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第 13 章 轴对称全章培优测试卷
【人教版】
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
考前须知：
1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点在第二象限，则a的取值范围为（ ）
3 3 3
A．a＞ B．a＜ C．a＜﹣1 D．−1＜a＜
2 2 2
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出对应点坐标，再利
用第二象限点的坐标特点进而得出答案．
【解答】解：点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点为（a+1，﹣2a+3）在第二象限，
{ a+1＜0 )
故 ，
−2a+3＞0解得：a＜﹣1．
故选：C．
1
3．（3分）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两
2
点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E．若AE＝2cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周
长为（ ）
A．11cm B．13cm C．15cm D．17cm
【分析】证明△ABD的周长＝AB+BC，再判断出AB，AC的长可得结论．
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴AD＝DC，AE＝EC＝2cm，
∵△ABC的周长为15cm，
∴AB+BC＝15﹣4＝11（cm），
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11（cm）．
故选：A．
4．（3分）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A．34° B．146° C．56°或146° D．34°或146°
【分析】首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题
中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．
【解答】解：①当原等腰三角形为锐角三角形时可以画图，
高与右边腰成56°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为34°，
②当原等腰三角形为钝角三角形时可以画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为34°，
则三角形的顶角为146°，
故选：D．
5．（3分）如图，河道m的同侧有M、N两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至M，N两地，下面的四
个方案中，管道长度最短的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论．
【解答】解：作点M关于直线m的对称点M′，连接M′N交直线m于点P，则MP+NP＝M′N，此
时管道长度最短．故选：C．
6．（3分）如图，已知△ABC，AB和AC的垂直平分线交于点D，连接AD，BD，CD，下列角度关系正确
的是（ ）
A．∠ABC+∠ADC＝180° B．2∠ABC+∠ADC＝360°
C．∠ABC＝2∠ADC D．∠ABC﹣∠ADC＝90°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得 DA＝DB＝DC，设∠DAB＝∠DBA＝ ，∠DBC＝∠DCB＝ ，
则∠ADB＝180°﹣2 ，∠BDC＝180°﹣2 ，可得∠ADC＝360°﹣2（ + ），即α 可得2∠ABC+∠ADCβ＝
360°． α β α β
【解答】解：∵AB和AC的垂直平分线交于点D，
∴DA＝DB＝DC，
∴∠DAB＝∠DBA，∠DBC＝∠DCB，
设∠DAB＝∠DBA＝ ，∠DBC＝∠DCB＝ ，
∴∠ADB＝180°﹣2 α，∠BDC＝180°﹣2 ，β
∴∠ADC＝∠ADB+α∠BDC＝180°﹣2 +1β80°﹣2 ＝360°﹣2（ + ），
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝ + ， α β α β
∴∠ADC＝360°﹣2∠ABC，α β
∴2∠ABC+∠ADC＝360°．
故选：B．
7．（3分）如图，在等边△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，若△ABC的
周长是18，则△OMN的周长是（ ）A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】根据等边三角形的性质求出BC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠MOB＝∠CBO，
得到MB＝MO，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC的周长是18，
∴BC＝6，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵ON∥AC，
∴∠ABO＝∠MOB，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴MB＝MO，
同理可得：NC＝ON，
∴△OMN的周长＝OM+MN+ON＝BM+MN+NC＝BC＝6，
故选：B．
8．（3分）如图，A、B是6×8网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的
三角形是等腰三角形的格点C的位置有（ ）
A．8个 B．11个 C．12个 D．14个
【分析】分三种情况：当AB＝AC时；当BA＝BC时；当CA＝CB时；即可解答．【解答】解：如图：
分三种情况：
当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交正方形网格中的格点为点 C ，C ，C ，C ，
