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专题21.19 实际问题与一元二次方程（直通中考）
一、单选题
1．（2023·广西·统考中考真题）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，
2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民
人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江苏南通·统考中考真题）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1
月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
3．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为 ，宽为 的矩形空地上修筑四条宽度相等的
小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 ，则小路的宽是（ ）
A． B． C． 或 D．
4．（2022·宁夏·中考真题）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地 号汽油价格
三月底是 元/升，五月底是 元/升．设该地 号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 ，根据
题意列出方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·广西河池·统考中考真题）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是
50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
6．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该
种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·黑龙江·统考中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，
单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
8．（2022·重庆·统考中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设
该快递店揽件日平均增长率为 ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·重庆·统考中考真题）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年
共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·山东泰安·统考中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二
百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，
这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于
一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈
利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 ．
12．（2023·重庆·统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位 个，并按计划逐月增
长，预计八月份将提供岗位 个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 ，根据题
意，可列方程为 ．
13．（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知
长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门
不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与
门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
14．（2022·四川成都·统考中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程
的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 ．
15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．
书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、
广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，
竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：
门高、宽和对角线的长分别是 尺．
16．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图是一块矩形菜地 ，面积为
．现将边 增加 ．
（1）如图1，若 ，边 减少 ，得到的矩形面积不变，则 的值是 ．（2）如图2，若边 增加 ，有且只有一个 的值，使得到的矩形面积为 ，则 的值是
．
17．（2022·浙江衢州·统考中考真题）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用
容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
18．（2022·湖南永州·统考中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识
地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成
的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 ．
三、解答题
19．（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于
购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200
元，求 年买书资金的平均增长率．
20．（2023·湖南郴州·统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数
为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区
5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
21．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足
够长）围成一个矩形羊圈 ，并在边 上留一个 宽的门（建在 处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
22．（2022·山东德州·统考中考真题）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进
行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
(1)若扩充后的矩形绿地面积为 ，求新的矩形绿地的长与宽；
(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为 ．求新的矩形绿地面积．23．（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，
2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用
增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
24．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造
升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是
3月份的2倍少100吨．
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加 ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加 ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求 的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产
量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了 ．求6月份每吨再生纸的利润是
多少元？
25．（2022·贵州毕节·统考中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩
钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别
A款钥匙扣 B款钥匙扣
价格
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
(1) 网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2) 第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货
价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最
大销售利润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经
调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均
每天销售利润为90元？26．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客
端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
(1) 求豆沙粽和肉粽的单价；
(2) 超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量
（单位：个）和付款金额（单位：元）；
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装
成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个
豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装
的销量分别为 包， 包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．参考答案
1．B
【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次
方程即可．
解：设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，
根据题意得， ．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
2．B
【分析】设每月盈利的平均增长率为x，根据今年1月盈利3000元，3月盈利3630元，即可得出关于
x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设每月盈利的平均增长率为x，
依题意，得：3000（1＋x）2＝3630，
解得：x＝0.1＝10%，x＝−2.1（不合题意，舍去）．
1 2
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．A
【分析】设小路宽为 ，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为 的矩形的面
积，根据花草的种植面积为 ，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结
论．解：设小路宽为 ，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为 的矩形的面积，
依题意得：
解得： ， （不合题意，舍去），
∴小路宽为 ．
故选A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．A
【分析】设该地 号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 ，根据三月底和五月底92号汽油价格，
得出关于x的一元二次方程即可．
解：依题意，得 ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程
式解题关键．
5．A
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到 ，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
解：由题意可得，
，
故选：A．
【点拨】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是
一道典型的增长率问题．
6．C
【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一
次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故选：C．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价
后的售价．7．B
【分析】设有x支队伍，根据题意，得 ，解方程即可．
解：设有x支队伍，根据题意，得 ，
解方程，得x=10，x=-9（舍去），
1 2
故选B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
8．A
【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数
