文档内容
二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（23-24七年级上·上海杨浦·阶段练习）在根式中，同类二次根式有（ ）组
√ x √ y √a2+b2 √ y √ x √ b+a
①❑√4x y2和❑ ；②❑√2xy和❑ ；③❑ 和❑√a2+b2；④❑ 和❑ ；⑤❑ 和
y 2x 2 x y b−a
√ 1 1
❑ − (b>a>0)
a2 b2
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
根据同类二次根式的定义，把各个二次根式化简为最简二次根式，找出被开方数相同的一组即可得求解．
【解题过程】
√ x √xy ❑√xy
解：①❑√4x y2=2|y)❑√x，❑ =❑ = ，不是同类二次根式；
y y2 |y)
√ y √ 2xy ❑√2xy
②❑√2xy是最简二次根式， ❑ =❑ = ，是同类二次根式；
2x (2x) 2 |2x)
√a2+b2 ❑√2a2+2b2
③❑ = 和❑√a2+b2，不是同类二次根式；
2 2
√ y √xy ❑√xy √ x √xy ❑√xy
④❑ =❑ = ，❑ =❑ = ，是同类二次根式；
x x2 |x) y y2 |y)
√ b+a √(b+a)(b−a) ❑√b2−a2 √ 1 1 √b2−a2 ❑√b2−a2
⑤❑ =❑ = ，❑ − =❑ = ，是同类二次根式；
b−a (b−a) 2 b−a a2 b2 a2b2 ab同类二次根式有三组，
故选：C．
2．（3分）（2024八年级上·全国·专题练习）若❑√a−3+❑√b−2=0，则下列各数中，与❑√3的积为有理数
的是（ ）
A．❑√a B．❑√b C．❑√a+b D．❑√ab
【思路点拨】
本题主要考查了非负数的性质，二次根式乘法计算，根据非负数的性质得到a−3=0，b−2=0，则
a=3，b=2，据此求出四个选项中的数，再计算着四个数与❑√3的乘法即可得到答案．
【解题过程】
解：∵❑√a−3+❑√b−2=0，❑√a−3≥0，❑√b−2≥0，
∴❑√a−3=❑√b−2=0，
∴a−3=0，b−2=0，
∴a=3，b=2，
∴❑√a=❑√3，❑√b=❑√2，❑√a+b=❑√5，❑√ab=❑√6，
∴❑√a×❑√3=3，❑√b×❑√3=❑√6，❑√a+b×❑√3=❑√15，❑√ab×❑√3=3❑√2，
故选：A．
3．（3分）（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知一列数据为0，❑√2，2，❑√6，2❑√2，❑√10，2❑√3
，…，若第10个数据用字母a表示，则下列各数中，与(3+a)的积为有理数的是（ ）
A．2❑√2−1 B．2❑√5+2 C．❑√5−1 D．❑√2−1
【思路点拨】
本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质等知识点．由题干中数据总结规律求得a=3❑√2，再根据有
理化因式计算即可．
【解题过程】
解：第1个数据为0=❑√2×0，
第2个数据为❑√2=❑√2×1，
第3个数据为2=❑√4=❑√2×2，
第4个数据为❑√6=❑√2×3，
⋯
则第10个数据为a=❑√2×9=3❑√2，
∴(3+a)为(3+3❑√2)=3(1+❑√2)，∴与(3+a)的积为有理数的是❑√2−1，
故选：D．
4．（3分）（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数a、m、n满足❑√a2−4❑√5=❑√m−❑√n．则这样的
a、m、n的取值（ ）．
A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在
【思路点拨】
本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据
❑√a2−4❑√5=❑√m−❑√n，得出a2−4❑√5=m+n−2❑√mn，即可得出a2=m+n，mn=20，m>n，根据
20=20×1=10×2=5×4，分三种情况求出a2的值进行验证即可．
【解题过程】
解：∵❑√a2−4❑√5=❑√m−❑√n，
∴a2−4❑√5=m+n−2❑√mn，
∴a2=m+n，mn=20，m>n，
又∵20=20×1=10×2=5×4，
当m=20,n=1时，a2=21不合题意，
当m=10,n=2时，a2=12不合题意，
当m=5,n=4时，a2=9符合题意，
∴满足条件的取值只有1组．
故选：A．
√ y √ x
5．（3分）（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y为实数，xy=5，那么 x❑ + y❑ 的值为
x y
（ ）
A．−❑√5 B．±❑√5 C．❑√5 D．±2❑√5
【思路点拨】
本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当x>0，y>0或x<0，y<0时，直接
利用二次根式的性质化简，再整体代入xy=5即可求解．
【解题过程】
解：∵xy=5，
∴分情况讨论，当x>0，y>0时，
√ y √ x √xy √xy x y
∴x❑ + y❑ =x❑ + y❑ = ❑√xy+ ❑√xy=2❑√xy=2❑√5；
x y x2 y2 x y
当x<0，y<0时，
√ y √ x √xy √xy x y
∴x❑ + y❑ =x❑ + y❑ =− ❑√xy− ❑√xy=−2❑√xy=−2❑√5，
x y x2 y2 x y
√ y √ x
综上，x❑ + y❑ 的值为±2❑√5．
x y
故选：D．
6．（3分）（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足2m+❑√2mn+n=2，则❑√mn的最大
值为（ ）
1 ❑√2 ❑√3 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
【思路点拨】
本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将2m+❑√2mn+n=2变形
