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专题 17.2 勾股定理的应用之十一大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 求梯子滑落高度】............................................................................................................................1
【考点二 求旗杆高度】....................................................................................................................................4
【考点三 求小鸟飞行距离】............................................................................................................................6
【考点四 求大树折断前的高度】....................................................................................................................9
【考点五 解决水杯中筷子问题】..................................................................................................................11
【考点六 解决航海问题】..............................................................................................................................13
【考点七 求台阶上地毯长度】......................................................................................................................16
【考点八 判断汽车是否超速】......................................................................................................................18
【考点九 判断是否受台风影响】..................................................................................................................21
【考点十 求最短路径】..................................................................................................................................24
【考点十一 选址使到两地距离相等】..........................................................................................................27
【过关检测】............................................................................................................................................................29
【典型例题】
【考点一 求梯子滑落高度】
例题：（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到 ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【变式训练】
1．（2023上·四川成都·八年级统考期中）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消
防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援
的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到 （即
），消防车高 ，救人时云梯伸长至最长，在完成从 （即 ）高的 处救人后，还要从
（即 ）高的 处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离 为多少米？
2．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长 的云梯 ，
如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离 ， ．
(1)当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑 到 位置上（云梯长度不改变），即 ，那
么它的底部B在水平方向滑动到 的距离 是多少？
(2)在演练中，高 的楼房窗口处有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙
摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，
云梯的顶端能否到达 高的楼房窗口去救援被困人员？【考点二 求旗杆高度】
例题：（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，某攀岩中心攀岩墙 的顶部 处安装了一根安全绳
，让它垂到地面时比墙高多出了 米，教练把绳子的下端 拉开 米后，发现其下端刚好接触地面（即
米）， ，求攀岩墙 的高度．
【变式训练】
1.（2022春·八年级单元测试）思源中学八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下
图风筝 的高度，他们进行了如下操作：
（1）测得 的长度为 米；
（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为 米；
（3）牵线放风筝的小明身高 米，求风筝的高度 ．
2.（2023春·江西宜春·八年级统考期中）一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A后，
利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．(1)求旗杆的高度OM；
(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
【考点三 求小鸟飞行距离】
例题：（2023春·广西贵港·八年级统考期中）有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只
小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
【变式训练】
1.（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路
程是________．
2.（2023春·广西防城港·八年级统考阶段练习）如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是
4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？
【考点四 求大树折断前的高度】
例题：（2023春·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校考期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作
之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末
折抵地，去根四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高 丈( 丈 尺)，中部有一处折断，竹梢触
地面处离竹根 尺，试问折断处离地面多高？
【变式训练】
1.（2023春·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，一棵大树在一次强台风中在离地某处折断倒下，树尖
