文档内容
专题 19.4 一次函数图象中的面积问题
◆ 典例分析
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0)，B(0,2)，C(−1,−2)，直线AB和直线AC的图象相交
于点A，连接BC．
（1）求直线AB和直线AC的函数表达式；
（2）请直接写出△ABC的面积为___________，在第一象限，直线AC上找一点D，连接BD，当△ABD
的面积等于△ABC的面积时，请直接写出点D的坐标为___________．
（3）点E是直线AB上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接CE，EF，FC，当△CEF是以CE为底边
的等腰直角三角形时，请直接写出△CEF的面积为___________．
【思路点拨】
（1）用待定系数法，即可求解直线AB和直线AC的函数表达式；
（2）先求出直线AC与y轴的交点坐标，再用割补法求△ABC的面积即可；根据△ABD的面积等于
△ABC的面积可得AC=AD，过点C作CF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，通过证明
△ACF≌△ADG(AAS)，即可得出AF=AG=2,CF=DG=2，即可求出点D的面积；
（3）根据题意，进行分类讨论，当点F在x轴上，点F在y轴上，分别过点E和F作坐标轴的垂线，通过
证明三角形的全等，得出点E和点F的坐标，即可求解．
【解题过程】
（1）解：设直线 的函数表达式为 ，
AB y =k x+b (k ≠0)
1 1 1 1
把A(1,0)，B(0,2)代入得：{0=k +b )，解得： {k =−2)，
1 1 1
2=b b =2
1 1
∴直线AB的函数表达式为y =−2x+2，
1
设直线 的函数表达式为 ，
AC y =k x+b (k ≠0)
2 2 2 2
把A(1,0)，C(−1,−2)代入得：
{ 0=k +b )，解得： { k =1 )，
2 2 2
−2=−k +b b =−1
2 2 2
∴直线AC的函数表达式为y =x−1；
2
（2）把x=0代入y =−x−1得：y =−1，
2 2
∴M(0,−1)，
∵A(1,0)，B(0,2)，C(−1,−2)，
∴BM=2−(−1)=3，点A到y轴距离为1个单位长度，点C到y轴距离为1个单位长度，
1 1
∴S =S +S = ×3×1+ ×3×1=3，
△ABC △ABM △BCM 2 2
过点C作CN⊥x轴于点N，过点D作DG⊥x轴于点G，
∵C(−1,−2)，
∴N(−1,0)，
∴AN=2,CN=2，
设△ABD在AD边上的高为h，
∵S =S ，．
△ABC △ABD
1 1
∴ AC⋅ℎ = AD⋅ℎ，
2 2
∴AC=AD，
在△ACN和△ADG中，{∠DAG=∠CAN
)
∠DGA=∠CNA ，
AC=AD
∴△ACN≌△ADG(AAS)，
∴AN=AG=2,CN=DG=2，
∴D(3,2)．
故答案为：3，(3,2)；
（3）①如图：当点F在x轴负半轴上时，过点C作CP⊥x轴于点P，过点E作EQ⊥x轴于点Q，
∵点E在直线AB上，点F在x轴上，
∴设E(a,−2a+2),F(b,0)，
∵△CEF是以CE为底的等腰直角三角形，
∴EF=CF,∠EFC=90°，
∵∠EFQ+∠CFP=90°，∠EFQ+∠FEQ=90°，
∴∠CFQ=∠FEQ，
在△CFP和△FEQ中，
{∠CFQ=∠FEQ
)
∠EQF=∠FPC ，
EF=CF
∴△CFP≌△FEQ(AAS)，
∴CP=QF=2,PF=EQ，
∵P(−1,0),Q(a,0)，
{ a−b=2 )
∴ ，
|−1−b)=|−2a+2){ a=1 )
解得： ，
b=−1
∴E(1,0),F(−1,0)，
∴EF=2,CF=2,
1
∴S = ×2×2=2；
△CEF 2
②如图：当点F在x轴正半轴上时，过点C作CP⊥x轴于点P，过点E作EQ⊥x轴于点Q，
同理可得：∴△CFP≌△FEQ(AAS)，
∴CP=QF=2,PF=EQ，
∵P(−1,0),Q(a,0)，
{ b−a=2 )
∴ ，
b−(−1)=−2a+2
1
{ a=− )
3
解得： ，
5
b=
3
( 1 4) (5 )
∴E − , ,F ,0 ，
3 3 3
∴ √ (5 1) 2 (4) 2 2❑√13，
EF=CF=❑ + + =
3 3 3 3
1 2❑√13 2❑√13 26
∴S = × × = ；
△CEF 2 3 3 9
③如图：当点F在y轴上时，过点C作CH⊥y轴于点H，过点E作EI⊥y轴于点I，∵点E在直线AB上，点F在x轴上，
∴设E(a,−2a+2),F(0,b)，
同理可得：∴△CFH≌△FEI(AAS)，
∴CH=FI=1,FH=EI，
∵H(0,−2),I(0,−2a+2)，
∴{b−(−2a+2)=1)，
b−(−2)=a
5
{ a= )
3
解得： ，
1
b=−
3
(5 4) ( 1)
∴E ,− ,F 0,− ，
3 3 3
∴ √ (5) 2 ( 4 1) 2 ❑√34，
EF=CF=❑ + − + =
3 3 3 3
1 ❑√34 ❑√34 17
∴S = × × = ；
△CEF 2 3 3 9
{(−2a+2)−b=1)
或∴ ，
−2−b=a
{ a=3 )
解得： ，
b=−5
∴E(3,−4),F(0,5)，
