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专题 21.1 一元二次方程根与系数的关系
【典例1】已知关于x的二次方程x2−ax+a2−4=0．
（1）a为何值时，方程有两个不同的正根；
（2）a为何值时，方程只有一个正根．
【思路点拨】
（1）根据一元二次方程有两个不相等正根，则根的判别式 ，x₁+x₂＞0，x₁·x₂＞
Δ=(−a) 2−4(a2−4)>0
0，组成不等式组求出a的取值范围即可；
（2）根据一元二次方程只有一个正实数根，分为三种情况，一是有且只有一个正根，二是有两个根其中
一个是正根，另一个根式负根或0，结合判别式以及根与系数的关系列不等式，求出a的值即可．
【解题过程】
解：（1）根据题意得，方程x2−ax+a2−4=0有两个不同的正根，
∴ ①，
Δ=(−a) 2−4(a2−4)=−3a2+16＞0
且x₁+x₂=a＞0②，
x₁·x₂=a²-4＞0③，
4
解由①②③组成的不等式组得，2＜a＜ ❑√3，
3
4
故当2＜a＜ ❑√3时，方程有两个不同的正根；；
3
（2）Ⅰ 当方程x2−ax+a2−4=0只且只有一个正根时，
∴ ①，
Δ=(−a) 2−4(a2−4)=−3a2+16=0
且x₁+x₂=a＞0②，
x₁·x₂=a²-4＞0③，
4 4
解①得：a= ❑√3或a=﹣ ❑√3，
3 3
4
当a= ❑√3时，满足②、③，
34
而a=﹣ ❑√3不满足②，故舍去，
3
4
故当a= ❑√3时，方程只有一个正根．
3
Ⅱ 当方程x2−ax+a2−4=0有一个正根，一个负根，
则 ①，
Δ=(−a) 2−4(a2−4)=−3a2+16>0
且x₁·x₂=a²-4＜0②
4 4
解①得：− ❑√3<a< ❑√3，
3 3
解②得：-2＜a＜2，
即−2<a<2
Ⅲ 当方程x2−ax+a2−4=0有一个正根，一个0，
则 ①，
Δ=(−a) 2−4(a2−4)=−3a2+16>0
且x₁·x₂=a²-4=0②
x₁+x₂=a＞0③
4 4
解①得：− ❑√3<a< ❑√3，
3 3
解②得： a=±2，
由③a＞0
即a=2
4
综上所述：−2<a≤2或 ❑√3
3
1．（2022·四川宜宾·九年级专题练习）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x，x，且
1 2
x＜1＜x，那么a的取值范围是（ ）
1 2
2 2 2 2 2
A．﹣ ＜a＜ B．a＞ C．a＜﹣ D．﹣ ＜a＜0
7 5 5 7 11
2．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）若方程x2+2px−3p−2=0的两个不相等的实数根
x 、x
满足
x 2+x 3=4−(x 2+x 3)
，则实数p的所有值之和为（ ）
1 2 1 1 2 23 5
A．0 B．− C．−1 D．−
4 4
3．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，
关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的
根都负根；② ；③ ，其中正确结论的个数是（ ）
(m−1) 2+(n−1) 2≥2 −1≤2m−2n≤1
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程
的两个根为 ，则
x2−(n+2)x−2n2=0 a ,b (n≥2)
n n
1 1 1
+ +⋯+ = __________．
(a −2)(b −2) (a −2)(b −2) (a −2)(b −2)
2 2 3 3 2021 2021
m2
5．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的方程x2−(m−2)x− =0两个实根x ,x 满足|x )=|x )+3
4 1 2 1 2
，则m的值为_______．
6．（2022春·九年级课时练习）已知实系数一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个实根x，x，且a＞b＞c，
1 2
a+b+c＝0，设 ，则d的取值范围为_____．
d=|x −x )
1 2
7．（2022秋·八年级单元测试）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二
次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为3+❑√21和3−❑√21，则
2b+3c
=____________
4a
8．（2022春·四川内江·九年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成 （ ，
a(x+ ℎ) 2+k＝0 a≠0
a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程 （ ）与方程 是“同源二次方
ax2+bx+c=0 a≠0 (x+1) 2−2=0
程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x 、x ，则b－2c＝______，ax +x x +ax 的最大值
1 2 1 1 2 2
是______．
9．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，
且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正
确的有_____（填序号）．
①方程x2−x−2=0是“倍根方程”；
②若(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，则4m2+5mn+n2=0；
③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是“倍根方程”；
④若方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”，则必有2b2=9ac．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等
的实数根x，x．
1 2
（1）求k的取值范围；
1 1
