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专题24.32 弧长和扇形的面积（知识梳理与考点分类讲解）
【要点一】弧长公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式： (弧是圆的一部分)
要点提醒：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即 ；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出
第三个量.
【要点二】、扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点提醒：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，即 ；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就
可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点类似，
可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系： .
【考点一】求弧长
【例1】如图是某款“不倒翁”和它的主视图， 分别与 所在圆相切于点A，B，若该圆
半径是 ， ，则 的长是 ．【答案】
【分析】根据题意，先找到圆心 ，然后根据 ， 分别与 所在圆相切于点 ， ．
可以得到 的度数，然后即可得到优弧 对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
解：作 ， ， 和 相交于点 ，如图，
∵ ， 分别与 所在圆相切于点 ， ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴优弧 对应的圆心角为 ，
∴优弧 的长是： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键．
【举一返三】
【变式1】如图，点A、B、C是半径为6的 上的三点．如果 ，那么 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理可得出 ，再根据弧长公式计算即可；
解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的长是： ，
故选：C．
【点拨】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题的关键是掌握弧长公式．
【变式2】如图，四边形 内接于 ，且 的半径为r， ．
（1）若 ，求 的长．
（2）若 ，求证： ．【答案】（1） ；（2）见分析
【分析】（1）连接 ， ，根据圆内接四边形的性质得到 ，由圆周角定理得到
，根据弧长的公式即可得到结论；
（2）根据 ，得 ，根据 ，得 ，所以 ，
，可得 为等边三角形，即可得出结论．
（1）解：连接 ， ， ，
四边形 内接于 ， ，
，
，
的长为 ；
（2）证明： ，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
．
【点拨】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算、圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互
补是解题的关键．
【考点二】求扇形的面积
【例2】如图，正五边形 的边长为 ，以 为圆心，以 为半径作弧 ，则阴影部分的面
积为 （结果保留 ）．【答案】
【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出 的度数，利用扇形面积公式计
算即可．
解：正五边形的内角和 ，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公
式是解答本题的关键．
【举一返三】
【变式1】如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心， 的长为半径
画弧，交 于点 ，连接 ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可求 ， ，从而可证 是等边三角形，可得
，即可求解．
解： ， ， ，， ，
，
是等边三角形，
，
，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，扇形的面积公式，掌握性质
及公式是解题的关键．
【变式2】如图，已知点D为等腰 的斜边 的中点，连接 ，以点B为圆心， 为半
径画弧，分别交 、 于点E、F，若 ，请求出图中阴影部分的面积．（结果保留 ）
【答案】
【分析】先求解 ， ，可得 ，证明 ，再求解扇形面积，
从而利用面积之差可得答案．
解： 在等腰 中， ，
， ，
．
点D为 的中点，
，，
∴ ．
【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，扇形面积的计算，熟练的利用割补
法求解阴影部分的面积是解本题的关键．
【考点三】求扇形的圆心角和半径
【例3】已知扇形半径是3cm，弧长为 ，则扇形的圆心角为 度．
【答案】90
【分析】已知扇形半径是3cm，弧长为 ，直接利用弧长公式 即可求出n的值．
解： ，
解得： ，
故答案为：90．
【点拨】本题考查了弧长计算公式的应用，掌握弧长公式是解题的关键．
【举一返三】
【变式1】一个扇形的面积为 ．弧长为 ．那么这个扇形的半径是（ ）
A．20 B．24 C．26 D．32
【答案】B
【分析】设扇形的半径为r，根据扇形面积等于 （ 为扇形弧长）进行求解即可
解：设扇形的半径为r，
由题意得， ，
