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第 28 节 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系
基础知识要夯实
1.圆的定义和圆的方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标 圆心C(a，b)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
准 半径为r
方 (D2＋E2－4F＞0)
程 一 充要条件： D 2 ＋ E 2 － 4 F ＞ 0
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
般 圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x ，y )与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
0 0
(1)|MC|＞r M在圆外，即(x －a)2＋(y －b)2＞r2 M在圆外；
0 0
(2)|MC|＝r M在圆上，即(x －a)2＋(y －b)2＝r2 M在圆上；
⇔ 0 0 ⇔
(3)|MC|＜r M在圆内，即(x －a)2＋(y －b)2＜r2 M在圆内.
⇔ 0 0 ⇔
3.直线与圆的位置关系
⇔ ⇔
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为
d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系 相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
量化
几何观点 d>r d＝r d0)，则解得D＝－
2，E＝0，F＝0，故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二 设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则 k ＝1，k ＝－1，所以 k ·k ＝－1，即
OA AB OA AB
OA⊥AB，所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段 BO是所求圆的直径，则
圆心为C(1，0)，半径r＝|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
2.已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y－3＝0
所得的弦长为，则圆C的方程为________.
【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝2
【解析】法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
∴可设所求圆的圆心为(a，－a).∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝＝|a|.
又所求圆截直线x－y－3＝0所得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d
＝，
∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴＝r.②
又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③
联立①②③，解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
3.(2021·兰州、张掖重点中学联考)设A(2，－1)，B(4，1)，则以线段AB为直径的圆的
方程为( )
A.(x－3)2＋y2＝2 B.(x－3)2＋y2＝8
C.(x＋3)2＋y2＝2 D.(x＋3)2＋y2＝8
【答案】A
【解析】因为A(2，－1)，B(4，1)，所以由中点坐标公式可得线段 AB的中点坐标为
(3，0)，即圆心为(3，0)，又半径r＝|AB|＝＝，所以所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2，故
选A.
4.(2021·郑州二模)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为( )
A.(x＋3)2＋(y＋2)2＝4 B.(x＋4)2＋(y－6)2＝4
C.(x－4)2＋(y－6)2＝4 D.(x＋6)2＋(y＋4)2＝4
【答案】C
【解析】设对称圆的圆心为(m，n)，
则解得所以所求圆的圆心为(4，6)，
故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝4，故选C.
考点二 与圆有关的轨迹问题
【例2】已知Rt ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
△(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
【解析】(1)法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以k ·k ＝－1，
AC BC
又k ＝，k ＝，所以·＝－1，
AC BC
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|
AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，
C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)设M(x，y)，C(x ，y )，因为 B(3，0)，M是线段 BC的中点，由中点坐标公式得 x
0 0
＝，y＝，
所以x ＝2x－3，y ＝2y.
0 0
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x ＝2x－3，y ＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
0 0
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
【方法技巧】
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
【跟踪训练】
1.设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形
MONP，求点P的轨迹方程.
【解析】如图，设P(x，y)，N(x ，y )，
0 0则线段OP的中点坐标为，
线段MN的中点坐标为
.
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以＝，＝，
整理得
又点N(x ，y )在圆x2＋y2＝4上，
0 0
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，
直线OM与轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，
所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和.
考点三 直线与圆的位置关系
1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A.[－3，－1] B.[－1，3]
C.[－3，1] D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
【答案】C
【解析】由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
2.(2022·衡水模拟)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
【答案】A
【解析】法一 (代数法)由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2
＋20>0，所以直线l与圆相交.
法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交.
法三 易得直线l过定点(1，1).
把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<，∴点(1，1)在圆的内部，故直线l与圆C相交.3.“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有＝2，即|a＋1|＝4，所以a
＝3或－5.
但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝
x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件.
【方法技巧】判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
考点四 圆的弦长问题
【例4】(1)(2021·济南调研)已知圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1与直线kx＋y＋1＝0相交于
A，B两点，若△CAB为等边三角形，则k的值为( )
A.± B.±2 C.± D.±
(2)(2020·河南名校联考)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与
圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为( )
A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
C.4x－3y＋9＝0或x＝0
D.3x＋4y－12＝0或x＝0
【答案】(1)A (2)D
【解析】(1)圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的圆心为C(1，－1)，半径为1，故|CB|＝|CA|＝
1，又△CAB为等边三角形，所以点 C到直线kx＋y＋1＝0的距离为，即＝，解得k＝
±，故选A.
