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专题7.17 平面直角坐标系中的几何问题（存在性问题）（分层练习）
1．（22·23八年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中， ，现同时将点
向上平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度，分别得到点 的对应点 ，连接 ．
（1）写出点 的坐标；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得 ，如果存在，试求出点 的坐标；如果不存在，
请说明理由．
2．（22·23七年级下·广东珠海·期中）在下列平面直角坐标系中，点 在 轴正半轴上，距离原点 个
单位长度；点 在 轴正半轴上，距离原点 个单位长度；点B坐标 ．
（1）在平面直角坐标系中分别描出 三个点，并顺次连接 三个点；
（2）求三角形 的面积；
（3）在 轴上是否存在点 ，使得三角形 的面积等于三角形 的面积？若存在，求出 的坐
标；若不存在，请说明理由．3．（22·23七年级下·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 ，
现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，
连接 ．
（1）直接写出点C坐标______，D的坐标______；
（2）在y轴上是否存在一点P，连接 使三角形 的面积等于四边形 的面积，求P点
坐标？
4．（22·23七年级下·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，其中 ，
满足 ．
（1）填空： ________， ________；（2）如果在第三象限内有一点 ，请用含 的式子表示 的面积；
（3）在（2）条件下，当 时，在 轴上是否存在点 ，使 ，若存在，请求出点
的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点 ．
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）在x轴上是否存在一点P，使 ？若存在，请求点P坐标．
6．（21·22七年级下·湖北十堰·期末）平面直角坐标系中，已知 ， ， 其中 ，满足： ， 为最小的正整数．
（1）直接写出点 、 、 的坐标；
（2）如图1，在 轴上是否存在一点 ，使 ，若存在，求出点 的坐标，若不存在，试
说明理由；
（3）如图2， 为 轴正半轴上一点，连接 交 轴于点 ，若 ，求 的值．
7．（21·22八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 为 轴
下方一点， 轴，且 ，直线 ： 经过点 ，点 为直线 上一动点．
（1）求点 的坐标和直线 的函数表达式；
（2）若 的面积为10，求点 的坐标；
（3）是否存在点 ，使得 是直角三角形，若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由．8．（22·23七年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，
点 在第一象限， 平行于 轴，且 ．点 从点 出发，以每秒 个单位长度沿 轴向下匀速运动；
点 从点 同时出发，以每秒 个单位长度的速度沿 轴向右匀速运动，当点 到达点 时停止运动，点
也随之停止运动．设运动时间为 秒．问：
（1） ________， ________．
（2）当 时，求三角形 的面积．
（3）是否存在这样的 ，使三角形 的面积是三角形 的面积的 倍，若存在，请求出 的值；
若不存在，请说明理由．
9．（22·23七年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为 ，
，点C在y轴上，且 轴，a，b满足 ．一动点P从原点出发，以每秒2个单
位长度的速度沿着 的路线运动（点P首次回到点O时停止），运动时间为t秒 ．
（1）直接写出点A，B的坐标；
（2）点P在运动过程中，是否存在点P到x轴的距离为 个单位长度的情况，若存在，求出点P的
坐标，若不存在，请说明理由．10．（22·23七年级下·广东中山·期中）如图，在长方形 中， 为平面直角坐标系的原点，点
坐标为 ，点 的坐标为 ，且 满足 ，点 在第一象限内，点 从原点出发，
以每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动，点 回到 点，则停止移动．
（1） ______， ______，点 的坐标为______．
（2）在移动过程中，是否存在点 ，使三角形 的面积为10？若存在，求此时点 移动的时间．
若不存在说明理由；
（3）在移动过程中，是否存在点 ，使三角形 的面积为15？若存在，求此时点 移动的时间．
若不存在说明理由．
11．（21·22七年级下·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，
将线段 先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，使得点 平移到点 ，点 平移到点 ．
（1）直接写出点A和点 的坐标，并证明 ；
（2）连接 ，求三角形 的面积；
（3）在坐标轴上是否存在点 ，使三角形 的面积等于三角形 的面积的一半？若存在，求出
点 的坐标，若不存在，请说明理由．12．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图所示，把三角形 向上平移3个单位长度，再向右平移