（2）是否存在实数k，使 − ＝1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
x x
1 2
11．（2022·浙江·九年级自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β．
（1）求|α−β|的值；
√α √β
（2）求❑ +❑ 的值；
β α
（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：
．
x3+ y3=(x+ y)(x2+ y2−xy)12．（2022春·四川南充·九年级专题练习）已知：关于x的方程 有实数根．
(k−1)x2−2kx+k+2=0
（1）求k的取值范围．
（2）若 ， 是方程 的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足
x x (k−1)x2−2kx+k+2=0
1 2
，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
(k−1)x2+2kx +k+2=4x x
1 2 1 2
13．（2022秋·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程 ．
x2−2x−a2−a=0(a>0)
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于a=1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α 和β ,α 和
1 1 2
β ,α 和β ，…，α 和β ,α 和β ，试求
2 3 3 2019 2019 2020 2020
( 1 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 )的值．
+ + +…+ + + + + +…+ +
α α α α α β β β β β
1 2 3 2019 2020 1 2 3 2019 2020
14．（2022秋·九年级课时练习）一元二次方程x2+2ax+6−a=0的根x ,x 分别满足以下条件，求出实数
1 2
a的对应范围．（1）两个根同为正根；
（2）两个根均大于1；
（3）x ．
1=3
x
2
15．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程
x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x，x．
1 2
（1）若 ，求m的值；
x2+x2=2
1 2
（2）令T＝ mx ＋ mx ，求T的取值范围．
1 2
1−x 1−x
1 2
16．（2022秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期中）已知关于x的一元二次方程
mx2+(3m+1)x+3=0 (m≠0)．
（1）求证：方程有两个实数根；
1
（2）若m<0，方程的两个实数根分别为x ,x （其中x <x ），若y是m的函数，且y=x − ，求这个
1 2 1 2 1 x
2
函数的解析式．
（3）若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0 (m≠0)的两个根都是整数，a与a+b
(b≠0)分别是关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0的两个根．求代数式4a2+12ab+5b2+16b+8的值．17．（2022秋·福建·九年级统考期末）已知关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有实数根．
（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；
（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．
18．（2022秋·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知x ，x 是关于x的一元二次方程
1 2
的两个实数根，若 ，且 x ，则称这个方程为“限根方程”．如：一
ax2+bx+c=0(a≠0) x <x <0 3< 1<4
1 2 x
2
−10
元二次方程x2+13x+30=0的两根为x =−10，x =−3，因−10<−3<0，3< <4，所以一元二次
1 2 −3
方程x2+13x+30=0为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x 、x 满足
1 2
x +x +x x =−1，求k的值；
1 2 1 2
（3）若关于x的一元二次方程x2+(1−m)x−m=0是“限根方程”，求m的取值范围．19．（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考期中）已知方程①：2(x−k)=x−4为关于x
的方程，且方程①的解为非正数；方程②：(k−1)x2+2mx+3− k+n=0（k、m、n均为实数）为关于x
的一元二次方程．
（1）求k的取值范围；
（2）如果方程②的解为负整数，k−m=2，2k−n=6且k为整数，求整数m的值；
（3）当方程②有两个实数根x ，x 满足(x +x )(x −x )+2m(x −x +m)=n+5，且k为正整数，试判断
1 2 1 2 1 2 1 2
m2≤4是否成立？并说明理由．20．（2022春·湖南邵阳·九年级邵阳市第二中学校考自主招生）已知关于x的方程
．其中p，q都是实数．
|x2+2px−3p2+5)−q=0
1 1 8
（1）若q=0时方程有两个不同的实数根x ，x ，且 + = ．求实数p的值．
1 2 x x 43
1 2
1 1 1
（2）若方程有三个不同的实数根x ，x ，x ，且 + + =0．求实数p和q的值．
1 2 3 x x x
1 2 3
（3）是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x ，x ，x ，x ，且
1 2 3 4
(x +x +x +x ) 4 ？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，请说明理由．
x x x x =3 1 2 3 4
1 2 3 4 4
