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专题22.18 二次函数图象判断各项系数和式子的符号（分层练习）
【知识要点】
(1) 的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上； ，抛物线开口向下.
的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大.
(2) 、b的符号共同决定对称轴的位置
当 时， ，对称轴为y轴；
当a、b同号时， ，对称轴在y轴左边；
当a、b异号时， ，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）
(3) c决定抛物线与 轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
特别说明：由二次函数的图象判断各项系数与式子的符号中考题以选择和填空形式出现。
一、单选题
1．已知二次函数 的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，抛物线 的对称轴是 ，且过点 ，有下列结论：① ；②
；③ ；④ ；其中正确的结论为（ ）A．①② B．②③ C．③④ D．①④
3．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴的交点在 和
之间（不包括这两点），对称轴为直线 ，下列结论：① ；② ；③
；④ ；⑤直线 （ ， ， ， ， ， ）与抛物线所有交点的横坐标之和为
；其中正确结论的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
4．已知抛物线 的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③对任意实数 都有 ；④ ；其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图是二次函数 图象的一部分，对称轴为 ，且经过点（2,0）．下列说法：①
；② ；③ ；④若 ， 是抛物线上的两点，则 ．其中说法
正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①④ D．③④
7．已知， ， ， ，则下列结论成立的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．某二次函数 的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（ ）
① ；② ；③ ； ④ ．A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
9．如图所示为二次函数 的图象，对称轴是直线 ，下列结论：① ；
② ；③ ；④ ；其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，以下结论：
① ；② ；③ ；④当 时， 随 的增大而减小．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知二次函数 的图象大致如图所示．下列说法正确的是（ ）A．
B．当 时，
C．
D．若 在函数图象上，当 时，
12．二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为 ．下列结
论正确的是（ ）
A． B．
C． D．若 是抛物线上两点，则
13．如图，抛物线 与x轴相交于点 ， ，与y轴相交于点C，小红同学得
出了以下结论：① ；② ；③当 时， ；④ ．其中正确的个数
为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
14．如图，抛物线 与x轴交于 ，B两点，下列判断正确的是（ ）
A． B．当 时，y随x的增大而减小
C．点B的坐标为 D．
15．如图，二次函数 的图象关于直线 对称，与 轴交于 ， 两点，
若 ，则下列四个结论：① ；② ；③ （ 为任意实数）；④
．正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．已知二次函数 的图象如图所示且过 ，有以下结论：① ；② ；
③ ；④ ；⑤ ．⑥若实数 则 ；其中正确结论的个数是（
）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17．如图所示，二次函数 的一部分，点A 在图像上，且图像经过 ，下列说
法正确的是（ ）
① ② ③ ④ 是抛物线上的三点，若 ，
且 ，则
A．①②③④ B．①③ C．①③④ D．①②④
18．函数 （ ， ）的图象是由函数 （ ，
）的图象 轴上方部分不变，下方部分沿 轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
① ；② ；③ ；④将图象向上平移1个单位后与直线 有3个交点．
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
19．在平面直角坐标系中，抛物线 开口向下，那么 的取值范围是 ．
20．二次函数 （a，b，c是常数， ）图象的对称轴是直线 ，其中图象的一部分如图所示．对于下列说法：① ；②当 时， ；③ ；④ ．其中正
确的是 （把正确说法的序号都填上）．
21．如图为二次函数 的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为 ．有以
下3种说法：
①
②
③当 时，y随着x的增大而增大这3种说法中，正确的有 ．
22．抛物线 的图象如图所示，则a＋b＋c 0．（填“＜”“＝”“＞”）
23．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②b2＞4ac；
③4a+2b+c＜0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑥若点A（ ，y ），B（ ，y ）在该函数图
1 2
象上，则y ＞y ．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）．
1 224．若函数y＝ax2的图象是一条不经过一、二象限的抛物线，则a 0.