落在离树底部12米处，已知原树高是18米，你能求出大树在离地多少米的位置折断吗？
2.（2023春·全国·八年级期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高 ，因刮大风旗杆从点 处折断，顶部
着地且离旗杆底部的距离 ．(1)求旗杆折断处 点距离地面的高度 ；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点 的下方 的点 处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的
旗杆从点 处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的 处，形成一个直角 ，请求出 的长．
【考点五 解决水杯中筷子问题】
例题：（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 ，高是 ，上底面
中心有一个小圆孔，则一条长 的直吸管露在罐外部分 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不
计）范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.（2023·江苏·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）
生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈 尺）其大意为：
有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根
芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（ ）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺
2.（2023春·内蒙古通辽·八年级校考期中）如图，将一根长 的筷子，置于底面直径为 ，高为
的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是 ，则h的取值范围是________．
【考点六 解决航海问题】
例题：（2023·宁夏吴忠·统考二模）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到 处测得小岛 位于北偏东
方向上，继续向东航行 海里到达点 处，测得小岛 在轮船的北偏东 方向上，此时轮船与小岛 的
距离为____海里．
【变式训练】
1.（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，有甲，
乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西 方向航行，每小时30海里，乙船沿北
偏东 方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，此时两船相距多少海里？2.（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东 的方
向航行 到达B港口，然后再沿北偏西 方向航行 到达C港口．
(1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2)C港口在A港口的什么方向．
【考点七 求台阶上地毯长度】
例题：（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米， 米，
米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（ ）
A．65 B．85 C．90 D．150
【变式训练】
1.（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
2.（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）某会展中心在会展期间准备将高5m、长
13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道需要
_______________元．
【考点八 判断汽车是否超速】
例题：（2023春·广东汕头·八年级统考期末）某条道路限速 ，如图，一辆小汽车在这条道路上沿
直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方 的C处，过了 ，小汽车到达B处，
此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为 ．
(1)求 的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
【变式训练】
1.（2023春·八年级课时练习）如图，一辆小汽车在一条限速 的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪 A的正前方 处的C点，过了 后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之
间的距离为 ．
(1)求B，C间的距离．
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
2.（2023春·全国·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不
得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检
测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；
(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
【考点九 判断是否受台风影响】
例题：（2023·全国·八年级假期作业）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破
坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向 由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上
的两点A、B的距离分别为 ， ，又 ，经测量，距离台风中心 及
以内的地区会受到影响．(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为 千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【变式训练】
1.（2023春·全国·八年级专题练习）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向 的B处有
一台风中心正以 的速度向 方向移动，已知城市A到 的距离 ，那么：
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心 的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须
在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为 ）最好选择什么方向？
2.（2023春·湖南郴州·八年级校考阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路 由点A向点B行驶，已知点C
为一所学校，且点C与直线 上两点A，B的距离分别为200m和150m， ，环卫车周围 以
内为受噪声影响区域.(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min，求环卫车的行驶速度为多少？
【考点十 求最短路径】
例题：（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考阶段练习）有一圆柱形油罐，如图，要从点A环绕油罐建
梯子，正好到A点的正上方点B，问梯子最短要多少米？（已知油罐底面周长是12米，高 是5米）
【变式训练】
1.（2023春·八年级单元测试）如图，在长方体 中，点E是棱 的中点，已知
cm， cm， cm．一只小虫从A点出发沿长方体的表面到E点处觅食，求小虫爬行的最短距离．
2.（2023春·全国·八年级专题练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地
毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽 ，木块从正面看是一个