解得 ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，熟知扇形面积等于扇形弧长和半径乘积的一半是
解题的关键．
【变式2】如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2．
（1）求α；
（2）点C是OA上的一点，若OC＝4，求S ．
阴影【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）设 ，由于这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母
线长，则利用弧长公式得到 然后解方程即可；
（2）过C点作CD⊥BO于D，如图，先利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，然后根据扇形
的面积公式，利用S ＝S AOB﹣S BOC进行计算．
阴影 扇形
△
（1）解：设∠AOB＝n°，
根据题意得 ，
解得n＝120，
α为120°；
（2）过C点作CD⊥BO于D，如图，
∵∠BOC＝120°，
∴∠COD＝60°，
∴OD OC＝2，
∴CD OD ，
∴S ＝S AOB﹣S BOC
阴影 扇形
△
．【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长，掌握圆锥的展开图是解题的关键．
【考点四】求弓形的面积
【例4】如图，在 中， ， ，以 中点D为圆心、 长为半径作半圆交
线段 于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接 ， ，然后根据已知条件求出 ， ，从而得到 ，最
后结合扇形的面积计算公式求解即可．
解：如图，连接 ， ．
∵ 为直径，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴阴影部分的面积=．
故答案为： ．
【点拨】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所
对的圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键．
【举一返三】
【变式1】如图， 是 的直径， 是弦， ，在直径 上截取 ，延长 交
于点 ，若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接 ，过点O作 于点F，求出 ，由圆周角定
理得 ，得 ，由三角形外角的性质得 ，由垂径定理得
，根据勾股定理得 ，根据 求解即可．
解：如图，连接 ，过点O作 于点F，
则 ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴∠ ，
∴∠ ，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出
扇形的半径和圆心角是解答本题的关键．
【变式2】如图， 是等腰直角三角形， ，以 为直径作 交斜边 于点D，点
M是 中点，过点M作直线 于点E，交 于点F．
（1）证明： 是 的切线；
（2）若 ，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）先根据圆周角定理和等腰三角形的性质证得 ，进而证明 ，得到 ，利用切线的判定定理即可证得结论；
（2）连接 ，过点O作 ，根据等腰三角形的性质证得 ，则 ，
再证明四边形 是矩形得到 ，再根据等腰直角三角形的性质求得 ，由
求解即可．
解：（1）证明：连接 、 ，
∵点M是弧 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，又 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：连接 ，过点O作 ，
∵ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，∵ ，∴ ，
∵
∴ ．
【点拨】本题考查切线的判定、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、矩形的判定与性质、扇
形的面积公式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
【考点五】求旋转扫过的图形面积
【例5】如图，将半径为 ，圆心角为 的扇形 绕点 逆时针旋转 ，得到扇形 ，则
扫过的区域（即图中阴影部分）的面积为 ．
【答案】
【分析】结合已知条件及旋转性质，根据面积的和差可得 ，然后利用扇形面积公式计算
即可．
解：∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，由旋转性质可得， ， ，
则 ，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了扇形的面积及旋转性质，结合已知条件将阴影部分面积转化为扇形的面积是解题
的关键．
【举一返三】
【变式1】如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径 长为2， ， ，将
绕到心O逆时针旋转至 ，点 在 上，则边 扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．
（结果保留 ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据直角三角形的性质可得 ，再根据旋转的性质可得 ，
， ，从而可得 ， ，然后根据阴影部分的面积等于
即可得．
解：∵直径 长为2，，
∵ ， ，
，
，
∵ ， 是 绕圆心 逆时针旋转得到的，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
， ，