1 2 3 4
C ，C ；
5 6
当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交正方形网格中的格点为点 C ，C ，C ，C ，
7 8 9 10
C ，C ；
11 12
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，与正方形网格中的格点没有交点；
综上所述：以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有12个，
故选：C．
9．（3分）已知点A （﹣1，3），记A 关于直线m（直线m上各点的横坐标都为0）的对称点为A ，A
0 0 1 1
关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为1）的对称点为A ，A 关于直线p（直线p上各点的横坐标都为
2 2
﹣2）的对称点为A ，A 关于直线q（直线q上各点的纵坐标都为3）的对称点为A ，A 关于直线m的
3 3 4 4
对称点为A ，A 关于直线n的对称点为A ，……依此规律A 的坐标是（ ）
5 5 6 2023
A．（2021，﹣2021） B．（﹣2025，﹣2021）
C．（﹣2021，﹣2017） D．（﹣2025，2027）
【分析】首先根据轴对称的性质求出点A （1，3），在第一象限；A （1，﹣1），在第四象限；A （﹣
1 2 3
5，﹣1），在第三象限；A （﹣5，7），在第二象限；A （5，7），在第一象限；A （5，﹣5），在第
4 5 6
四象限；A （﹣9，﹣5），在第三象限；观察点坐标可知：每四个点坐标所在象限为一个循环，然后由
7
2023＝4x505+3，可知A 与A 在同一象限，再由A （﹣5，﹣1），A （﹣9，﹣5），可得第三象限的
2023 3 3 7
点坐标的特征为：点A 横坐标为﹣（n+2），纵坐标为：﹣（n﹣2），据此可求出A 的坐标．
n 2023
【解答】解：∵直线m上各点的横坐标都为0，
∴直线m即为y轴，
∴点A （﹣1，3）关于直线m的对称的点A （1，3），在第一象限，
0 1
∵直线n上各点的纵坐标都为1，∴直线n即为直线y＝1，
∴点A （1，3）关于直线y＝1对称的点A （1，﹣1），在第四象限，
1 2
∵直线p上各点的横坐标都为﹣2，
∴直线p即为直线x＝﹣2，
∴点A （1，﹣1）关于直线p对称的点A （﹣5，﹣1），在第三象限，
2 3
∵直线q上各点的纵坐标都为3，
∴直线q即为直线y＝3，
∴点A （﹣5，﹣1）关于直线q对称的点A （﹣5，7），在第二象限，
3 4
∵A （﹣5，7）与A 关于直线m（即y轴）的对称，
4 5
∴A （5，7），在第一象限，
5
∵A （5，7）与A 关于直线n（即直线y＝1）对称，
5 6
∴A （5，﹣5），在第四象限，
6
∵A （5，﹣5）与A 关于直线p（即直线x＝﹣2）对称，
6 7
∴A （﹣9，﹣5）在第三象限，
7
……，以此规律，每四个点的坐标所在所在象限为一个循环，
又∵2023＝4×505+3．
∴点A 与点A 在同一象限，
2023 3
又∵A （﹣5，﹣1），A （﹣9，﹣5），……，
3 7
∴第三象限的点坐标的特征为：点A 横坐标为﹣（n+2），纵坐标为：﹣（n﹣2），
n
∴点A 的横坐标为：﹣（2023+2）＝﹣2025，纵坐标为：﹣（2023﹣2）＝﹣2021，
2023
∴A 的坐标是（﹣2025，﹣2021）．
2023
故选：B．
10．（3分）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB
上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【分析】在BC上截取BE＝BQ，连接PE，证明△PBQ≌△PBE（SAS），得出PE＝PQ，说明AP+PQ＝AP+PE，找出当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，过点A作
AE⊥BC于点E，交BD于点P，根据三角形内角和，求出结果即可．
【解答】解：在BC上截取BE＝BQ，连接PE，如图所示：
∵BD平分∠ABC，
1
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=35°，
2
∵BP＝BP，
∴△PBQ≌△PBE（SAS），
∴PE＝PQ，
∴AP+PQ＝AP+PE，
∴当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，过点A作AE⊥BC于点
E，交BD于点P，如图所示：
∵∠AEB＝90°，∠ABE＝70°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝20°，
∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝125°．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）点P（m，3）和点Q（n﹣1，m）关于x轴对称，则m+n的值为 ﹣ 5 ．
【分析】关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得m，n的值，进而可得答案．
【解答】解：∵点P（m，3）和点Q（n﹣1，m）关于x轴对称，{m=n−1)
∴ ，
m=−3
{m=−3)
解得 ，
n=−2
∴m+n＝﹣5．
故答案为：﹣5．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，则BD＝ 6 ．
【分析】求出∠A，求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB
即可．
【解答】解：∵CD是高，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6，
故答案为：6．
13．（3分）如图，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝18，BC＝24，AC＝12，
则△AMN的周长是 3 0 ．
【分析】先根据BO平分∠CBA，∠MBO＝∠CBO，再根据MN∥BC得∠MOB＝∠CBO，由此可得
