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专题 22.15 实际问题与二次函数（专项练习）（基础练）
【题型目录】
【考点1】图形问题； 【考点2】图形运动问题；
【考点3】拱桥问题； 【考点4】销售问题；
【考点5】投球问题； 【考点6】喷水问题；
【考点7】增长率问题； 【考点8】其他问题.
一、单选题
【考点1】图形问题；
1．（2024·河南驻马店·三模）如图，将一根长 的铁丝弯成一个长方形(铁丝正好全部用完且无损耗)，
设这个长方形的一边长为 ，它的面积为 ，则y与x之间的函数关系式为 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·广东深圳·期中）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计
划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为 平方米，为方便取物，在各
个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设
米，则 关于x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【考点2】图形运动问题；
3．（2024·江苏徐州·一模）如图，在 中， ， ， ，点P在边 上，
从点A向点C移动，点Q在边 上，从点C向点B移动，若点P，Q均以 的速度同时出发，且当
一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接 ，则线段 的最小值是（ ）A． B． C． D．
4．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图所示，直角三角形 中， ，且 ．
设直线 ： 截此三角形所得的阴影部分面积为 ，则 与 之间的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【考点3】拱桥问题；
5．（2024·山西朔州·模拟预测）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，
在正常水位时水面宽 米，当水位上升5米时，则水面宽 米，则函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是 ，公司想在大门两侧距地面 处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为
（ ）
A． B． C． D．
【考点4】销售问题；
7．（24-25九年级上·全国·课后作业）某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之
间的关系满足 ，由于某种原因，销售单价只能为 ，那么一周可获得最大
利润是（ ）
A．1 558元 B．1 550元
C．1 508元 D．20元
8．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调
查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件，已知商品的进价为每件30元，设每件降价 元，每星期售
出商品的利润为 元，则 与 的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【考点5】投球问题；
9．（2024·山西忻州·三模）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火
箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度 与飞行时间 满足函数表达式 ．已知
“水火箭”飞行 和飞行 时的升空高度相同，飞行 时的升空高度为 ，则“水火箭”升空的最大
高度为（ ）A． B． C． D．
10．（2024·安徽阜阳·三模）如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，
其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式 ．已知球网与点O的水平距离
为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ）
A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网
C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界
【考点6】喷水问题；
11．（23-24九年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，
喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度 米，水流
喷射的最远水平距离OC是（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．1米
12．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管 ，水管的顶
端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为
3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度 为（ ）A．2 B． C． D．
【考点7】增长率问题；
13．（23-24九年级上·浙江·期末）某工厂1月份的产值为200万元，若平均每月产值的增长率为 ，
该工厂3月份的产值为y，则（ ）
A． B． C． D．
14．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）某超市一月份的营业额为 万元，一月、二月、三月的营业
额共 万元，如果平均每月增长率为 ，则根据题意列方程为( )
A． B．
C． D．
【考点8】其他问题.
15．（2024·湖南长沙·模拟预测）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车
应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，刹车距离 与时间 的关系式为 ，
当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（ ） ．
A．13 B．14 C．15 D．16
16．（2024·宁夏固原·一模）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解
析式是 ．飞机滑行多长时间才能停下来?（ ）
A．18s B．10s C．20s D．15s
二、填空题
【考点1】图形问题；
17．（23-24九年级下·吉林长春·期中）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设
计的拱门的跨度与拱高之积为 ，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了设计方案．现把这个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示．其中，点 在 轴上，
， ．若抛物线型拱门的跨度 ，拱高 ，则抛物线的函数表达式为
．
18．（2024·吉林长春·一模）如图， 是抛物线 在第四象限的图象上一点，过点 分别向
轴和 轴作垂线，垂足分别为 、 ，则四边形 周长的最大值为 .
