文档内容
专题6.3 平方根（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．25的算术平方根是5
C． 的平方根是±9 D．－36的算术平方根是6
2．（2022上·浙江温州·七年级乐清外国语学校校考阶段练习）估计 的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
3．（2022下·湖北省直辖县级单位·七年级校联考阶段练习）设 ，
， ， ， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2020上·河北邢台·八年级校考期中）已知实数a的一个平方根是 ，则此实数的算术平
方根是（ ）
A． B． C．2 D．4
5．（2021上·江苏·八年级统考期末）下列各数没有平方根的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．2 D．5
6．（2020·浙江·模拟预测）关于x的多项式 与多项式 相加
后不含x的二次和一次项，则 平方根为（ ）
A．3 B． C． D．
7．（2022下·福建福州·七年级统考期中）已知 表示取三个数中最小的那个数，例
加： ，当 时，则x的值为（ ）
A． B． C． D．8．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）若 ， ，则 的值是（ ）
A．0 B．4 C．0或4 D．2或4
9．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸．
基于满足影印（放大或缩小后，需保持形状不变）及制作各型号纸张时，既方便又省料等方
面的需要，对于纸张规格，存有一些通用的国际标准．其中，把 纸定义为面积为1平方米，
长与宽的比为 的纸张；沿 纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张 纸；再沿 纸
两条长边中点的连线裁切得 纸…依此类推，得 等等的纸张（如图所示）．若设
纸张的宽为 米，则 应为（ ）
A． B． 的算术平方根 C． D． 的算术平方根
10．（2023下·河北石家庄·七年级统考期中）问题：在一块面积为 的正方形纸片上，
沿着边的方向裁出一块面积为 ，且长宽之比为 ： 的长方形纸片 不拼接 ，能裁出
吗？
对于上述问题的解决，嘉嘉和琪琪进行如下对话：
嘉嘉：真急人，我怎么也裁不出①
琪琪：别着急，一定能在一块大纸片上裁出一块面积小的纸片②
嘉嘉：你是如何计算裁出的长宽分别是多少呢？说说思路．
琪琪：设长是 ，宽是 ，
则： ，
，
，， 舍去
长是 ，宽是 ③
嘉嘉：可是不符合实际情况啊 正方形纸片的面积为 ，则边长为 ，即边长为
．
， ， ，又不能拼接，所以裁不出④
对于嘉嘉和琪琪的对话，你认为下面哪个选项是正确的（ )
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·浙江宁波·七年级宁波市第七中学校考期中）已知 ，
则 ．
12．（2021下·重庆江津·七年级校考阶段练习）已知 ， ，且 ，
则 ．
13．（2023下·辽宁营口·七年级统考期末）81的平方根是 ， 的绝对值是 ．
14．（2019下·河南洛阳·七年级东方二中阶段练习）已知 的平方根是 的算术
平方根是4，则 .
15．（2019上·江苏苏州·七年级统考期末）如图是一个数值转换机.若输出的结果为10，则输
入a的值为 .
16．（2022下·北京东城·七年级统考期末）若一个正数的平方根为 和 ，则 的值为
，代数式 的值为 .
17．（2023下·北京丰台·七年级北京丰台二中校考期中）数学解密：若第一个式子是
， 第二个式子是 ， 第三个式子是 ，…，观察
以上规律并猜想第五个式子是 ．18．（2021下·北京大兴·七年级统考期中）如图，把图①中的长方形分成 、 两部分，恰
与正方形 拼接成如图②的大正方形．如果正方形A的面积为2，拼接后的大正方形的面积
是5，则图①中原长方形的长和宽分别是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·浙江·七年级校考期中）计算
(1) ； (2)
20．（8分）（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）求下列各式中x的值．
(1) ； (2) ．
21．（10分）（2023下·七年级课时练习）已知正数x的平方根是m和m＋b．
（1）当b＝8时，求m的值；
（2）若 ，求x的值．22．（10分）（2023下·陕西安康·七年级统考阶段练习）在一次活动课中，小红同学用一根
绳子围成一个长宽之比为 ，面积为 的长方形．
（1）求长方形的长和宽；
（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，请问
她用这根绳子围成的正方形的边长比原来长方形的宽长多少？
23．（10分）（2023下·辽宁大连·七年级大连市第九中学校考期中）问题情境：
数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
；
；
；
……
实践探究：
（1）按照此规律，计算： ______；
（2）计算： ；
迁移应用：
（3）若 符合上述规律，请直接写出x的值．24．（12分）（2023下·广西南宁·七年级南宁二中校考期末）综合与实践
【问题发现】如图1，把两个面积都为 的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直
