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专题 28.2 解直角三角形与函数综合
【典例1】如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A,B，与y轴交于点C．顶点为(1,4)．
（1）求拋物线的解析式；
（2）若抛物线在第四象限上有一点D，∠ACO=∠BCD，求点D的坐标；
（3）如图2，直线y=kx+1交抛物线于M,N两点．直线MT∥y轴，直线NC与MT交于点T，求TB的最
小值．
【思路点拨】
（1）先把抛物线表示为顶点式 ，再求 的值即可；
y=a(x−1) 2+4=ax2−2ax+a+4 a
（2）设直线CD与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC于点F，设EF=BF=x，CF=3❑√2−x，根据三角函
OA EF x 1
数tan∠ACO=tan∠BCD= = = = 即可；
OC CF 3❑√2−x 3
（3）设M(m,km+1),N(n,kn+1)，C(0,3)，先根据根与系数的关系，得m+n=−k+2,mn=−2，再
求出点M在直线y=2x+5上运动，设直线y=2x+5与x轴交于点G，与y轴交于点H，过点B作BI⊥GH，
当点T与点I重合时，TB有最小值即可．
【解题过程】
（1）解：抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的顶点为(1,4)，
，
∴y=a(x−1) 2+4=ax2−2ax+a+4
∴a+4=3，
∴a=−1，故拋物线的解析式为y=−x2+2x+3；
（2）解：拋物线的解析式为y=−x2+2x+3，
y=0时，−x2+2x+3=0，
解得：x =−1,x =3，
1 2
∴A(−1,0),B(3,0),C(0,3)，
设直线CD与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC于点F，
， ，
OA=1,OC=3,OC=OB=3 BC=❑√OB2+OC2=3❑√2
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠FEB=45°，
∴EF=BF，
设EF=BF=x，CF=3❑√2−x，
∵∠ACO=∠BCD，
OA EF x 1
∴tan∠ACO=tan∠BCD= = = = ，
OC CF 3❑√2−x 3
3 3
∴x= ❑√2，EF=BF= ❑√2，
4 4
3 3
在Rt△EFB中，BE=❑√EF2+BF2= ,OE=OB−BE= ,
2 2
3
∴E( ,0)，
2
3
设直线CD的解析式为y=kx+b，过点E( ,0)，C(0,3)，
2
{3
k+b=0)
2 ，
b=3
解得：k=−2，故直线CD的解析式为y=−2x+3，
联立{ y=−2x+3 )，
y=−x2+2x+3
解得：{x =0)，{ x =4 )，
1 2
y =3 y =−5
1 2
∵点D在第四象限，
故D(4,−5)；
（3）解：设M(m,km+1),N(n,kn+1)，C(0,3)，
联立{ y=kx+1 )，
y=−x2+2x+3
得 ，
x2+(k−2)x−2=0
∴m+n=−k+2,mn=−2，
∴k=−m−n+2，
设直线TN的解析式为y=k x+b ，代入N(n,kn+1)，C(0,3)，
1 1
得{ b =3 )，
1
nk +b =kn+1
1 1
解得 { b 1 =3 ) ，
2
k =k−
1 n
2
故直线TN的解析式为y=(k− )x+3，
n
2m
∵直线MT∥y轴，∴M(m,km− +3)，
n
2m 2m
∴km− +3=(−m−n+2)m− +3=−mn+2m+3=2m+5
n −2 ，
m
∴M(m,2m+5)，
{ x=m )
设M(x,y)，则 ，
y=2m+5
点M在直线y=2x+5上运动，设直线y=2x+5与x轴交于点G，与y轴交于点H，过点B作BI⊥GH，
当点T与点I重合时，TB有最小值，
x=0时，y=5，H(0,5)，
5 5
y=0时，x=− ，G(− ,0)，
2 2
5 11
BG=OB+OG=3+ = ，
2 2
在 中， √ 5 2 5 ，
Rt△GOH GH=❑√OG2+OH2=❑( ) +52= ❑√5
2 2
OH BT BT 5
sin∠OGH= = = =
GH BG 11 5 ，
❑√5
2 2
11
BT= ❑√5．
5
1．（21·22下·长沙·开学考试）已知抛物线y=kx2−4kx+3k（k>0）与x轴交于A、B两点（点A在点B
的左边），与y轴交于点C，顶点为 D．
（1）如图1，请求出A、B、C三点的坐标；
（2）点E为x轴下方抛物线y=kx2−4kx+3k（k>0）上一动点．①如图2，若k=1时，抛物线的对称轴DH交x轴于点H，直线AE交y轴于点M，直线BE交对称轴DH于
点N，求MO+NH的值；
②如图3，若k=2时，点F在x轴上方的抛物线上运动，连接EF交x轴于点G，且满足∠FBA=∠EBA，
当线段EF运动时，∠FGO的度数大小发生变化吗？若不变，请求出tan∠FGO的值；若变化，请说明理
由．
1