2个单位长度，得到三角形 ．
（1）在图中画出三角形 ；
（2）写出点 的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得三角形 与三角形 面积相等？若存在，请直接写出点P
的坐标；若不存在，说明理由．
13．（22·23七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 坐标为 ，点 坐标
为 ，点 坐标为 ，且 ， ， 满足关系式（1）请求出 、 、 三点的坐标：
（2）如果在第三象限内有一点 ，请用含 的式子表示四边形 的面积；
（3）在（2）的条件下，当 时，在 轴上是否存在点 ，使三角形 的面积等于四边形
面积的 ？若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
14．（21·22七年级下·河南信阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ，
，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，
D，连接 ， ， ．
（1）写出点C，D的坐标并求出四边形 的面积．
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形 的面积是三角形 面积的2倍，若存在，请求出
F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是直线 上一个动点，连接 ， ，当点P在直线 上运动时，请直接写出
与 ， 的数量关系．15．（23·24八年级上·河南郑州·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，点 在 轴上，点 、 在
轴上， ， ， ，点 的坐标是 ．
（1）求 的顶点 的坐标；
（2）连接 、 ，并用含字母 的式子表示 的面积 ；
（3）在（2）问的条件下，是否存在点 ，使 的面积等于 的面积？如果存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（23·24八年级上·江西吉安·期中）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，且
与 互为相反数．
（1）求实数 与 的值；
（2）在 轴的正半轴上存在一点 ，使 ，请通过计算求出点 的坐标；
（3）在坐标轴的其他位置是否存在点 ，使 仍然成立？若存在，请直接写出符合题
意的点 的坐标．17．（21·22七年级下·湖北恩施·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（ ， ），点B（ ，
），其中 、 满足 ．
（1）求 、 的值；
（2）如果在第二象限内有一点 ，请用含 的式子表示四边形 的面积；
（3）在（2）的条件下，当 为何值时，三角形 的面积等于三角形 的面积；
（4）在（2）的条件下，当 时，在坐标轴上是否存在点N，使得四边形 的面积与三角
形 的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（22·23七年级下·湖北恩施·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，且满
足、 ，线段 交y轴于点 ，点D是y轴正半轴上的一点．
（1）如图1，求出点A、B的坐标；
（2）如图2，若 ， ，且 、 分别平分 、 ，求 的度数；
（用含α的代数式表示）；
（3）如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得 的面积是 的面积的一半？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
19．（22·23七年级下·辽宁鞍山·期中）如图在直角坐标系中，已知 ， ， 三点，
若 ， ， 满足关系式： ．一动点 从 点出发，以每秒 个单位长度的速度
沿 轴负半轴运动，同时一动点 从 点出发，以每秒 个单位长度的速度沿 轴正方向运动．
（1）直接写出 、 、 三点坐标： ， ， ．
（2）在运动过程中是否存在点 ，使 的面积等于 的面积?若存在，求出点 的坐标，若
不存在，请说明理由．
（3）在点 点 运动的过程中，当 时，请直接写出 与 之间的数量关系．
20．（22·23七年级下·广西南宁·期末）如图1，在平面直角坐标系中， ， ， ，
点为y轴上一动点，且 ．
（1）直接写出 ， 的值： __________， __________．
（2）当点P在直线OC上运动时．是否存在一个点P使 ，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）不论点P运动到直线OC上的任何位置（不包括点O、C）， 、 、 三者之间
是否存在某种固定的数量关系，如果存在，请直接写出它们的关系；如果不存在，请说明理由．
21．（22·23七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点 满足 ．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）如图，将线段 沿x轴向右平移5个单位长度后得到线段 （点O与点B对应），在线段
上取点 ，当 时，求D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在点F使得 ，若存在，求出F点坐标；若不存在，请
说明理由．
22．（22·23七年级下·广东广州·阶段练习）如图所示， 在x轴上、点B在y轴上，将 沿x