则阴影部分的面积为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了旋转的性质、扇形的面积、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握扇形的面积
公式是解题关键．
【变式2】如图所示，扇形 从图①无滑动绕着点A旋转到图②（ ）的位置，再由图
②紧贴直线运动到图③，已知 ， ．
（1）求由图①到图②点O所运动的路径长；（结果保留 ）
（2）点O所走过的路径与直线l围成的面积是多少？（结果保留π）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）点 的运动路径是以 为圆心， 为半径，圆心角为 的弧，根据弧长公式即可求
解；
（2）如图，找出点 的完整运动路径是由三段组成，分别求出面积即可求解．
（1）解：由图①到图②：．
（2）解：如图
，
，
，
．
答：点O所走过的路径与直线l围成的面积是 ．
【点拨】本题考查旋转产生的点的路径问题，重点考查了弧长公式，掌握弧长公式，并能找出点的运
动路径是解题的关键．
【考点六】求不规则图形的面积
【例6】如图，在矩形 中， ，点O为 的中点，以O为圆心， 长为半径画弧，
交 于点E，若点E为 的中点，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接 交 于点F，利用矩形的性质证明 ，可得 ，进而可得 ，即可求解．
解：如图，连接 交 于点F，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵点O为 的中点，点E为 的中点，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，证明 是解题关键．
【举一返三】
【变式1】如图，在 中， ， ， ，将 绕点 顺时针旋转
后得到 ，点 经过的路径为 ，将线段 绕点 顺时针旋转 后，点 恰好落在 上的
点 处，点 经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 即可求解．
解：∵在 中， ， ， ，
∴ ， ，则 ，
∴
．
故选：A．
【点拨】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式 是解题的关键．
【变式2】如图， 的直径 垂直于弦 于点F，点P在 的延长线上， 与 相切于点
C．
（1）求证： ；
（2）若 的直径为4， ，弦 平分半径 ，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）先证明 ， ，可得 ，证明
，结合圆周角定理得： ，从而可得结论；
（2）连接 ，先证明 ，可得 ，求解 ，
再利用扇形面积进行计算即可．
解：（1）证明：连接 ，
与 相切，
，
，
，
，
∴
，
，
由圆周角定理得： ，
．
（2）连接 ，
，
，
弦 平分半径 ，
，
，
，，
，
，
．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，切线的性质，
求解扇形的面积，掌握以上基础知识是解本题的关键．
【考点七】求点在弧形上运动的路径长
【例7】如图，点 的坐标为 ，把点 绕坐标原点 逆时针旋转 后得到点 ．则
点 运动的路径长为 ，点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】（1）如图，过 作 轴于 ，根据点 的坐标求得 的长度，然后根据弧长公式
解答；过点 作 轴的垂线，垂足是 ，构造全等三角形 ，由全等三角形的性质
求得答案．
解：如图，过 作 轴于 ，，
，
点 经过的弧长为 ；
把点 绕坐标原点 逆时针旋转 后得到点 ，过点 作 轴的垂线，垂足是 ，
， ，
， ， ，
， ，
则点 的坐标是 ．
故答案是： ．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握坐标与图形性质，证明三
角形全等是解决问题的关键．
【举一返三】
【变式1】如图，将边长为 的正方形绕着其中心 点沿 所在直线顺时针转动，转动四周后刚好
在以 为中心的正方形 处，在此过程中，中心 点移动的路径长为（ ）
A． B． C． D．无法计算
【答案】C
【分析】根据正方形的性质可得 ， ，又边长为 的正方形 沿直线 按顺
时针方向翻滚当正方形翻滚一周时，需要翻滚四次，而每次正方形的中心 所经过的路径长为弧 以
为圆心， 为半径 ，然后根据弧长公式计算出弧 的长，即可求解．
解：如图所示，四边形 为正方形，且边长为 ，
， ，
边长为 的正方形 沿直线 按顺时针方向翻滚当正方形翻滚一周时，需要翻滚四次，
而每次正方形的中心 所经过的路径长为弧 以 为圆心， 为半径 ，
弧 的长 ，
当正方形翻滚一周时，正方形的中心 所经过的路径长 ．
转动四周后正方形的中心 所经过的路径长为
故选：C．
【点拨】本题考查了求弧长，正方形的性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
【变式2】如图所示，扇形 从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③， ， ．
（1）求 点运动的路径长；
（2）求 点走过路径与射线 围成的面积．
【答案】（1） 点运动的路径长为 ；（2） 点走过路径与射线 围成的面积为 ．
【分析】（1）一共转动了三次，分析每一次转动的圆心角和半径，然后利用弧长公式即可求解；
（2）同（1）的方法，利用扇形面积公式的长方形面积公式即可求解．
（1）解：如图，运动路径第一段弧长 ，
第二段路径为线段长为 ，
第三段路径为 ，
即O在射线 上运动路径为 ；
（2）解：围成面积，
， ， ，
．
【点拨】本题考查弧长公式、扇形面积公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题．