2．（22·23下·武汉·模拟预测）抛物线y=ax2 (a>0)过点M(2,8a2+ )，N是抛物线上第二象限一动点，
2
（1）求抛物线的解析式；
MA
（2）若tan∠OMN=2，MN交y轴于A，求 的值；
NA
（3）过点M的不与y轴平行直线l 与抛物线只有一个公共点，点P与点M关于y轴对称，平移直线l 交抛物
1 1
线于E、F，求证PM平分∠EPF．1
3．（21·22下·恩施·模拟预测）如图，已知抛物线y= (x+ ℎ) 2+k．点A(−1,2)在抛物线的对称轴上，
4
( 5)
B 0, 是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C．
4
（1）直接写出
ℎ
，k的值；
（2）如图，若点D的坐标为(3,m)，点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探
求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图，连接AD，AC，若∠DAC=60°，求点D的坐标．4．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，
7
直线y=−❑√3x+ ❑√3与x轴，y轴分别交于点C、B两点，直线AB与x轴交于点A，且点C与点A关于y轴
2
对称．
（1）如图1，求点A的坐标；
（2）如图2，点D为第三象限一点，以BD为边作等边△BDE，连接BD、OD、CD、AD、CE，设点D
的纵坐标为t，△BCD的面积与为△BCE的面积和为S(S≠0)，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变
量的取值范围）；
7 15❑√3
（3）在（2）的条件下，若∠CAD为钝角，△ABD的面积=− t− ，BD=2OD，求点D坐标．
2 45．（21·22九年级下·湖北武汉·自主招生）如图1在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点
4
A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，2CE=OC，sinB= .
5
（1）求过A、D、E三点的拋物线C 的解析式；
1
（2）如图2，平行于y轴的直线x=2交抛物线C 于点G，交直线CD于点H，平行于y轴的直线x=a，在
1
抛物线C 的对称轴左侧，交抛物线C 于S，交直线AB于T，若GH:ST=4:3，求a的值；
1 1
（3）如图3，将抛物线C 平移使顶点落在原点上，在射线CD上确定一点P，过点P作直线PF，交y轴于
1
点F，交抛物线于M，N，若△MON的外心在边MN上，且∠NPC=∠OCP，求点P的坐标．6．（21·22下·武汉·一模）已知抛物线y=ax2− ( 5a+ 1) x+4a+2(a<0)．
2
（1）若抛物线的对称轴为x=2，求该抛物线的解析式；
（2）如图1，在（1）的条件下，抛物线与x轴交于O，A两点，顶点为B，已知点C(0,2)，连
AB，AC，BC，若点P为抛物线上一点，且满足∠OAC+∠POA=∠BAO，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线过两个定点，其中一个定点为第一象限内的点E，另一个定点为x轴上的点F，过点
F作直线l与抛物线有且只有一个交点（l不与x轴垂直），直线l与直线x=−5交于点M．直线ME交抛物
线于另一点P．过点P作线段PQ⊥x轴于点Q，求证；线段FQ的长为定值．2❑√3
7．（22·23·河源·三模）如图1，抛物线y= x2+bx+c过B(3,0)，C(0,−3❑√3)两点，动点M从点B
3
出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC方向运动，设运动的时间为t秒．
2❑√3
（1）求抛物线y= x2+bx+c的表达式；
3
（2）如图1，过点M作DE⊥x轴于点D，交抛物线于点E，当t=1时，求四边形OBEC的面积；
（3）如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB方向运动，将△BMN绕点M逆
时针旋转180°得到△GMF．
①当点N运动到多少秒时，四边形NBFG是菱形；
②当四边形NBFG是矩形时，将矩形NBFG沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F
的坐标．8．（21·22上·哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交与
y=ax2+3ax−4a(a≠0) x
A,B两点，与y轴交于点C，连接BC，tan∠CBO=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第二象限抛物线上一点，连接AP并延长交y轴于点R，设点P的横坐标为t，OR的长为d，求d
与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当d=8时，过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HD⊥AP于点D，过点B作