为(❑√2m) 2+❑√2mn+(❑√n) 2=2，配方得到(❑√2m−❑√n) 2=2−3❑√2mn，根据(❑√2m−❑√n) 2 ≥0得到
2−3❑√2mn≥0，进而求解即可．
【解题过程】
解：∵m，n均为正实数，
∴2m+❑√2mn+n=2可化为(❑√2m) 2+❑√2mn+(❑√n) 2=2，
∴(❑√2m) 2 −2❑√2mn+(❑√n) 2=2−3❑√2mn，
即(❑√2m−❑√n) 2=2−3❑√2mn，
∵(❑√2m−❑√n) 2 ≥0，
∴2−3❑√2mn≥0，
❑√2
∴❑√mn≤ ，
3
❑√2
∴❑√mn的最大值为 ．
3故选：B
7．（3分）（23-24八年级下·浙江·阶段练习）已知x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3，则代数式
❑√x2+2xy+ y2+x−y−4的值为（ ）
❑√3 3 ❑√5−1
A． B． C．❑√3−1 D．
2 4 2
【思路点拨】
根据已知，得到x+ y=❑√2−❑√3+❑√2+❑√3=2❑√2,x−y=❑√2−❑√3−❑√2−❑√3=−2❑√3，整体思想带入求
值即可．
【解题过程】
解：∵x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3，
∴x+ y=❑√2−❑√3+❑√2+❑√3=2❑√2,x−y=❑√2−❑√3−❑√2−❑√3=−2❑√3，
∴❑√x2+2xy+ y2+x−y−4=❑√(x+ y) 2+(x−y)−4
=❑√(2❑√2) 2 −2❑√3−4
=❑√8−2❑√3−4
=❑√4−2❑√3
=❑√(❑√3) 2 −2❑√3+1
=❑√(❑√3−1) 2
=❑√3−1．
故选C．
1
8．（3分）（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知x= ，则
❑√2024−❑√2023
x6−2❑√2023x5−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024的值为（ ）
A．0 B．1 C．❑√2023 D．❑√2024
【思路点拨】
本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把x=❑√2024+❑√2023代入所求式子进
行化简求值是解题的关键．
先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可．
【解题过程】1
解：∵x= ，
❑√2024−❑√2023
1 ❑√2024+❑√2023
∴x= = =❑√2024+❑√2023，
❑√2024−❑√2023 (❑√2024−❑√2023)(❑√2024+❑√2023)
∴x6−2❑√2023x5−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=(❑√2024+❑√2023−2❑√2023)x5−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=(❑√2024−❑√2023)x5−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=(❑√2024−❑√2023)(❑√2024+❑√2023)x4−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=x4−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024
=(❑√2024+❑√2023−2❑√2024)x2+2x−❑√2024
=(❑√2023−❑√2024)x2+2x−❑√2024
=(❑√2023−❑√2024)(❑√2024+❑√2023)x+2x−❑√2024
=−x+2x−❑√2024
=x−❑√2024
=❑√2024+❑√2023−❑√2024
=❑√2023．
故选：C．
9．（3分）（23-24八年级下·重庆·阶段练习）已知多项式A =x2+nx+1，下列说法正确的有（ ）
n
个：
①若x=−1，则A =0；
2
A
②若 3 为整数，则整数x的值为2或6；
x−1
❑√3
③❑√2A +12的最小值为 ；
5 2
1
④令B = ，则B +B +B +⋯+B =❑√A +101−❑√A +1．
m ❑√A +m+❑√A +m+1 1 2 3 100 1 1
1 1A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
A x2+3x+1 5x
根据代数式求值对①进行判断即可；②将 3 化为 =x−1+ ，根据式子为整数分析求解
x−1 x−1 x−1
√ ( 5) 2 1
即可；③求出❑√2A +12=❑2 x+ + ，即可得出最小值；④根据分母有理化算出
5 2 2
Bm=❑√A +m+1−❑√A +m，进而求解即可．
1 1
【解题过程】
解：①当x=−1时，A =(−1) 2+2×(−1)+1=0，故①正确；
2
A x2+3x+1 5x
②当 3 整数时，则 =x−1+ 为整数，
x−1 x−1 x−1
∵x为整数，
5x
∴x−1为整数， 取整数，
x−1
A
当x=0或−4时， 3 也为整数，故②错误；
x−1
③❑√2A +12=❑√2(x2+5x+1)+12=❑ √ 2 ( x+ 5) 2 + 1 ，
5 2 2
5 ❑√2
当x=− 时，❑√2A +12的最小值为 ，故③错误；
2 5 2
1
④B =
m ❑√A +m+❑√A +m+1
1 1
❑√A +m+1−❑√A +m
= 1 1
(❑√A +m+1+❑√A +m)(❑√A +m+1−❑√A +m)
1 1 1 1
=❑√A +m+1−❑√A +m，
1 1
∴B =❑√A +1+1−❑√A +1=❑√A +2−❑√A +1，
1 1 1 1 1
B =❑√A +2+1−❑√A +2=❑√A +3−❑√A +2，
2 1 1 1 1B =❑√A +3+1−❑√A +3=❑√A +4−❑√A +3，
3 1 1 1 1
……
B =❑√A +100+1−❑√A +100=❑√A +101−❑√A +100，
100 1 1 1 1
∴B +B +B +⋯+B
1 2 3 100
