文档内容
专题 6-1 数形结合思想在解题中的巧用（考题猜想，11 种类型）
类型1：实数与数轴上的点的对应关系在求值中的应用
【例题1】（22-23八年级上·河南周口·阶段练习）如图，数轴上表示1和 的对应点分别为A、B，点B
关于点A的对称点是C，设C点表示的数为x，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2【变式1】（22-23八年级上·河北保定·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到
达点A，点B表示 ，设点A所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求 的值 ．
【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，数轴上表示1、 的对应点分别为 、 ，点
为点 关于点 的对称点，设点 所表示的数为 ．
(1)写出实数 的值；
(2)求 的值．
【变式3】（22-23八年级上·河南周口·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点
B，点A表示 ，设点B所表示的数为m.
(1) ______.
(2)求 的值；
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有 与 互为相反数，求 的平方跟.
类型2：直角三角形三边关系与在数轴上表示实数的综合应用
【例题2】（22-23八年级下·河北唐山·期中）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸
片上的点A表示的数是-2， ，若以点A为圆心， 的长为半径画弧，与数轴交于点E
（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（ ）A． B． C． D．
【变式1】（21-22八年级上·山西临汾·期末）如图所示，点O为数轴的原点，A点对应1，作腰长为1的等
腰直角三角形 ，其中 ，以O为圆心， 长为半径作弧，交数轴于点C，作直角三角形
，其中 ， ，以O为圆心， 长为半径作弧，交数轴于点E，则点E对应的实数为
．
【变式2】．（22-23八年级上·广东深圳·期中）如图 ，纸上有五个边长为 的小正方形组成的图形纸，我
们可以把它剪开拼成一个正方形．
(1)拼成的正方形的边长为______．
(2)如图 ，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的 点为圆心，直角三角形的
最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点 ，那么点 表示的数是______．
(3)如图 ，网格中每个小正方形的边长为 ，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面
积和边长．
【变式3】（22-23八年级下·福建福州·阶段练习）（1）在如图的数轴上作出表示 的点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）正方形网格中的每个小正方边长都是1，在图中以 为一边，画一个边长均为无理数的直角三角形．
（说明：直角三角形的顶点均为小正方形的顶点）
类型3：三角形三边的数量关系在直角三角形中的应用
【例题3】（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图．在 中， ，且 ， ，
点 是斜边 上的一个动点，过点 分别作 于点 ， 于点 ，连接 ，则线段
的最小值为（ ）
A．4.8 B．5 C．3.6 D．5.4
【变式1】（23-24八年级上·浙江·周测）如图，在 中， ， ， ， 平分
，则 的面积为 ．
【变式2】（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在 中， 于点 ， ，
．(1)求 的长；
(2)求证： 是直角三角形．
【变式3】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， 边上的垂直平分线 与 、
分别交于点D、E，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
类型4：特殊三角形的规律在解动点问题中的应用
【例题4】（22-23八年级下·贵州安顺·期中）如图，在正方形 中， ， ， 相交于点 ，
、 分别是边 、 上的动点 （点 、 不与线段 、 的端点重合）， ，连接 ，
， ．在点 、 运动的过程中，有下列四个结论：① 始终是等腰直角三角形；② 面积
的最小值是 ；③四边形 的面积始终是 ；④至少存在一个 ，使得 的周长是 ；
所有正确结论的序号是（ ）A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
【变式1】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在 中， ， ，
，动点D从点A出发，沿线段 以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作 交 所
在的直线于点F，连接 ．设点D运动时间为t秒．当 是以 为腰的等腰三角形时，则
秒．
【变式2】（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图 ， ， ， 平分 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)如图 ， ， ， 交 于点 ，已知点 是 上一动点，连接 ， 求
周长的最小值．