【考点2】图形运动问题；
19．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在 中， ， ， ，动点
由点 出发沿 方向向点 匀速移动，速度为 ，动点 由点 出发沿 方向向点 匀速移动，
速度为 ．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发，
时， 的面积最大，最大面积是 ．
20．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，等边 的边长为 是 上一点，过点 作 的垂
线，交 于 ，用 表示线段 的长度，显然， 的面积 是线段 的二次函数，则这个函数顶
点式是 ．【考点3】拱桥问题；
21．（2024·吉林松原·模拟预测）如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的
最高水位线在 处，此时桥洞中水面宽度 仅为4米，桥洞顶部点O到水面 的距离仅为1米；旱
季最低水位线在 处，此时桥洞中水面宽度 达12米，那么最低水位 与最高水位 之间的距离
为 米．
22．（2024·湖南株洲·二模）如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解析式为
，为增加照明度，在该抛物线上距地面 高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏
灯的水平距离 是 米．（可用含根号的式子表示）
【考点4】销售问题；
23．（23-24九年级下·山东泰安·期中）2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，
某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，销售期间发现，每天的销售利润 （元）与售价 （元）之间的函
数解析式是 ，且售价 的范围是 ，则销售“冰墩墩”每天的最大利润是
．
24．（2024·湖南衡阳·模拟预测）衡山红脆桃，湖南省衡阳市衡山县特产，全国农产品地理标志，衡山红
脆桃为早熟品种，肉质甜脆爽口，成熟果肉血红色、多汁、离核，深受人们喜爱．某特产批发店以30
元/箱的价格购进了一批衡山红脆桃，根据市场调查发现：售价定为58元/箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱，每天的利润w（元）与每
箱降价x（元）之间的函数表达式为 ．
【考点5】投球问题；
25．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度 是 ，出手后实
心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．若实心球落地点为M，则
．
26．（2024·河南驻马店·二模）王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度
y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是
m．
【考点6】喷水问题；
27．（2024·江苏扬州·二模）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水
头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为 ，水柱落地处离池中心
，水管高度应为 ．
28．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图①为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图②所示．升降杆
OL垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线型，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，
喷射的水柱在距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米，此时喷射的水柱落地点与O的距离为 米．【考点7】增长率问题；
29．（2024九年级下·全国·专题练习）一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的
价格为y万元，则y与x的函数关系式为 ．
30．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开
展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种
子平均每年的增长率为x，则x的值为 ．
【考点8】其他问题.
31．（2024·宁夏银川·模拟预测）物理学中的自由落体运动的公式是 （ 是重力加速度，它的值
约为 ），若物体下落的高度 ，那么降落的时间是 s．
32．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图
2是棚顶的竖直高度y（单位： ）与距离停车棚支柱 的水平距离x（单位： ）近似满足函数关系
的图象，点 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看
作长 ，高 的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
三、综合题
【考点1】图形问题；
33．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为
12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽 为x米，花圃 的面积为 米 ．
(1)如果要围成面积为45米 的花圃， 的长是多少米？
(2)当x为________时，花圃 的面积最大，最大面积是________34．（2024·新疆吐鲁番·三模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 ）的空地上修建一个矩形花园
，花园的一边靠墙，另三边用总长 的栅栏围成（如图所示）．若设花园的 边长为 ，花
园的面积为 ．
(1)求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能否达到 ？若能，请求出 的值；若不能，请说明理由；
(3)当 是多少时，矩形场地面积 最大？最大面积是多少？
【考点2】图形运动问题；
35．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角 的直角边长与正方形 的边长均
为 厘米， 与 在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让 以每秒2厘米的速度向左运动，
最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式．36．（23-24九年级下·河南三门峡·期中）如图，在 中， ， ， ，动点
从点 开始沿边 向点 以 的速度移动，动点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动，
如果 、 两点分别从 、 两点同时出发，运动时间为 ， 的面积为 .