∴ ，
EF=CF=❑√32+1=❑√101
∴S = ×❑√10×❑√10=5；
△CEF 2
26 17
综上：△CEF的面积为2或 或 或5．
9 9
26 17
故答案为：2或 或 或5．
9 9
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于点A(−6,0)、点B，点P
是直线AB上的一个动点，连接OP．
（1）求不等式kx+3>2的解；
1
（2）若△BOP的面积是△AOB面积的 ，求点P的坐标．
4
2．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）在直角坐标系xOy中，直线l ：y=−x+5与x轴、y轴分别交于点
1A，点B．直线l ：y=mx+m(m>0)与l 交于点E．若点E坐标为(1,n)．
2 1
（1）求E的坐标和m的值；
（2）点P在直线l 上，若S =3，求点P的坐标．
2 △AEP
3．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1交x轴于点B，直线
3
y=− x+3分别交x轴y轴于点C和点D，两条直线交于点A．
4
（1）求点A的坐标；
（2）在直线CD上求点M，使得S =3S ．
△ABC △MAB
1
4．（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，已知一次函数y=kx+b经过点(2,8)，与一次函数y=−x−
2
交于点A(m,1)（1）求一次函数y=kx+b的表达式．
{kx−y=−b
)
（2）请直接写出方程组 1 的解．
x+ y=−
2
（3）求三角形ABD的面积．
5．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线AB:y=−2x+b与x轴交于点A(−1,0)，与y轴交于点
1
B．直线CD:y=− x+3与直线AB交于点D，与y轴交于点C．
3
（1）求b的值及点B的坐标．
（2）求△BCD的面积．
5
（3）连接AC，在x轴上有一点E，使得△ABC的面积等于△BDE面积的 ．直接写出此时点E的坐
12
标．6．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l ：y=2x+1与y轴交于点A，直线l 与y
1 2
轴，x轴交于点B，点C，l 与l 交于点D(1,m)，连接OD，已知OC的长为4．
1 2
（1）求点D的坐标及直线l 的解析式；
2
（2）求△AOD的面积；
（3）若直线l 上有一点P使得△ADP的面积等于△ADO的面积，直接写出点P的坐标．
2
7．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，一次函数y =2x−2的图象与y轴交于点A，一次函数y
1 2
的图象与y轴交于点B(0,6)，点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2．
（1）求一次函数y 的函数解析式；
2
（2）求△ABC的面积；
（3）问：在坐标轴上，是否存在一点P，使得S =2S ？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，
△ACP △ABC
请8．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴，y轴分别交
于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B(6,0)．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
（3）直线AC上有一个点P，过P作x轴的垂线交直线BC于点Q，当PQ=OB时，求出点P的坐标．
9．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，过点A的两条直线l ，l 分别与y轴交于点B，C，已知
1 2
AB=❑√17，B(0,3)．
（1）求点A的坐标；
（2）若△ABC的面积为4❑√2，求直线l 的表达式；
2
（3）在（2）的条件下，在直线l 上是否存在点M，使得△OAM的面积是△OCA的面积的2倍?若存在，
1
求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2023八年级上·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，直线n过点A(0,−2)且与直线l交
于点B(3,2)，直线l与y轴交于点C．
（1）求直线n的函数表达式；
（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）若△ABC是等腰三角形，求直线l的函数表达式．
11．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图1，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线
y=−2x+18与x轴交于点C，与y=x+3交于点D．
（1）求点D的坐标；
2
（2）若点M为直线AB上一点，若S = S ，求满足条件的点M的坐标；