BE⊥BA交DH的延长线于点E，连接PE交x轴于点F，连接CF，G为线段BC上一点，连接FG，若
∠BFG+∠CFO=90°，求△CFG的面积．9．（2023·湖北随州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x−3的图像与x轴交于点A，
与y轴交于点B，二次函数y=−x2+bx+c的图像经过点A和点C(0，3)．
（1）求点B坐标及二次函数的表达式；
（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图像上，点C的对应点E落在直线
AB上，直接写出四边形ACED的形状，并求出此时点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交x轴于点M，点P为直线CD上方抛物线上一个动点，过点P
作PF⊥x轴，交CD于点F，连接PC，是否存在点P，使得以P、C、F为顶点的三角形与△COM相似？
若存在，求出线段PF的长度；若不存在，请说明理由．k
10．（22·23上·浙江·周测）如图，已知抛物线y= (x+2)(x−4)（k为常数，且k>0）与x轴从左至右依
8
❑√3
次交于A,B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=− x+b与抛物线的另一交点为D．
3
（1）若点D的横坐标为−5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限的拋物线上有点P，使得△PAB∽△ABC相似，求k的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段
AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标
是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？11．（2023九年级·山东·专题练习）如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象经过点A(−4,0),B(−1,0)，与
y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△BCP面积为5，若存在，求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由；
（3）如图2，小明经过探究发现：位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使∠DAB与∠ACB互为余角；
你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不正确，请说明理由．12．（21·22下·广州·二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−2，5)，与x轴相交于B(−1，0)，
C(3，0)两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好
落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；
（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求
直线BP的函数表达式．13．（22·23下·福州·期中）如图，平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+nx+4过点A(−4，0)，与y轴交
于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接AN，BN，直线l交抛物线于另一点M，当∠MAN=∠BNO时，求点M的坐标；
（3）过点T(t，−1)的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F，直线BE、BF分别交y轴于
点P、Q，是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．3
14．（22·23九年级下·福建漳州·期中）如图1，经过点C(0,−4)且对称轴为直线x=− 的抛物线是由抛物
2
线y=x2平移得到的，并与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
1
（2）如图，在第三象限的抛物线上有一动点P，若满足tan∠PCA= ，求△PAC的面积；
4
25
（3）如图2，点D，E为抛物线对称轴上的两动点，其纵坐标的积为− ，直线BD与BE分别交抛物线于
4
点F，G，试确定直线FG是否经过定点？并说明理由．15．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2−4交x轴于A、B两
点，交y轴于点C，且AB=4．