值代入即可．
解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为： ，
故选：A．
【点拨】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
9．B
【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵，再根据题意
列出方程即可．
解：第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根据题意列出方程：
．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习
增长率相关问题．
10．A
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出
关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽
的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，
故选：A．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
11．
【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：三月份盈利额 五月份的盈利额列出
方程求解即可．
解：设每月盈利平均增长率为x，
根据题意得： ．
解得： ， （不符合题意，舍去），
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量
后来的量，其中增长用＋，减少用−，难度一般．
12．
【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 ，根据题意列出一元二次方程，即可
求解．
解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 ，根据题意得，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．
13．8
【分析】设门高 尺，则竿长为 尺，门的对角线长为 尺，门宽为 尺，根据勾股定
理即可求解．
解：设门高 尺，依题意，竿长为 尺，门的对角线长为 尺，门宽为 尺，
∴ ，
解得： 或 （舍去），故答案为： ．
【点拨】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键．
14．
【分析】由题意解一元二次方程 得到 或 ，再根据勾股定理得到直角
三角形斜边的长是 ．
解： 一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 的两个实数根，
由公式法解一元二次方程 可得 ，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．
15．8，6，10
【分析】设竿的长为x尺，则门高为 尺，门宽为 尺，利用勾股定理求解即可．
解：设竿的长为x尺，则门高为 尺，门宽为 尺，
根据题意可得： ，
解得： 或 （舍去），
∴ （尺）， （尺），
即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺，
故答案为：8，6，10．
【点拨】本题考查勾股定理的应用和解一元二次方程，正确设未知数找到等量关系是解题的关键．
16． 6 /
【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可．
（2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可．
解：（1）根据题意，得，起始长方形的面积为 ，变化后长方形的面积为 ，∵ ，边 减少 ，得到的矩形面积不变，
∴ ，
解得 ，
故答案为：6．
（2）根据题意，得，起始长方形的面积为 ，变化后长方形的面积为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵有且只有一个 的值，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去），
故答案为： ．
【点拨】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键．
17．
【分析】根据题意分别找出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程．
解：由包装盒容积为360cm3可得， ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了将实际问题转化为一元二次方程，能够利用长方形的体积列出方程是解题关
键．
18．3
【分析】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果．
解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，
根据题意，设AF=DE=CH=BG=x，
则AE=x-1，
在Rt∆AED中，
，
即 ，
解得：x=4（负值已经舍去），
∴x-1=3，
故答案为：3．
【点拨】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合
运用这些知识点是解题关键．
19．
【分析】设 年买书资金的平均增长率为 ，根据2022年买书资金 2020年买书资金
建立方程，解方程即可得．
解：设 年买书资金的平均增长率为 ，
由题意得： ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
答： 年买书资金的平均增长率为 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
20．(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ；(2)5月份后10天日均接待游客人数最多
是0.1万人
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ，根据题意，列出一元二次方程，进
行求解即可；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．
（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ，由题意，得：
，解得： （负值已舍掉）；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：
，
解得： ；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
【点拨】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不
等式，是解题的关键．
21．(1)当羊圈的长为 ，宽为 或长为 ，宽为 时，能围成一个面积为 的羊圈；
(2)不能，理由见分析．
【分析】（1）设矩形 的边 ，则边 ，根据题意列出一元二
次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
（1）解：设矩形 的边 ，则边 ．
根据题意，得 ．
化简，得 ．
解得 ， ．
当 时， ；
当 时， ．
答：当羊圈的长为 ，宽为 或长为 ，宽为 时，能围成一个面积为 的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得 ．
化简，得 ．
∵ ，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 ．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关
键．
22．(1)新的矩形绿地的长为 ，宽为 ；(2)新的矩形绿地面积为 ．
【分析】（1）设将绿地的长、宽增加 ，则新的矩形绿地的长为 ，宽为 ，根据扩
充后的矩形绿地面积为 ，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代
入 及 中，即可得出结论；
（2）设将绿地的长、宽增加 ，则新的矩形绿地的长为 ，宽为 ，根据实地测量
发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形
的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．
（1）解：（1）设将绿地的长、宽增加 ，则新的矩形绿地的长为 ，宽为 ，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
．
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．
（2）设将绿地的长、宽增加 ，则新的矩形绿地的长为 ，宽为 ，
根据题意得： ，
即 ，
解得： ，
．
答：新的矩形绿地面积为 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，
正确列出一元二次方程与一元一次方程．
23．(1)20%；(2)18个
【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小
于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，
根据题意得： ，
解这个方程得， ， ，
经检验， 符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造 个老旧小区，
由题意得： ，
解得 ．
∵ 为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和
相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
24．(1)4月份再生纸的产量为500吨；(2) 的值20；(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元
【分析】（1）设3月份再生纸产量为 吨，则4月份的再生纸产量为 吨，然后根据该厂3，
4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，根据总利润=每一
吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
（1）解：设3月份再生纸产量为 吨，则4月份的再生纸产量为 吨，
由题意得： ，
解得： ，
∴ ，
答：4月份再生纸的产量为500吨；（2）解：由题意得： ，
解得： 或 （不合题意，舍去）
∴ ，
∴ 的值20；
（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解
是解题的关键．
25．(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件；(2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥
匙扣40件时利润最大，最大为1080元；(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天
销售利润为90元
【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列
出二元一次方程组即可求解；
(2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200
元”列出不等式 求出 ；设销售利润为 元，得到 ， 随着m的
增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润；
(3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为
(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可．
（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出： ，
故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，由题意可知： ，
解出： ，
设销售利润为 元，则 ，
∴ 是关于m的一次函数，且3＞0，
∴ 随着m的增大而增大，
当 时，销售利润最大，最大为 元，
故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的
利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a=3，a=7，
1 2
故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一
元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键．
26．(1)豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；(2)①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的
单价为7元；②
【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为 元，依题意列一元一次方程即可求解；
（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求
解；
②根据销售额=销售单价 销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值．
（1）解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为 元，
依题意得 ，
解得 ；
则 ；
所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；
（2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，
依题意得 ，解得 ，
所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；
②依题意得 ，
解得 或 ，，
∴ ，
．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，根据题意
找到题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键．