25．已知抛物线 经过点 ， ，对称轴在y轴右侧，则下列结论：① ；
② ；③关于x的一元二次方程 一定没有实数根；④关于x的一元二次不等式
的解集为 或 ．
正确的有 （填写序号）．
26．如果抛物线 在对称轴左侧呈上升趋势，那么 的取值范围是 ．
27．老师给出了二次函数 的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论：
①抛物线的对称轴为直线 ；② 是方程 的一个根；③当 时， ；④
若 ， 是该抛物线上的两点，则 ．其中正确的是 ．
x … 0 1 3 5 …
y … 7 0 7 …
28．如图，已知抛物线 （a，b，c为常数，且 ）经过点 和 ．下列四
个结论：① ；② ；③ ；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过定点
．其中正确的结论是 （填序号）．29．二次函数 （ ， ， 是常数， ）图像的对称轴是直线 ，其图像如图所示，
对于下列说法：① ；② ；③ ；④当 时， ．其中正确的是 （填
正确结论的序号）．
30．已知二次函数 （ 是常数），满足 且 ．
下列四个结论：① ；
②抛物线与 轴一定有两个不同的公共点；
③若抛物线经过 ，则 ；
④对满足 的任意实数 ，都有 ．
其中正确的是 （填写序号）．
31．如图，二次函数 的图象过点 ，对称轴为直线 ．给出以下结论：
① ；
② ；
③若 ， 为函数图象上的两点，则 ；
④若关于 的一元二次方程 有整数根，则对于 的每一个值，对应的 值有3个．
其中正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
32．二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线 ，下
列结论：① ；② ；③ ；④已知 、 在该二次函数图像上，当
且 时，都有 ．其中正确的结论有 ．（填序号）
33．如图，二次函数 的图象经过点 ，对称轴为直线 ，下列5个结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中正确的结论为
．（注：只填写正确结论的序号）
34．如图，二次函数 （a，b，c为常数，且 ）的与x轴的一个交点为 ，对称轴为直线 ．下列结论：
① ；
②若抛物线上两点坐标分别为 ， ，则 ；
③ ；
④ ．
其中正确的结论有 （填序号即可）．
35．抛物线 （ ， 是常数且 ， ）经过点 ．下列四个结论：①该抛物
线一定经过 ；② ；③点 ， 在抛物线上，且 ，则
④若 ， 是方程 的两个根，其中 ，则 ．其中正确的
结论是 （填写序号）．
36．已知二次函数 图象的对称轴为直线 ，部分图象如图所示，下列结论中：
① ； ② ；③ ；④若 为任意实数，则有 ；⑤当图像经过点
时，方程 的两根为 ， 则 ，其中正确的结论有 ．
（填序号）参考答案
1．B
【分析】根据二次函数的图象与解析式中字母系数之间关系解答即可．
解：A、图象的开口向下，则 ，此选项不符合题意；B、对称轴在y轴右边且 ，则 ，此选项符合题意；
C、图象与y轴正半轴相交，则 ，此选项不符合题意；
D、 ，此选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图象与各项系数间的关系，熟知二次函数的图象与各项字母系数之间关
系是解答的关键．
2．D
【分析】由图示可知 ， ，由对称轴是 ，可知 ，将点 代入抛物线可求出
，由此即可求解．
解：抛物线 的对称轴是 ，且过点 ，
∴对称轴 ，则有 ，
∴ ， ， ，
∴ ，得 ，
∴ ，
∵ ，
∴结论①正确；
∵ ，
∴结论②错误；
∵ ，
∴结论③错误；
∵当 时，抛物线线有最大值，
∴ ， 则 ，即 ，
∴结论④正确．
故选： ．
【点拨】本题主要考查抛物线图像与系数的关系，理解图示，并根据题意确定系数的关系是解题的关键．
3．C
【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴的性质，依次判断，即可．
解：∵二次函数 的图象与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，
∴二次函数 的图象与 轴的另一个交点为： ，
∴当 时， ，
∴当 时， ，
故 错误；
∵二次函数 的图象与 轴有两个交点，
∴ ，
∴ ，
∵二次函数 的图象开口向上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 正确；
∵二次函数 的图象与 轴交于点 ，
∴当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵二次函数 的图象与 轴的交点在 和 之间，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 正确；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ 正确；
∴正确的为： ．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
4．D
【分析】根据二次函数图象与系数关系，逐项判断即可．
解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线对称轴是 ，
∴ ，故C正确；
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴ ，
∴ ，故A正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，故C正确；
