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专题 27.4 相似三角形中的动点问题
◆ 典例分析
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2
个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线AC−CB以每秒2个单位长度的速度向
点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）AB=__________；
（2）当Q在AC上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；
（3）设点O是PA的中点，当OQ与△ABC的一边垂直时，请直接写出t的值．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
（1）根据勾股定理直接求解；
（2）根据题意列出代数式，分当∠PQA=90°和∠QPA=90°时两种情况，根据相似三角形的性质列出
比例式，解方程即可求解；
（3）根据题意分当OQ⊥AB，OQ⊥AC，OQ⊥BC时三种情况，根据相似三角形的性质列出比例
式，解方程即可求解．
【解题过程】
（1）解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=BC2+AC2,
∴AB=❑√62+82=10，
故答案为：10．
（2）解：由题意，得AP=10−2t，AQ=2t，
①当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，
AP AQ
∴ = ，
AB AC
10−2t 2t
∴ = ，
10 820
解得t= ，
9
②当∠QPA=90°时，△AQP∽△ABC，
AP AQ
∴ = ，
AC AB
10−2t 2t
∴ = ，
8 10
25
解得t= ，
9
20 25
综上所述，当t= 或 时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
9 9
（3）解：当OQ⊥AB时，如图所示，
∵点O是PA的中点，
1 1
∴OA= AP= (10−2t)=5−t，
2 2
∵∠A=∠A，∠C=∠AOQ=90°，
∴△AOQ∽△ACB，
AO AQ
∴ = ，
AC AB
5−t 2t
∴ = ，
8 10
25
解得t= ，
13
当OQ⊥AC时，如图所示，
∵点O是PA的中点，1 1
∴OA= AP= (10−2t)=5−t，
2 2
∵∠A=∠A，∠C=∠OQA=90°，
∴△AOQ∽△ABC，
AO AQ
∴ = ，
AB AC
5−t 2t
∴ = ，
10 8
10
解得t= ，
7
当OQ⊥BC时，如图所示，
∵点O是PA的中点，
1 1
∴OA= AP= (10−2t)=5−t，
2 2
∵∠B=∠B，∠C=∠OQB=90°，
∴△BOQ∽△BAC，
BO BQ
∴ = ，
BA BC
2t+5−t 6+8−2t
∴ = ，
10 6
55
解得t= ，
13
25 10 55
综上所述，t的值为 或 或 ．
13 7 13
◆ 学霸必刷
1．（24-25九年级上·广西北海·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开
始沿AB边运动，速度为2cm/s，动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s．如果P、Q两动点同
时运动，那么经过（ ）秒时△QBP与△ABC相似．A．0.8 B．0.8或2 C．1.25或2 D．1.25
【思路点拨】
本题考查了相似三角形的判定和性质，设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP=2tcm，BQ=4tcm
BP BQ BP BQ
，BP=(8−2t)cm，根据∠PBQ=∠ABC，分 = 和 = 两种情况解答即可求解，掌握相似
BA BC BC BA
三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【解题过程】
解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP=2tcm，BQ=4tcm，
∴BP=(8−2t)cm，
∵∠PBQ=∠ABC，
BP BQ
∴当 = 时，△BPQ∽△BAC，
BA BC
8−2t 4t
即 = ，
8 16
解得t=2；
BP BQ
当 = 时，△BPQ∽△BCA，
BC BA
8−2t 4t
即 = ，
16 8
解得t=0.8；
综上可知，经过0.8s或2s时，△QBP与△ABC相似，
故选：B．
2．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=9,BC=15,P,Q分别是BC,CD上
的点，CQ=4，若△ABP与△PCQ相似，则BP的长为（ ）60 60 135
A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或
13 13 13
【思路点拨】
设BP=x，则PC=15−x，分△ABP∽△PCQ和△ABP∽△QCP两种情况讨论，结合相似三角形的性质
列式求解，即可获得答案．
【解题过程】
解：根据题意，AB=9,BC=15，
