专题16.7二次根式压轴题综合测试卷（人教版）（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_母题专项-U66_2025版

第16章 二次根式压轴题综合测试卷 【人教版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖 面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·山西忻州·期末）对于已知三角形的三条边长分别为a,b,c，求其面积的问题， 中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式： a+b+c S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p= ,若一个三角形的三边长分别为2,3,4，则其面积（ ） 2 3 3 3 3 A． ❑√15 B． ❑√15 C． ❑√5 D． ❑√5 4 2 2 4 √ 2 √5 2．（3分）（24-25八年级·江苏泰州·期末）已知m、n是正整数，若❑ +❑ 是整数，则满足条件的有序 m n 数对（m，n）为（ ） A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20）D．以上都不是 3．（3分）（24-25八年级·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足2m+❑√2mn+n=2，则❑√mn的最大值 为（ ） 1 ❑√2 ❑√3 2 A． B． C． D． 3 3 3 3 4．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）设S= √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ，则不大于S的最大整数[S]等于( ) ❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +⋯+❑1+ + 12 22 22 32 32 42 992 1002 A．98 B．99 C．100 D．101 5．（3分）（24-25八年级·浙江·阶段练习）已知x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3，则代数式的值为（ ） ❑√x2+2xy+ y2+x−y−4 ❑√3 3 ❑√5−1 A． B． C．❑√3−1 D． 2 4 2 6．（3分）（24-25八年级·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）． A． B． C． D． ❑√n2−1 ❑√n2−2 ❑√n2−3 ❑√n2−4 1 7．（3分）（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）已知x= ，则 ❑√2024−❑√2023 x6−2❑√2023x5−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024的值为（ ） A．0 B．1 C．❑√2023 D．❑√2024 8．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·阶段练习）设a为❑√3+❑√5−❑√3−❑√5的小数部分，b为 2 1 ❑√6+3❑√3−❑√6−3❑√3的小数部分，则 − 的值为（ ） b a A．❑√6+❑√2−1 B．❑√6−❑√2+1 C．❑√6−❑√2−1 D．❑√6+❑√2+1 9．（3分）（24-25八年级·山东德州·阶段练习）已知 √ 1 1 √9 3， T =❑1+ + =❑ = 1 12 22 4 2 T =❑ √ 1+ 1 + 1 =❑ √49 = 7， T =❑ √ 1+ 1 + 1 =❑ √ (13) 2 = 13，…， T =❑ √ 1+ 1 + 1 ，其中n为正 2 22 32 36 6 3 32 42 12 12 n n2 (n+1) 2 整数．设S =T +T +T +⋅⋅⋅+T ，则S 值是（ ） n 1 2 3 n 2024 2024 2024 1 1 A．2024 B．2025 C．2024 D．2025 2025 2025 2024 2024 10．（3分）（24-25八年级·重庆江津·期末）在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在 (❑√5+❑√2)(❑√5−❑√2)=(❑√5) 2 −(❑√2) 2=3 进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令 （n为非负数），则 A =❑√n n (A +A )(A −A )=(❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n)=(❑√m) 2 −(❑√n) 2=m−n ； m n m n 1 1 ❑√m−❑√n ❑√m−❑√n． = = = A +A (❑√m+❑√n) (❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n) m−n m n 下列选项中正确的有（ ）个． 2 ①若a是A 的小数部分，则 的值为❑√6+2； 6 a b c ②若 − =4❑√3+4（其中b、c为有理数），则b=3c； A −A A +A 4 3 3 4 1 1 1 1 ❑√2023 ③ + + +⋯+ =1− ． 2A +A 3A +2A 4A +3A 2023A +2022A 2023 1 2 2 3 3 4 2022 2023 A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·江苏常州·阶段练习）若 的积是有理数，则无理数m的值为 (2+❑√3)(2+m) ． 12．（3分）（24-25八年级·湖南永州·期末）若|2021−a)+❑√a−2022=a，则a−20212的值为 ． 13．（3分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）若m满足关系式 ❑√3x+5 y−2−m+❑√2x+3 y−m=❑√1−x−y⋅❑√x−1+ y ，则m= ． 14．（3分）（24-25八年级·四川内江·期中）实数x、y、z满足条件 1 ❑√x+❑√y−1+❑√z−2= (x+ y+z+9)，则xy−z的值是 ． 4 15．（3分）（24-25八年级·北京东城·期中）已知x，y为实数，记 ， M=❑√(x−3) 2+1+❑√x2+ y2+❑√4+(y−6) 2 （1）当x= y=0时，M的值为 ． （2）M的最小值为 ． 16．（3分）（24-25八年级·重庆九龙坡·期中）若m是正整数，m除以13的余数为2，则称m是“阿二数”．例如：15是正整数，15÷13=1......2，则15是“阿二数”；52是正整数，且52÷13=4，则52不 是“阿二数”，对于任意四位正整数p，p的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d． 有一个四位正整数p是“阿二数”，p的千位数字比百位数字少1，十位数字与个位数字的和为9，且 √5c+7d F(p)=❑ 为有理数，则满足条件的p的值为 ． 2a+b 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 1 1 17．（6分）（24-25八年级·四川成都·阶段练习）已知x= ，y= ． ❑√10−3 ❑√10+3 （1）求x2+2xy+ y2的值． （2）求❑√(x2−4x+4) ❑√(y2+2y+1)值． − x(x−2) y(y+1) 18．（6分）（24-25八年级·江西南昌·期中）定义：若根式A与根式B的乘积不含根式则称A、B为共轭 根式，例如：❑√8与❑√2或❑√3+❑√2与❑√3−❑√2都是共轭根式． （1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）； ①一个根式的共轭根式是唯一的； ②a，b均为正整数，若❑√a与❑√b是同类二次根式，则❑√a与❑√b也是共轭根式； 1 ③若A与B是共轭根式，则A与 也是共轭根式． B （2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化到最简． ❑√20________；❑ √3b ________；❑√2+1________；(❑√3+❑√2) 2 ________． 2a （3）试找出❑√3+❑√2+1的一个共轭根式，并验证其正确性． 19．