由图象可知，当x=1时， ，故D不正确；
故选：D．【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握抛物线开口方向、与x轴、y轴交
点坐标、对称轴等与系数的关系．
5．D
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，
因为对称轴在y轴右侧，对称轴为 ＞0，
而a＜0，所以b＞0，
由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，可知c＞0，故abc＜0，故①错误；
由图象可知：当x=-1时的函数值与x=3时的函数值相等，所以当x=-1时y<0，即a-b+c<0，故②正确；
由图象可知：对称轴 =1，对任意实数 都有 ，即 ，故
③正确；
④由图象可知：对称轴 =1，即b=-2a，a-b+c<0，所以 ，即 ，故④正
确．
综上可得：②③④正确．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a
决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系
数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b
异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点， 抛物
线与y轴交于（0，c）．
6．A
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-a＞0，利用抛物线与y轴
的交点在x轴上方得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线经过点（2，0）得到4a+2b+c=0，同时得到
c=-2a，加上b=-a，则可对②进行判断；利由抛物线与x轴有两个交点结合根的判别式，即可得出b2-4ac＞
0，，则可对③进行判断；通过比较点（- ，y ）到直线x= 的距离与点（ ，y ）到直线x= 的距离的
1 2
大小可对④进行判断．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x= = ，
∴b=-a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线经过点（2，0），
∴4a+2b+c=0，
∴c=-2a，
∴-2b+c=2a-2a=0，所以②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac＞0，所以③错误；
∵点（ ，y ）到直线x= 的距离比点（ ，y ）到直线x= 的距离大，
1 2
∴y ＜y ；所以④正确．
1 2
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，观察二次函数图象，逐一分析四条说法的正误是解题
的关键．
7．D
【分析】设 ，由 ， ， 可得二次函数过 ，
，且其对称轴在x轴负半轴，即可求解．
解：设 ，
∵ ， ，
∴二次函数过 ， ，
∵ ，
∴二次函数对称轴 ，二次函数的大致图象如下：
由图象可知 ，
∵二次函数与x轴有2个交点，
∴ ，
即 ，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质．由题意确定二次函数经过的点和其对称轴的特点是解答本
题的关键．
8．B
【分析】由抛物线的开口方向判断 与0的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与0的关系，然后根
据对称轴及抛物线与 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①函数的对称轴在 轴右侧，则 ，抛物线与 轴交于负半轴，则 ，则 ，故①正
确；
②函数的对称轴为 ，函数和 轴的一个交点是 ，则另外一个交点为 ，当 时，
，故②错误；
③函数的对称轴为 ，即 ，故③错误；
④由②③得， ， ，故 ，而抛物线开口向上，则 ，即 ，故
，故④正确；
故选：B．
【点拨】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 与 的关系，以及二次
函数与方程之间的转换是解题的关键．
9．C
【分析】利用抛物线图像与性质进行判断，根据函数图像开口方向确定 ，对称轴及 确定 ，函数
图像与 轴交点的确定 ，取特殊点代入函数，根据函数图像确定关于 、 、 代数式的正负即可．解： 抛物线与 轴有 个交点，
，
，故①正确；
当 时， ，
，故②错误；
抛物线开口向下，抛物线与 轴交于正半轴，
，
抛物线的对称轴为直线
，故③正确；
当 时， ，即 ，
，
，故④正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的系数 、 、 与抛物线图像的位
置关系是解题的关键，熟记一些特殊的自变量值所对应的代数式，如本题出现的 时， ，
再结合图像确定函数的取值范围，能较快的解决问题．
10．C
【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据 时判定②，由抛物线图
像性质判定④．
解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则 ，而 ，故 ，故正确；
② 时，函数值小于0，则 ，故正确；
③与x轴交于点 和点 ，则对称轴 ，故 ，即 ，故③正确；