=❑√A +2−❑√A +1+❑√A +3−❑√A +2+❑√A +4−❑√A +3+…+❑√A +101−❑√A +100
1 1 1 1 1 1 1 1
=❑√A +101−❑√A +1，
1 1
故④正确，
故选:B．
10．（3分）（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）二次根式除法可以这样解：如
2+❑√3 (2+❑√3)(2+❑√3)
= =7+4❑√3．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根
2−❑√3 (2−❑√3)(2+❑√3)
号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（ ）
3
①若a是❑√2的小数部分，则 的值为❑√2+1；
a
1 1
②比较两个二次根式的大小 > ；
❑√6−2 ❑√5−❑√3
2 2 2 2 ❑√3
③计算 + + +⋯+ =1− ；
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 99❑√97+97❑√99 3
1
④对于式子 ，对它的分子分母同时乘以❑√5−❑√2或❑√5或7−2❑√10，均不能对其分母有理化；
❑√5−❑√2
⑤设实数x，y满足(x+❑√x2+2024)(y+❑√y2+2024)=2024，则(x+ y) 2+2024=2024；
❑√n+1−❑√n 1
⑥若x= ，y= ，且19x2+123xy+19 y2=1985，则正整数n=2．
❑√n+1+❑√n x
A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥
【思路点拨】
本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合计算，分母有理化，注意：认真阅读材料，理解材料中的
知识，分母有理化，解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化．3
①a=❑√2−1，把 直接分母有理化即可判断．
a
1 1
把 和 分别分母有理化比较大小即可．
❑√6−2 ❑√5−❑√3
把原式的各项先分母有理化，再化为两个根式的差，计算即可得到结果．
④按照题意，分别进行分母有理化计算即可判断．
⑤先化简成x+❑√x2+2024=❑√y2+2024−y和y+❑√y2+2024=❑√x2+2024−x两个式子，把两个式子相加
即可求出x+ y=0，再判断即可．
⑥分别把x和y分母有理化，求出x+ y和xy的值，代入19x2+123xy+19 y2=1985，求出x2+ y2=98，再
求出x+ y的值即可．
【解题过程】
3 3 3(❑√2+1)
解：①若a是❑√2的小数部分，则 = = =3❑√2+3，
a ❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2+1)
故①错误，不符合题意．
1 ❑√6+2 ❑√6+2 1 ❑√5+❑√3
②∵ = = ， = ，❑√6+2>❑√5+❑√3，
❑√6−2 (❑√6+2)(❑√6−2) 2 ❑√5−❑√3 2
1 1
∴ > ，
❑√6−2 ❑√5−❑√3
故②正确，符合题意．
2 2 2 2
③ + + +⋯+
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 99❑√97+97❑√99
3−❑√3 5❑√3−3❑√5 7❑√5−5❑√7 99❑√97−97❑√99
= + + +⋯+
3 15 35 9603
❑√3 ❑√3 ❑√5 ❑√5 ❑√7 ❑√7 ❑√97 ❑√99
=1− + − + + − +⋯+ −
3 3 5 5 7 7 97 99
❑√99
=1−
99
❑√11
=1− ．
33
故③错误，不符合题意．
1 ❑√5−❑√2 ❑√5−❑√2
= =
④ ，
❑√5−❑√2 (❑√5−❑√2)(❑√5−❑√2) 7−2❑√101 ❑√5 ❑√5
= =
，
❑√5−❑√2 (❑√5−❑√2)×❑√5 5−❑√10
1 7−2❑√10 7−2❑√10
= =
，
❑√5−❑√2 (❑√5−❑√2)(7−2❑√10) 15❑√5−17❑√2
∴均不能对其分母有理化，
故④正确．
⑤∵(x+❑√x2+2024)(y+❑√y2+2024)=2024，
2024
∴
(x+❑√x2+2024)=
，
y+❑√y2+2024
∴x+❑√x2+2024=❑√y2+2024−y，
同理y+❑√y2+2024=❑√x2+2024−x，两式相加得，x+ y=0，
∴(x+ y) 2+2024=2024．
故⑤正确．
❑√n+1−❑√n (❑√n+1−❑√n2)
⑥x= = =2n+1−2❑√n(n+1)，
❑√n+1+❑√n (❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n)
1 ❑√n+1+❑√n
y= = =2n+1+2❑√n(n+1)，
x ❑√n+1−❑√n
∴x+ y=4n+2，xy=1，x>0，y>0，
∴19x2+123xy+19 y2=1985，
∴x2+ y2=98，
∴(x+ y) 2=x2+ y2+2xy=100，
∴x+ y=10，
∴n=2．
故⑥正确．
故选：C．
评卷人 得 分二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）（23-24八年级下·安徽·阶段练习）已知A=2❑√2x+1，B=3❑√x+3，C=❑√10x+3 y，其中
A，B为最简二次根式，且A+B=C，则2y−x的值为 ．
【思路点拨】
根据题意得出2x+1=x+3，求出x=2，进而得出10x+3 y=(5❑√5) 2=125，求出y=35，再代入求值即
可．
【解题过程】
解：∵A，B为最简二次根式，且A+B=C，
∴2x+1=x+3，
解得x=2，
∴A=2❑√5，B=3❑√5，A+B=5❑√5=C，
∴10x+3 y=(5❑√5) 2=125，
解得y=35，
∴2y−x=2×35−2=68．
故答案为：68．