【变式3】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）综合与探究
在 中， 的角度记为 ．
(1)操作与证明：如图1，若 ，点 为边 上一动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转角度 至 位置，连接 ．写出 和 的数量关系：______， ______ ；
(2)探究与发现：如图2，若 ，点 变为 延长线上一动点，连接 ，将线段 绕点A逆时针
旋转角度 至 位置，连接 ．试判断 和 的数量关系，并说明理由；
(3)判断与思考：在（2）的探究中，若 ，点 为直线 上一点，当 时，直接写出
的长．
类型5：数与形的关系在解实际问题中的应用
【例题5】（23-24八年级下·天津南开·阶段练习）如图，一块四边形 ，已知
，则这块地的面积为（ ） ．
A．24 B．30 C．48 D．60
【变式1】（22-23八年级下·湖北襄阳·期末）如图，某小区有一块四边形空地 ，为了美化小区环境，
现计划在空地上铺上草坪，经测量 、 米， 米， 米， 米，若铺一平
方米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金 元．
【变式2】（22-23八年级下·云南迪庆·期末）为深入学习贯彻党的二十大精神，贯彻落实习近平总书记关
于教育的重要论述和重要指示批示精神，迪庆州某中学计划在如图阴影区域展示学生的学习心得．现测得
， ， ， ， ．试求阴影部分的面积．【变式3】（23-24八年级上·山西晋中·期中）在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．图是他
们搭建帐篷的支架示意图．在 中，两根支架从帐篴顶点 支撑在水平的支架上，一根支架
于点 ，另一根支架 的端点 在线段 上，且 ．经测量，知 ， ，
．根据测量结果，解答下列问题：
(1)求 的长；
(2)按照要求，当帐篷支架 与 所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请通过计算说明辰星小组搭建
的帐篷是否符合要求．
类型6：数与形的关系在解折叠问题中的应用
【例题6】（22-23八年级下·重庆开州·期末）如图，将一个长为9，宽为3的长方形纸片 沿 折叠，
使点C与点A重合，则 的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【变式1】（22-23八年级下·广东广州·阶段练习）如图：矩形 沿着直线 对折，点D恰好落与
边上的点H重合， ， ．(1)三角形 的形状；
(2)求三角形 的面积．
【变式2】（23-24八年级下·广东珠海·期中）（1）如图①，已知矩形 的对角线 的垂直平分线与
边 ， 分别交于点 ， ，请判断四边形 形状并说明理由；
（2）如图②，直线 分别交矩形 的边 ， 于点 ， ，将矩形 沿 翻折，使点 的
对称点与点 重合，点 的对称点为 ，若 ， ，求 的长；
（3）如图③，直线 分别交平行四边形 的边 ， 于点 ， ，将平行四边形 沿 翻
折，使点 的对称点与点 重合，点 的对称点为 ，若 ， ， ，求 的长．【变式3】（22-23八年级下·四川成都·期末）已知 ，将 沿对角线 折得到 ．
(1)如图1，当点E落在线段 延长线上时，求证： ；
(2)如图2，当 为锐角时，连接 与线段 相交于点F，试判断 ， ， 之间的数量关系，
并说明理由；
(3)若 ， ，连接 ，当 为等腰三角形时，求 的长．
类型7：数与形的关系在求最值中的应用
【例题7】（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，已知直线l垂直平分 ，点C在直线l的左侧，且
， ， ，P是直线l上的任意一点，则 的最小值是（ ）A．5 B．6 C．7 D．9
【变式1】（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，菱形 的对角线 ，面积为 ， 是
等边三角形，若点 在对角线 上移动，则 的最小值为 ．
【变式2】（22-23八年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知，平面直角坐标系中， ， ，在 轴
上找一点 ，使 最小．
(1)作出 点的位置；
(2)求 的最小值．
【变式3】（21-22八年级下·广东广州·期末）如图，正方形 的边长为2， 在 轴上， 在 轴
上，且 ， ，点C为 的中点，直线 交 轴于点F．(1)求直线 的函数关系式；
(2)过点C作 ，交 轴于点E，求证： ；
(3)点P是直线 上的一个动点，求 的最小值．
类型8：数与形的关系在求点的坐标中的应用
【例题7】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，等边三角形 的边长为 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，正方形 的两边 分别在 轴、 轴上，
点 在边 上，将 绕点 旋转 ，则旋转后点 的对应点 的坐标是 ．
【变式2】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，
，点 在第一象限， 轴，且到 轴的距离为6．(1) ______， ______；
(2) ______， ______；
(3)如果在第二象限内有一点 ，且四边形 的面积是 的面积的两倍，求满足条件的 点的
坐标．
【变式3】（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，已知四边形 是平行四边形， 、 两点的坐标
分别为 ， ．
(1)点 的坐标为： ；
(2)求直线 的函数解析式．
类型9：数的几何性质在求函数解析式中的应用
