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专题 16.2 二次根式的应用
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
规律题的一般解题方法步骤：
（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳（初中阶段往往举例3个）
（2）猜想符合规律的一般性结论；
（3）验证或证明结论是否正确。
◆ 典例分析
【典例1】我国南宋时期数学家泰九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家
a+b+c
海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p= ，则其面积
2
❑√p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．
（1）当三角形的三边a=3，b=5，c=6时，请你利用公式计算出三角形的面积；
（2）一个三角形的三边长依次为❑√5、❑√6，❑√7，请求出三角形的面积；
（3）若p=8，a=4，求此时三角形面积的最大值．
【思路点拨】
（1）直接利用已知得出p的值，再利用三角形面积公式得出答案；
（2）将 S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c) 变形为 S=❑ √ 1[ a2b2− (a2+b2−c2 ) 2 )再代入求值即可；
4 2
（3）根据公式计算出b+c=12，再表示成c=12−b，代入公式即可求出解．
【解题过程】
（1）解：∵a=3，b=5，c=6，a+b+c 3+5+6
则：p= = =7，
2 2
∴S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)
=❑√7×(7−3)×(7−5)×(7−6)
=❑√56
=2❑√14；
（2）S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)
√a+b+c a+b−c a+c−b b+c−a
=❑ ⋅ ⋅ ⋅
2 2 2 2
√(a+b) 2−c2 c2−(a−b) 2
=❑
⋅
4 4
√2ab+a2+b2−c2 2ab−a2−b2+c2
=❑ ⋅
4 4
√ (ab a2+b2−c2 )(ab a2+b2−c2 )
=❑ + −
2 4 2 4
=❑
√ (ab) 2
−
(a2+b2−c2 ) 2
2 4
=❑
√ 1[
a2b2−
(a2+b2−c2 ) 2 )，
4 2
则三边长依次为❑√5 、❑√6 ，❑√7 ，代入 S=❑ √ 1[ a2b2− (a2+b2−c2 ) 2 )可得：
4 2
S=❑
√1[
5×6−
(5+6−7) 2 )
=❑
√1
×(30−4)=
❑√26
4 2 4 2
a+b+c
（3）∵p= ，p=8，a=4，
2
∴b+c=12，则c=12−b，
∴S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)
=❑√8(8−4)(8−b)(8−c)
=4❑√2×❑√(8−b)(8−12+b)=4❑√2×❑√(8−b)(b−4)
，
=4❑√2×❑√4−(b−6) 2
∴当b=6时，S有最大值，为S=8❑√2．
◆ 学霸必刷
1．（2023上·湖南永州·八年级统考期末）设S=
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ，则不大于S的最大整数[S]等于( )
❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +⋯+❑1+ +
12 22 22 32 32 42 992 1002
A．98 B．99 C．100 D．101
2．（2023下·湖北恩施·八年级统考期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为18cm2和32cm2的两个小正
方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（ ）
A．98cm2 B．60cm2 C．48cm2 D．38cm2
3．（2023上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期中）在一个正方形ABCD的内部按照如图方
式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形A B C D面积为20，两个小正方形重叠部分的面积
2 2 2
为5，空白部分的面积总和为10❑√2−10，则较小的正方形A BC D 面积为 ．
1 1 1
4．（2023下·浙江·八年级期中）读取表格中的信息，解决下列问题n=1 a =❑√3+4❑√7 b =❑√7+12 c =4❑√3+8
1 1 1
n=2 a =b +2c b =c +2a c =a +2b
2 1 1 2 1 1 2 1 1
n=3 a =b +2c b =c +2a c =a +2b
3 2 2 3 2 2 3 2 2
… … … …
a +b +c
已知 n n n=3645×(❑√7−❑√3+1)，求n= ．
❑√3+❑√7
5．（2022上·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）若x−0.5不是整数，令[x)为最接近x的整数，如
， ．则 ．
[2.4)=2 [2.6)=3 [❑√1×2)+[❑√2×3)+[❑√3×4)+⋅⋅⋅+[❑√22×23)=
6．（2023上·上海徐汇·八年级校联考期末）满足等式
x❑√y+❑√x y−❑√2022x−❑√2022y+❑√2022xy=2022的正整数对(x,y)的个数有 个
7．（2022上·全国·八年级期中）按照一定次序排列的一列数叫数列，一般用a 、a 、a …a 表示一个数
1 2 3 n