12．（3分）（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若m满足关系式
❑√3x+5 y−2−m+❑√2x+3 y−m=❑√1−x−y⋅❑√x−1+ y ，则m= ．
【思路点拨】
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得
1−x−y=x−1+ y=0，即得x+ y=1，❑√3x+5 y−2−m+❑√2x+3 y−m=0，再根据二次根式的非负性
{ x+ y=1 )
得3x+5 y−2−m=0，2x+3 y−m=0，即得x+2y=2，再解方程组 求出x、y的值即可求
x+2y=2
解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键．
【解题过程】
解：由题意得，1−x−y≥0，x−1+ y≥0，
∴1−x−y=x−1+ y=0，
∴x+ y=1，❑√3x+5 y−2−m+❑√2x+3 y−m=0，
∴3x+5 y−2−m=0，2x+3 y−m=0，
∴x+2y=2，{ x+ y=1 ) {x=0)
由 ，解得 ，
x+2y=2 y=1
∴0+3×1−m=0，
∴m=3，
故答案为：3．
x−y x+ y−2❑√xy
13．（3分）（24-25九年级上·上海·阶段练习）化简 − = ．
❑√x−❑√y ❑√x−❑√y
【思路点拨】
本题主要考查了二次根式的混合运算，直接利用二次根式的性质化简得出答案即可，正确化简二次根式是
解题关键．
【解题过程】
x−y x+ y−2❑√xy
解： −
❑√x−❑√y ❑√x−❑√y
x−y−x−y+2❑√xy
=
❑√x−❑√y
−2y+2❑√xy
=
❑√x−❑√y
(−2y+2❑√xy)(❑√x+❑√y)
=
(❑√x−❑√y)(❑√x+❑√y)
(−2y+2❑√xy)(❑√x+❑√y)
=
(❑√x−❑√y)(❑√x+❑√y)
2❑√y(−❑√y+❑√x)(❑√x+❑√y)
=
(❑√x−❑√y)(❑√x+❑√y)
=2❑√y，
故答案为：2❑√y．
14．（3分）（24-25九年级上·四川内江·期中）实数x、y、z满足条件
1
❑√x+❑√y−1+❑√z−2= (x+ y+z+9)，则xy−z的值是 ．
4
【思路点拨】
本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都有根号，
而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于0的形式，从而可以分别求出x、y、z的值，即可求解．
【解题过程】
解：将题中等式移项并将等号两边同乘4得
x−4❑√x+ y−4❑√y−1+z−4❑√z−2+9=0 ，
∴ (x−4❑√x+4)+(y−1−4❑√y−1+4)+(z−2−4❑√z−2+4)=0 ，
∴ (❑√x−2) 2+(❑√y−1−2) 2+(❑√z−2−2) 2=0，
∴ ❑√x−2=0 ，❑√y−1−2=0，❑√z−2−2=0，
∴ ❑√x=2，❑√y−1=2，❑√z−2=2，
∴x=4 y−1=4 z−2=4
∴x=4 y=5 z=6
∴xy−z=20−6=14．
故答案为：14．
√1
15．（3分）（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）在算式“○+❑√8□❑ ”中，“○”表示实数，
2
“□”表示“+”“−”“×”“÷”中的某一个运算符号．
9❑√2
（1）当“□”表示“－”时，运算结果为 ，则“○”表示的数为 ；
2
（2）若“○”表示的是（1）中所求的数，当算式的结果最大时，“□”表示的运算符号是 ．
【思路点拨】
（1）设“○”表示的数为x，根据二次根式的加减运算进行计算即可求解；
（2）根据题意，分别计算当“□”表示“+”“−”“×”“÷”中的某一个运算符号时的算式，即可求
解；
本题考查了二次根式的混合运算，无理数的大小比较，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【解题过程】
（1）设“○”表示的数为x，
√1 9❑√2
则x+❑√8−❑ = ，解得：x=3❑√2，
2 2
∴“○”表示的数为3❑√2，
故答案为：3❑√2；
（2）由（1）得：“○”表示的数为3❑√2，√1 ❑√2 11❑√2
当“□”运算符号是“+”时，3❑√2+❑√8+❑ =3❑√2+2❑√2+ = ，
2 2 2
√1 ❑√2 9❑√2
当“□”运算符号是“−”时，3❑√2+❑√8−❑ =3❑√2+2❑√2− = ，
2 2 2
√1 √ 1
当“□”运算符号是“×”时，3❑√2+❑√8×❑ =3❑√2+❑8× =3❑√2+2，
2 2
√1
当“□”运算符号是“÷”时，3❑√2+❑√8÷❑ =3❑√2+❑√8×2=3❑√2+4，
2
9❑√2 11❑√2
∴3❑√2+2< < <3❑√2+4，
2 2
∴“□”表示的运算符号是“÷”，
故答案为：÷．
评卷人 得 分
三、解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（12分）（24-25八年级上·山东青岛·期末）化简计算：
√1
（1）❑√12−3×❑ +√3−8
3
√1 ❑√600
（2）❑√54−4❑ +
6 3
❑√72−❑√16
（3）(❑√3+1)(❑√3−1)−
❑√8
（4）❑√12−2❑√35；
（5）❑√5−❑√24；
（6）❑√4+❑√15+❑√4−❑√15．
【思路点拨】
本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键：
（1）先根据立方根和算术平方根的性质化简，再计算，即可求解；
（2）先根据算术平方根的性质化简，再计算，即可求解．
（3）根据平方差公式和二次根式的混合运算法则计算即可求解；
（4）把被开方数化为完全平方的形式即可得解，
（5）将❑√5−❑√24转化为❑√5−2❑√6，再根据解答过程即可得解，√ √15 √ √15
（6）将❑√4+❑√15+❑√4−❑√15转化为❑4+2❑ +❑4−2❑ ，再根据解答过程即可得解；
4 4
【解题过程】
√1
（1）解：❑√12−3×❑ +√3−8
3
=2❑√3−❑√3−2
=❑√3−2
√1 ❑√600
（2）解：❑√54−4❑ +