(1)求 随 变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
(2)当 为 时， 的值时多少？
(3)当 取何值时，面积 最大，最大是多少？
【考点3】拱桥问题；
37．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离 为
，跨度 ．
(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；
(2)一艘小船上平放着一些长 ，宽 且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最
高可堆放多少米？38．（2024·浙江台州·一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构
成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥
总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．
(1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度；
(3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与
钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围．
【考点4】销售问题；
39．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，
为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近 五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，
并记录如下：
售价 （元/盒） 18 20 22 26 30
日销售量 （盒） 54 50 46 38 30
(1)分析表格中数据的变化规律，求日销售量 与售价 之间的关系式；
(2)根据以上信息，售价定为多少时，小莹妈妈在销售该种花卉中每天能够获得最大利润？40．（23-24八年级下·浙江金华·期末）问题背景：某商场代理销售某种家用净水器，其进价是200元/台，
经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多
售出5台，若供货商规定这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售
任务．
(1)设售价降低 元，请用含 的代数式表示月销售量 （台）与每月所获得的利润 （元）．
(2)当售价定为多少元时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润 （元）最大，最大利润是多少？
【考点5】投球问题；
41．（24-25九年级上·全国·假期作业）一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是
抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地
面的距离为3.05米． 若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面
的高度是多少？
42．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：
（h是物体离起点的高度， 是初速度，g是重力系数，取 ，t是抛出后经过的时
间）．杂技演员抛球表演时，以 的初速度把球向上抛出．
(1)1.2秒时球离起点的高度是多少？
(2)几秒后球离起点的高度达到 ？【考点6】喷水问题；
43．（2024·四川成都·一模）为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央
设置一柱形喷水装置 高2米，点 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落
下． 位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与 的水平距离为1
米处时，喷出的水柱可以达到最大高度3米．
(1)求出该抛物线的函数表达式；
(2)为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆
形喷水池的半径至少设计为多少米合理？
44．（23-24九年级上·河南商丘·期末）要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装
一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为 处达到最高，
且最高为 ，水柱落地处离广场中央 ，建立如图所示的直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求水管的长度；
(3)当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为 的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央
的距离 的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？【考点7】增长率问题；
45．（22-23九年级·上海·假期作业）某公司 月份的营收为 万元，设每个月营收的增长率相同，且为
， 月份的营收为 万元，写出 关于 的函数解析式．
46．（21-22九年级上·全国·课后作业）某种产品现在的年产量是 ，计划今后两年增加产量．如果每年
都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的
关系应怎样表示？
【考点8】其他问题.
47．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）小球从离地面为 （单位： ）的高处自由下落，落到地面所用的
时间为 （单位： ）．经过实验，发现 与 成正比例关系，而且当 时， ．试用 表示 ，并
求当 时，小球落地所用的时间．
48．（2024·河南信阳·二模）“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是在行动时变得敏捷迅速，
就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．
(1)野兔一次跳跃的最远水平距离为2.8m，最大竖直高度为0.98m，以其起跳点为原点，建立平面直角坐
标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围）
(2)若在野兔起跳点2米处有一个高度为0.65米的树桩，请问野兔是否能成功越过木桩，避免守株待兔的
故事再次上演?参考答案：
1．B
【分析】本题考查求二次函数关系式，根据这个长方形的一边长为 ，可得另一条边长为
，再利用矩形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及 的长，可得出平行于
墙的一边长为 米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式．
【详解】解： 铁栅栏的全长为15米， 米，
平行于墙的一边长为 米．
根据题意得： ．
故选：A
3．C
【分析】本题考查二次函数的几何应用、勾股定理，设运动时间为 ，理解题意，列出 与时间
的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设运动时间为 ，则 ， ，
根据题意，
，
∵ ， ，
∴当 时， 有最小值，最小值为 ，
故选：C．
4．B【分析】此题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
