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专题18.17 菱形（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
特别提醒：
菱形是特殊的平行四边形，不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形.
【知识点二】菱形的性质定理
性质 符号语言
菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD为菱形
∴AB=BC=CD=AD
菱形的对角线互相垂直，并且每一条 ∵四边形ABCD为菱形
对角线平分一组对边. ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD,CA
平分∠BCD，DB平分∠ADC.
特别提醒：
1. 菱形具有平行四边形的一切性质.
2. 菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形.
【知识点三】菱形的判定定理
判定定理 符号语言
四条边都相等的四边形是菱形 在平行四边形ABCD中，
∵AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD为菱形
对角线互相垂直的平行四边形 ∵ 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 且
是菱形 AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形
一组邻边相等的平行四边形是 ∵平行四边形ABCD是平行四边形
菱形
又∵AB=BC
∴四边形ABCD是菱形特别提醒：证明一个四边形是菱形，一般情况下，先证明他是一个平行四边形，然后要么证明“一组
邻边相等”，要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形，则只要证明“四条边相等”
即可.
【知识点五】菱形的对称性
1.菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
2.菱形是中心对称图形，对角线的交点是他的对称中心.
特别提醒：
1.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2.对角线平分一组内角的平行四边形是菱形.
【知识点五】菱形的面积公式
1.公式1：文字语言：菱形的面积=底X高
符号语言：S=ah
2.公式2：文字语言：菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半.
1
符号语言：S= ab
2
特别提醒：
对角线互相垂直的任意四边形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.
【考点目录】
【菱形性质与判定的理解】
【考点1】菱形性质的理解；
【菱形性质定理】
【考点2】利用菱形性质证明与求值
【菱形判定定理】
【考点3】利用菱形判定定理证明与求值
【菱形性质定理与判定定理】
【考点4】利用菱形性质定理和判定定理证明与求值
【菱形性质与判定的理解】
【考点1】菱形性质的理解；
【例1】（2024上·河南郑州·九年级统考期末）如图，在 中， 是 的角平分线．
（1）请用圆规和无刻度的直尺作 的垂直平分线，分别交 ， 于点 ， ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接 ， ，试判断四边形 的形状，并证明．
【答案】（1）见分析；（2）四边形 是菱形，证明见分析
【分析】本题考查作图 基本作图，线段的垂直平分线，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，
正确作出图形．
（1）根据要求作出图形；
（2）结论：四边形 是菱形．证明四边相等可得结论．
解：（1）图形如图所示：
（2）结论：四边形 是菱形．
理由：设 交 于点 ．
垂直平分线段 ，
， ，
平分 ，
，
， ，
，
，
四边形 是菱形．
【变式1】（2024下·广东深圳·九年级深圳中学校考开学考试）在平行四边形 中，对角线
与 相交于点O．下列说法不能使平行四边形 为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．
根据菱形的判定、平行四边形的性质逐项判断即可得．
解：如图所示，
A、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，添加 能判定 是菱形，则此项
不符合题意；
B、由邻边相等的平行四边形是菱形可知，添加 能判定 是菱形，则此项不符合题
意；
C、由对角线相等的平行四边形是矩形可知，添加 能判定 是矩形，不能判定
是菱形，则此项符合题意；
D、 四边形 是平行四边形，
，
，
∵
∴
∴
∴平行四边形 是菱形，
即添加 能判定 是菱形，则此项不符合题意．
故选：C．
【变式2】（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，在菱形 中，对角线 、 相交于
点O，点E在线段 上，连接 ，若 ， ， ，则线段 的长为 ．【答案】
【分析】设 ，根据菱形性质可得到 ，进而得到 ，解得x值，根
据勾股定理即可求得 值．本题考查菱形的性质结合勾股定理的应用，熟练掌握菱形性质是解题的关键．
解：设 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ,
故答案为： ．
【菱形性质定理】
【考点2】利用菱形性质证明与求值
【例2】（2024上·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，在 中，两条对角线交于点O，且
平分 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求四边形 的周长．【答案】（1）见分析；（2）20
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题
的关键．
（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可推得 ，再利用“一组邻边相等的平行四边
形是菱形”即可证明；
（2）根据“菱形的对角线互相垂直”知 ，然后利用勾股定理可求得 的长，最后利用
“菱形的四边相等”即可得到答案．
解：（1）∵ 四边形 是平行四边形，
，
，
平分 ，
，
，
，
∴四边形 是菱形；
（2）∵ 四边形 是菱形，
， ，
， ，
，
四边形 的周长 ．
【变式1】（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，点E，F分别是菱形 边 的中
点， 交 的延长线于点G．若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半的性质，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．如图，延长 交
的延长线于 ．证明 ，利用直角三角形斜边中线的性质，可得
，再求出 ，证明 ，即可求出 ，即可解决问题．
解：如图，延长 交 的延长线于 ．
∵四边形 是菱形，点E是 的中点，
在 和 中，是 的中点，
故选：C．
【变式2】（2024上·四川达州·九年级统考期末）如图，菱形 的边长为26，对角线 的长为
48，延长 至E， 平分 ，点G是 上任意一点，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识； 熟练掌
握菱形的性质，证出 是解题的关键.