6 3
2❑√6 10❑√6
=3❑√6− +
3 3
17
= ❑√6
3
❑√72−❑√16
（3）解：(❑√3+1)(❑√3−1)−
❑√8
=3−1−(3−❑√2)
=❑√2−1
（4）解：❑√12−2❑√35
=❑√(5+7)−2❑√5×7
=❑√(❑√7) 2 −2×❑√5×❑√7+(❑√5) 2
=❑√(❑√7−❑√5) 2
=❑√7−❑√5；
（5）解：❑√5−❑√24=❑√5−2❑√6=❑√(❑√3−❑√2) 2=❑√3−❑√2
=❑√(3+2)−2❑√2×3
=❑√(❑√3) 2 −2×❑√3×❑√2+(❑√2) 2
=❑√(❑√3−❑√2) 2
=❑√3−❑√2；（6）解：❑√4+❑√15+❑√4−❑√15
√ √15 √ √15
=❑4+2❑ +❑4−2❑
4 4
√5 √15 3 √5 √15 3
=❑ +2❑ + +❑ −2❑ +
2 4 2 2 4 2
√ (√5 √3) 2 √ (√5 √3) 2
=❑ ❑ +❑ +❑ ❑ −❑
2 2 2 2
√5 √3 √5 √3
=❑ +❑ +❑ −❑
2 2 2 2
√5
=2❑
2
=❑√10．
17．（4分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿
地的长BC为9❑√3m，宽AB为8❑√2m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方
形花坛的长为(❑√14+1)m，宽为(❑√14−1)m．
（1）求长方形ABCD的周长．
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，则购买地砖
需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【思路点拨】
本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
（1）根据长方形ABCD的周长=2(AB+BC)计算即可；
（2）用长方形ABCD的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可．
【解题过程】
（1）解：2×(9❑√3+8❑√2)=(18❑√3+16❑√2)(m)．
∴ 长方形ABCD的周长是(18❑√3+16❑√2)m．
（2）解：5×[9❑√3×8❑√2−(❑√14+1)(❑√14−1)]
=5×[72❑√6−(14−1)]=5×(72❑√6−13)
=(360❑√6−65)元．
答：购买地砖需要花费(360❑√6−65)元．
18．（4分）（23-24八年级下·全国·单元测试）先观察下列等式，再回答问题：
√ 1 1 1 1 1
①❑1+ + =1+ − =1 ；
12 22 1 1+1 2
√ 1 1 1 1 1
②❑1+ + =1+ − =1 ；
22 32 2 2+1 6
√ 1 1 1 1 1
③❑1+ + =1+ − =1 ；
32 42 3 3+1 12
√ 1 1
（1）根据上面三个等式，请猜想❑1+ + 的结果（直接写出结果）
42 52
（2）根据上述规律，解答问题：
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
设m=❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +⋯+❑1+ + ，求不超过m的最大整数是多
12 22 22 32 32 42 20232 20242
少？
【思路点拨】
（1）由①②③的规律写出式子即可；
（2）根据题目中的规律计算即可得到结论．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律．
【解题过程】
√ 1 1 1 1 1 1
（1）解：① ❑1+ + =1+ − =1 =1+ ；
12 22 1 1+1 2 1×2
√ 1 1 1 1 1 1
② ❑1+ + =1+ − =1 =1+ ；
22 32 2 2+1 6 2×3
√ 1 1 1 1 1 1
③ ❑1+ + =1+ − =1 =1+ ，
32 42 3 3+1 12 3×4√ 1 1 1 1
故❑1+ + =1+ =1 ．
42 52 4×5 20
√ 1 1 1 1 1 1
（2）解：① ❑1+ + =1+ − =1 =1+
12 22 1 1+1 2 1×2
( 1)
=1+ 1− ；
2
√ 1 1 1 1 1 1
② ❑1+ + =1+ − =1 =1+
22 32 2 2+1 6 2×3
(1 1)
=1+ − ；
2 3
√ 1 1 1 1 1 1
③ ❑1+ + =1+ − =1 =1+
32 42 3 3+1 12 3×4
(1 1)
=1+ − ，
3 4
√ 1 1 1 1 (1 1)
❑1+ + =1+ =1 =1+ − ，……
42 52 4×5 20 4 5
√ 1 1 1 ( 1 1 )
❑1+ + =1+ =1+ − ，
20232 20242 2023×2024 2023 2024
1 2023
故m=2023+1− =2023 ．
2024 2024
故不超过m的最大整数是2023．
19．（6分）（24-25八年级上·福建漳州·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面
积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记
a+b+c
p= ，则其三角形的面积公式为：
2
①S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)（海伦公式），
√ 1[ (a2+b2−c2 ) 2 )
②S=❑ a2b2− （秦九韶公式）．
4 2
已知在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a，b，c满足(a−❑√5) 2+|b−❑√5)+❑√c−4=0．（1）直接写出a，b，c的值；
（2）请从①、②中选择一个合适的公式，求出△ABC的面积；
（3）如图，若CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，求DE的长．