④当 时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而增大．故④错误；
综上所述，正确的为①②③，有3个．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求
法，及这些点代表的意义及函数特征．
11．B
【分析】根据二次函数的系数与图像的关系解答即可；解：根据对称轴为直线 可得：
故 ，故A错误；
根据函数图像可得当 时， ，故B正确；
当 时， ，故C错误；
若 在函数图象上，只有当 时， ，故D错误；
故选B
【点拨】该题主要考查了二次函数的图像与系数关系，解答该题的关键是掌握二次函数图像和性质的
相关知识点．
12．D
【分析】直接利用二次函数的图像和性质逐一判断即可；
解：A. 抛物线的开口向上
，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
抛物线与 轴的交点在 轴下方，
，
，
故本选项不正确，不符合题意；
B. ，
，
故本选项不正确，不符合题意；
C. 抛物线与 轴的一个交点为 ，对称轴为 ，
抛物线与 轴的另一个交点为 ，
当 时， ，
，
故本选项错误，不符合题意；D. 点 到直线 的距离比点 到直线 的距离大，
，
故选项正确，符合题意；
故选择：D
【点拨】本题主要考查二次函数图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想
是解决本题的关键．
13．B
【分析】根据二次函数与x轴交点个数可判断①，根据二次函数的对称轴可判断②，直接观察图像可
判断③，根据 时，y的值的正负可判断④．
解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，
∴①正确；
∵抛物线 与x轴相交于点 ， ，
∴抛物线的对称轴为 ，
，
，
∴②正确；
观察图像可知当 时， ，
∴③正确；
由 得， 时， ，
由图知， 时， ，
∴ ，
∴④错误．
综上，正确的有3个，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图像与系数之间的关系，二次函数图像的性质等知识．掌握数形
结合思想，以及二次函数图像与系数的关系是解题的关键．14．C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
解：A、抛物线开口向下， ，选项错误，不符合题意；
B、 ，对称轴为 ，当 时，y随x的增大而减小，选项错误，不符合题意；
C、∵抛物线 与x轴交于 ，对称轴为 ，
∴点B的坐标为 ，选项正确，符合题意；
D、∵抛物线 与x轴交于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选项D错误，不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
15．D
【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①， 由开口方向和对称轴以及根据抛物线 时的函数
的取值即可判断 ②，根据抛物线 时的函数的取值即可判断③，根据抛物线 时的函数的取值
即可判断④；
解：∵对称轴为直线
∴ ，①正确；
∵抛物线开口向上，与 轴的交点在 轴下方
由题意可知 时，②正确；
由题意可知 时，
若 则
时，二次函数取得最小值
，③正确；
由题意可知 时，
，④正确；
正确的是：①②③④
故选：D
【点拨】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注
意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
16．B
【分析】由抛物线对称轴是直线 ，即得出 ，整理得： ，可判断④；由图象开口向
下，与y轴交于正半轴，可确定 ，即可判断①；根据当 时， 即可判断②；根据当
时， ，即可判断③；由 ，即可判断⑤，由对称轴是直线 和定点坐标可
判断⑥．
解：由图可知，抛物线对称轴是直线 ，
∴ ，即 ，故④错误；
∵抛物线开口向下，
∴ ，
∴ ．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴ ，
∴ ，故①错误；
由图象经过点 可得： ，故②错误；∵抛物线对称轴是直线 ，
∴ 和 时，函数值相等．
∵ 时， ，
∴ ，故③正确；
∵ ， ，
∴ ，即 ，故⑤错误；
当 时， ，即 为最高点，二次函数的最大值为 ，
∴ ，又 ，
∴ ，即 ，故⑥正确；
综上可知正确的只有③⑥，2个．
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
17．C
【分析】利用对称性和已知信息，首先确定出抛物线的对称轴，并综合二次函数图像与各项系数之间
的关系综合判断即可．
解：当 时， ，即抛物线过点 ，
∵点A 在图像上，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
将 代入抛物线得： ，
∴二次函数最大值为 ，
当 时， ，
由图像可得： ， ，
整理可得： ，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，即： ，
由图像可得，当 时， ，即： ，
∴ ，即： ，∴ ，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线 ，且图像经过 ，
∴该抛物线还过点 ，
将 代入抛物线得： ，故③正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵该抛物线开口向下，
