恒定律.
f 相对
2.电机做的功一部分增加物块的机械能，一部分转化为因摩擦产生的热量．
【核心归纳】1．设问的角度
(1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结
合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。
(2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放
上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
2．功能关系分析
(1)功能关系分析：W＝ΔE＋ΔE＋Q。
k p
(2)对W和Q的理解
①传送带克服摩擦力做的功：W＝Fx ；
f 传
②产生的内能：Q＝Fx 。
f 相对
类型1 水平传送带问题
【例1】（2024·辽宁大连·二模）物流公司传送小件货物，简化的传输系统如图所示。曲面
AB末端与水平面BC平滑连接于B点，水平面BC与传送带等高。工人将小件甲从A点由
静止释放，运动到C点时以速度 与遗留在平面末端C点的小件乙发生碰撞（碰
撞时间极短，碰撞前后甲、乙在同一条直线上运动），碰后甲、乙分别以速度
和 冲上顺时针运行的传送带上，传送带的速度 ，传送带足够长。已知曲
面高度 ，小件甲的质量 ，小件甲、乙均可视为质点，且与传送带间的动摩
擦因数均为 ，重力加速度取 。求：（1）小件甲从A点运动到C点过程中克服摩擦阻力所做的功；
（2）小件乙的质量 及甲、乙碰撞过程损失的机械能；
（3）小件甲和乙冲上传送带到都与传送带共速过程中，传送带的电动机需额外多消耗的电
能。
【变式演练1】如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机
带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体过一会儿能保
持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到相对静止这一过程中，下列说法正确的是（
）
A．摩擦力对物体做的功为mv2
B．电动机多做的功为
C．系统产生的内能为
D．传送带克服摩擦力做的功为
【变式演练2】如图所示，在竖直平面内固定圆心角 的光滑弧形轨道BC，B、C两
点的高度差 ，轨道末端B点与水平传送带右端平滑对接，传送带以恒定的速度顺
时针转动。将质量 的小物块从C点无初速释放，小物块能返回圆弧轨道，返回后
上升的最大高度 。已知传送带长 ，各处粗糙程度相同，重力加速度
， ， 。
（1）求小物块第一次滑至B点时对轨道的压力大小；
（2）求传送带的速度大小和小物块与传送带间动摩擦因数的最小值；
（3）若小物块与传送带间动摩擦因数为最小值，求小物块第2022次在传送带上运动时，小物块与传送带间因摩擦而产生的热量。
【变式演练3】我国物流市场规模连续七年位列全球第一。某物流分拣中心为转运货物安
装有水平传送带，传送带空载时保持静止，一旦有货物置于传送带上，传送带就会以
的加速度向前加速运行。在传送带空载的某时刻，某质量为20kg的货物向前以3m/s的初
速度滑上传送带。已知传送带长为6m，货物和传送带之间的动摩擦因数为0.2，取
，求：
（1）货物用多长时间到达传送带末端；
（2）整个过程传送带对货物做的功；
（3）传送带与货物由于摩擦产生的热量。
【变式演练4】如图所示，竖直平面内有一段固定的光滑圆弧轨道PQ，圆心为O点，圆弧
所对圆心角 ，半径为 ，末端Q点与粗糙水平地面相切。圆弧轨道左侧有一
长度为 的水平传送带，传送带沿顺时针方向转动，传送带上表面与P点高度差为
。现在传送带左侧由静止放置一个质量为 的可视为质点的滑块A，滑块
由P点沿圆弧切线方向进入轨道，滑行一段距离后静止在地面上。已知滑块A与传送带、
地面间的动摩因数均为μ＝0.5，重力加速度g取10 ， ， ，求：
（1）滑块A离开传送带时速度 的大小；
（2）滑块A经过Q点时受到弹力 的大小；
（3）滑块和传送带组成的系统因摩擦而产生的内能Q。
【变式演练5】弯曲轨道与水平地面平滑连接，右侧有一与地面等高的传送带，传送带始
终以速度 顺时针匀速转动，如图甲所示。将一滑块从轨道上高 处无初速释放，当时，滑块离开传送带时的速度不变，当滑块从其他高度释放后，离开传
送带时的速度大小 与高度 的图像为如图乙所示的曲线。已知滑块与传送带间的动摩擦因
数 ，弯曲轨道与水平地面均光滑，取重力加速度大小 ，求：
（1）传送带的传送速度 ；
（2）传送带的长度 。
【变式演练6】如图所示，一质量 的物块以 的速度从B端进入水平传送带
，最后能从C点水平抛出，已知水平传送带 长 ，该物块与传送带间的动摩
擦因数 ，传送带以速度为v顺时针方向转动，物块可视为质点且不考虑传送带滑轮
大小。重力加速度 。求：
（1）当传送带的速度 时，将物块从B传送到C过程中物块与传送带间因摩擦而产
生的热量是多少？
（2）若在传送带右侧加装一个收集装置，如图所示，其内边界截面为四分之一圆弧，C点
为圆心，半径为 。调节传送带速度大小，使该物块从C点抛出后，落到收集装置
时动能最小，则该物块落到收集装置时最小动能是多少？
类型2 倾斜传送带
【例2】（2024·河北衡水·一模）图（a）为成都天府国际机场某货物传送装置实物图，简
化图如图（b）所示，该装置由传运带ABCD及固定挡板CDEF组成，固定挡板CDEF与传
送带上表面垂直，传送带上表面ABCD与水平地面的夹角为 ，CD与水平面平行。传送带匀速转动时，工作人员将质量分布均匀的正方体货物从D点由静止释放，货物对地