轴负方向平移，平移后的图形为 ，且点C的坐标为 ．
（1）直接写出点E的坐标___________；
（2）在四边形 中，点P从点B出发，沿“ ”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：
①当t＝___________秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②求在运动过程中是否存在点P，使得△PEB的面积是△CAB面积的一半，若存在，求出点P的坐标：
若不存在，试说明理由；
③当 时，设 ， ，试问 ， ， 之间的数量关系能否确定？
若能，请用含x，y的式子表示z，写出过程；若不能，说明理由．
23．（22·23七年级下·吉林·期中）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别
为 ，点C在y轴上，且 轴，a、b满足 ，一动点P从原点出发，以每
秒一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O－A－B－C－O的路线运动（回到点O时停
止）
（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）在点P运动的过程中，连接 ，若 把四边形 的面积分成 两部分，求点P的坐标；
（3）点P运动t秒后 ，是否存在点P到x轴的距离为 个单位长度的情况．若存在，求点P
的坐标；若不存在，请说明理由．24．（22·23七年级下·河南安阳·期中）如图，长方形 中，点A，C在坐标轴上，其中A点的坐
标是 ，C点的坐标是 且满足 ，点P在y轴上运动（不与点O，C重合）
（1） ______， ______，B点的坐标为______．
（2）点P在y轴上运动的过程中，是否存在三角形 的面积是长方形 面积的 ，若存在，请
求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
（3）点P在y轴上运动的过程中， 与 、 之间有怎样的数量关系，请直接写出．
参考答案：
1．（1） ；（2）存在，
【分析】（1）根据几何图形在平面直角坐标系中各边长，各顶点与轴的关系，平移的性质即可求解；
（2）根据题意，设 ，则 ，根据三角形的面积计算公式，解方程即可求解．
（1）解：根据题意得， ，
∴ ，
∵点 向上平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度后得对应点 ，
∴ ．
（2）解：如图所示，，设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，解得， ，
∴点 存在，且坐标为 ．
【点拨】本题主要考查图形与坐标，掌握几何图形的性质，平移的性质，三角形面积的计算方法是解
题的关键．
2．（1）点的位置见详解图示；（2） ；（3）存在，点 的坐标为 或
【分析】（1）根据坐标系的特点，点的位置，距离的概念即可求解；
（2）运用“割补法”即可求解；
（3）设 ，用含 的式子表示三角形 的面积，根据题意列方程即可求解．
（1）解：∵点 在 轴正半轴上，距离原点 个单位长度；点 在 轴正半轴上，距离原点 个单位
长度，
∴ ， ，如图所示，
∴ 即可所求图形．
（2）解：如图所示，， ，
，
∴ ，
∴三角形 的面积为 ．
（3）解：存在，存在，点 的坐标为 或 ，理由如下，
如图所示，根据题意设 ，
∴ ，点 ，即点 到线段 的距离为 ，由（2）可知 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 或 ．
【点拨】本题主要考查平面直角坐标系与几何图形的综合，掌握平面直角坐标系的特点，几何图形面
积的计算方法是解题的关键．3．（1） ， ；（2）P点坐标为 或 ．
【分析】（1）根据平移规律，直接得出点C、点D的坐标；
（2）设点P到 的距离为h，则 ，根据 ，列方程求h的值，确定P
点坐标．
（1）解：∵点A、B的坐标分别为 ， ，将点A、点B分别向上平移2个单位，再向右平移
1个单位得到点C，D，
∴ ， ；
故答案为： ， ；
（2）解：设点P到 的距离为h，
， ，
依题意得 ，
∴ ，
解得 ，
∴P点坐标为 或 ．
【点拨】本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，解题的关键是理解平移
的规律．
4．（1） ， ；（2） ；（3）存在 ， 使
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可得出答案；
（2）过点M作 轴于点N， 为三角形 的高，根据三角形面积公式即可得出答案；
（3）结合（2）求出三角形 的面积为 ，可得 ，即可确定点P的坐标．
（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ．故答案为： ，3；
（2）解：如图，过点M作 轴于点N，
∵点 在第三象限，
∴ ，
∴
由（1）得
∵ ，
∴三角形 的面积 ；
（3）解：存在，
由（2）得：三角形 的面积 ，
，
，
假设存在 ，使 ，
，即 ，
， ，
∴存在 使 ．
【点拨】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形以及求三角形面积等知识，熟练运用分情况讨论
的思想分析问题，采用割补法求三角形面积是解题关键．
5．（1）11；（2）7；（3）存在， 或 ．【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，坐标与图形、割补法求面积：正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）过点B作 与点D，再运用割补法进行求 ，即可作答．