∴ ，故④正确；
∴正确的有：①③④，
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数图像与系数的关系，以及二次函数的基本性质，掌握二次函数相关性质，
准确从图像中获取关键信息是解题关键．
18．C
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为 ，进而可得 ，故①正确；
由图象可得，当 时， ，可判段②；由函数图象与y轴的交点坐标为 ，
的图象 轴上方部分不变，下方部分沿 轴向上翻折而成可知 ，故
③错误；求出翻折前的二次函数解析式，然后根据平移的性质可得④正确．
解：由函数图象可得： 与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为 ，即 ，∴整理得： ，故①正确；
由图象可得，当 时， ，故②正确；
∵ 与y轴的交点坐标为 ，
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿 轴向上翻折而成，
∴ ，故③错误；
设抛物线 的解析式为 ，
代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴顶点坐标为 ，
∵点 向上平移1个单位后的坐标为 ，
∴将图象向上平移1个单位后与直线 有3个交点，故④正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的
关键．
19．
【分析】根据抛物线开口向下可得 ，进而求解．
解：∵抛物线 开口向下，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数图像与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．
20．①③④【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
对称轴判定b与0的关系以及 ；当 时， ；然后由图象确定当x取何值时， ．
解：①∵开口向下，
∴ ，
∵对称轴在y轴右侧，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴ ，
∴ ，故正确；
②如图，当 时，y不只是大于0．故错误；
③∵对称轴为直线 ，抛物线与x轴的一个交点横坐标在2与3之间，
∴另一个交点的横坐标在0与 之间；
∴当 时， ，故正确；
④∵对称轴 ，
∴ ，
∴ ，
∵当 时， ，
∴ ，故正确；
∴正确的有3个．
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二
次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，数形结合思想的应用是本题的关键．
21． /
【分析①】③①③由①抛物线的开口方向、与y轴的交点判定a、c的符号；②将x＝1代入函数关系式，结合
图象判定y的符号；③利用对称轴和二次函数的图象的性质作出判断．
解：①∵该抛物线的开口方向向上，
∴a＞0；又∵该抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴ac＜0；
故①正确；
②∵根据抛物线的图象知，该抛物线的对称轴是直线x＝ ＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
即a+b+c＜0；
故②错误；
③由②知，该抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴当x＞1时，y随着x的增大而增大；
故③正确；
故答案为：①③．
【点拨】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是从图象中获取正确信息．
22．＜
【分析】根据二次函数的图像可知，当x=1时，y＜0，即可进行判断．
解：根据二次函数的图像可知，当x=1时，y＜0，
∴当x=1时，则 ；
故答案为：＜．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解答此题的关键是运用数形结合的思想．
23．②④⑤．
【分析】根据二次函数的图象及其性质即可求出答案．
解：①由图象可知：a<0，c>0，
对称轴：x=− >0，
∴b>0
∴abc<0，故①错误；
②由于抛物线与x轴有两个交点，
∴ = b2−4ac>0，
即△b2>4ac，故②正确；
③由于对称轴为x=1，∴（−1,0）与（3,0）关于x=1对称，
令x=2时，
∴y=4a+2b+c>0，故③错误；
④令x=−1，
∴y=a−b+c<0，
∵− =1，
∴a=− ,
∴− −b+c<0，
∴2c<3b，故④正确；
⑤由于x=1，y=a+b+c，a<0
∴该二次函数的最大值为a+b+c，
当m≠1时，
∴y=am2+bm+c，
∴a+b+c> am2+bm+c，
∴a+b> am2+bm，
即a+b>m（am+b），故⑤正确；
⑥（ ，y ）与（ , y ）关于x=1对称，
1 1
∵ > ,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x>1上，y随着x的增大而减小，
∴y < y ，故⑥错误；
1 2
故答案为②④⑤．
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系.
24．＜
解：∵函数y=ax2的图象是不经过一、二象限的抛物线
∴函数图象在三、四象限，即a<0.