∠MBO＝∠MOB，进而根据等腰三角形的判定得MB＝MO，同理：NC＝NO，则MN＝MO+NO，由此
可求出△AMN的周长．
【解答】解：∵BO平分∠CBA，∴∠MBO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴∠MBO＝∠MOB，
∴MB＝MO，
同理：NC＝NO，
∴MN＝MO+NO，
∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+MO+NO+AN＝AB+AC，
又∵AB＝18，AC＝12，
∴△AMN的周长为：AB+AC＝18+12＝30．
故答案为：30．
14．（3分）如图，△ABC中，BF是高，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD，过点D作DE⊥AB交
AB的延长线于点E，当AF＝BE，∠CAD＝96°时，∠C＝ 52 ° ．
【分析】根据已知条件得到∠E＝∠AFB＝90°，利用HL推出Rt△BED≌Rt△AFB，根据全等三角形的
性质得到∠DBE＝∠BAF，AB＝BD，等量代换得到∠CBA＝∠CAB，根据三角形的外角的性质得到
∠CAB＝2∠BAD，根据已知条件即可得到结论．
【解答】解：∵BF是高，DE⊥AB，
∴∠E＝∠AFB＝90°，
在Rt△BED与△Rt△AFB中，
{BD=AB)
，
BE=AF
∴Rt△BED≌Rt△AFB（HL），
∴∠DBE＝∠BAF，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴∠CBA＝∠CAB，∵AB＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD，
∵∠CBA＝∠BDA+∠BAD，
∴∠CBA＝2∠BAD，
∴∠CAB＝2∠BAD，
2
∴∠CAB= ∠CAD，
3
∵∠CAD＝96°，
∴∠CAB＝64°，
∴∠C＝180°﹣2∠CAB＝52°．
故答案为：52°．
15．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图1），其中∠ABC＝∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点
C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图2）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重
合，折痕为EF（如图3）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为 7 2 度．
【分析】先设∠ABC＝∠C＝2 ，然后用含有 的式子表示∠A，∠ADE，∠BED，进而得到∠AED，最
后利用三角形的外角性质列出方α 程求得 ，即可α 求得∠ABC的大小．
【解答】解：设∠ABC＝∠C＝2 ，则∠αA＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣4 ，
由折叠得，∠BED＝∠C＝2 ，∠αADE＝∠A＝180°﹣4 ， α
∵∠BED是△AED的外角，α α∴∠BED＝∠A+∠ADE，
∴2 ＝180°﹣4 +180°﹣4 ，
解得α： ＝36°，α α
∴∠ABαC＝72°，
故答案为：72．
CD 3
16．（3分）如图Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝15°，BC＝8，若点D在线段BC上且满足 = ，以
BD 5
13 3
AD为边构造等腰三角形使∠DAE＝150°，则点E到边BC的距离是 或 ．
2 2
【分析】分两种情况：①如图：作 C 关于 AB 的对称点 G，连接 EG，作 EF⊥GB 于 F，证明
1 3
△AGE≌△ACD，可得EF= GE= ；②作 C 关于AB的对称点M，连接AM、BM，作 EN⊥NB，证
2 2
1 13
明△ACE≌△AMD，可得EN= EC= ．
2 2
CD 3
【解答】解：∵ = ，BC＝8，
BD 5
∴CD＝3，BD＝5，
∵∠B＝90°，∠C＝15°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°，
分两种情况：①如图：
作C关于AB的对称点 G，
连接 BG，AG，
则 BG＝BC＝8，AG＝AC，
连接 EG，作 EF⊥GB于F，则 EF即为点E到BC 的距离，
∴△ACG 为等腰三角形且∠CAG＝2∠BAC＝150°，
∵∠DAE＝150°，
∴∠DAE﹣∠DAG＝∠CAG﹣∠DAG，即∠EAG＝∠DAC．
∵AE＝AD，∠EAG＝∠DAC，AG＝AC，
∴△AGE≌△ACD，
∴GE＝CD＝3，∠ACD＝∠AGE＝15°，
∴∠EGF＝2∠AGE＝30°，
1 3
∴EF= GE= ；
2 2
②如图，作 C 关于AB的对称点M，连接AM、BM，
则BM＝BC＝8，AM＝AC，
作 EN⊥NB，EN即为所求，
同理可证△ACE≌△AMD，
∴∠ACE＝∠AMD＝15°，CE＝DM＝BM+BD＝13．
∠ECN＝30°，
1 13
∴EN= EC= ．
2 2
3 13
综所述，点已到边 BC 的距离为 或 ，
2 2
3 13
故答案为： 或 ，
2 2
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求
三角形各边的长．【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分，可
得|AB﹣BC|＝15﹣12＝3（cm），AB+BC+AC＝2AB+BC＝12+15＝27cm，然后分别从AB＞BC与AB＜
BC去分析求解即可求得答案．
【解答】解：如图，∵AB＝AC，BD是AC边上的中线，
即AD＝CD，
∴|（AB+AD）﹣（BC+CD）|＝|AB﹣BC|＝15﹣12＝3（cm），AB+BC+AC＝2AB+BC＝12+15＝27cm，
若AB＞BC，则AB﹣BC＝3cm，
又∵2AB+BC＝27cm，
联立方程组并求解得：AB＝10cm，BC＝7cm，
10cm、10cm、7cm三边能够组成三角形；
若AB＜BC，则BC﹣AB＝3cm，
又∵2AB+BC＝27cm，