（2）用 减去 ，即可作答．
（3）设点 ，根据 进行列式计算，即可作答．
（1）解：如图1，过点B作 与点D，
∵点
∴ ，
∴
（2）解：如图2，连接 ，
（3）解：存在，设点 ，
则 ，∵ ，
∴
∴ ，
解得： 或 ，
∴点P的坐标为 或 ．
6．（1） ，B（－2，0），C（1，－2）；（2）存在， 或 ；（3）
【分析】（1）（1）根据非负数的性质求出a，b，再根据最小的正整数求出c，即可求出答案；
（2）设出点P坐标，利用 ，建立方程求解，即可求出答案；
（3）连接 ， ，设 交y轴于点F，过C作CH⊥ 轴于H，根据 ，可得
，再由 ，可得 ，然后根据 ，可求出DF，即可
求解．
（1）解：∵ ，
∴ ，
解得∶ ，
∵ 为最小的正整数．
∴c=1，
∴ ，B（-2，0），C（1，-2）；
（2）解：设P（0，y），
∵
∴ ，解得： ，
∴ 或 ；
（3）解：连接 ， ，设 交y轴于点F，过C作CH⊥ 轴于H，
∵ ， ，
∴OB=2，HC=2，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，AB=4-（-2）=6，
∴ ，
∴
∴
∴ ，即 ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，绝对值和平方的非负性，利用数形结合思想解答是解题的关键．
7．（1） ； ；（2）点 的坐标为 或 ；（3）存在点 ，使得
是直角三角形， 点坐标为 或
【分析】对于（1），根据点A和点B的横坐标相同， ，点 在 轴下方，可求出点A的坐标，
再代入直线关系式求出b即可；
对于（2），根据题意可求出 边上的高，进而得出坐标；
对于（3），以点B为直角顶点，根据点 的纵坐标与点 的纵坐标相同，再代入关系式即可；再以
点C为直角顶点，作 ，可知 是等腰直角三角形，然后根据中点求出答案．
解：（1）∵ 轴，
∴点 与点 的横坐标相等．
∵ ， ，点 在 轴下方，
∴ ，
将点 代入 ，得 ，解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ；
（2）∵ ， ，
∴ 中， 边上的高为4，
∴点 的横坐标为 或 ，
当 时， ；
当 时， ．
∴当 的面积为10时，点 的坐标为 或 ；
（3）存在点 使得 是直角三角形．
①当点 为直角顶点时，如图，此时点 在 处.∵ 轴，
∴ 轴．
∵点 的纵坐标为2，
∴点 的纵坐标为2，
将 代入 ，得 ，
∴此时点 的坐标为 ；
②当点 为直角顶点时，如图，此时点 在 处．
过点 作 于点 ．
由①易得 ，
∴ 是等腰直角三角形．
∵ ，
∴点 是 的中点．
∵点 的坐标为 ，点A的坐标是 ，
∴此时点 的坐标为 ，即 ．
综上可知，存在点 ，使得 是直角三角形， 点坐标为 或 ．
【点拨】本题主要考查了求一次函数关系式，直角三角形的判定，点的坐标等，注意多种情况讨论不
能丢解．8．（1） ；（2）当 时，三角形 的面积为 ；（3）当 或 时，三角形 的面积
是三角形 的面积的 倍
【分析】（1）根据 ， 平行于 轴，且 ，即可求解；
（2）分别求出点 的坐标，根据（1）求出点 的坐标，最后根据三角形的面积即可求解；
（3）根据题意，分类讨论，当 时， ， ；当 时， ，
；结合图形即可求解．
（1）解：∵ ， 平行于 轴，且 ，点 在第一象限，
∴ ，则 ，
故答案为： ．
（2）解：点 的速度是每秒 个单位长度，点 的速度是每秒 个单位长度，
∵ ， ，
∴ ，
点 到达点 所用的时间是 ，
当 时，点 ，点 ，如图所示，
点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 时，三角形 的面积为 ．
（3）解：设运动时间为 秒，
∴当 时， ， ，∴ ， ，
∴ ，解得， ，符合题意；
当 时， ， ，
∴ ， ，
∴ ，解得， ，符合题意；
综上所述，当 或 时，三角形 的面积是三角形 的面积的 倍．
【点拨】本题主要考查平面直角坐标系中动点的变换与三角形面积的综合，掌握动点的运算，点坐标
的表示，三角形面积的计算是解题的关键．
9．（1） ； ；（2）存在；点P的坐标为 或
【分析】本题考查非负数的性质、坐标与图形的性质、一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键．
（1）直接利用非负数的性质即可解答；
（2）分两种情况：点P在 上运动和点P在 上运动，根据点P到x轴的距离为 个单位长度列
出方程，求解即可．
（1）解：由题意知，a，b满足 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：存在，理由如下：
①当P在 上运动时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ；
②当P在 上运动时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ，
综上可知，点P的坐标为 或 ．
10．（1）4，6， ；（2）存在， 或5.5；（3）不存在点 ，使三角形 的面积为15，
理由见分析
【分析】（1）根据非负数的性质可求出a，b的值，进而可求出点 的坐标；
（2）分2种情况求解即可；
（3）求出三角形 的面积的最大值即可求解．
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4，6， ；
（2）设t秒后三角形 的面积为10．
当点P在 上即 时，由题意，得
，
解得 ；当点P在 上即 时，由题意，得
，
解得 ；
综上可知， 或5.5；
（3）当点P在 上时，三角形 的面积最大，最大值为 ，
∵ ，
∴不存在点 ，使三角形 的面积为15．
