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专题18.16 矩形（直通中考）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·湖北武汉·八年级武汉市粮道街中学校联考期中）如图，矩形 的对角线 与
交于点 ，过 点作 的垂线分别交 ， 于 、 两点．若 ， ，则 的长
度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形 的最长边 为边向外作矩形 ，
连结 ，设 ， ， 的面积分别为 ，若要求出 的值，只需知道
（ ）
A． 的面积 B． 的面积
C． 的面积 D．矩形 的面积
3．（2023·北京·统考中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在
直线AC同侧， ， ， ，连接DE，设 ， ， ，给
出下面三个结论：① ；② ；③ ；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，有一张矩形纸片 ．先对折矩形 ，使 与
重合，得到折痕 ，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点 落在 上，并使折痕经过点 ，得到折
痕 ﹐同时得到线段 ， ．观察所得的线段，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一
点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（
）
A．24 B．22 C．20 D．18
6．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标
为 ，以 为边作矩形 ．动点 分别从点 同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点 移动．当移动时间为4秒时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，矩形 中，对角线 的垂直平分线 分别
交 ， 于点 ， ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B．3 C． D．
8．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在 中，D为斜边 的中点，E为 上一点，F
为 中点．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
9．（2023·西藏·统考中考真题）如图，矩形 中， 和 相交于点O， ， ，点
E是 边上一点，过点E作 于点H， 于点G，则 的值是（ ）A．2.4 B．2.5 C．3 D．4
10．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形 是矩形， ， ，点P是边
上一点（不与点A，D重合），连接 ．点M，N分别是 的中点，连接 ， ，
，点E在边 上， ，则 的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在 中， ，D是 延长线
上的一点， ．M是边 上的一点（点M与点B、C不重合），以 为邻边作 ．连
接 并取 的中点P，连接 ，则 的取值范围是 ．
12．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，边长为2的等边 的两个顶点 分别在两条射线
上滑动，若 ，则 的最大值是 ．13．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，矩形 中， ， ．在边 上取一点
E，使 ，过点C作 ，垂足为点F，则 的长为 ．
14．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，矩形 的对角线 相交于点 ，点 分别是
线段 上的点．若 ，则 的长为 ．
15．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在 中， ．P为边 上一动
点，作 于点D， 于点E，则 的最小值为 ．
16．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，在矩形 中，点E在边 上，点F是AE的中点，
，则 的长为 ．17．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在
轴、 轴正半轴上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若
， ，则点 的坐标是 ．
18．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，四边形 的两条对角线 ， 互相垂直， ，
，则 的最小值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·四川·统考中考真题）如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边 上的高 剪
成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形．
（1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）；
（2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．20．（8分）（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在 中， ，点D为 边上任
意一点（不与点A、B重合），过点D作 ， ，分别交 、 于点E、F，连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，求点C到 的距离．
21．（10分）（2023·新疆·统考中考真题）如图， 和 相交于点 ， ，
．点 、 分别是 、 的中点．
（1）求证： ；
（2）当 时，求证：四边形 是矩形．22．（10分）（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，点 在 的边 上， ，请从
以下三个选项中① ；② ；③ ，选择一个合适的选项作为已知条件，使
为矩形．
（1）你添加的条件是_________（填序号）；
（2）添加条件后，请证明 为矩形．
23．（10分）（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在 中，D是 的中点，E是 的中点，
过点A作 交 的延长线于点F．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，求证：四边形 是矩形．24．（12分）（2023·山东烟台·统考中考真题）【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形 进行如下操作：①分别
以点 为圆心，以大于 的长度为半径作弧，两弧相交于点 ， ，作直线 交 于点 ，连接
；②将 沿 翻折，点 的对应点落在点 处，作射线 交 于点 ．
【问题提出】
在矩形 中， ，求线段 的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接 ，如图2．经过推理、计算可求出线段 的长；
方案二：将 绕点 旋转 至 处，如图3．经过推理、计算可求出线段 的长．
请你任选其中一种方案求线段 的长．参考答案：
1．A【分析】根据邻补角求出∠DEO的度数，根据余角的定义求出∠ADO的度数，再根据平行四边形的
性质及等边对等角可求出∠EAO和∠AOE的度数，根据等角对等边得出AE=EO，然后勾股定理可求得AE
的值，最后根据中心对称的性质即可得出答案．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设OE=x,则DE=2x
在 中，
即