列，可简记为 ，现有数列 满足一个关系式 1 1+❑√5 n 1−❑√5 n ，则
{a } {a } a = [( ) −( ) ] a +a +…+a =
n n n ❑√5 2 2 1 2 10
．
8．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分
别为12dm2和27dm2的正方形木板．
（1）求原矩形木板的面积；
（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出
多少块这样的木条，请你直接写出答案．9．（2023下·河北邢台·八年级校考阶段练习）现有两块同样大小的长方形木板①、②，甲木工采用如图1
所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板A，B．
（1）截出的正方形木板A的边长为________ dm；
（2）求图1中阴影部分的面积；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板，请你判断
能否截出，并说明理由．
10．（2022下·甘肃定西·八年级统考期中）先阅读，后解答：
1 1×❑√2 ❑√2， ❑√3 ❑√3(❑√3+❑√2) 3+❑√6 ；像上述解题过程中，
= = = = =3+❑√6 ❑√2
2 ❑√2×❑√2 2 ❑√3−❑√2 (❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2) (❑√3) 2 −(❑√2) 2
与❑√2、❑√3−❑√2与❑√3+❑√2相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解
题过程也称为分母有理化．
（1）❑√7的有理化因式是______；❑√5+2的有理化因式是______．
（2）将下列式子进行分母有理化：
1 1
① =______； ② =______．
❑√5 ❑√2+11 1 1 1
（3）类比（2）中②的计算结果，计算： + + +⋅⋅⋅+ ．
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2013+❑√2012
1
11．（2022·八年级单元测试）定义f (x)= ，求f(1)+f(3)…+
√3 x2+2x+1+√3 x2−1+√3 x2−2x+1
f(2k−1)+…+f(999)的值.
12．（2023上·福建漳州·八年级校联考期中）观察下列等式及其验证过程：
√ 2 √2，验证：√ 2 √2×3+2 √23 √2
❑2+ =2❑ ❑2+ =❑ =❑ =2❑
3 3 3 3 3 3
√ 3 √3，验证：√ 3 √3×8+3 √33 √3
❑3+ =3❑ ❑3+ =❑ =❑ =3❑
8 8 8 8 8 8
√ 4
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想❑4+ =______．
15
（2）针对上述等式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．13．（2022上·四川资阳·九年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求
55 6
出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知 =7 ，但答
7 7
6
案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是7 的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问
7
题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出
实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为[x]．这里[x]=x−a，[x]+a=x，
其中 是一个整数， ，a称为实数x的小数部分，记作 ，所以有 ．例如，
[x] 0≤a<1 {Z ) x=[x]+{Z }
x x
[−14.3]=−15，{Z }=0.45．
2.45
关于取整运算有部分性质如下：
①x−1<[x]⩽x
②若n为整数，则[x+n]=[x]+n
请根据以上材料，解决问题：
（1）[❑√10]=___________；若m=[−π]，n={Z }，则m2+mn=___________；
−π
1 1 1 1
（2）记M= + + +⋯+ ，求[M]；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 2+❑√3 ❑√2022+❑√2021
3x+4 6x−7
（3）解方程：[ ]= ．
9 314．（2023上·四川达州·八年级校考期末）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：
√ 1 1 1 ＝|1+1+1|．
❑ + +
x2 y2 z2 x y z
例如：√ 1 1 1 ＝√ 1 1 1 ＝|1+1+ 1 |＝19请解决下列问题：
❑ + + ❑ + +
22 32 52 22 32 (−5) 2 2 3 (−5) 30
（1）求√ 1 1 1 的值．
❑ + +
22 42 62
（2）设S＝√ 1 1 +√ 1 1 +…+√ 1 1 ，求S的整数部分．
❑1+ + ❑1+ + ❑1+ +
12 22 22 32 20192 20202
（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当√ 1 1 1 +|1﹣1﹣1|取得最小值时，求x的取
❑ + +
x2 y2 z2 x y z
值范围．
15．（2023上·河南周口·九年级校考阶段练习）小明学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索：设 （