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，由得或
∴|AB|＝2，符合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，由已知可得圆的标准方程为(x－
1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1，1)，半径r＝2，∴圆心C(1，1)到直线kx－y＋3＝0的距离d＝＝，∵d2＝r2－，∴＝4－，即(k＋2)2＝k2＋1，解得k＝－，∴直线l的方程为y
＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，满足题意的直线 l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝
0，故选D.
【方法技巧】弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式
Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
【跟踪训练】
1.过圆C：(x－1)2＋y2＝1外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若△PAB为等
边三角形，则过D(2，1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为________.
【答案】2
【解析】由题意知C(1，0)，连接PC，因为△PAB为等边三角形，所以∠APC＝30°，所
以|CP|＝＝2，所以P 点轨迹的方程为(x－1)2＋y2＝4.因为(2－1)2＋12＝2<4，所以点
D(2，1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部.连接CD，结合图形可知，当l与CD垂直时，l被圆
(x－1)2＋y2＝4所截得的弦长最短，最短弦长为2＝2＝2.
考点五 圆的切线问题
【例5】(1)(经典母题)过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为
________.
(2)点P为射线x＝2(y≥0)上一点，过P作圆x2＋y2＝3的两条切线，若两条切线的夹角
为90°，则点P的坐标为( )
A.(2，1) B.(2，2)
C.(2，) D.(2，0)
【答案】(1)x＝2或4x－3y＋4＝0 (2)C
【解析】(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于
半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为 y－4＝k(x－
2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝
＝1，
解得k＝，
∴所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，
即4x－3y＋4＝0.综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
(2)如图所示.
设切点为A，B，则OA⊥AP，OB⊥BP，OA＝OB，AP＝BP，AP⊥BP，
故四边形OAPB为正方形，
则|OP|＝，
又x ＝2，则P(2，).
P
【方法技巧】求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线
方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切
线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
【跟踪训练】
1.(2022·马鞍山二模)在平面直角坐标系xOy中，若圆C：(x－3)2＋(y－a)2＝4上存在两
点A，B满足∠AOB＝60°，则实数a的最大值是( )
A.5 B.3
C. D.2
【答案】C
【解析】根据题意，圆C的圆心(3，a)在直线x＝3上，
分析可得，当圆心距离x轴的距离越远，∠AOB越小.
如图：当a>0时，圆心C在x轴上方，若OA，OB为圆的切线且∠AOB＝60°，此时a
取得最大值，此时∠AOC＝30°，
有|OC|＝2|AC|＝4，即(3－0)2＋(a－0)2＝16，
解得a＝，故实数a的最大值是，故选C.
考点六 圆与圆的位置关系【例6】已知两圆C ：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C ：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
1 2
(1)求证：圆C 和圆C 相交；
1 2
(2)求圆C 和圆C 的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
1 2
【解析】(1)证明 圆C 的圆心C (1，3)，半径r ＝，圆C 的圆心C (5，6)，半径r ＝
1 1 1 2 2 2
4，两圆圆心距d＝|C C |＝5，r ＋r ＝＋4，|r －r |＝4－，所以|r －r |3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.故选D.
达标检测要扎实
1．已知圆 与直线 至少有一个公共点，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆心 到直线 的距离 ，当且仅当 时等号成立，故只需
即可.故选：C
2．若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ，解得 ，故选：C．
3．两圆 与 的公切线有（ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
【答案】C
【解析】由 ， ，
可得 ， ； ， ，
，
故两圆相外切，共有 条公切线，故选：C.
4．圆 关于直线l： 对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】圆 的圆心为 ，半径 ，设圆心 关于直线对称的点的坐标为 ，
则 ，解得 ，即圆 关于直线 对称的圆的圆
心为 ，半径 ，
所以对称圆的方程为 ；故选：A
5．过圆 内一点 作一弦交圆于 、 两点，过点 、 分别作圆的切线 、
，两切线交于点 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 点坐标为 ，
根据圆的直径式方程知，以 为直径的圆的方程为 ，
两圆方程作差可得公共弦 的方程为 ，
而 在直线 上， ，
故点 的轨迹方程为 ，故选：C．
6．过点 作圆 的最短弦，延长该弦与 轴、 轴分别交于 两点，则
的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】依题意，点 ，由圆的性质可知，过点 且垂直PM的直线l截得的弦长最短.而 ，所以直线l的斜率为1，即方程为： ，即 .