【例题9】（22-23八年级下·山西朔州·期末）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为
，它的邻边长为 ．则 关于 的函数解析式是（ ）A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 的边 在x轴上，
、 ，点D在 上， ，过点D的直线l平分 的面积，现将l绕原点逆时针旋转
得直线 ，则直线 的函数解析式为 ．
【变式2】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，点 及在第一象限的动点 ，且
．设 的面积为 ．
(1)求 关于 的函数解析式（直接写出 的取值范围）；
(2)当 时，求 点坐标．
【变式3】（22-23八年级下·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交
于点C，点P在线段 上（点P不与点O、C重合），过点P作x轴的平行线交直线 于点Q，
设正方形 与 重叠部分图形的周长为L，设点P的横坐标是m．
(1)求点C的坐标；
(2)直接写出点Q的坐标（用含m的代数表示）；
(3)当 与x轴重合时，求m的值；
(4)求L与m之间的函数解析式．类型10：图像的信息在解几何问题中的应用
【例题10】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将矩形 置于平面直角坐标系中，其中
边在 轴上， ，直线 沿 轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该
直线被矩形 的边截得的线段长度为 ，平移时间为 与 的函数图象如图2所示．有下列说法：①
点 的坐标为 ；②矩形 的面积为8；③ ；④ ，其中正确的有 ．
【变式 1】（22-23 八年级下·吉林长春·期中）如图 1，在菱形 中，动点 P 从点 C 出发，沿着
运动至终点D，设点P运动的路程为x， 的面积为y，若y与x的函数图象如图2所示，
则图中a的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式2】（22-23八年级下·上海静安·期末）如图1，矩形 中，E是对角线 上一个动点（不与点
A重合），作 ，交 于点F，联结 ，如果设 ， 面积为y，那么可得y关于x的函
数图像（如图2所示）．(1)求y关于x的函数解析式，并写出其定义域；
(2)求 的面积及矩形对角线 的长．
【变式3】（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）动点 在平行四边形 边上沿着 A→B→C→D的方
向匀速移动，到达点 时停止移动．已知 的速度为 个单位长度 ，其所在位置用点 表示， 到对角线
的距离（即垂线段 的长）为 个单位长度，其中 与 的函数图象如图 所示．
(1) ， ， ．
(2)若 ，求出 时， 与 的函数关系式，并求当 时 的面积．
(3)如图 ，点 ， 分别在函数第一段和第三段图象上，线段 平行于横轴， 、 的横坐标分别为
、 ．设 、 时点P走过的路程分别为 、 ，若 ，求 、 的值．类型11：图像的信息在解实际问题中的应用
【例题11】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）如图，图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的
一次函数图象，图中 （单位：米）和 （单位：秒）分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下
列说法：
①甲让乙先跑了12米；
②射线 表示甲的路程与时间的函数关系；
③甲的速度比乙快1.5米/秒；
④8秒钟后，甲超过了乙
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】．（22-23八年级上·山东枣庄·期中）一辆汽车油箱中剩余的油量 与已行驶的路程 的
对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为 时，那么该汽车已行
驶的路程为 ．
【变式2】（23-24八年级下·上海奉贤·期中）如图是某辆汽车加满油后，油箱剩油量y（升）关于已行驶
路程x（千米）的函数图像（由两条线段构成）．
(1)根据图像，当油箱剩油量为26升时，汽车已行驶的路程为________千米；当 时，消耗一升油
汽车能行驶的路程为________千米．
(2)当 时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶300千米时油箱的剩油量．【变式3】（23-24八年级上·广东深圳·期末）“宝安新跨越，领湾向未来”是2023深圳宝安马拉松的主题，
该赛事设有马拉松和半程马拉松两个项目，参赛规模达到2万人．湖滨学校的小明同学计划参加下一届的
半程马拉松，爸爸鼓励小明积极训练，并且作为陪练帮助记录训练数据．某日，小明从家出发，匀速跑向
与家相距4800米的公园，10分钟后爸爸从家里出发沿着相同的路线骑共享单车追上小明后，继续往前途
经公园，再往前骑行到达还车点；然后立即以平均150米/分的速度跑了1200米返回公园，刚好与小明同
时到达公园门口．假设家、公园和还车点均在同一条笔直的公路上，设小明出发时间为 （分），如图所
示为爸爸离家的距离 （米）与 （分）的关系的部分图象，如表所示为小明离家的距离 （米）与
（分）的部分数据，请解答下列问题：
（分） … 5 15 …
240
… 800 4800 …
（米） 0
(1) ______；
(2)请在图中把爸爸离家的距离 （米）与小明出发时间 （分）关系的图象补充完整；
(3)请问小明出发后多少分钟与爸爸第一次相遇？