【思路点拨】
本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式、角平分线的性质、二次根式的混合运算等知识点，灵活运
用相关运算法则成为解题的关键．
（1）根据非负数的性质得到a−❑√5=0,b−❑√5=0,c−4=0，然后解一次方程得到a、b、c的值即可；
（2）选择公式①，先计算出p=❑√5+2，再把a、b、c、p的值代入公式①，然后利用平方差公式和二次根
式的性质计算即可；选择公式②，把a、b、c的值代入公式②计算即可；
1
（3）如图：过E点作EH⊥AC于H点，先利用△ABC为等腰三角形得到AD=BD= c=2，再根据角
2
1 1 1
平分线的性质得到EH=ED，然后利用面积法得到 ×❑√5×EH+ ×2×ED= ，从而可求出ED的长．
2 2 2
【解题过程】
（1）解：∵(a−❑√5) 2+|b−❑√5)+❑√c−4=0，
∴a−❑√5=0,b−❑√5=0,c−4=0．
∴a=❑√5,b=❑√5,c=4．
a+b+c ❑√5+❑√5+4
（2）解：选择公式①：∵p= = =❑√5+2，
2 2
∴S=❑√(❑√5+2)(❑√5+2−❑√5)(❑√5+2−❑√5)(❑√5+2−4)
=❑√(❑√5+2)×2×2×(❑√5−2)
=❑√(5−4)×2×2
=2；
选择公式②：∵a=❑√5,b=❑√5,c=4，√ 1[ (a2+b2−c2 ) 2 )
∴S=❑ a2b2−
4 2
√ 1 [ (❑√5 2+❑√5 2 −42) 2 )
=❑ ❑√5 2 ⋅❑√5 2 −
4 2
=❑
√1[
25−
(5+5−16) 2 )
4 2
√1
=❑ (25−9)
4
√1
=❑ ×16
4
=2．
（3）解：如图：过E点作EH⊥AC于H点，
∵a=b=❑√5，
∴△ABC为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
1
∴AD=BD= c=2，
2
∵AE平分∠BAC，EH⊥AC，ED⊥AB，
∴EH=ED，
1
∵S +S =S = S ，
△ACE △ADE △ACD 2 △ABC
1 1 1
∴ ×❑√5×EH+ ×2×ED= ×2，
2 2 2
❑√5
∴ ED+ED=1，解得：ED=2❑√5−4．
2
20．（6分）（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方
法”会取得很好的效果．例如，比较a=2❑√3和b=3❑√2的大小，我们可以把a和b分别平方．
因为a2=12，b2=18，所以a2d2，
∴c>d；
（2）解：m4❑√30，
∴m21时，即p>2，
❑√p−2❑√p−1+❑√4 p+8❑√p−1=❑√p−1−1+2+2❑√p−1=3❑√p−1+1，
综上，❑√p−2❑√p−1+❑√4 p+8❑√p−1的值为3+❑√p−1或3❑√p−1+1，
故答案为：3+❑√p−1或3❑√p−1+1．
21．（6分）（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如
1 2
, 的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：
❑√2 ❑√3−❑√2
1 ❑√2 ❑√2 2 2×(❑√3+❑√2) 2❑√3+2❑√2 2❑√3+2❑√2
= =
；
= = = =2❑√3+2❑√2．类似
❑√2 (❑√2) 2 2 ❑√3−❑√2 (❑√3−❑√2)×(❑√3+❑√2) (❑√3) 2 −(❑√2) 2 3−2
❑√2 (❑√2) 2 2
地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：❑√2= = = ；
1 ❑√2 ❑√2
❑√3−1 (❑√3−1)×(❑√3+1) (❑√3) 2 −12 3−1 2
= = = = ．根据上述知识，请你完成下列问题：
❑√3 ❑√3×(❑√3+1) (❑√3) 2+❑√3 3+❑√3 3+❑√3
1 1
（1）比较大小： ______ （填“>”，“<”或“=”）．
3−❑√7 ❑√11−3
（2）运用分子有理化，比较❑√7−❑√6与❑√6−❑√5的大小，并说明理由；
1 1 1 1
（3）计算： + + +⋯+ ；
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2023+❑√2024
2
（4）若a= ，求3a2−6a+5的值．
❑√3−1
【思路点拨】
本题考查的是分母有理化，分子有理化，理解题意，熟悉阅读部分的运算要求与运算法则，再解决问题即
可．
（1）根据分母有理化是要求把原式化简， 再比较即可得到答案；
（2）根据分子有理化是要求把原式变形为(❑√7+❑√6)(❑√7−❑√6) (❑√6−❑√5)(❑√6+❑√5)
❑√7−❑√6= ,❑√6−❑√5= ， 再计算出结果， 再比较大小即
❑√7+❑√6 ❑√6+❑√5
可；
（3）依次把每一项分母有理化，再合并即可；
2
（4）把a= 进行分母有理化化简，再将其代入3a2−6a+5即可求解．
❑√3−1
【解题过程】
1 1×(3+❑√7) 3+❑√7
（1）解： = = ，
3−❑√7 (3−❑√7)×(3+❑√7) 2
1 1×(❑√11+3) ❑√11+3
= = ，
❑√11−3 (❑√11−3)×(❑√11+3) 2
∵❑√11>❑√7，
3+❑√7 ❑√11+3
∴ < ，
2 2
1 1
∴ < ，
3−❑√7 ❑√11−3
故答案为：<．
❑√7−❑√6 (❑√7+❑√6)(❑√7−❑√6) 1
（2）解：∵❑√7−❑√6= = = ，
1 ❑√7+❑√6 ❑√7+❑√6
❑√6−❑√5 (❑√6−❑√5)(❑√6+❑√5) 1
❑√6−❑√5= = = ，
1 ❑√6+❑√5 ❑√6+❑√5
由❑√7+❑√6>❑√6+❑√5>0，
1 1
∴ < ，
❑√7+❑√6 ❑√6+❑√5
∴❑√7−❑√6<❑√6−❑√5．
1 1 1 1 1
（3）解： + + + +⋯+
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√4+❑√5 ❑√2023+❑√2024