25． /
【分析①】②先②根①据题意画出函数的图象，再根据图象与系数的关系求解．
解：根据题意画函数的图象如图所示：由图1得： ，故①正确；
由图1得：当 时， ，故②正确；
由图2得：抛物线 与 有交点，
有解，故③错误；
由图1得：当 时， 与3的大小关系不确定，故④错误；
故答案为：①②．
【点拨】本题考查了函数的图象与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
26．
【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则可得 的取值范围．
解： 抛物线 在对称轴左侧呈上升趋势，
抛物线开口向下，
，
故答案为： ．
【点拨】本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 决定抛物线的开口方向和大小．当
时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下．
27．①②③
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 ，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
解：①由表格可知：抛物线的对称轴为直线 ，故此选项正确；
②当 时， ，则 是方程 的一个根，故此选项正确；
③由表格可得：抛物线开口向上，由对称得：抛物线与x轴的另一个交点为 ，所以当
时， ，故此选项正确；
④抛物线开口向上，当 时，y随x的增大而增大，若 ， 是该抛物线上的两点，分
两种情况：当A与B在对称轴左侧时，则 ，当A与B在对称轴右侧时，则 ，故此选项不正确；
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数
的性质是解题的关键．
28．①②④
【分析】由题意得到抛物线开口向下，得出 ，对称轴为 ，判断a、b与0的关系，抛物
线与y轴的交点得出c的符号，即可判断①；根据抛物线对称轴方程可得 ，即可判断②；根据抛物
线 经过点 和 ， ， ，即可判断③；先根据 和
，得到 ，在根据对称性可知，抛物线过 ，即可判断④．
解：∵抛物线开口向下，对称轴为 ，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴ ， ， ，
∴ ，故①正确；
∵点 和 的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为 ， ，
∴ ，故②正确；
∵抛物线 经过点 和 ，∴ ， ，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴ ，
∴ ，故③不正确；
由对称得：抛物线与x轴另一交点为 ，
∵ ，
∴ ，
，
无论a，b，c取何值，抛物线一定经过定点 ，故④正确．
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数 ，系数a决定抛物线的
开口方向和大小；一次项系数b和a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
29．①②③
【分析】根据二次函数的图像可知，图像开口向上，与 轴的负半轴相交，与 轴有两个交点，对称
轴为 ，由此即可求解．
解：二次函数 （ ， ， 是常数， ），
①图像开口向上，
∴ ，故①正确；
②与 轴的负半轴相交，
∴， ，
∵对称轴为 ，
∴ ，且 ，
∴ ，则 ，故②正确；
③当 时， ，在 轴的下方，
∴ ，故③正确；④当 时，图像在 轴的下方，即 ，故④错误．
综上所述，正确的有：①②③．
故答案为：①②③．
【点拨】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握二次函数中系数与图像的位置关系是解题的关键．
30．②③④
【分析】根据 ， ，即可得出a和c的符号，即可判断①；根据根的判别式即可判断
②；将点 代入函数表达式得 ，与 联立可得a和b的关系式，即可判断③；
方程 的两个根，根据函数的开口方向即可判断④．
解：①∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故①不正确；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴抛物线与 轴一定有两个不同的公共点，故②正确；
③将点 代入得： ，
∵ ，
联立得： ， 得： ，
整理得： ，故③正确；
④当 时， ，
∴ 是方程 的一个根，
∵ ，
∴ ， ，∵ ， ，
∴ ，则 ，整理得： ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，故④正确；
故答案为：②③④．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质，灵
活运用二次函数表达式的各个系数．
31．①②③
【分析】由抛物线的开口方向判断 与 的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与 的关系，然后根据
对称轴及抛物线与 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解： 抛物线开口向下，
；
抛物线的对称轴为直线 ，
；
抛物线与 轴的交点在 轴上方，
，
，
故①正确；
当 时，函数有最大值，
，
即
故②正确；
抛物线的对称轴是 ，则 在对称轴右侧， ，
，故③正确；
抛物线的对称轴是 ，与 轴的一个交点是 ，
抛物线与 轴的另个交点是 ，
把 ， 代入 得， ，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
，
解得， ．