角三角形拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为 cm．
【知识迁移】若一个圆与一个正方形的面积都是 ，设这个圆的周长为 ，这个正方形
的周长为 ，则 （填“＝”或“ ”或“ ”）．
【拓展延伸】李明想用一块面积为 的正方形纸片（如图2所示），沿着边的方向裁出
一块面积为 的长方形纸片，使它的长宽之比为 ．李明能用这块纸片裁出符合要求
的纸片吗？请说明理由．参考答案：
1．B
【解析】略
2．B
【分析】根据 利用夹逼法得到取值范围，即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题考查根数的估算，解题的关键是将原来的根数变形．
3．A
【分析】观察第一步的几个计算结果，得出一般规律．
【详解】解：∵ ，
，
，
，
，
，．
故选A．
【点拨】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律．
4．C
【分析】根据平方根的概念从而得出a的值，再利用算术平方根的定义求解即可．
【详解】∵-2是实数 的一个平方根，
∴ ，
∴ 的算术平方根是 ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平方根以及算术平方根，在解题时要注意一个正数有两个平方根，它们互为相反
数．一个正数的算术平方根是它的正的平方根．
5．A
【分析】非负数才有平方根，只需确定数是非负数即可．
【详解】∵-3是负数，不是非负数，
∴-3没有平方根，
∵0是非负数，
∴0有平方根，
∵2是正数，是非负数，
∴2有平方根，
∵5是正数，是非负数，
∴5有平方根，
故选A．
【点拨】本题考查了平方根的条件，熟记非负数具有平方根是解题的关键．
6．C
【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算．
【详解】 ＋
＝由题意知， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
9的平方根是 ，
∴ 平方根为 ，
故选：C．
【点拨】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定
义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．
7．D
【分析】根据题意可知 都小于1且大于0，根据平方根求得 的值即可求解．
【详解】解：∵
∴ 都小于1且大于0
（负值舍去）
故选D
【点拨】本题考查了求一个数的平方根，判断 的范围是解题的关键．
8．C
【分析】根据平方根的含义先求解 ， ，再分类讨论即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
当 ， ，
∴ ，
∴ ，当 ， ，
∴ ，
∴ ，
当 ， ，
∴ ，
∴ ，
当 ， ，
∴ ，
∴ ，
综上： 的值是0或4．
故选C．
【点拨】本题考查的是平方根的含义，求解代数式的值，等式的基本性质的应用，清晰的分类讨论是解本
题的关键．
9．D
【分析】由 纸张的宽为x米，表示出 纸的宽和长，根据 纸面积为1平方米求出x的值即可．
【详解】解：由图得，当 纸张的宽为x米时， 纸的宽为 米，
∵纸张长与宽的比为 ，
∴ 纸的长为 米，
∵ 纸面积为1平方米，
∴ ，
∴ ，
∴x的值为 的算术平方根．故选：D．
【点拨】本题考查了平方根的计算，根据图形表示出A0的长宽是解题关键．
10．A
【分析】由题意求出要裁出的长方形纸片的长与宽，比较长方形的长与正方形的边长的大小，即可得到答
案．
【详解】解：由于嘉嘉和琪琪的对话知正方形纸片的面积为 ，则边长为 ，即边长为 ，
而要裁出的长方形纸片的长与宽分别是 ， ．
， ，
，
所以裁不出符合要求的长方形．
正确的是 ．
故选：A．
【点拨】本题考查算术平方根，关键是列出方程由算术平方根的定义求出长方形的长与宽．
11．8
【分析】本题主要考查了实数的性质，代数式求值，根据算术平方根的非负性得出 ，
，进而得到 ，据此可得答案．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴只有当 时满足题意，
∴ ，
故答案为：8．
12． /【分析】若 ，则 ，求出a、b的值，再把它们代入代数式求值即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，b＝2，
∵ ，
∴ ，
∴ ，b＝2，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查绝对值的性质、算术平方根和代数式求值，熟练掌握相关性质求出a、b的值，判断出
是解决问题的关键．
13． ； ．
【分析】根据平方根的性质和绝对值的性质解答即可．
【详解】
∴81的平方根是 ．
故空1答案为：
，
，
．
故空2答案为： ．
【点拨】本题主要考查了平方根的性质和绝对值的性质．正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有
平方根；0的平方根是0．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．掌握以
上知识是解题的关键．14．3
【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：2a-1=9，3a+b-1=16，