3+2❑√2=(1+❑√2) 2 a+b❑√2=(m+n❑√2) 2 a
，b，m，n均为整数），则有a+b❑√2=m2+2n2+2mn❑√2，所以a=m2+2n2，b=2mn，这样小明就找
到了一种把a+b❑√2的式子完全式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决以下问题：
（1）当a，b，m，n均为整数时，若 ，用含m，n的式子表示a，b，得：
a+b❑√3=(m+n❑√3) 2 a=
_____________，b=__________；
（2）若 ，求m，a的值；
a+4❑√3=(m+2❑√3) 2
（3）根据以上规律，则6+4❑√2=2（写一个即可）．
16．（2023上·江苏南通·八年级统考期末）【阅读材料】
小慧同学数学写作片段
乘法公式“大家族”
学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式
”“完全平方公式 和 ”，其实在教材
(a+b)(a−b)=a2−b2 (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a−b) 2=a2−2ab+b2
或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如，
；
(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3
；
(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3
；
(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn
．
(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
……
【解题运用】（1）在实数范围内因式分解： ___________；
x2−(❑√2+❑√3)x+❑√6=
（2）设x,y满足等式x2+2xy+ y2−12x−12y+36=0，求2x+2y的值；
1 1 1 (b) 3 (a) 3
（3）若正数a,b满足等式 − = ，求代数式 + 的值．
a b a+b a b
17．（2023下·山东聊城·八年级统考期中）小亮通过与同学交流，发现用以下方法也可以估算❑√27的近似
值：
∵25<27<36，∴5<❑√27<6
设 ，则 ，即 ，
❑√27=5+t (❑√27) 2=(5+t) 2 27=25+10t+t2
2 2
∴27≈25+10t，解得t≈ ，∴❑√27≈5+ =5.20；
10 10
（1）请你用小亮的方法估计❑√52的近似值（精确到0.01）；
（2）试把小亮的方法推广到一般情况：已知a，b，m是非负整数，如果a<❑√m0，b>0，则有下面的不等式：a+b≥2❑√ab，当且仅当 a=b
时，取到等号．
4
例如：已知x>0，求式子 x+ 的最小值．
x
4 4 √ 4
解：令 a=x，b= ，则由 a+b≥2❑√ab，得 x+ ≥2❑ x⋅ =4，
x x x
4
当且仅当 x= 时，即正数 x=2时，式子有最小值，最小值为4．
x
请根据上面材料回答下列问题：
9
（1）当x>0，式子 x+ 的最小值为 ；
x（2）如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，
篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少
米？
（3）如图2，四边形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，△AOB、△COD的面积分别是6和12，
求四边形 ABCD面积的最小值．
19．（2023下·北京西城·八年级校考期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均
数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
a+b
M= 称为a，b这两个数的算术平均数，
2
N=❑√ab称为a，b这两个数的几何平均数，
√a2+b2称为 ， 这两个数的平方平均数
P=❑ a b
2小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
5
（1）若a=−2，b=−3，则M=− ；N=________；P=_______；
2
（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种
平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为M2，P2的图形：
②借助图形可知，当a，b都是正数时，M,N,P的大小关系是： ___________（把M,N,P从小到大排
列，并用“<”或“≤”号连接）；
③若a+b=5．则P的最小值为________．
20．（2022下·北京·七年级人大附中校考期中）生活常用打印纸A4纸的长宽比为❑√2，此比值也叫白银
比．现对于平面直角坐标系 中的不同两点 ，给出如下定义：若
xOy A(x ,y ),B(x ,y )
1 1 2 2
，则称A，B互为“白银点”．例如，点 互为“白银点”．
|y −y )=❑√2|x −x ) A(3,2),B(4,2−❑√2)
1 2 1 2（1）在 四个点中，能与坐标原点互为“白银点”的
P (1,❑√2),P (❑√2,❑√2),P (❑√2,1),P (−1,❑√2)
1 2 3 4
是：__________；
（2）已知A(1,0)，点B为点A的“白银点”，且△AOB面积为❑√2，求点B的坐标；
（3）已知C(3,0)、D(3,1)，在（2）的条件下，将线段OA向y轴方向平移m个单位（m值为正则向上
平移m个单位，m值为负则向下平移m个单位）得线段O A ，若线段O A 上存在线段CD中某个点的
1 1 1 1
“白银点”，则m的取值范围为_______________．
