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专题24.40 圆（全章分层练习）（提升练）
一、单选题
1．在平面直角坐标 中， 的半径为5，以下各点在 内的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， ， 于点E，若 的半径为2，则 的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3．如图， 为 的一条弦，直径 于点E，连接 、 ，若 ， ，
则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图， 为 的外心， 为正三角形， 与 相交于 点，连接 ．若 ，
，则 为（ ）A．110° B．90° C．85° D．80°
5．如图， 为 的直径，弦 于点E，连接 ，若 ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图， 是 的直径，点C为圆上一点，D是弧 的中点， 与 交于点E．若E是
的中点， 半径为3，则 的长为（ ）
A．4 B． C． D．8
7．如图， ， 分别与 相切于A，B两点，C为 上一点，连接 ， ．若 ，
， ，则 为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．如图，在 中， ，过点 ， 的 分别交 ， 于 ， 两点，连接 并
延长交 于点 ，连接 ， ．若 ， ， ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
9．如图所示正六边形 的面积为6，点 是边 的中点，连接 相交于 ，若四边
形 的面积记作 ，四边形 的面积记作 ，则 的值是（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题
10．如图， 与 的边 相切，切点为 ．将 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，使
点 落在 上，边 交线段 于点 ．若 ，则 度．
11．如图， 是 的直径，弦 于点 ， ， ，则 ．
12．如图， 的半径为6cm， 是弦， 于点C，将劣弧 沿弦 折叠，交 于点D，若D是 的中点，则 的长为 ．
13．如图，把直角三角板的直角顶点C放在圆周上，两直角边与圆弧分别交于点A，B，量得
， ，则该圆的半径是 ．
14．如图，将 沿弦 折叠交直径 于圆心O，则 度．
15．如图，在 中， ， 的内切圆 与 ， 分别相切于点 ， ，连接
， 的延长线交 于点F，则 ．
16．如图，点 是 外一点， ， 分别与 相切于点 ， ，点 在 上．已知
，则 的度数是 ．17．如图，点 是 的内心， ， ， ， ，则 的半径为
．
18．如图， 的两边 、 分别切 于点 、 ，若 ，则 ．
三、解答题
19．如图， 的两条弦 、 互相垂直，垂足为E，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．20．已知：如图， 内接于圆 ，且 过圆心 是弧 上的一点， ，垂足为 ，
连接 、 与 交于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ，求 的长．
21．已知四边形 内接于 ，对角线 是 的直径．
（1）如图1，连接 ， ，若 ，求证： 平分 ；
（2）如图2，E为 内一点，满足 ， ．若 ， ，求弦 的长．
22．如图， 中， ，以 为直径的 交 于点 ，点 在 上 ， ，
的延长线交于点F．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 的半径为3， ，求 的长．23．如图1， 内接于 ，直线 与 相切于点 ， 与 相交于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）如图2，若 是 的直径， 是 的中点， 的半径为4，求 的长．
24．已知 的直径 ，弦 与弦 交于点E，且 ，垂足为点F．
（1）如图1，若 ，求 的长．
（2）如图2，若E为弦 的中点，求证： ．（3）连结 、 、 ，若 是 的内接正n边形的一边， 是 的内接正 边形的一边，
求 的面积．
参考答案
1．A
【分析】先根据勾股定理求出各点到 的距离，再与 的半径5相比较即可．
解：A、点 到 的距离为 ，则点 在 内，本选项符合题意；
B、点 到 的距离为 ，则点 在 上，本选项不符合题意；
C、点 到 的距离为 ，则点 在 外，本选项不符合题意；
D、点 到 的距离为 ，则点 在 外，本选项不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
2．B
解：根据垂径定理可以得到 ，再根据全等三角形的判定与性质，可以得到 ，
从而可以得到 ，最后根据勾股定理即可求得 的长．
【解答】解：连接 ， ，作 于点N，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利
用数形结合的思想解答．
3．B
【分析】先由垂径定理求得 ，再由 ，得出 ，然后根据勾股定理求出
，最后证明 是等边三角形，得出 ．
解：∵直径 于点E，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，由勾股定理，得 ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂
径定理、勾股定理、直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
4．C
【分析】由三角形的外心可知 ，结合 ， 先求出 ，再利用 是
正三角形以及外角的性质即可求解 的度数．
解： 是 的外心，
是正三角形
故选C．
【点拨】本题主要考查外心的性质，等边三角形的性质及三角形外角性质，熟练掌握外心的性质及外
角的性质是解决本题的关键．
5．A
【分析】由 得到 是等腰三角形，根据垂径定理得到 垂直平分 ，则
，利用圆周角定理得到 即可．
解：∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ 为 的直径，弦 于点E，
∴ 垂直平分 ，∴ ，
∴ ．
故选：A
【点拨】此题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理、圆周角
定理是解题的关键．
6．B
【分析】连接 交 于F，如图，根据垂径定理得到 ，则 ，根据圆周角定理得