（1）则a的值为__________．
（2）点P在第一象限的抛物线上，连接AP交y轴正半轴于点E，若点P的横坐标为t，CE长为d，求d与
t的函数关系式．
（3）在y轴上另取一点D，D在点E的上方，过点D作x轴的平行线交AP的延长线于点G，连接AD、
BG，若∠DAG=2∠BAG，AD:BG=5:❑√61，求点P的坐标．16．（21·22下·哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+2ax−3a与x
( 3)
轴相交点B、C，与y轴相交于点A，点A的坐标为 0, ，点D为抛物线的顶点．
2
（1）如图1，求抛物线的顶点D的坐标；
（2）如图2，P是第二象限内抛物线上一点，连接CP，过点D作DE⊥CP于点H，交x轴于点E，设点P
的横坐标为t,E的横坐标为m，求t与m的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，在DE的延长线上取一点G，连接CD、BG、CG，在CG上取点M，
连BM，若HG=CH,BG+BM=CM,2∠DCG+∠BMG=180°，求点P的坐标．17．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+6❑√3与x
轴交于点A(−6,0)，B(8,0)，与y轴交于点C．
（1）求a，b的值；
（2）如图①，E是第二象限抛物线上的一个动点，连接OE，CE，设点E的横坐标为t，△OCE的面积为
S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图②，在（2）的条件下，当S=6❑√3时，连接BE交y轴于点R，点F在y轴负半轴上，连接BF，
点D在BF上，连接ED，点L在线段RB上（点L不与点B重合），过点L作BR的垂线与过点B且平行于
1
ED的直线交于点G，M为LG的延长线上一点，连接BM，EG，使∠GBM= ∠BEG，P是x轴上一点，
2
1
且在点B的右侧，∠PBM−∠GBM=∠FRB+ ∠DEG，过点M作MN⊥BG，交BG的延长线于点N，
2
1
点V在BG上，连接MV，使BL−NV = BV，若∠EBF=∠VMN，求直线BF的解析式．
218．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2−3ax+4交x轴
于A，B两点，交y轴于点C，OB=OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D在第二象限的抛物线上，连接BD交y轴于点E，设点D的横坐标为m，线段OE的长为
d，求d与m的函数解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，点F在第一象限的抛物线上，点G在OB上，点H在OB的延长线上，
25
GH= ，连接BC，CH，FG，BC交FG于点K，CH交FG于点Q，∠CQF=45°，连接EK，
6
∠BEK=2∠ABD，过点K作KR⊥BD，交x轴于点R，若OE+∨=BR，求点F的坐标．4 8
19．（22·23九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=− x2− x+4与x轴交
3 3
于点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC.
（1）求线段AC的长度；
（2）如图1，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点B作BD∥AC交y轴于点D，连接PD交AC于点
E，连接BP，求△PBE面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点Q与点P关于原抛物线对称，将原抛物线沿着射线AQ方向平移❑√5个
13
单位，得到新抛物线y′，M为直线l:y=x+ 与y轴的交点，N为直线l上一点，将直线l绕着点N逆时针
3
旋转30°得到直线l′，交新抛物线于点G，点H为平面直角坐标系内任意一点，直接写出所有使得四边形
MNGH为菱形的点G的横坐标.20．（22·23九年级下·江苏淮安·期中）如图，已知抛物线y=ax2+bx−5经过B(−5,0)，C(−1,0)两点，
与y轴的交点H．
（1）求该抛物线的表达式；
2❑√3
（2）点A在第二象限的抛物线上，且∠ACB=30°，点F从点C出发，在线段CA上以每秒 个单位长
3
度的速度向点A运动，同时点E从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点
时，另外一个点也停止运动，设运动时间为t秒，求运动时间为多少时，△CEF的面积最大，并求出最大
面积和点E坐标；
（3）在（2）的条件下，将△CEF绕平面内一点P顺时针旋转60°得到△C′E′F′，使得点C′落在直线GC
❑√3 ❑√3
上，已知直线GC的关系式为y= x+ ．
3 3
①连接BF，EE′，EE′所在直线与直线GC交于点Q，若∠FBC+EQC=45°，求点E′的横坐标．
②若点M坐标为(0,−2❑√3)，连接MP，PE′，则MP+PE′的最小值为 ．