解得： （负值已舍去）
∴ ，
∵矩形 关于对角线交点 中心对称，
∴ ．
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
2．C
【分析】过点 作 ，交 的延长线于点 ， 的延长线于点 ，易得：
，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得 ，再根据
，得到 ，即可得出结论．解：过点 作 ，交 的延长线于点 ， 的延长线于点 ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴只需要知道 的面积即可求出 的值；
故选C．
【点拨】本题考查矩形的性质，求三角形的面积．解题的关键是得到
3．D
【分析】如图，过 作 于 ，则四边形 是矩形，则 ，由 ，
可得 ，进而可判断①的正误；由 ，可得 ， ， ，
，则 ， 是等腰直角三角形，由勾股定理得，
，由 ，可得 ，进而可判断②的正误；由勾股定理
得 ，即 ，则 ，进而可判断③的正误．解：如图，过 作 于 ，则四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，①正确，故符合要求；
∵ ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，②正确，故符合要求；
由勾股定理得 ，即 ，
∴ ，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式
的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4．C
【分析】根据折叠的性质，得出 ， ，进而得到
，在 中，由特殊锐角的三角函数可求 即可．
解：根据折叠的性质可知： ， ， ， ，
∴
∵四边形 是矩形，∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点拨】此题考查了矩形的性质，折叠轴对称，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，以及直角三
角形的边角关系是解题的关键．
5．B
【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可
确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可
求解．
解：∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故选：B．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键．
6．D
【分析】根据题意，得出 ， ，勾股定理求得 ， ，即可求解．
解：连接 、
∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，以 为边作矩形 ．
∴ ，
则 ，
依题意， ，
∴ ，则 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴故选：D．
【点拨】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得 的坐标是解题的
关键．
7．A
【分析】依据题意，连接 ，记 与 交于点 ，先证 ，从而得 ，
再由线段 垂直平分 从而 ，又在 中可得 的值，从而再在 中可求
得 ．
解：由题意，连接 ，记 与 交于点 ．
线段 垂直平分 ，
， ．
四边形 是矩形，
．
．
又 ，
．
．
在 中，
．
在 中可得， ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质，解题时要
熟练掌握并理解是关键．
8．D
【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三
角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD＝ AC＝AD＝4，
故选：D．
【点拨】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出
AD的长．
9．A
【分析】连接 ，利用矩形的性质可得 ， ，
，即 ，再利用面积可得 ， ，
结合 ，可得 ，问题随之得解．
解：连接 ，如图，
∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理以及三角形的面积等知识，灵活利用面积得出
，是解答本题的关键．
10．C
【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得 ， ，通过证明四边形 是平
行四边形，可得 ，则 ，作点C关于直线 的对称点M，则
，点B，P，M三点共线时， 的值最小，最小值为 ．
解： 四边形 是矩形，
， ，
点M，N分别是 的中点，
， ， ， ，
， ，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
如图，作点C关于直线 的对称点M，连接 ， ，则 ，
当点B，P，M三点共线时， 的值最小，最小值为 ，
在 中， ， ，
，
的最小值 ，
故选C．
【点拨】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性
质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代
换思想．
11．
【分析】过点B作 交 的延长线于点 ，连接 ，过点P作 的平行线交 于点
，交 于点 ，连接 ，过点 作 ，分析可知 为 的最大值， 为 的最小
值，据此即可求解．
解：过点B作 交 的延长线于点 ，连接 ，过点P作 的平行线交 于点 ，
交 于点 ，连接 ，过点 作 ，如图所示：
由题意得：点 在线段 上运动（不与点 重合），点 在线段 上运动（不与点 重合），
∴ 为 的最大值，当 时， 取得最小值，最小值等于 的长，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 且 ，
∴ ，
∵P为 的中点，
∴ ，
∵P为 的中点，
∴ 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故 ，
∵点M与点B、C不重合，
∴ 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理、动点轨迹问题，平行四边形的判定和性
质，垂线段最短等知识的综合．根据题意确定动点轨迹是解题关键．
12． /
【分析】如图所示，取 的中点D，连接 ，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出
，再根据直角三角形的性质得到 ，再由 可得当 三点共线时，有最大值，最大值为 ．
解：如图所示，取 的中点D，连接 ，
∵ 是边长为2的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 三点共线时， 有最大值，最大值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确
作出辅助线确定当 三点共线时， 有最大值是解题的关键．
13．
【分析】利用矩形的性质、勾股定理求出 ，利用 证明 ，根据全等三角形的性
质求解即可．
解：∵矩形 中， ， ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，
掌握相关知识是解题关键．
14．
【分析】过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，等面积法证明 ，进而证明
， ，根据全等三角形的性质得出 ， ，根据已知
条件求得 ，进而勾股定理求得 ，进而即可求解．
解：如图所示，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
设
在 中，
∴
∴ ，
∴
∴
解得：
∴
在 中， ，
在 中，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的