=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯+❑√2023−❑√2022+❑√2024−❑√2023
=−1+❑√2024=−1+2❑√506；
2 2×(❑√3+1)
（4）解：a= = =❑√3+1，
❑√3−1 (❑√3−1)×(❑√3+1)
∴3a2−6a+5=3(a2−2a)+5=3(a−1) 2+2=3(❑√3+1−1) 2+2=11．22．（8分）（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
1 1 1 1 1 1 1 1
小华在学习分式运算时，通过具体运算： =1− ， = − ， = − ，……
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1
发现规律： = − （n为正整数），并证明了此规律成立．
n⋅(n+1) n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
应用规律：快速计算 + + +⋯+ =1− + − +⋯+ − =1− = ．
1×2 2×3 3×4 9×10 2 2 3 9 10 10 10
材料二：根式化简
1 1 ❑√3−1 1( 1 )
例1 = = = 1− ；
3+❑√3 ❑√3(❑√3+1) ❑√3(❑√3+1)(❑√3−1) 2 ❑√3
1 1 ❑√5−❑√3 1( 1 1 )
例2 = = = −
5❑√3+3❑√5 ❑√15(❑√5+❑√3) ❑√15(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2 ❑√3 ❑√5
任务一：化简．
1
（1）化简：
7❑√5+5❑√7
1
（2）猜想： = ___________________（n为正整数）．
(2n+1)❑√2n−1+(2n−1)❑√2n+1
任务二：应用
1 1 1 1
（3）计算： + + +⋯+ ；
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49
任务三：探究
❑√3−1
（4）已知x= ，
2
❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023
y= + +⋯+ ，比较x和y的
1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025
大小，并说明理由．
【思路点拨】
本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简．
（1）根据题目中的例子可以写出答案；
（2）根据例2，可以写出相应的猜想；
（3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案；（4）结合例1，例2的规律进行计算即可；
【解题过程】
1 1 ❑√7−❑√5 1( 1 1 )
（1） = = = −
7❑√5+5❑√7 ❑√35(❑√7+❑√5) ❑√35(❑√7+❑√5)(❑√7−❑√5) 2 ❑√5 ❑√7
1
（2）
(2n+1)❑√2n−1+(2n−1)❑√2n+1
1
=
，
❑√(2n+1)(2n−1)(❑√2n+1+❑√(2n−1))
❑√2n+1−❑√(2n−1)
=
，
❑√(2n+1)(2n−1)(❑√2n+1+❑√(2n−1))
1( 1 )
= ，
2 ❑√2n−1−❑√2n−1
1( 1 )
故答案为： ；
2 ❑√2n−1−❑√2n−1
1 1 1 1
（3） + + +⋯+
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49
1 1 1 1
= + + +⋯+
❑√3(❑√3+1) ❑√15(❑√5+❑√3) ❑√35(❑√7+❑√5) ❑√2303(❑√49+❑√47)
❑√3+1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√49−❑√47
= + + +⋯+
2❑√3 2❑√15 2❑√35 2❑√2303
1( 1 1 1 1 1 1 1 )
= 1− + − + − ⋯+ −
2 ❑√3 ❑√3 ❑√5 ❑√5 ❑√7 ❑√47 ❑√49
1 ( 1)
= × 1−
2 7
3
= ；
7
❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023
（4）y= + +⋯+
1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025
1 1 1 1 1 1
= − + − +⋯+ − ，
❑√3+1 ❑√5+1 ❑√5+1 ❑√7+1 ❑√2023+1 ❑√2025+11 1
= −
❑√3+1 ❑√2025+1
❑√3−1 1
= −
2 46
❑√3−1
∵ x= ，
2
1
∴ x−y= >0，
46
故x>y．
23．（9分）（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等
1 1
变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，ab=1，求证： + =1．证
1+a 1+b
ab 1 b 1
明：左边= + = + =1=右边．
ab+a 1+b 1+b 1+b
1
阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为 ab，四个直角三角
2
形面积和小于正方形的面积得：a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号．在a2+b2≥2ab中，若
a+b
a>0，b>0，用❑√a、❑√b代替a，b得，a+b≥2❑√ab，即 ≥❑√ab（∗），我们把(*)式称为基本不
2
1 √ 1 1 1 1
等式．例如：在x>0的条件下，x+ ≥2❑ x⋅ ，∴x+ ≥2，当且仅当x= ，即x=1时，x+ 有最小
x x x x x
值，最小值为 2．
1 2
阅读材料三：正实数a，b满足a+b=1，求 + 的最小值?