到 ，所以 ，接着证明 得到 ，则 ，所以
，然后利用勾股定理计算出 ，从而得到 的长．
解：连接OD交AC于F，如图，
∵D是弧 的中点，
∴ ， ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的判定，中位线定理；作出辅助线，运用垂径定理
得到相等线段和直角三角形是解题的关键．
7．C
【分析】连接 、 ，过A点作 于H，如图，设 的半径为r，根据切线的性质得到
，则 ，再计算出 ，则可表示出 ，
，利用勾股定理得到 ，然后解方程即可， 连接 ，可
得出 是等腰直角三角形，即可求解．
解：连接 、 ，过A点作 于H，如图，
设 的半径为r，
∵ 与 相切于A点，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得 （负值已舍），
即 的半径为 ，
连接 ，如图所示，
∵ ， 分别与 相切于A，B两点， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是关键．
8．C
【分析】由四边形 内接于 知 ，据此得 ，由 是 的直径知
及 ，再根据四边形 是 的内接四边形知
，从而证 得 ，根据 是等腰直角三角形知 ，继
而可得答案．
解： 四边形 内接于 ，且 ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又 是 的直径，
，
，
四边形 是 的内接四边形，
，
，
，
中， 、 ，
．
，
，，
，
，
，
．
故选C．
【点拨】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角
形的判定与性质及勾股定理．
9．B
【分析】 ，根据正六边形的性质分别求出
即可．
解：连接 ，如图所示：
由正六边形的对称性可知：
∴ 是全等的等边三角形
∴四边形 是菱形
同理，
∵
∴∵点 是边 的中点
∴
∵
∴
故选：B
【点拨】本题考查了正六边形的性质．将所求面积与正六边形的面积建立联系是解题关键．
10．87
【分析】根据旋转对应边相等及半径相等得到等边 ，得到旋转角为 ，然后利用三角形外角
和定理计算即可．
解： 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，点 落在 上，
， ，
连接 ，
，
为等边三角形，
，
绕点 按顺时针方向旋转了 ，
，
．
故答案为：87.
【点拨】本题考查旋转中角度的计算，旋转过程中对应边相等，对应角相等，旋转角处处相等．本题
中利用圆的半径相等得到边长关系进而求得角度关系是解题的关键．
11．2【分析】根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
解：设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得， ，
即 ，
解得 ，
即 ，
故答案为：2．
【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．
12． / 厘米
【分析】连接 ，延长 交弧 于 ，可证 ，从而可求 ，由
，即可求解．
解：如图，连接 ，延长 交弧 于 ，
由折叠得： ，
是 的中点，
，
，
，
，
，
在 中，
．
故答案： ．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理，掌握相关的性质，构建出由弦、弦心距、
半径组成的直角三角形是解题的关键．
13．5
【分析】连接 ，得到 为圆的直径，由于 ，根据勾股定理求出 ，便可以求出圆的
半径．
解：连接 ，如图．
，
为圆的直径，
cm， cm，
，
半径 cm．
故答案为 ．
【点拨】本题考查勾股定理和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14．120
【分析】过O点作 交 于D，交 于E，连接 ， ．根据折叠可得 ，
，根据三角形中位线定理可得 ，再根据等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义
即可求解．解：过O点作 交 于D，交 于E，连接 ， ．
由折叠可得： ， ，则 为 的中位线，
∵ 是直径，
∴ ， ，则 ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案为：120．
【点拨】考查了翻折变换（折叠问题），圆周角定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，
以及邻补角的定义，综合性较强，构造辅助线是是解决问题的关键．
15． /35度
【分析】根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出∠AOB的度数和∠OGF的度数，然后即可计算
出∠AFD的度数．
解：连接 ， ， ， 交 于点G，
，
，
点O为 的内切圆的圆心，
，
，
， ，
垂直平分 ，
，
，故答案为： ．
【点拨】本题考查三角形内切圆、切线长定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
16． /65度
【分析】连接 ， ，根据切线的性质得到 ，求得
，根据圆周角定理即可得到结论．
解：连接 ， ，
∵ ， 分别与 相切于点 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
17．
【分析】过O作交 于E，设 ，在 和 中，运用勾股定理即可解答；
解：过O作交 于E，设点 是 的内心， ， ，
在 中，由勾股定理可得：
在 中，由勾股定理可得：
故
解得
故
故答案为
【点拨】该题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，圆的基本性质，解答该题的关键是掌握该部分
知识点．
18．15°/ 度
【分析】如图，连接 ， ，求解 ，可得 ，
证明 ，再利用三角形的外角和的性质可得答案．
解：如图，连接 ， ，
∵ 的两边 、 分别切 于点 、 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，圆周角定理的应用，切线的性质，四边形的内角和定理的
应用，三角形的外角的性质，熟记以上基础知识是解本题的关键．
19．（1）见分析；（2）
【分析】（1）作 于点M，作 于点N，证明四边形 为矩形，可得 ，
， ，可得 ，证明四边形 是正方形，可得 ．证明
，从而可得结论；
（2）连接 ，求解 ，可得 ，可得 ，再由勾股定理可
得答案.