所以直线l与 轴、 轴分别交于 ，
故 底边 ，高 ，即面积为 .故选：B.
7．已知 ， ，圆 ： （ ），若圆 上存在点 ，使
，则圆 的半径 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ， ，
∵ ，即 ，
∴ ，即 在以原点为圆心，半径为1的圆上，
而圆 的圆心为 ，半径为R，
∴圆 上存在点 ，即圆 与 有交点，
∴ .故选：A
8． 为 上一点， 为直线 上一点，则线段 长度的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，所以圆 上的点 到直线 上的点 的最小距离 ，
故选：A．
9．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝r2与直线x﹣y＝0交于A，B两点，若以弦AB为直径的圆刚好经过已
知圆的圆心C，则圆C的半径r的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】由题意，AC⊥BC，则C（0，2）到直线x﹣y＝0的距离 ，
则 ，即r＝2．故选：C
10．已知圆 ，圆 ， ， 分别为圆 和圆 上的
动点， 为直线 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆 ，即 ，圆心为 ，半径 ，
圆 ，即 ，圆心为 ，半径 ，
设点 关于直线 对称的点为
则 ，解得： ，
圆 关于直线 对称的圆为圆 ，其圆心为 ，半径 ，则其方程为
，设圆 上的点 与圆 上点 对称，则有 ，
原问题可以转化为 到圆 和圆 上的动点距离之和最小值问题，
连接 ，与直线 交于点 ，此时点 是满足 最小的点，
此时 ，即 的最小值为 ，故选：A．
11．如果复数z满足 ，那么 的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】复数 满足 ，表示以 为圆心，2为半径的圆．
表示圆上的点与点 的距离．
． 的最大值是 ．故选：A．
12．已知圆 ， ，则这两圆的公共弦长为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【答案】C【解析】由题意知 ， ，将两圆的方程相减，得
，所以两圆的公共弦所在直线的方程为 .
又因为圆 的圆心为 ，半径 ，所以圆 的圆心到直线 的距离
.所以这两圆的公共弦的弦长为 .
故选：C.
二、填空题
13．圆 与圆 内切，则 的值为______.
【答案】 或
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以两圆的圆心距 ，
又因为两圆内切，有 ，
解得 或 .故答案为： 或 .
14．已知平面直角坐标系中， ，若 是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方
向排列，则点 的坐标是___________.
【答案】
【解析】如图，分别以点 为圆心， 为半径作圆，两圆在第一象限的交点即为所求的点 .因
为 ，
所以以点 为圆心， 为半径的圆的方程为 ；以点 为圆心， 为半径的圆的方程为 .
联立方程 ，解得 （负舍），
所以点 的坐标是 故答案为：
15．已知圆 ，点 ，从坐标原点 向圆 作两条切线 ， ，
切点分别为 ， ，若切线 ， 的斜率分别为 ， ， ，则 的取值范围为
________．
【答案】
【解析】由题意可知，直线 ， ，
因为直线 ， 与圆 相切，
所以 ， ，
两边同时平方整理可得 ，
，
所以 ， 是方程 的两个不相等的实数根，所以 ．又 ，
所以 ，即 ．又 ，
所以 ，
即 ．
故答案为：
16．已知圆的方程为 ，设该圆过点 的最长弦和最短弦分别为 和 ，
则四边形 的面积为__________.
【答案】
【解析】由圆的方程为 ，
得最长的弦为圆的直径等于 ，
圆心 与点 的距离 ，
根据勾股定理得最短的弦长为 ，
四边形 的面积 ．
故答案为： ．
三、解答题17．已知圆 过点 ， ，且点 关于直线 的对称点 仍在圆 上．
（1）求圆 的方程；
（2）设 是圆 上任意一点 ， ， 求 的最大值和最
小值．
【解析】（1）因为 关于直线 的对称点 仍在圆 上，
所以直线 经过圆心，
设圆心坐标为 ，
又 圆 过点 ， ，
，
解得 ，
圆心坐标为 ，半径为2，
圆 的方程为 ；
（2）设 点坐标为 ，则：
，
， ， ，
， 当 ， 有最大值88；当 ， 有最小值72．
18．已知 ， ， .