由题意得到三角形 为等腰直角三角形，进而确定出三角形 为等腰直角三角形，表示出
与 的函数解析式，画出大致图象即可．
【详解】解： Rt 中， ，
为等腰直角三角形，
直线 ，
为等腰直角三角形，即 ，
，
画出大致图象，如图所示，
故选B．
5．B
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，以及解析式，先根据图象性质设函数表达式为
，然后得出 ， ，再代入 进行列式计算，即可作
答．
【详解】解：设函数表达式为 ，
∵
设点
∵当水位上升5米时，则水面宽 米
∴
把 ， 分别代入
得出解得
∴函数表达式为 ，
故选：B．
6．A
【分析】本题主要考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．建立坐标系，抛物线的顶点坐标为
，设抛物线解析式为 ，又知抛物线过 ，可求出 ，把 代入函数表达式即
可解决问题．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
【详解】解：以地面所在直线为 轴，过大门最高点垂直于地面的直线为 轴建立平面直角坐标系，
如图所示：
抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
又知抛物线过 ，
，
解得： ，
，
把 代入 ，
解得： ，
故两壁灯之间水平距离为 ．
故选： ．7．A
【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的图象与性质可得当 时，y取最大值，即
一周可获得最大利润，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的开口向下，
∵对称轴为 ，
∴当 时，二次函数图象中，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小，
∴当 时，y取最大值，即一周可获得最大利润，最大利润是1558，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查由实际问题列二次函数关系式．设每件降价 元，则每件的利润是 元，
所售件数是 件，根据利润＝每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式．
【详解】解：设每件降价 元，每星期售出商品的利润为 元，
依题意得 ，
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了二次函数的应用，先利用待定系数法求出函数表达式为： ，再
将其化为顶点式，问题随之得解．
【详解】根据题意有： ，
解得： ，
∴函数表达式为： ，
将 化为顶点式为： ，
当 时，函数有最大值，且为： ，
即则“水火箭”升空的最大高度为 ，
故选：C．10．D
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为 ，
由此即可判断A；求出当 时，y的值，再与 进行比较即可判断B；求出当 时，y的
值，再与0比较即可判断C、D．
【详解】解：∵抛物线解析式为 ，
∴球运行的最大高度为 ，故A说法错误，不符合题意；
在 中，当 时， ，
∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意；
在 中，当 时，则 ，
∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意；
故选D．
11．B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．根据顶点式求
得抛物线解析式，进而求得与 轴的交点坐标即可求解．
【详解】解：∵喷水头的高度（即 的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头 米时，达到
最大高度 米，
设抛物线解析式为 ，将点 代入，得
解得
∴抛物线解析式为：
令 ，解得 （负值舍去）
即 ，
．
故选：B．
12．D
【分析】本题考查二次函数的实际应用，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立直角坐标系，得到 ，设抛物线的解析式为 ，将 代
入求出函数解析式，进而求出 时的函数值即为 的长．
【详解】解：以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立直角坐标系，如图所示：
则： ，
设抛物线的解析式为 ，将 代入，得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴高度 为 ；
故选D．
13．C
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．根据该工厂3月份的产值 该工厂1月份的产值 平
均每月产值的增长率) ，列出二次函数关系式即可得出答案．
【详解】解： 某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为 ，该工厂3月份的产
值为 ，
，
故选：C．
14．D
【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额 增长率 三月份的营业额，等量
关系为：一月份的营业额 二月份的营业额 三月份的营业额 ，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：二月份的营业额为 ，三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加 ，为 ，
则列出的方程是 ．
故选D．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键；
注意本题的等量关系为3个月的营业额之和．
15．D
【分析】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对
函数式变形，从而取得最值．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大
值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
【详解】解：由题意得， ，
，
∵当 时，s最大．
∴后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为 ，
∴故选：D．
16．C
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．将函数解析式写成顶点式，然后根据二次函数
的性质可得答案．
【详解】解：
，
∵ ，
∴当 时，s取最大值，且最大值是600．
即飞机滑行 才能停下来．
故选：C．
17．
【分析】本题考查二次函数的应用，解答中涉及待定系数法求解析式，函数图像上点的坐标确定，
掌握待定系数法是解题的关键．根据图象得到函数顶点坐标，设顶点式，代入原点即可求得答案．
【详解】解：由题意可知，抛物线的顶点 ，
设抛物线的函数表达式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
，
抛物线的函数表达式为 ．
18．16
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考
查了二次函数的性质．依据题意，设 根据矩形的周长公式得到 ，
从而根据二次函数的性质来求最值即可．
【详解】解：设 ，
四边形 周长 ．
当 时，四边形 周长有最大值，最大值为16．
故答案为16．
19． 3 9
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，直接利用面积公式建立二次函数，再利用二次函数的
性质可得答案.