发生位移 后被取走，货物在传送带上运动时的剖面图如图（c）所示。已知传送带
匀速运行的速度为 ，货物质量为 ，其底部与传送带ABCD的动摩擦因数
为 ，其侧面与挡板CDEF的动摩擦因数为 。已知 ，
，重力加速度g取 ，不计空气阻力。求：
（1）货物刚放上传送带时，其底面所受滑动摩擦力 的大小及侧面所受滑动摩擦力 的
大小；
（2）货物在传送带上所经历的时间及传送装置多消耗的电能。
【变式演练1】（2024·安徽·二模）在快递分类时常用传送带运送快件，一倾角为37°的传
送带在电动机的带动下以恒定速率顺时针方向运行，传送带底端到顶端的距离为 ，
如图甲所示。传送带现将一质量 的快件静止放于传送带底端，以传送带最底端为
参考平面，快件在传送带上运动整个过程中速度的平方 随位移x的变化如图乙所示，取
重力加速度大小 ， ， ，快件可视为质点，求：
（1）快件与传送带之间的动摩擦因数 ；
（2）快件从传送带底端到顶端过程电动机多做的功W。
【变式演练2】如图所示，一轻弹簧原长 ，其一端固定在倾角为 的固定斜面
的底端 处，另一端位于 处，弹簧处于自然伸长状态，斜面 长 。在 间
有一上表面与斜面平行且相切的传送带，且 长 ，传送带逆时针转动，转动速度
为 。传送带上端通过一个光滑直轨道 与一个半径为 的光滑圆弧轨道相切于 点，且 端切线水平， 均在同一竖直平面内，且 在同
一竖直线上。质量为 的物块P（可视为质点）从 点由静止释放，最低到达 点
（未画出），随后物块P沿轨道被弹回，最高可到达 点。已知物块P与传送带间的动摩
擦因数为 ，与斜面间的动摩擦因数为 ，重力加速度 ，最大静摩擦
力等于滑动摩擦力， ， ，弹簧始终在弹性限度内。
（1）求 间距离 及物块P运动到 点时弹簧的弹性势能 ；
（2）改变物块P的质量，并将传送带转动方向改为顺时针，转动速度大小不变。将物块P
推至 点，从静止开始释放，在圆弧轨道的最高点 处水平飞出后，恰好落于 点，求物
块运动到 点的速度 。
【变式演练3】如图，高为h倾角为 的粗糙传送带以速率 顺时针运行，将质量为m的
小物块轻放到皮带底端，同时施以沿斜面向上的拉力使物块做匀加速直线运动，不考虑轮
的大小，物块运动到斜面顶端时速率为 ，物块与传送带之间的动摩擦因数为 ，重力
加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．摩擦力对物块所做的功为
B．整个过程皮带与物块间产生的热量为C．拉力所做的功为
D．皮带因传送物块多消耗的电能为
【变式演练4】如图甲所示，向飞机上装货时，通常用到可移动式皮带输送机，简化模型
如图乙所示，皮带输送机倾角为 ，顺时针匀速转动，每隔2s在输送带下端A点无初
速放入一件货物（货物足够多）。每件货物从下端A点运动到上端B点的过程中，其机械
能E与位移s的关系图像（以A位置为零势能参考面）如图丙所示。已知货物均可视为质
点，质量均为 ，重力加速度g取10 ， 。则（ ）
A．货物与输送带间的动摩擦因数为0.875
B．输送带A、B两端点间的距离为8m
C．每件货物从下端A点运动到上端B点的时间为9s
D．皮带输送机因运送一件货物而多消耗的能量为515J
【变式演练5】如图所示，绷紧的传送带与水平面所成的角为37°，在电动机的带动下，传
送带以2m/s的恒定速率顺时针运行，现将一质量为20kg的货物（可视为质点）轻轻放在
传送带底端，货物被传送到h=3m的高处，货物与传送带间的动摩擦因数为μ=0.8，
sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．货物先受到滑动摩擦力作用，后受到静摩擦力作用
B．货物在传送带上运动的时间为6s
C．货物的机械能增加了1280J
D．货物与传送带间由于摩擦产生的热量为640J【变式演练6】如图所示为某小型购物商场的电梯，长L＝7.0m，倾角θ＝37°。在某次搬
运货物时，售货员将质量为m＝50kg的货物无初速度放在电梯的最下端，然后启动电机，
电梯先以a＝1m/s2的加速度向上做匀加速运动，速度达到v＝2m/s后匀速运动。已知货物
0 0
与电梯表面的动摩擦因数μ＝0.8，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。求：
（1）货物从电梯底端运动到顶端所用的时间；
（2）电机因运送该货物多做的功（忽略电梯自身动能的变化）。
【变式演练7】如图甲，为机场工作人员利用倾斜传送带向飞机货仓装载行李的场景，传
送带保持恒定速率向上运行。工作人员将行李箱间隔相同时间连续无初速度地放在传送带
底端，所有行李箱在进入飞机货舱前都已做匀速运动，且相邻两个行李箱间不发生碰撞。
如图乙，A、B、C、D是传送带上4个进入货仓前匀速运动的行李箱，其中A与B、B与C
间的距离均为d，C与D间的距离小于d。已知传送带运行的速率为 ，倾角为 ，传送带
的长度为L，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（
）．
A．A、B、C、D与传送带间动摩擦因数相同，均满足
B．A、B、C与传送带间动摩擦因数大于D与传送带间动摩擦因数
C．工作人员往传送带底端放置行李箱的时间间隔
D．若A的质量为m，则由于传送A，驱动传送带的电机额外消耗的电能题型三 “滑块－木板”模型综合问题
【解题指导】1．分析滑块与木板间的相对运动情况，确定两者间的速度关系、位移关系，
注意两者速度相等时摩擦力可能变化.