连接 交 于 ，由菱形的性质和勾股定理求出 ，得出 的面积 ，依据
，得出 ，进而得出 的面积 的面积即可解题．
解：如图所示, 连接 交 于 ，
∵四边形 是菱形，
， ，∴ ， ，
∴ 的面积 ，
∵ 平分 ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 的面积 ，
故答案为： ．
【菱形判定定理】
【考点3】利用菱形判定定理证明与求值
【例3】（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在直角 中，
是边 上一点，连接 为 的中点，过 作 交 延长线于 ，且 平分 ，连接
．
（1）求证：四边形 是菱形．
（2）连接 交 于 ，求 的度数．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）证明 ，则 ，又由 即可证明四边形 是平行
四边形，再证明 ，即可证明四边形 是菱形．
（2）求出 ，得到 ，由三角形外角的性质得到
，由三角形内角和定理即可得到答案．
解：（1）证明： ，，
为 中点，
，
在 和 中
，
，
，
又∵ ，
四边形 是平行四边形，
又 平分 ，
，
∵ ，
，
，
又 是平行四边形，
四边形 是菱形；
（2）∵ 平分 ，
，
∵ ，
，
又 为 中点， ，
∴ ，
∴ ，
，
．
【点拨】此题考查了菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，直角
三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
【变式1】（2023上·四川达州·九年级达州市高级中学校考期中）已知四边形 是平行四边形，
对角线 与 相交于点 ，下列结论中不正确的是（ ）A．当 时，四边形 是菱形 B．当 时，四边形 是菱形
C．当 时，四边形 是矩形 D．当 时，四边形 是矩形
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定；熟练掌握菱形和矩形的判定是解
题的关键．
根据邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形、据对角线相等的平行四边
形是矩形，逐项分析即可得出答案．
解：如图：
A、∵四边形 是平行四边形， ，
∴四边形 是菱形；A选项正确；
B、∵四边形 是平行四边形， ，
∴四边形 是菱形；B选项正确；
C、∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；C选项正确；
D、∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
不能证明四边形 是矩形，D选项错误，
故选：D．
【变式2】（2023下·四川广元·八年级统考期末）如图， 的对角线 ， 相交于点O，要使 成为菱形，还需添加的一个条件是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据菱形的判定来添加合适的条件即可．
解：要使 成为菱形，只要菱形满足以下条件之一即可，①对角线相互垂直，②邻边相等．
故答案为即 （答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查了菱形的判定，掌握菱形和平行四边形的区别是解答本题的关键．
【菱形性质定理与判定定理】
【考点4】利用菱形性质定理和判定定理证明与求值
【例4】（2023下·云南昆明·八年级统考期末）如图，在矩形 中，对角线 相交于点
O， ， ．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）连接 ，若 ，求 的长．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键
是证明四边形 是平行四边形；
（2）本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是证明四边形
是平行四边形．
（1）解： ， ，
四边形 是平行四边形，
矩形 的对角线 相交于点O，，
四边形 是菱形；
（2）如图，连接 ，交 于点F，
由（1）知，四边形 是菱形，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
．
【变式1】（2023上·江西吉安·九年级校联考期中）如图，在 中， ， 于
点E，F为 的中点，连结 ， ．有下列四个结论① ；② ；③
；④ 其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】A
【分析】如图延长 交 的延长线于G，取 的中点H，连接 ，根据题意得 ，结合
平行四边形的性质即可证得①；利用平行四边形的性质和点F为中点证明 ，依据 ，
得到 ，即有②；根据全等三角形面积相等和点F为中点，可证得③；利用四边形 为平行四
边形，证明 是平行四边形，且为菱形，结合菱形性质、等腰三角形的性质和平行得到④错误．