（1）求点 到直线 的距离；
（2）求 的外接圆的方程.
【解析】（1） ，
由 得直线 的方程为 .所以点 到直线 的距离
（2）设 外接圆的方程为 ，
由题意，得 解得
即 的外接圆的方程为 .
19．最近国际局势波云诡谲，我国在某岛（如图（1））上进行军事演练，如图（2）， 是三
个军事基地， 为一个军事要塞.已知 km， 到 的距离分别为 km，
km.
（1）求两个军事基地 的长；
（2）若要塞 正北方向距离要塞20km处有一 城中心正在进行爆破试验，爆炸波生成th时的半
径为 ( 为大于零的常数)，爆炸波开始生成时，一军事卡车以 km/h的速度自基地 开往
基地 ，问实数 在什么范围取值时，爆炸波不会波及到卡车的行驶.
【解析】（1）以点 为坐标原点，直线 为 轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得： ，直线 的方程为 ， ，
由 ，及 解得 ， ．
直线 的方程为 ，即 ，
由 得 即 ，
，
即基地 的长为 ．
（2）设爆炸产生的爆炸波圆 ，
由题意可得 ，生成 小时时，卡车在线段 上的点 处，则
， ， ．
爆炸波不会波及卡车的通行即 对 恒成立．
，即
当 时，上式恒成立，
当 时即 ， ，令 ，，当且仅当 ，即 时等
号成立，
所以，在 时 恒成立，亦即爆炸波不会波及卡车的通行．
20．已知直线 与圆 交于 两点．
（1）求出直线 恒过定点的坐标
（2）求直线 的斜率的取值范围
（3）若 为坐标原点，直线 的斜率分别为 ，试问 是否为定值？若是，求出该
定值：若不是，请说明理由．
【解析】（1）将直线 方程整理为： ，
令 ，解得： ， 直线 恒过定点 ；
（2）设直线 斜率为 ，由（1）可知：直线 方程可设为： ，即 ；
圆 方程可整理为 ，则其圆心 ，半径 ，
直线 与圆 交于 两点， 圆心 到直线 距离 ，
即 ，解得： ，即直线 斜率的取值范围为 ；
（3）设 ，
当 时， 与圆 仅有一个交点，不合题意， ，
则直线 ， 可设直线 方程为 ，
由 得： ，由（2）知： ；
， ，，
为定值 .
21．已知圆C经过 三点.
（1）求圆C的方程；
（2）设点A在圆C上运动，点 ，且点M满足 ，记点M的轨迹为 .
①求 的方程；
②试探究：在直线 上是否存在定点T(异于原点O)，使得对于 上任意一点P，都有 为
一常数，若存在，求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由.
【解析】（1）设圆C的方程为 ，将三点 分别代入得
， 解得 ，
所以圆C的方程为 ；
（2）①设 ，则： ，
∴ ， ∴ ，
∵点A在圆C上运动，∴ ，
即：∴ ∴ ，所以点M的轨迹方程为 ，
它是一个以 为圆心，以1为半径的圆；
②假设存在一点 满足 (其中 为常数)，
设 ，则： ，
整理化简得： ，
∵P在轨迹 上，
∴ ，
化简得： ，
所以 ，
整理得 ，
∴ ，
解得： ；
∴存在 满足题目条件．
22．已知 ， 为 上三点.（1）求 的值；
（2）若直线 过点(0，2)，求 面积的最大值；
（3）若 为曲线 上的动点，且 ，试问直线 和直线 的
斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【解析】（1）∵ 为圆 上，
所以 ∴
（2）由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， ， 将
代人 得，
所以
令 ，则 ，
当 ，即 时 面积取得最大值
（3）设直线 和直线 的斜率之积为
设 ， ， 则
①，因为 ， 为圆 上，所以 ，
化简得
整理得 ②
因为 ，所以
从而 ，又因为 为曲线 的动点
所以 展开得
将①代入得
化简得
将②代人得
，整理得
，因为 所以 从而
又 所以