设BP=x，则PC=15−x，
分两种情况讨论：
①若△ABP∽△PCQ，
AB PC 9 15−x
则有 = ，即 = ，
BP CQ x 4
整理可得x2−15x+36=0，
解得x =3,x =12，
1 2
∴BP的长为3或12；
②若△ABP∽△QCP，
AB QC 9 4
则有 = ，即 = ，
BP CP x 15−x
135
解得x= ，
13
135
∴BP的长为 ．
13
135
综上所述，BP的长为3或12或 ．
13
故选：D．
3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D，E
分别在边BC，AC上，且CD=5，若以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则CE的长度为
（ ）
25 15 25
A．3 B． C． 或4 D．4或
4 2 4【思路点拨】
本题考查了相似三角形的动点问题，主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．先利用勾股定
理计算出BC=10，再讨论：当∠EDC=90°时，则可证明△CDE∽△CAB，当∠DEC=90°时，则可证
明△CED∽△CAB，然后分别利用相似比求出对应的CE的长．
【解题过程】
解：如图，
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=❑√62+82=10，
当∠EDC=90°时，
∵∠DCE=∠ACB，∠EDC=∠A，
∴△CDE∽△CAB，
CE CD CE 5
∴ = ，即 = ，
CB CA 10 8
25
解得CE= ，
4
当∠DEC=90°时，
∵∠DCE=∠ACB，∠DEC=∠A，
∴△CED∽△CAB，
CE CD CE 5
∴ = ，即 = ，
CA CB 8 10
解得CE=4，
25
综上所述，CE的长为4或 ．
4
故选：D．4．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点P从点B出发以1个
单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点
的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）
24 9 24 9
A． s B． s C． s或 s D．以上均不对
11 5 11 5
【思路点拨】
本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为ts，先分别求出BP=t，
BQ=6−2t，0BC，故不合题意，
∴t=5，即存在t=5，使得△PCQ的面积等于4．
13．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，
其中A(2，0)，C(0，3)，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作
BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）若AB平分∠EBP，求t的值；
（2）当t=1时，求点E的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）先证△BCP是等腰直角三角形，得PC=BC=2，即可得出结论；
BC CP
（2）通过证明△BCP∽△BAE，可得 = ，即可求解；
AB AE
1
（3）本题需先证出△BCP∽△BAE，求出AE= t，再分两种情况讨论，求出t的值即可．
2
【解题过程】
（1）解：当AB平分∠EBP时，∠PBF=45°，
∴∠CBP=90°−∠PBF=45°,
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴PC=BC=2,
∴t=2;
（2）∵A(2,0),C(0,3)，
∴AB=3,BC=2,
∵BE⊥BP,
∴∠EBP=90°=∠ABC,
∴∠ABE=∠PBC,
又∵∠BCO=∠BAE=90°,
∴△BCP∽△BAE,
BC CP
∴ = ,
AB AE
2 t
∴ = ，
3 AE
3
∴AE= t，
2
3
当t=1时，AE= ，
2
3 7
∴OE=2+ = ，
2 2(7 )
∴E点坐标为 ,0 ；
2
（3）存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．理由如下：
当点P在点O上方时，如图1，
OP OE
若 = 时，
AE AB
又∵∠POE=∠BAE=90°，
∴△POE∽△EAB，
3
∵OP=3−t,OE=2+ t，
2
3
2+ t
3−t 2
∴ = ，
3 3
t
2
−4+2❑√13 −4−2❑√13
解得：t = ,t = (不合题意舍去)，
1 3 2 3
−4+2❑√13
∴t= ；
3
( 13−2❑√13)
∴点P 0, ；
3
当点P在点O下方时，如图2，OP OE
①若 = 时，
AB AE
又∵∠POE=∠BAE=90°，
则△OPE∽△ABE，
3
2+ t
t−3 2
∴ = ,
3 3
t
2
解得：t =3+❑√13,t =3−❑√13(不合题意舍去)，
1 2
∴OP=t−3=3+❑√13−3=❑√13,
∴CP=OC+OP=3+❑√13,
∴t=3+❑√13;
∴P(0,−❑√13);