解：延长 交 的延长线于G，取 的中点H，连接 ，如图，∵F为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
则 ，
∴ ，
故 ，①正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，故②正确；
∵ ，
∴ ，∴ ，③正确；
∵ ，点F和H是 和 中点，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
则 ，
∴ ，④错误；
故选∶A．
【点拨】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等
三角形的判定和性质及平行线的性质，解题的关键是添加辅助线、构造全等三角形，并利用有关性质．
【变式2】（2023·四川成都·模拟预测）如图，在四边形 中， ，以A为圆心，
以适当的长为半径作弧，分别交 于M，N；分别以M，N为圆心，以大于 长为半径作弧，两
弧相交于点G；作射线 交 于E；作 交 于F．若 ，则四边形 的面积等于
．
【答案】24
【分析】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是判定四边
形 是菱形．连接 交 于点O，证明四边形 是平行四边形，根据作图过程可得AE平分，然后证明四边形 是菱形，进而可得四边形 的面积．
解：如图，连接 交 于点O，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
根据作图过程可知： 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴OB＝ ＝4，
∴ ，
∴四边形 的面积等于 ．
故答案为：24．
【考点5】利用菱形与矩形性质定理和判定定理证明与求值
【例5】（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图1，矩形 中，点E，F分别在 ， 上，
将矩形 沿直线 折叠，点C落在 上的一点H处，点D落在点G处， 与 交于点O．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）如图2， ， ，点H与点A重合时，求 的长．【答案】（1）见分析；（2） 的长为
【分析】此题考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理
和性质定理、勾股定理是解本题的关键．
（1）先判断出四边形 是平行四边形，再根据翻折的性质可得 ，然后根据邻边相等的
平行四边形是菱形证明；
（2）过点 作 于 ，求出 ，再利用勾股定理列式求解得到 ，即可求出 的长．
解：（1）证明：在矩形 中， ，
，
由翻折可知： ，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形；
（2）解：点 与点 重合时，设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
，
，，
如图，过点 作 于 ，得矩形 ，矩形 ，
， ， ，
，
由勾股定理得， ，
．
【变式1】（2024上·山东青岛·八年级统考期末）如图，在 中，E、F分别为边 、 的
中点， 是对角线．下列说法错误的是（ ）
A．当 时，四边形 是菱形
B．当 时，四边形 是菱形
C．当 时，四边形 是矩形
D．当 平分 时，四边形 是矩形
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质与菱形的判定，先根据平行四边形性质得到 ， ，
得到四边形 是平行四边形，再结合选项条件结合菱形的判定，逐个判定即可得到答案；
解：∵在 中，E、F分别为边 、 的中点，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，∵ 平分 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，故D选项正确不符合题意，
当 时，得不到四边形 是菱形，故A选项错误，符合题意，
当 时，
，
∴四边形 是菱形，故B选项正确不符合题意，
当 时，
∵E为边 的中点，
∴ ，
∴四边形 是矩形，故C选项正确不符合题意，
故选：A．
【变式2】（2024·江苏淮安·校考模拟预测）如图，先有一张矩形纸片 ，点
M，N分别在矩形的边 上，将矩形纸片沿直线 折叠，使点C落在矩形的边 上，记为点P，
点D落在G处，连接 ，交 于点Q，连接 ；当P，A重合时， ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，根据题意画出
图形可推出四边形 是菱形，设 ，则 ，根据勾股定理求出 即可求解．
解：如图所示：由题意得： 垂直平分 ，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形 是菱形
设 ，则
∵
∴
解得：
∴ ，
∴
∴
故答案为：