联立方程组并求解得：AB＝8cm，BC＝11cm，
8cm、8cm、11cm三边能够组成三角形；
∴三角形的各边长为10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，2），B（﹣2，4），
C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A B C ，并写出点A ，B ，C 的坐标；
1 1 1 1 1 1
（2）已知点D在y轴的正半轴上，且∠CDA＝45°，点D的坐标为 （ 0 ， 4 ）或（ 0 ， 2 ） ．【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）根据点A，C的位置，可在y轴的正半轴上确定点D 和D ，满足∠CD A＝45°，∠CD A＝45°，则
1 2 1 2
D 和D 即为所求的点D．
1 2
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
A （﹣4，﹣2），B （﹣2，﹣4），C （﹣1，﹣1）．
1 1 1
（2）如图，∠CD A＝45°，∠CD A＝45°，
1 2
∴点D的坐标为（0，4）或（0，2）．
故答案为：（0，4）或（0，2）．
19．（6分）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N．
（1）若AB＝12cm，求△MCN的周长；
（2）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出AM＝CM，BN＝CN，再求出△MCN的周长＝AB，再代
入求出答案即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝60°，根据等腰三角形的性质得出∠A＝
∠ACM，∠B＝∠BCN，求出∠ACM+∠BCN＝∠A+∠B＝60°，再求出答案即可．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∵AB＝12cm，
∴△MCN的周长是CM+MN+CN
＝AM+MN+BN
＝AB
＝12；
（2）∵∠ACB＝120°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝60°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠ACM+∠BCN＝∠A+∠B＝60°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）＝120°﹣60°＝60°．
1
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE= BC．点D是边AC的中点，连接ED并
2
延长交AB于F．
（1）求∠EFB的度数；
（2）求证：DE＝2DF．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，求出CD＝CE，根据三角形外
角性质和等腰三角形的性质求出∠E＝30°，求出∠BFE即可；
（2）连接BD，求出BD＝DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝2DF，即可得出答案．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
∵D为AC的中点，
1
∴AD＝CD= AC，
2
1
∵CE= BC，
2
∴CD＝CE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°；
（2）证明：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，1
∴∠DBC＝∠ABD= ∠ABC＝30°，
2
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．
21．（8分）如图，点 O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝ ，
△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． α
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当 ＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究α：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形．
α
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝ ＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求
三角形的形状； α
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨
即可．
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC， ＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣α∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝ ，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣α∠COD＝360°﹣110°﹣ ﹣60°＝190°﹣ ，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝ ﹣60°， α α
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠αADO＝180°﹣（190°﹣ ）﹣（ ﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣ ＝ ﹣60°， α α
∴ ＝125°． α α
②α当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣ ＝50°，