，
顶点坐标为 ，
由图象得当 时， ，其中 为整数时， ， ， ，
又 与 关于直线 轴对称
当 时，直线 恰好过抛物线顶点．
所以 值可以有 个．
故④不正确；
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查的是抛物线与 轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、 轴上点的坐标特
点等知识是解答此题的关键．
32．①③④
【分析】根据开口方向、与y轴的交点、对称轴即可判断①；根据当 时， ，即可判断②；
根据图象过点 得到 ，由 得到 ，则 ，即可判断③；分
三种情况根据二次函数的性质即可判断④．
解：由二次函数 的部分图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴ ， ，
∵对称轴为直线 ，即 ，∴ ，
∴ ，故①正确；
∵图象过点 ，对称轴为直线 ，
∴当 时， ，即 ，
则 ，故②错误；
∵图象过点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故③正确；
当 时， ，不符合题意，
当 时，∵ ，
∴ ，
∵抛物线开口向下，
∴ ，
当 时， ，
∵当 时，y随x的增大而减小，
∴ ，故④正确；
正确的结论有①③④，
故答案为：①③④
【点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，根据图象和性质判断式子的符号，比较函数值的大小等
知识，数形结合是解题的关键．
33． /
②④ ④②【分析】根据二次函数图像和系数的关系即可求出答案．
解：根据图象可知：
①抛物线开口向上，故 ；对称轴为直线 ，即 ，故 ；抛物线与 轴的交点分
别在原点两侧，则 ，故 ，则 ，故①错误；
②将 代入抛物线解析式可得： ，整理得： ，故②正确；
③根据不等式的性质将其整理为 ，因为抛物线开口向上，故当 时，抛物线
有最小值，为 ，即抛物线上任意一点的纵坐标均 ，即 ，故③错误；
④对称轴为直线 ，即 ，当 时， ，即 ，故
，故④正确；
⑤对称轴为直线 ，即 ，故 ，故⑤错误；
故答案为：②④．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，灵活的应用图象中给出的数据，把握住特殊点
的作用是这类题的解题关键点．
34．①③④
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点可确定a、b、c的正负，即可判定①；通
过判定两点是否关于对称轴对称可判定②；根据a、c的正负可判定 ，进而判定③；将 代入
解析式可得 再结合 即可判定④．
解：∵抛物线的开口方向向下，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，即 ，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，点 与 不关于 对称∴ ，即②错误；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为 ，
∴ ，
∴ ．
即 ，故④正确，
故答案为①③④．
【点拨】本题主要考查二次函数图像与系数之间的关系、二次函数图像上点的坐标特征等知识点，熟
练掌握二次函数图像与系数之间的关系是解题关键．
35．①②④
【分析】①：根据函数图象经过点的意义，只要得到 即可；
②：由①得 ，结合 判断出 的正负即可；
③：特值法，取 时也符合题意，从而可得到结论；
④：将两个根转化为交点的横坐标，画出图象即可判断．
解： 抛物线经过点 ，
，
，
当 时， ，
，
该抛物线一定经过 ，故此项正确．
②由①得： ，
，
，
，
，，
．故此项正确．
③抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， ， ，
，
，
也符合题意与 矛盾，故此项错误．
④ ， 是方程 的两个根，
， 是抛物线 与直线 交点的横坐标，
，
如图：
由图得： ．故此项正确．
故答案：①②④．
【点拨】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题
的关键．
36．②③④⑤
【分析】利用抛物线开口方向得到 ，利用抛物线对称轴的方程得到 ，利用抛物线与
轴的交点位置得到 ，则可对①进行判断；根据判别式的意义对②进行判断；利用 时得到
，把 代入得到 ，然后利用 可对③进行判断；利用二次函数当 时有最
小值可对④进行判断；由于二次函数 与直线 的一个交点为 ，利用对称性得到二次函数 与直线 的另一个交点为 ，从而得到 ， ，则可对⑤进行判
断．
解： 抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线 ，即 ，
，
抛物线与 轴的交点在 轴的下方，
，
，所以①错误；
抛物线与 轴有2个交点，
，所以②正确；
时， ，
，
而 ，
，
，
，所以③正确；
， 有最小值，
（ 为任意实数），
即 ，所以④正确；
图象经过点 时，方程 的两根为 ， ，
二次函数 与直线 的一个交点为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
二次函数 与直线 的另一个交点为 ，
即 ， ，，所以⑤正确．
故答案为：②③④⑤
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，
抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，
对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴的交点：抛物线与轴交于；抛物线与
轴交点个数由判别式确定．