OP OE
②若 = ，则△OEP∽△ABE，
AE AB
3
2+ t
t−3 2
∴ =
3 3
t
2
9
整理得：
t2=−9，
4
∴这种情况不成立；
( 13−2❑√13)
综上所述，在运动的过程中，存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似，点P 0， 或
3
(0,−❑√13)．
14．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，点D是
BC上一定点．动点P从C出发，以2cm/s的速度沿C→A→B方向运动，动点Q从D出发，以1cm/s
的速度沿D→B方向运动．点P出发5s后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停
止．图2是当0≤t≤5时△BPQ的面积S(cm2)与点P的运动时间t(s)的函数图象．（1）CD=_______，a=________；
（2）当点P在边AB上时，t为何值时，使得△BPQ与△ABC为相似？
【思路点拨】
本题考查了相似的综合题：熟练掌握相似三角形的判定与性质；会从函数图象中获取信息；会根据勾股定
理和相似比进行几何计算；提高运用分类讨论的思想解决数学问题的能力．
（1）根据函数图象得到当点P运动到点A时，△BPQ的面积为18，利用三角形面积公式可计算出BD=6
，则CD=2，当t= 5s时，AP=4，点Q在D点，作PH⊥BC于H，在Rt△ABC中根据勾股定理计算出
AB=10，再证明△BPH∽△BAC，利用相似比计算出PH，然后根据三角形面积公式得到S ，即
△PBQ
a=S ；
△PBQ
（2）分类讨论：当30．
（1）F点的运动速度为每秒________个单位；
（2）当AE=1时，求△BFM的面积；
（3）如图2，过点M作MN⊥EF，交直线AD于点，在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使
∠MEN=∠ABD？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据E、F两点同时出发同时到达终点，即可求解；（2）①过点M作直线MH⊥BC交AD、BC与点G、H，证△DME∽△BMF，有相似三角形性质求
6 4
GM= ，MH= ，进而可解答；②当E在AB上时，证△BEF∽△CTF，△BEM∽DTM，由相似三
5 5
角形性质转换求解即可求面积；
6❑√5 4❑√5
（3）①当E在AD上时，证△DME∽△BMF，结合勾股定理得DM= ，BM= ，证
5 5
3❑√5
△MEN∽△ABD，由相似性质得NE=3，ME= ，结合勾股定理可解答；②当E在AB上时，作
5
EQ⊥BD，MR⊥BC，证△AEN∽△QME，△MEN∽△ABD，△QBE∽△ABD，△BEF∽RMF，
由相似三角形性质转换求解即可；
【解题过程】
（1）解：∵E、F两点同时出发同时到达终点，
∴F点的运动速度为4÷[(4+2)÷3)=2(单位/秒）．
故答案为：2．
（2）①当E在AD上时，过点M作直线MH⊥BC交AD、BC与点G、H．
∵AE=1，
∴DE=3，
∴BF=2，
∵AD∥BC，
∴△DME∽△BMF，
DE GM 3 GM
∴ = ，即 = ，
BF MH 2 MH
6 4
∴GM= ，MH= ，
5 5
1 4
∴S = MH⋅BF= ．
△BMF 2 55 10
②当E在AB上时，t= ，则BF= ，BE=1，
3 3
延长EF交CD于点T，过M作MK⊥BC，
∵AB∥CD，
∴△BEF∽△CTF，△BEM∽DTM，
10
BF BE 3 1
∴ = ，即 = ，，
FC CT 2 CT
3
1
∴CT=
5
1 BM
BE BM =
= ，即11 2❑√5−BM，
DT DM
5
5❑√5
∴BM=
8
5
∴MK= ，
8
1 1 5 10 25
∴S = MK⋅BF= × × = ．
△FBM 2 2 8 3 24
（3）①当E在AD上时，
∵△DME∽△BMF，
DM 3
∴ = ，
MB 2∵BD=❑√AD2+AB2=2❑√5，
6❑√5 4❑√5
∴DM= ，BM= ，
5 5
∵MN⊥EF，∠BAD=90°，∠MEN=∠ABD，
∴△MEN∽△ABD，
∴∠N=∠ADB，
6❑√5
∴MN=DM= ，
5
6❑√5
MN NE ME
∴ = = ，即 5 NE ME，
AD BD AB = =
4 2❑√5 2
3❑√5
∴NE=3，ME= ，
5
12 3
∵DG=❑√M D2−GM2= ，¿=❑√M E2−MG2=
，
5 5
9
∴DE=DG−≥= =3t，
5
3
∴t= ．
5
②当E在AB上时，如图，作EQ⊥BD，MR⊥BC，
∵∠MEN=∠ABD，
∴∠AEN=∠QME，
∴△AEN∽△QME，
∵△MEN∽△ABD，
∴EN:EM:MN=BD:AB:AD=❑√5:1:2，
EN AE ❑√5 3t−4 ❑√5
∴ = = ，即 = ，
EM QM 1 QM 1(3t−4)❑√5
∴QM= ，
5
∵△QBE∽△ABD，
BE ❑√5 6−3t
∴ = = ，
BQ 1 BQ
(6−3t)❑√5
∴BQ= ，
5
2❑√5
∴BM=BQ+QM=
5
2 4
同理，MR= ，BR= ，
5 5
∵△BEF∽RMF，
BE BF 6−3t 2t
= ， =
∴MR RF 2 4 ，
2t−
5 5
17+❑√109 17−❑√109
t= 或t= （舍去）．
15 15