边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块
的侧面展开图，并用实线连接 ．
(2)线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是_____．
(3)问题解决：如图②，展开图中 _____， _____．
(4)这只蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程是_____．
【考点十一 选址使到两地距离相等】
例题：（2023春·江西赣州·八年级校考期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中 所在的
直线上建一图书室，本社区有两所学校，分别在点C和点D处， 于点A， 于点B，已知
，问：图书室E应建在距点A多少千米处，才能使它到两所学校的距
离相等？
【变式训练】
1.（2023春·上海·八年级专题练习）如图，笔直公路上 、 两点相距 千米， 、 为两居民区，
于 ， 于 ，已知 千米， 千米，现要在公路 段上建一超市 ，使 、
两居民区到 的距离相等，则超市 应建在离 处多远处．2.（2023春·八年级课时练习）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的 所在的直线上建一
图书室，本社区有两所学校所在的位置在点 和点 处， 于 ， 于 ，已知，
， ， ，试问，图书室 应该建在距点 多少 知处．才能使它到两
所学校的距离相等？一、单选题
1．（2023上·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考阶段练习）一颗大树在一次强烈的地震中于离树根B处
米的C处折断倒下，树顶A落在离树根B处 米，则大树 的原长为（ ）米．
A． B． C． D．
2．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为
海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东 和南偏西 方向上，则船R到岛P的距离为
（ ）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D．80海里
3．（2023上·福建宁德·七年级校考期中）在一个长为 、宽为 、高为 的长方体上，居中截去
一个长为 、宽为 、深为 的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的
顶点 处，沿着几何体的表面到几何体上和 相对的顶点 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为
（ ）A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023上·内蒙古包头·八年级包钢第三中学校考期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道
有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根新
生的芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇
的长度为 尺．
5．（2023上·河南焦作·八年级统考期中）如图是一圆杜玻璃杯，从内部测得底面半径为 ，高为 ，
现有一根长为 的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是 ．
6．（2023上·浙江温州·八年级校考期中）如图1是有两个外开式活动门扇的双开入户铜门．门槛 长为
， 分别为左右门扇的底部门宽，且 ，关上门时，C与D重合．阳光明媚的某天，
将两扇门向外开到如图2的位置（平面示意图），这时阳光正好垂直照射向门槛 ，因门的遮挡，在门
槛上留下三线段 ，只有线段 晒到太阳，且 ，则此时C、D间的
距离为 cm．三、解答题
7．（2023上·山东烟台·七年级统考期中）如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的
点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处．画出圆柱形纸杯侧
面展开图（画一半侧面展开图即可），并求出蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离是多少？（杯壁
厚度不计）
8．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高 、长 、宽 的楼道
铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？
9．（2023上·全国·八年级期末）某条高速公路限速 ，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 处的正前方 的 处，过了 ，大巴车到达 处，此时测得大
巴车与车速检测仪间的距离为 ．
(1)求 的长．
(2)这辆大巴车超速了吗？
10．（2023上·河南平顶山·八年级统考期中）一梯子 长 ，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端到
墙的距离 长 ．
(1)这架梯子的顶端离地面有多高？
(2)设梯子顶端到水平地面的距离为 ，底端到垂直墙面的距离为 ，若 ，根据经验可知：当
时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端 下滑了 到 ，梯子底端 滑动到 处，
请问此时使用梯子是否安全．
11．（2023上·河北保定·八年级校考期中）如图，一根直立的旗杆高 ，因刮大风旗杆从点C处折断，顶
部B着地且离旗杆底部A的距离为 ．(1)求旗杆在距地面多高处折断（即求 的长度）．
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方 的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，
若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部 米处是否有被砸伤的风险？
12．（2023上·山东青岛·八年级校考期中） “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略
是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距 ，C、D为两村庄， 于A，
于B，已知 ，现在要在公路 上建一个土特产品市场E，使得C、D两
村庄到市场E的距离相等．
(1)求市场E应建在距A多少千米处？
(2)此时 的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明．
13．（2023上·陕西汉中·八年级校考阶段练习）如图，铁路 和铁路 在点 处交汇，某学校的位置位
于点 处，点 到铁路 的距离为120米，假设火车行驶时，周围200米以内会受到噪音影响．(1)火车在铁路 上沿 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由；
(2)如果受到影响，已知火车的速度是50米/秒，那么学校受到影响的时间是多久？
14．（2023上·四川成都·八年级校考期中）（1）如图 ，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，
，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短路程是 ；
（2）如图 ，小明家住 楼，一天他与爸爸去买了一根长 的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是 ，
， ，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？
15．（2023上·重庆九龙坡·九年级校考阶段练习）我校为了留下校庆当天的珍贵影像，计划安排三架无人
机拍摄，在某区域上有 三个无人机起降点（三个起降点在同一水平面上），其中 在 的北偏东
方向上，与 的距离是400米， 在 的南偏东 方向上，与 的距离是300米．(1)求点 与点 之间的距离；
(2)若在点 的正上方高度为240米的空中有一个静止的信号源，信号覆盖半径为250米，每隔1秒会发射
一次信号，此时在 点的正上方同样高度处有一架无人机准备沿直线向点 飞行，已知无人机飞行的速度
为每秒7米．若计划无人机在飞往 处的过程中维持高度不变，飞行到点 的正上方后再降落，试求无人
机在飞行过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）