【详解】解：设点P、Q移动的时间为 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的面积最大，最大面积为 ．故答案为：3，9
20．
【分析】根据题意可知 ， ，根据面积公式即可得到函数解析
式，因为点 是 上一点，可列关于 的一元一次不等式求出范围即可．
【详解】解：∵正三角形 的边长为4， ， ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
∵ 是 上一点，
∴ ，即： ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查等边三角形性质，含 直角三角形三边关系，勾股定理，利用三角形面积公式
列函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点．
21．8
【分析】本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．以顶点O为坐标原
点建立平面直角坐标系，先求出函数关系式，再求出点D的坐标，最后求解即可．
【详解】解：如图，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为 ，
由题意可得 ，
代入函数关系式 得： ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
可设 ，
代入抛物线的解析式，得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴最低水位 与最高水位 之间的距离为8米．
故答案为：8
22．
【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当 时，x的值即可得到答案．
【详解】解：当 时，则 ，
解得 ，
∴ 米，
故答案为： ．
23．900元
【分析】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
将二次函数一般式改为顶点式．再结合题意可知当 时，y有最大值，求出最大值即可．【详解】解：∵ ，且 ，
又∵售价x的范围是 ，
∴当 时，y有最大值，最大值为900，
∴最大利润是900元．
故答案为：900元．
24．
【分析】本题主要考查了列二次函数解析式，根据总利润 单个的利润 销售量，列出函数解析式
即可．
【详解】解：每天的利润w（元）与每箱降价x（元）之间的函数表达式为：
．
故答案为： ．
25．
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为 ，把点 ，代入即可
求出解析式；当 时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离 ．
【详解】解：以点O为坐标原点，射线 方向为x轴正半轴，射线 方向为y轴正半轴，建立
平面直角坐标系，
∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．
设抛物线解析式为： ，
把点 代入得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
当 时， ，解得， （舍去）， ，
即此次实心球被推出的水平距离 为 ．
故答案为：
26．8
【分析】本题考查了二次函数的应用；根据题意设抛物线解析式，求出解析式，再求出当 时自
变量的值即可．
【详解】解：由题意得，设抛物线解析式为
将点(0，1.28)代入 ，得
即抛物线解析式为 ，
当 化简，得
解得： (舍去)．
故答案为：8．
27．
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，设抛物线的解析式为 ，用待定
系数法求得抛物线的解析式，再令 ，求得 的值，即可得出答案．
【详解】解：设抛物线的解析式为
由题意可知抛物线的顶点坐标为 ，与 轴的一个交点为 ，
，解得： ，
抛物线的解析式为： ，
当 时， ，
水管的高度为 ，
故答案为： ．
28．4
【分析】本题考查了二次函数的应用．以直线 作为 轴，以地面为 轴，由题意可得，抛物线的
顶点为 ，经过点 ，设抛物线解析式为 ，将 代入求出完整解析式，
将 代入求解即可．
【详解】解：以直线 作为 轴，以地面为 轴，
由题意可得，抛物线的顶点为 ，经过点 ，
∴设抛物线解析式为 ，
将 代入可得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
将 代入得， ，
整理得： ，
，
解得： ， （舍去），
∴喷射的水柱落地点与O的距离为4米．
故答案为：4．29．
【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格 原价
．
根据题意列出函数解析式即可．
【详解】解：由题意得：两年后的价格为： ，
故y与x的函数关系式是： ．
故答案为： ．
30．20%
【分析】利用该实验基地现在拥有的种子种数＝该实验基地两年前拥有的种子种数×(1+培育的种子
平均每年的增长率)2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： (不符合题意，舍去)，
∴x的值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
31．5
【分析】本题考查了二次函数的应用，注意时间没有负值，把不符合题意的舍去，解本题的关键是
弄清题意．
根据函数关系式，将 代入可得相应自变量的值．
【详解】当 时，
解得 （不符合题意，舍去）
故答案为： ．32．能
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当 时，y的值，若此时y的值大
于 ，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
在 中，当 时， ，
∵ ，
∴可判定货车能完全停到车棚内，
故答案为：能．
33．(1)5米
(2)4；48
【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的应用：
（1）用总长减去三个宽即为 的长，利用长方形的面积公式列出方程求解即可；
（2）用总长减去三个宽即为 的长，进而表示出长方形面积，求出最值即可．
【详解】（1）解：设花圃的宽 为x米，则花圃的长为 米，根据题意得：
，
整理得： ，
解得： ，
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，
答： 的长是5米；
（2）解：根据题意得： ，
根据题意得： ，
解得： ，
∵ ，
∴当 时，S取得最大值，最大值为48，即当x为4时，花圃 的面积最大，最大面积是 ．
故答案为：4；48
34．(1) ，
(2) 时，花园的面积能达到
(3) 时， 的最大值为
【分析】对于（1），先表示 ，再根据面积公式求出函数关系式，然后确定自变量的取值范围；
对于（2），令 ，求出解即可；
对于（3），先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的增减性得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：由题意可知 为 米，则
∴
因为墙长 .