2.用公式Q＝F·x 或动能定理、能量守恒求摩擦产生的热量．
f 相对
【核心归纳】“滑块—木板”模型问题的分析方法
(1)动力学分析：分别对滑块和木板进行受力分析，根据牛顿第二定律求出各自的加速度；
从放上滑块到二者速度相等，所用时间相等，由t＝＝，可求出共同速度v和所用时间t，
然后由位移公式可分别求出二者的位移．
(2)功和能分析：对滑块和木板分别运用动能定理，或者对系统运用能量守恒定律．如图所
示，要注意区分三个位移：
①求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移x ；
滑
②求摩擦力对木板做功时用木板对地的位移x ；
板
③求摩擦生热时用相对位移Δx.
【例1】（2024·安徽·二模）一块质量为M、长为l的长木板A静止放在光滑的水平面上，
质量为m的物体B（视为质点）以初速度 从左端滑上长木板A的上表面并从右端滑下。
该过程中，物体B的动能减少量大小为 ，长木板A的动能增加量为 ，A、B间摩
擦产生的热量为Q，关于 ， ，Q的值，下列情况可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】．（2023·全国·高考真题）如图，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面
上，另一质量为m的小物块（可视为质点）从木板上的左端以速度v 开始运动。已知物块
0
与木板间的滑动摩擦力大小为f，当物块从木板右端离开时（ ）A．木板的动能一定等于fl B．木板的动能一定小于fl
C．物块的动能一定大于 D．物块的动能一定小于
【变式演练1】（2024·四川成都·二模）如图，一质量为 的木板静止在水平地面上，
一质量为 的滑块（可视为质点）以 的水平速度从木板左端滑上木板，木板
始终保持静止。木板足够长，滑块与木板间的动摩擦因数为 ，木板与地面间的动摩
擦因数为 （未知），重力加速度大小取 ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
下列说法正确的是（ ）
A．地面对木板的摩擦力方向水平向右
B．地面对木板的摩擦力大小为
C． 可能为0.12
D．整个过程中，滑块与木板间因摩擦产生的热量为
【变式演练2】．（2024·辽宁鞍山·二模）如图所示，上表面粗糙的长木板B静止在光滑的
水平面上，物块A叠放在长木板右端，轻弹簧一端连接在物块A上，另一端连接在竖直墙
面上，开始时弹簧处于原长，现对B施加一水平向右恒定的拉力F，弹簧始终处于弹性限
度内且只分析A未离开B的过程，则正确的说法是（ ）
A．施加拉力后最初的一段时间内，物块A和木板B一定无相对滑动
B．施加拉力的瞬间，物块A所受的摩擦力为零
C．施加拉力后的某一过程中，拉力做的功一定不小于A、B和弹簧整体机械能的增量D．施加拉力后，在A与B相对滑动过程中，A对B的摩擦力做功的绝对值等于A、B
间产生的热量
【变式演练3】如图甲所示，质量 的长木板静止在足够大的水平地面上，一小物
块以 的速度从左端滑上长木板后，不能从木板的右端掉落，其运动的 图像如
图乙所示。取重力加速度大小 ，求：
（1）小物块与木板间因摩擦产生的热量Q；
（2） 内静摩擦力对长木板的冲量 。
【变式演练4】如图甲，物体A的质量m= 1kg，静止在光滑水平面上的木板B的质量
1
m= 2kg，某时刻A以v= 6m/s的初速度从左端滑上木板B的上表面，在A滑上B的同时，
2 0
给B施加一个水平方向的拉力 ， 随时间变化如图乙，共作用1.5s，以水平向右为正方
向；已知A与B之间的动摩擦因数 ，木板B足够长（忽略物体A的大小）。求：
（1）0 ~ 1s内，物体A和木板B的加速度分别为多大；
（2）1.5s末，A、B的速度分别为多大；
（3）最终，物体A和木板B由于摩擦产生的热量（用分数表示）。