△BOM 3 △AOB
（3）如图2，已知P为四边形BOCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，记△PAB、△PCD的面积分别为 ，若点 的坐标为 ，则S 是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不
S 、S P (t+1,2t) △PAB
△PAB △PCD S
△PCD
是，请说明理由．
12．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l ：y=2x与直线l 交于点
1 2
(4 ) 16
A ,m ，直线l 与x轴，y轴分别交于点B，点C，△AOB的面积为 ．
3 2 3
（1）求直线l 的表达式；
2（2）如图2，过点D(1,0)作直线分别交直线l ，l 于点E，点F，设点E在第三象限．
1 2
①连接 ，设 的面积为 ， 的面积为 ，若S 1，求点E的坐标；
AD △ADE S △ADF S 1=
1 2 S 2
2
②当△AEF的面积最小时，求点E的坐标．
13．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图①，已知直线y=−2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以
1
点B为直角顶点在第一象限内作直角△ABC，AB=BC，BC所在直线为y= x+b．
2（1）直接写出A，B两点的坐标A（__________，__________），B（__________，__________）；
（2）求点C的坐标及b的值；
（3）如图②，直线BC交y轴于点D，在直线BC上取一点E(−1,−1)，连接AE交x轴于点F，在直线AE
上是否存在一点P，使△ABP的面积等于△ABD的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
3
14．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线y=− x+3交坐标轴于A
4
，B两点，过点C(−3,0)作CD交AB于点D，交y轴于点E，且△COE≌△BOA．（1）B的坐标为_________，线段OA的长为_________．
（2）求直线CD的解析式和点D的坐标．
（3）如图（2），点M是线段CE上一动点（不与点C，E重合），ON⊥OM交AB于点N，连结MN．
①在点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，并证明；
②连结MN，当△DMN面积最大时，求OM的长度和△DMN的面积．
15．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y
轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且△ABC面积为10．
（1）求直线BC的解析式；（2）如图1，若点M为线段BC上一点，且满足S =S ，求点M的坐标；
△AMB △AOB
（3）如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在
FG右侧作等腰直角△FGQ，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标．
3
16．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线y = x+b与y =ax+9交于点
1 4 2
B(2,3)，且分别交x轴于A、C两点．
（1）求a，b的值及点A，C的坐标；
（2）在直线BC上找一点D，使得△ABD是△ABO的面积的2倍，求出点D的坐标；
（3）y轴上有一动点P，直线BC上有一动点M，点N在平面上，若四边形AMPN是正方形，求出点N的
坐标．(75 )
17．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，直线y=kx+b经过点A ,0 ，点B(0,25)，与直线
4
3
y= x交于点C，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E．
4
（1）求直线AB的函数关系式和点C的坐标；
2
（2）当DE= OA时，求点D的横坐标和△CDE的面积；
3
（3）已知点G(−3,0)，在坐标轴上找一点F，连接DF，DG，FG，当△DFG是以DF为底边的等腰直角三角形时，直接写出F点的坐标．
18．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点
1
9
B(0,−3)，直线l :y= x+3与x轴交于点C，与y轴交于点E，且与l 相交于D．点P为线段DE上一点
2 4 1
（不与点D，E重合），作直线BP．
（1）求直线l 的表达式及点D的坐标；
1
（2）若直线BP将△ACD的面积分为7:9两部分，求点P的坐标；
（3）点P是否存在某个位置，使得点D关于直线BP的对称点D'恰好落在直线AB上方的坐标轴上．若存
在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
