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专题 21.1 一元二次方程根与系数的关系
【典例1】已知关于x的二次方程x2−ax+a2−4=0．
（1）a为何值时，方程有两个不同的正根；
（2）a为何值时，方程只有一个正根．
【思路点拨】
（1）根据一元二次方程有两个不相等正根，则根的判别式 ，x₁+x₂＞0，x₁·x₂＞
Δ=(−a) 2−4(a2−4)>0
0，组成不等式组求出a的取值范围即可；
（2）根据一元二次方程只有一个正实数根，分为三种情况，一是有且只有一个正根，二是有两个根其中
一个是正根，另一个根式负根或0，结合判别式以及根与系数的关系列不等式，求出a的值即可．
【解题过程】
解：（1）根据题意得，方程x2−ax+a2−4=0有两个不同的正根，
∴ ①，
Δ=(−a) 2−4(a2−4)=−3a2+16＞0
且x₁+x₂=a＞0②，
x₁·x₂=a²-4＞0③，
4
解由①②③组成的不等式组得，2＜a＜ ❑√3，
3
4
故当2＜a＜ ❑√3时，方程有两个不同的正根；；
3
（2）Ⅰ 当方程x2−ax+a2−4=0只且只有一个正根时，
∴ ①，
Δ=(−a) 2−4(a2−4)=−3a2+16=0
且x₁+x₂=a＞0②，
x₁·x₂=a²-4＞0③，
4 4
解①得：a= ❑√3或a=﹣ ❑√3，
3 3
4
当a= ❑√3时，满足②、③，
34
而a=﹣ ❑√3不满足②，故舍去，
3
4
故当a= ❑√3时，方程只有一个正根．
3
Ⅱ 当方程x2−ax+a2−4=0有一个正根，一个负根，
则 ①，
Δ=(−a) 2−4(a2−4)=−3a2+16>0
且x₁·x₂=a²-4＜0②
4 4
解①得：− ❑√30
且x₁·x₂=a²-4=0②
x₁+x₂=a＞0③
4 4
解①得：− ❑√30)
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于a=1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α 和β ,α 和
1 1 2
β ,α 和β ，…，α 和β ,α 和β ，试求
2 3 3 2019 2019 2020 2020
( 1 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 )的值．
+ + +…+ + + + + +…+ +
α α α α α β β β β β
1 2 3 2019 2020 1 2 3 2019 2020
14．（2022秋·九年级课时练习）一元二次方程x2+2ax+6−a=0的根x ,x 分别满足以下条件，求出实数
1 2
a的对应范围．（1）两个根同为正根；
（2）两个根均大于1；
（3）x ．
1=3
x
2
15．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程
x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x，x．
1 2
（1）若 ，求m的值；
x2+x2=2
1 2
（2）令T＝ mx ＋ mx ，求T的取值范围．
1 2
1−x 1−x
1 2
16．（2022秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期中）已知关于x的一元二次方程
mx2+(3m+1)x+3=0 (m≠0)．
（1）求证：方程有两个实数根；
1
（2）若m<0，方程的两个实数根分别为x ,x （其中x