∴ ＝140°． α
③α当∠ADO＝∠OAD时，
﹣60°＝50°，
α∴ ＝110°．
综α上所述：当 ＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
22．（8分）如图α1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段
AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动
时间为t（秒）．
（1）当运动时间为t秒时，BQ的长为 t 厘米，BP的长为 （ 6 ﹣ t ） 厘米．（用含t的式子表
示）
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形；
（3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变
化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数．【分析】（1）根据题意、结合图形解答；
（2）分∠PQB＝90°、∠BPQ＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可；
（3）证明△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质、等边三角形的内角是60°解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，BQ＝t，BP＝6﹣t，
故答案为：t；（6﹣t）；
（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝5﹣t，
①当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴PB＝2BQ，得6﹣t＝2t，
解得，t＝2，
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BQP＝30°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t），
解得，t＝4，
∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形；
（3）∠CMQ不变，理由如下：
在△ABQ与△CAP中，
{
AB=AC
)
∠B=∠CAP=60° ，
AP=BQ
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°，
∴∠CMQ不会变化．23．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是∠ABC的平分线，BE是AC边上的高，垂足为E，
设∠BAC＝ ．
（1）探究与α发现
①如图1，若 ＝30°，则∠C的度数为 75 ° ，∠DBE的度数为 22.5 ° ；
②如图2，若α＝80°，则∠DBE的度数为 15 ° ；
③试探究∠BDαC与 的数量关系，并说明理由．
（2）拓展与思考 α
如图3，∠BDC的平分线DF交BC于点F．当DF∥AB时，求∠DBE的度数．
【分析】（1）①利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝75°，从而利用角平
分线的定义可得∠ABD＝37.5°，进而利用三角形外角的性质可得∠BDE＝67.5°，然后根据垂直定义可
得∠BED＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答；
②利用①的思路，即可解答；
1
③利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝90°− ，再利用角平分线的定义
2
α
1
可得∠ABD＝45°− ，然后利用三角形外角性质进行计算即可解答；
4
α
1 3
（2）利用（1）的结论可得：∠ABD＝45°− ，∠BDC＝45°+ ，再利用角平分线的定义可得
4 4
α α
3
∠BDF＝22.5°+ ，然后利用平行线的性质可得∠ABD＝∠BDF，从而列出关于 的方程，进行计算可
8
α α
得 ＝36°，进而可得∠BDC＝72°，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
【解α答】解：（1）①∵∠BAC＝30°，
1
∴∠ABC＝∠C= ×（180°﹣30°）＝75°，
2∵BD是∠ABC的平分线，
1
∴∠ABD= ∠ABC＝37.5°，
2
∴∠BDE＝∠A+∠ABD＝67.5°，
∵BE⊥AC，
∴∠BED＝90°，
∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝12.5°，
∴∠C的度数为75°，∠DBE的度数为12.5°，
故答案为：75°，22.5°；
②∵∠BAC＝80°，
1
∴∠ABC＝∠C= ×（180°﹣80°）＝50°，
2
∵BD是∠ABC的平分线，
1
∴∠CBD= ∠ABC＝25°，
2
∴∠ADB＝∠C+∠CBD＝75°，
∵BE⊥AC，
∴∠BED＝90°，
∴∠DBE＝90°﹣∠ADB＝15°，
∴∠DBE的度数为15°，
故答案为：15°；
3
③∠BDC与 的数量关系为：∠BDC＝45°+ ，
4
α α
理由：∵∠BAC＝ °，
1α 1
∴∠ABC＝∠C= （180°﹣ ）＝90°− ，
2 2
α α
∵BD是∠ABC的平分线，
1 1
∴∠ABD= ∠ABC＝45°− ，
2 4
α
3
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°+ ，
4
α
3
∴∠BDC与 的数量关系为：∠BDC＝45°+ ；
4
α α1 3
（2）由（1）可得：∠ABD＝45°− ，∠BDC＝45°+ ，
4 4
α α
∵DF平分∠BDC，
1 3
∴∠BDF= ∠BDC＝22.5°+ ，
2 8
α
∵AB∥DF，
∴∠ABD＝∠BDF，
1 3
∴45°− ＝22.5°+ ，
4 8
α α
∴ ＝36°，
α 3
∴∠BDC＝45°+ ＝72°，
4
α
∵BE⊥AC，
∴∠BED＝90°，
∴∠DBE＝90°﹣∠BDC＝18°，
∴∠DBE的度数为18°．