关键．
15．
【分析】连接 ，利用勾股定理列式求出 ，判断出四边形 是矩形，根据矩形的对角线相等
可得 ，再根据垂线段最短可得 时，线段 的值最小，然后根据直角三角形的面积公式
列出方程求解即可．
解：如图，连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ 于点D， 于点E， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由垂线段最短可得 时，线段 的值最小，此时线段 的值最小，
此时， ，
代入数据： ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出 时，线段
的值最小是解题的关键．
16．
【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出 ，进而求出 ，然后在 中利用勾股定理求出
，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求解．
解：在矩形 中， ，
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵点F是AE的中点，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题
17．
【分析】根据折叠的性质得出 ，在 中，勾股定理求得 ，进而得出
，在 中，勾股定理建立方程，求得 的长，即可求解．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
在 中，
∴ ，
∴设 ，则 ，
∵折叠，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
18．
【分析】设 的交点为 ， 的中点分别是 ，连接
，先证 ，由此得当 最小时， 最小，再
根据“两点之间线段最短”得 ，再证四边形 是矩形，且 ，根据勾股定理
的 ，进而求得 的最小值．
解：设 的交点为 ， 的中点分别是 ，连接 ，
互相垂直，
和 为直角三角形，且 分别为斜边，
，
，
当 最小时， 最小，再根据“两点之间线段最短”得 ，
当点 在线段 上时， 最小，最小值为线段 的长，
分别为 的中点，
是 的中位线，
，
同理 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
四边形 是矩形，
在 中， ，，
的最小值为 ，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点拨】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾
股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半，两点之间线段最短是解答此题的关键．
19．（1）见分析；（2）4或 ， 或2，
【分析】（1）根据题意画出拼接图形即可；
（2）利用等边三角形的性质求得 ，分情况分别利用平行四边形和矩形的性质和勾股定
理求解即可．
（1）解：如图①或②或③，
，
（2）解：∵等边 边 ，
∴ ，
∴ ，
如图①所示：可得四边形 是矩形，则其对角线长为 ；如图②所示： ，
连接 ，过点C作 于点E，则可得四边形 是矩形，
∴ ， ，
则 ；
如图③所示： ，
连接 ，过点A作 交 延长线于点E，可得四边形 是矩形，
由题意可得： ， ，
故 ．
【点拨】本题考查图形的剪拼，涉及等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、勾股定理，
熟练掌握等腰三角形的性质和矩形性质，作辅助线构造直角三角形求解是解答的关键．
20．（1）见分析；（2）
【分析】（1）利用平行线的性质证明 ，再利用四边形内角和为 ，证明
，即可由矩形判定定理得出结论；
（2）先由勾股定理求出 ，再根据三角形面积公式求解即可．
解：（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形．
（2）解：∵ ， ，
∴
设点C到 的距离为h，
∵
∴
∴
答：点C到 的距离为 ．【点拨】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求
线段长是解题的关键．
21．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）直接证明 ，得出 ，根据 、 分别是 、 的中点，
即可得证；
（2）证明四边形 是平行四边形，进而根据 ，推导出 是等边三角形，进而可得
，即可证明四边形 是矩形．
解：（1）证明：在 与 中，
∴ ，
∴ ，
又∵ 、 分别是 、 的中点，
∴ ；
（2）∵ ，
∴四边形 是平行四边形， ，
∵ 为 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上
知识是解题的关键．
22．（1）答案不唯一，①或②；（2）见分析
【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取；
（2）通过证明 可得 ，然后结合平行线的性质求得 ，从而得出为矩形．
（1）解：①或②
（2）添加条件①， 为矩形，理由如下：
在 中 ， ，
在 和 中 ，
∴
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为矩形；
添加条件②， 为矩形，理由如下：
在 中 ， ，
在 和 中 ，
∴
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为矩形
【点拨】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和矩形的判定方法
（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题关键．
23．（1）见分析；（2）见分析；
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出 ，然后利用“角角边”证明三角形全
等，再由全等三角形的性质容易得出结论；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形 是平行四边形，再根据一
个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明： ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形．
【点拨】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有
一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
24．线段 的长为 ．
【分析】方案一：连接 ，由翻折的不变性，知 ， ，证明
，推出 ，设 ，在 中，利用勾股定理列式计算求解即
可；
方案二：将 绕点 旋转 至 处，证明 ，推出 ，设 ，同方
案一即可求解．
解：方案一：连接 ，如图2．∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
由作图知 ，
由翻折的不变性，知 ， ， ，
∴ ， ，又 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴线段 的长为 ；
方案二：将 绕点 旋转 至 处，如图3．
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，由作图知 ，
由旋转的不变性，知 ， ， ，
则 ，
∴ 共线，
由翻折的不变性，知 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴线段 的长为 ．
【点拨】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定
和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