解得：a=5，b=2，
∴ =
【点拨】本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解算术平方根，本题属于基础题型．
15．
【分析】根据题意列出关于a的方程，利用平方根定义求出a的值即可．
【详解】解：根据题意得：0.5（a2+4）=10，
整理得：a2=16，
解得：a=±4，
故答案为：±4．
【点拨】此题考查了开平方运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16． -2 -1
【分析】首先根据一个正数的两个平方根的关系，即可列出一元一次方程，解方程即可求得x的值，再把
x的值代入代数式 ，即可求得其值．
【详解】解： 一个正数的平方根为 和 ，
，
解得x=-2，
故 ，
故答案为：-2，-1．
【点拨】本题考查了一个正数的两个平方根的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一个正数的两个平
方根的关系是解决本题的关键．
17．
【分析】先找出前面四个式子的规律，得出第n个式子是 ，进而写出第五
个式子即可。【详解】解：∵ ，即 ，
，即 ，
，即 ，
，即 ，
∴第五个式子为 ，即 ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了算术平方根，是个找规律的题目，难度中等，分析题意，找出规律是解题的关键．
18． ， ．
【分析】设C的长为x，宽为y，根据图②可得B的长和宽，根据正方形A的面积可求出x的值，根据拼接
后的大正方形的面积可求出B的长和宽，从而可进一步求出图①中原长方形的长和宽．
【详解】解：设C的长为x，宽为y，则B的长为x+y，宽为y，
∵正方形 的面积为2，
∴ （负值舍去）
∵拼接后的大正方形的面积是5，
∴ （负值舍去）
∴
∴图①中原长方形的长为 ，图①中原长方形的宽为
故答案为： ， ．
【点拨】此题主要考查了实数的应用，看懂图形，找准数量关系是解答此题的关键．
19．(1)
(2)【分析】本题考查混合运算，涉及乘方运算、绝对值运算、有理数加减乘除混合运算、算术平方根运算等，
熟练掌握混合运算法则及运算顺序，掌握绝对值、算术平方根运算是解决问题的关键．
（1）根据绝对值运算、平方运算先计算，再由有理数加减乘除四则混合运算法则按顺序计算即可得到答
案；
（2）根据平方运算、算术平方根、绝对值运算先计算，再由有理数加减运算法则计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1) 或7
(2)
【分析】（1）利用平方根的性质，即可求解；
（2）利用平方根的性质，即可求解．
【详解】（1）解：
∴ ，
解得： 或7；
（2）解：
∴ ，
即 ，
解得： ．
【点拨】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
21．(1)m＝－4(2)
【详解】（1）∵正数x的平方根是m和m＋b，
∴m＋m＋b＝0．
∵b＝8，∴2m＋8＝0．∴m＝－4．
（2）∵x为正数， ，
整理，得 ．
∵正数x的平方根是m和m＋b，
∴ ， ，代入 ．
可得 ，∴ ．
∵x＞0，∴ ．
22．(1)长方形的长为 ，宽为
(2)这根绳子围成的正方形的边长比原来长方形的宽长
【分析】（1）根据题意设长方形的长为 ，宽为 ，则 ，再利用平方根的含义解方程即可；
（2）设正方形的边长为 ，根据题意可得， ，利用平方根的含义先解方程，再这根绳子围成的正方
形的边长减去原来长方形的宽即可求解．
【详解】（1）解：根据题意设长方形的长为 ，宽为 ，
则 ．
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
答：长方形的长为 ，宽为
（2）解：设正方形的边长为 ，根据题意可得，
∵ ．
∴ ，
∵原来长方形的宽为 ，
∴她用这根绳子围成的正方形的边长比原来长方形的宽长 ．
【点拨】本题考查的是算术平方根的应用，利用平方根的含义解方程，理解题意，准确地列出方程是解本
题的关键．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解；
（2）利用题中所给规律可进行求解；
（3）由题中所给规律可进行求解．
【详解】（1）解： ；
故答案为 ；
（2）解：由题意得：
；
（3）解：∵ ；
；；
……；
∴ ，…..；
∴ ，
即 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
24．【问题发现】 ；【知识迁移】 ；【拓展延伸】能，理由见解析
【分析】【问题发现】根据大正方形的面积为 ，由算术平方根即可求得正方形的边长；
【知识迁移】分别求出圆的半径、正方形的边长，即可求出它们的周长，比较即可；
【拓展延伸】设长方形的长、宽分别为 ，由面积关系建立方程即可求得x的值，再把长方形的
长与正方形的边长比较即可作出判断．
【详解】解：【问题发现】
由题意得大正方形的面积为 ，则其边长为 ；
故答案为： ；
【知识迁移】设圆的半径为r，则有 ，解得： ，则 ；
设正方形的边长为a，则 ，解得： ，则 ；
∵ ，∴ ，
故答案为： ；
【拓展延伸】能，理由如下：
设长方形的长、宽分别为 ，则 ，
解得： ，
∵ ， ，
∴李明能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【点拨】本题考查了算术平方根的应用，用代数式表示长方形的长、宽及正方形的边长是关键．