∴ ，
自变量的取值范围是 ；
（2）此花园面积能达到 ，理由如下： ，
解得 （舍）， ，
时，花园的面积能达到 ；
（3） ，
∵ ， ，
当 随 的增大而减小，
∴ 时， 的最大值为 ．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，求二次函数关系式，二次函数与一元二
次方程，求二次函数的极值，确定自变量的取值范围是解题的关键．
35．
【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识．根据 是等腰直角三角形，则
重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵ 是等腰直角三角形， ，
， ，
∴重叠部分 也是等腰直角三角形，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
36．(1) ；
(2) 或 ；
(3)当 时，面积最大，最大值为 ．
【分析】（1）根据题意得出 ， ，则 即可；
（2）当 时，列出方程，求出方程的解即可；
（3）先列出函数解析式 ，再化成顶点式 ，最后求出最值即可；
本题考查了列函数关系式，解一元二次方程，二次函数的最值等知识点，熟练掌握知识点的应用是
解题的关键．
【详解】（1）根据题意得： ， ，则 ，
∴ ；
（2）当 时，
∴ ，解得 ， ，
∴ 的值为 或 ；（3） ，
∴当 时，面积最大，最大值为 ．
37．(1) ；
(2)这些木板最高可堆放 米
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
（1）可令O为坐标原点，平行于 的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关
系式为 ，由题意可得B点的坐标为 ，由此可求出抛物线的函数关系式．
（2）当 时，求得 的值，据此求解即可．
【详解】（1）解：以O点为坐标原点，过O且平行于线段 的直线为x轴，建立如图所示的平
面直角坐标系，
设抛物线的函数关系式为 ，
由题意可得B点坐标为 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的函数关系式为 ；
（2）解：当 时， ，
∵ ，
∴木板最高可堆放 (米)．38．(1)
(2) 米
(3)
【分析】对于（1），解： 由顶点F的坐标设顶点式，再将 代入得出关系式即可；
对于（2），由题意可得 米，将 代入关系式，再结合题意求出答案；
对于（3），由题意可知顶点坐标为 设顶点式，将点 代入用含有k的代数式表示a，
再根据抛物线与钢柱 有交点得出不等式，进而求出范围．
【详解】（1）解： 由题意可得顶点F的坐标是 ．
设抛物线解析式为 ，
∵抛物线经过原点O，
∴将 代入得， ，解得 ，
∴ ；
（2）解： 由题意可得 米，
将 代入 ，
解得 ，
∴6根钢柱总长
(米)；
（3）解：由题意设修改钢架后抛物线顶点坐标为 ．∴抛物线解析式为 .