解：（1）证明：作 于点M，作 于点N，
又∵ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 即 ．
（2）连接 ，由（1）可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴⊙O的半径为 ．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弦，弧，弦
心距之间的关系，熟记圆的基本性质是解本题的关键.
20．（1）见分析；（2）
【分析】（1）连接 ，根据垂径定理可得 ，即可得 ，结合三角形外
角的性质可证明结论；
（2）利用勾股定理可求解 的长，结合勾股定理可求解 ，再利用三角形的中位线可求解
的长，即可求得 的长，根据勾股定理可求解 的长，由圆周角定理可得 ，再利用勾
股定理可求解．
解：（1）证明：连接 ，于点 ，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
于点 ，
，
是 的中位线，
，
，
，
，
，
为直径，
，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【点拨】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线，三角形外角的性质等知
识的综合运用，灵活运用勾股定理求解线段的长是解题的关键．
21．（1）见分析；（2）
【分析】（1）由垂径定理证出 ，则可得出结论；
（2）延长 交 于 ，延长 交 于 ，证明四边形 是平行四边形，则 ，
根据勾股定理即可得出答案．解：（1）证明： ，
，
，
即 平分 ；
（2）解：延长 交 于 ，延长 交 于 ，
， ，
，
是 的直径，
，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形三角形的判定与性质，熟练
掌握圆周角定理是解题的关键．
22．（1）见分析；（2）6
【分析】（1）连接 、 ，则 ，所以 ，由 ，得 ，
所以 ，即可证明 与 相切；
（2）由切线的性质得 ， ， ，得 ，则
，即可根据勾股定理列方程 ，求解即可．
解：（1）证明：如图，连接 、 ，则 ，
，
， ，
，
，
经过 的半径 的外端，且 ，
与 相切．
（2）解：由（1）知 与 相切，
∴
∵ ， ，
，
，
∵
∴ ，
∵ ， ，
，
，
的长为6．
【点拨】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的
辅助线是解题的关键．
23．（1）见分析；（2）
【分析】（1）连接 ，如图1，根据切线的性质得到 ，则 ，利用垂径定理得到
，然后根据圆周角定理得到结论；（2）先计算出 ，根据垂径定理得到 ，接着利用勾股定理计算出 ，然后计
算 的长．
解：（1）证明：连接 ，如图1，
直线 与 相切于点 ，
，
∵ ，
，
，
，
，
；
（2）解： 是 的中点，
，
在 中， ，
，
，
是 的直径，
，
，
在 中， ．
【点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理．24．（1） ；（2）见分析；（3）
【分析】（1）先根据垂径定理和弧、圆心角的关系可求得 ，进而利用含30度角的直角
三角形的性质求解即可；
（2）先根据垂径定理得到 ，再利用三角形的中位线性质得到 ， ，证明
得到 即可证得结论；
（3）先求得 、 、 所对的圆心角的度数，再利用含30度角的直角三角形的性质求得 ，
，进而求得 即可求解．
（1）解：如图1，∵ ，垂足为点F， ，
∴ ，则 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：如图2，连接 ，
∵ 为直径， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 、 ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，连接 ，
∵ 是 的内接正n边形的一边， 是 的内接正 边形的一边，
∴ ，
则 ，
解得： ．
经检验： 是原方程的根．
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
则 ，
．
【点拨】本题考查圆的综合，涉及垂径定理，圆周角定理，弧、圆心角的关系、含30度角的直角三角
形的性质，三角形的中位线性质，全等三角形的判定与性质、正多边形的中心角等知识，熟练掌握圆的相
关知识的运用是解答的关键．