（8分）（24-25八年级·湖南长沙·期中）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有： √ 1 1 1 ＝|1+1+1|． ❑ + + x2 y2 z2 x y z 例如：√ 1 1 1 ＝√ 1 1 1 ＝|1+1+ 1 |＝19请解决下列问题： ❑ + + ❑ + + 22 32 52 22 32 (−5) 2 2 3 (−5) 30（1）求√ 1 1 1 的值． ❑ + + 22 42 62 （2）设S＝√ 1 1 +√ 1 1 +…+√ 1 1 ，求S的整数部分． ❑1+ + ❑1+ + ❑1+ + 12 22 22 32 20192 20202 （3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当√ 1 1 1 +|1﹣1﹣1|取得最小值时，求x的取 ❑ + + x2 y2 z2 x y z 值范围． 20．（8分）（24-25八年级·四川·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． 2 ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化 ❑√3+1 简： 2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 以上这种化简的步骤叫做分母有理 = = = = ❑√3−1 ❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −1 2 化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比 如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求a2+b2．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则 ．这样，我们不用求出a，b，就可以得 a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10 到最后的结果． 1 1 1 1 (1)计算： + + + ...+ ； ❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017 ❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m (2)m 是正整数， a  ，b  且2a2+1823ab+2b2=2019．求 m． ❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m (3)已知 ，求 的值． ❑√15+x2−❑√26−x2=1 ❑√15+x2+❑√26−x2 21．（10分）（24-25八年级·福建漳州·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积 的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记 a+b+c p= ，则其三角形的面积公式为： 2 ①S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)（海伦公式），② S=❑ √ 1[ a2b2− (a2+b2−c2 ) 2 )（秦九韶公式）． 4 2 已知在 中， ，且a，b，c满足 ． △ABC AB=c，BC=a，AC=b (a−❑√5) 2+|b−❑√5)+❑√c−4=0 (1)直接写出a，b，c的值； (2)请从①、②中选择一个合适的公式，求出△ABC的面积； (3)如图，若CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，求DE的长． 22．（10分）（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 1 1 1 1 1 1 1 1 小华在学习分式运算时，通过具体运算： =1− ， = − ， = − ，…… 1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 1 1 1 发现规律： = − （n为正整数），并证明了此规律成立． n⋅(n+1) n n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 应用规律：快速计算 + + +⋯+ =1− + − +⋯+ − =1− = ． 1×2 2×3 3×4 9×10 2 2 3 9 10 10 10 材料二：根式化简 例1 1 1 ❑√3−1 1( 1 )； = = = 1− 3+❑√3 ❑√3(❑√3+1) ❑√3(❑√3+1)(❑√3−1) 2 ❑√3 例2 1 1 ❑√5−❑√3 1( 1 1 ) = = = − 5❑√3+3❑√5 ❑√15(❑√5+❑√3) ❑√15(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2 ❑√3 ❑√5 任务一：化简． 1 (1)化简： 7❑√5+5❑√7 1 (2)猜想： = ___________________（n为正整数）． (2n+1)❑√2n−1+(2n−1)❑√2n+1 任务二：应用 1 1 1 1 (3)计算： + + +⋯+ ； 3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49任务三：探究 ❑√3−1 (4)已知x= 2 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023 y= + +⋯+ ， 1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025 比较x和y的大小，并说明理由． 23．（12分）（24-25八年级·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平 均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， a+b M= 称为a，b这两个数的算术平均数， 2 N=❑√ab称为a，b这两个数的几何平均数， √a2+b2称为 ， 这两个数的平方平均数 P=❑ a b 2 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： 5 (1)若a=−2，b=−3，则M=− ；N=________；P=_______； 2 (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平 均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2． ①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为M2，P2的图形： ②借助图形可知，当a，b都是正数时，M,N,P的大小关系是： ___________（把M,N,P从小到大排 列，并用“<”或“≤”号连接）； ③若a+b=5．则P的最小值为________． 24．（12分）（24-25八年级·上海·阶段练习）材料一：由 可以 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)=(❑√5) 2 −(❑√3) 2=2看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进 行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 1 ❑√3−❑√2 = =❑√3−❑√2； ❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 材料二：根式化简 1 1 ❑√3−1 1( 1 )； = = = 1− 3+❑√3 ❑√3(❑√3+1) ❑√3(❑√3+1)(❑√3−1) 2 ❑√3 1 1 ❑√5−❑√3 1( 1 1 )． = = = − 5❑√3+3❑√5 ❑√15(❑√5+❑√3) ❑√15(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2 ❑√3 ❑√5 根据以上材料，请完成下列问题： 3 (1) =_______；（直接写结果） 3−❑√6 1 1 1 1 (2)计算： + + +…+ ； ❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√100+❑√99 1 1 1 1 (3)计算： + + +…+ ； 3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023 (4)计算： + +…+ ． 1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025