a b
1 2 (1 2) b 2a b 2a
其中一种解法是： + = + (a+b)=1+ + +2≥3+2❑√2，当且仅当 = 且a+b=1时，即
a b a b a b a b
a=❑√2−1且b=2−❑√2时取等号．
请同学们根据以上所学的知识解决下列问题．1 x+4❑√x+13
（1）若x>2，求y=x+ 的最小值________；若x≥0，求y= 的最小值________．
x−2 ❑√x+2
( 1)( 8)
（2）已知a>0,b>0且a+b=1，求 1+ 1+ 的最小值是?
a b
1 1
（3）a>0,b>0，且a+2b=1，不等式 + −m≥0恒成立，求m的范围?
2b a+b
（4）已知a>0,b>0,且a2b+3ab2=3a+b，求a+3b的最小值?
【思路点拨】
本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握不
等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
（1）x>2时，x−2>0，根据y=x+ 1 =x−2+ 1 +2≥2❑ √ (x−2)⋅ ( 1 ) +2，计算求解，然后
x−2 x−2 x−2
作答即可；当x≥0时，❑√x+2>0，根据
x+4❑√x+13 (❑√x+2) 2+9 9 √ ( 9 )
y= = =❑√x+2+ ≥2❑(❑√x+2)⋅ ，计算求解，然后作答即可；
❑√x+2 ❑√x+2 ❑√x+2 ❑√x+2
( 1)( 8) ( a+b)( 8a+8b) ( b)( 8a)
（2）同理（1），根据 1+ 1+ = 1+ 1+ = 2+ 9+
a b a b a b
16a 9b √16a 9b
=26+ + ≥26+2❑ ⋅ ，计算求解，然后作答即可；
b a b a
1 1 ( 1 1 ) ( 1 1 )
（3）同理（1），根据 + =(a+2b)⋅ + =[b+(a+b))⋅ +
2b a+b 2b a+b 2b a+b
3 a+b b 3 √a+b b
= + + ≥ +2❑ ⋅ ，计算求解即可；
2 2b a+b 2 2b a+b
3a+b 1 3
（4）由a2b+3ab2=3a+b，可得a+3b= = + ，根据
ab a b
(a+3b) 2=(a+3b)⋅
(1
+
3)
=10+
3b
+
3a
≥10+2❑
√3b
⋅
3a
求解，进而可得a+3b≥4，然后作答即
a b a b a b
可．
【解题过程】
（1）解：当x>2时，x−2>0，1 1 √ ( 1 )
∴y=x+ =x−2+ +2≥2❑(x−2)⋅ +2=4，
x−2 x−2 x−2
1 1
当且仅当x−2= ，即x=3时，y=x+ 有最小值，最小值为4；
x−2 x−2
当x≥0时，❑√x+2>0，
x+4❑√x+13 (❑√x+2) 2+9 9 √ ( 9 )
∴y= = =❑√x+2+ ≥2❑(❑√x+2)⋅ =2×3=6，
❑√x+2 ❑√x+2 ❑√x+2 ❑√x+2
9 x+4❑√x+13
当且仅当❑√x+2= ，即x=1时，y= 有最小值，最小值为6；
❑√x+2 ❑√x+2
故答案为：4，6；
（2）解：∵a>0,b>0且a+b=1，
a b
∴ >0， >0，
b a
( 1)( 8) ( a+b)( 8a+8b) ( b)( 8a)
∴ 1+ 1+ = 1+ 1+ = 2+ 9+
a b a b a b
16a 9b √16a 9b
=26+ + ≥26+2❑ ⋅ =26+2×12=50，
b a b a
16a 9b 3 4 ( 1)( 8)
当且仅当 = ，即a= ，b= 时， 1+ 1+ 有最小值，最小值为50；
b a 7 7 a b
a+b b
（3）解：∵a>0,b>0，且a+2b=1，则 >0， >0，
2b a+b
1 1 ( 1 1 ) ( 1 1 )
∴ + =(a+2b)⋅ + =[b+(a+b))⋅ +
2b a+b 2b a+b 2b a+b
3 a+b b 3 √a+b b 3
= + + ≥ +2❑ ⋅ = +❑√2，
2 2b a+b 2 2b a+b 2
a+b b 1 1 3
当且仅当 = ，即a=3−2❑√2，b=❑√2−1时， + 有最小值，最小值为 +❑√2，
2b a+b 2b a+b 2
1 1
∵ + −m≥0恒成立，
2b a+b
1 1 3
∴m≤ + 的最小值，即m≤ +❑√2；
2b a+b 2
（4）解：∵a>0，b>0，3b 3a
∴ >0， >0，
a b
∵a2b+3ab2=3a+b，
∴ab(a+3b)=3a+b，
3a+b 1 3
∴a+3b= = + ，
ab a b
∴(a+3b) 2=(a+3b)⋅
(1
+
3)
=10+
3b
+
3a
≥10+2❑
√3b
⋅
3a
=16，
a b a b a b
∴a+3b≥4；
3b 3a
当且仅当 = ，即a=b时，a+3b有最小值，最小值为4．
a b