∵抛物线经过点 ，
∴ ，
解得 ．
当 时， ．
∵抛物线与钢柱 有交点，
∴ ．
将 代入， 可得， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】这是一道关于二次函数的应用题目，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数
与不等式，求二次函数值等，求出二次函数的关系式是解题的关键．
39．(1)
(2)售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元
【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）先判断日销售量 与售价 之间成一次函数，然后用用待定系数法求解即可；
（2）设每天获得的利润为w元，列出二次函数解析式，再由二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：观察表格可知销售量是售价的一次函数；设 ，
把 ， 代入得： ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：设每天获得的利润为w元，由题意得 ，
，
∴当 时，w取最大值450，
∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润．
40．(1) ；
(2)售价为330元时，利润最大为71500元
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式，不等式组的应用，解题的关键是理
解题意，求出函数解析式．
（1）根据当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，用含 的
代数式表示月销售量 即可；根据月销售利润 每个的利润 月销售量即可得出w与x的函数解析
式；
（2）根据这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务，列
出不等式组，然后解不等式组得出x的取值范围，再根据二次函数的性质求出结果即可．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
；
（2）解：由题意得， ，
解得： ，
，
∵ ，二次函数的对称轴为直线 ，
∴当 时， ，
（元），
答：售价为330元时，利润最大为71500元．
41．0.2米
【分析】建立直角坐标系, 设解析式为： ,待定系数法求出解析式，当 时，，结合题意作差即可；本题主要考查二次函数的实际问题，合理建立直角坐标系是解题关
键．
【详解】如图建立直角坐标系．
∵点 是这段抛物线的顶点
∴设解析式为： ，
代入点 ，可求得：
∴ ，
即
当 时， ，
∴距地面高度是 米．
42．(1) 秒时球离起点的高度是 ；
(2) 秒或 秒后球离起点的高度达到 ．
【分析】本题为二次函数实际应用问题，解答时注意将相应的函数值或自变量值代入函数关系式中
求解即可．
（1）把 代入即可求解；
（2）把 代入求t即可．
【详解】（1）解：由题意，将 分别代入函数关系式 ，
得 ，
当 时，代入解得 ，
∴ 秒时球离起点的高度是 ；
（2）解：当 时， ，解得 ．
故 秒或 秒后球离起点的高度达到 ．
43．(1) ；
(2)该圆形喷水池的半径至少设计为 米合理．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的应用．
（1）设水流所在抛物线解析式为： ，把 代入解析式，求出 的值即可得到
答案；
（2）令 ，得到 ，求出 的值即可．
【详解】（1）解： 喷出的水流距柱子1米处时达到最大高度3米，
抛物线的顶点坐标为 ，
设水流所在抛物线解析式为： ，
米，
，
将 代入 得： ，
解得： ，
水流所在抛物线解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
，
答：该圆形喷水池的半径至少设计为 米合理．44．(1)
(2) 米
(3)
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是：
（1）根据题意和函数图象可以求得该抛物线的解析式；
（2）将 代入（1）中的函数解析式即可解答本题；
（3）将 代入（1）中的函数解析式，求出相应的 的值，再根据 ，即可求得 的取值范
围．
【详解】（1）解：设 ，
点 在此抛物线上，
，得 ，
即抛物线的解析式为 ；
（2）当 时， ，
答：水管的长度是 ；
（3）当 时，
，
解得， ， （舍去），
当 ，才不会淋湿衣裳．
45．
【分析】设每月增长率都为 ，所以5月份的营收为 万元，6月份的营收为 万元．
【详解】解：因为 月份的营收为 万元， 月份起，每月增长率都为 ，所以 月份的营收为万元， 月份的营收为 万元．
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键．
46． ，y是x的函数
【分析】根据题意可得一年后的产量是 ，再经过一年后的产量是 ，由此求
解即可．
【详解】解：这种产品的原产量是 ，一年后的产量是 ，再经过一年后的产量是
，即两年后的产量 ，
即 ①
①式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，
即y是x的函数．
【电锯】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来
的（x+1）倍．
47． ；
【分析】根据 与 成正比例关系可设函数关系式为 ，再根据题意可得 进而即可解答．
本题考查了利用函数解决实际问题，审清题意列出函数关系式是解题的关键．
【详解】解：∵ 与 成正比例关系，
∴设 ，
∵当 时， ，
∴ ，
解得 ，
∴函数的解析式为 ，
∴当 时， ，解得 ,
∵ ,
∴ ，
即当 时，小球落地所用的时间 ．
48．(1)
(2)野兔能成功越过木桩．
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）依题意，结合“野兔一次跳跃的最远水平距离为2.8m，最大竖直高度为0.98m，以其起跳点
为原点，建立平面直角坐标系，”得出 ， 以及 ， ，得出对称轴为直线 ，
结合最大竖直高度为0.98m，得顶点坐标为 ，再设 ，代入化简计算，
即可作答．
（2）依题意， 代入 ，因为 ，则比较得出答案，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，由 ， 和 ， 可知，
对称轴为直线 ．
∴当 时，y有最大值0.98．
即顶点坐标为 ．
∴设抛物线的解析式为 ．
由题知函数图象过原点 ，
把 ， 代入 ，得 ，
解得 ．∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：依题意，将 代入 ，
得 ．
∵ ，
∴野兔能成功越过木桩．