【点拨】本题考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，以及一元一次方程的应用，分情况讨论是解
答（2）的关键．
11．（1）点 ，点 ，证明见分析；（2） ；（3）存在， 或 或 或
【分析】本题主要考查了平移的性质、平行线的性质、三角形的面积、坐标与图形等知识，熟练掌握
平移的性质是解此题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
（1）本题主要考查利用平移的性质证明两条直线平行，再利用平行线的性质证明 ，对
于点A和点 的坐标，
直接利用平移性质求解即可．
（2）本题主要考查利用坐标来求三角形的面积，由于A，B，C都是定点，直接利用三角形的面积定
义法求解即可．
（3）本题考查面积存在性问题，利用方程思想解决，由于点 在坐标轴上，长度转化成坐标时，坐标
有正负，注意分类讨论的思想求解，做到不重不漏．
（1）解：点 ，点 ，
由平移的性质可得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．（2）∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴三角形 的面积为
（3）∵三角形 的面积为10，
∴三角形 的面积为5，
①若点 在 轴上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 或
②若点 在 轴上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 或 ，
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
12．（1）见详解；（2） ， ；（3）存在，点P的坐标是 或
【分析】（1）根据平移的要求分别确定点 的位置，即可得到三角形 ；
（2）根据（1）的图形即可得到点 的坐标；
（3）先求出三角形 的面积为 ，设点P的坐标为 ，列出方程 ，
求出 或 ，即可求出点P的坐标．（1）解：如图，三角形 即为所求作的三角形；
（2）解：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（3）解：由题意得三角形 的面积为 ，
设点P的坐标为 ，
∵三角形 与三角形 面积相等，
∴ ，
∴即 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴点P的坐标是 或 ．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系中三角形的平移，点的坐标，数轴上点的距离等知识，绝对值方
程等知识，综合性较强，熟知平面直角坐标系中点的平移规律，准确根据题意列出绝对值方程并正确求解
是解题关键．
13．（1）点 坐标为 ，点 坐标为 ，点 坐标为 ；（2） ；（3）
存在这样的点M，点M的坐标为 或 ．
【分析】本题考查非负数的性质，直角坐标系中的面积问题，三角形的面积公式等知识．（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）求出 ， ，再用 计算即可；
（3）根据设为 ，则 ， ，再结合题意列出绝对值方程，
求解即可．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ；
∴点 坐标为 ，点 坐标为 ，点 坐标为 ；
（2）解：过 点作 于 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：存在，点M的坐标为 或 ，
理由如下：
假设存在这样的点M，设为 ，则 ，
∵ ，
∴∵ ，
由题意得
解得： 或 ，
∴存在这样的点M，点M的坐标为 或 ．
14．（1） ， 四边形 的面积是8；（2）存在， 或 ；（3）当点P在
线段BD上运动时， ；当点P在线段BD的延长线上运动时，
；当点P在DB的延长线上运动时，
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，以及点的平移的规律，对点 的位置进行分
类讨论是解题的关键．
（1）根据点的平移规律可得 、 的坐标以及四边形 的面积；
（2）根据角形 的面积是三角形 面积的2倍，得 ．即可求出点 的坐标；
（3）分三种情况，当点 在线段 上运动时，当点 在线段 的延长线上运动时，当点 在 的
延长线上运动时，分别画图得出答案．
（1）解： 点 ， 的坐标分别为 ， ，
将点 ， 分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得 ， ；
， ，
四边形 为平行四边形，
四边形 的面积为： ；
（2）解：存在， ， ，
，
三角形 的面积是三角形 面积的2倍，
．
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 或 ；
（3）解：当点 在线段 上运动时，如图，延长 交 轴于 点，，
，
，
；
当点 在线段 的延长线上运动时，如图，
，
，
，
；
当点 在 的延长线上运动时，如图，
，
，
，
．
综上：当点 在线段 上运动时， ；
当点 在线段 的延长线上运动时， ；当点 在 的延长线上运动时， ．
15．（1） ；（2） 的面积为 ；（3） 或
【分析】本题考查了坐标与图形性质；
（1）根据三角形面积公式得到 ，解得 ，则 ， ，然后根
据坐标轴上点的坐标特征写出 三个顶点的坐标；
（2）分类讨论：当点 在直线 上方即 ；当点 在直线 下方，即 ；利用面积的和与差
求解；
（3）先计算出 ，利用（ ）中的结果得到方程，然后分别求出 的值，从而确定 点坐标．
（1）解： ，
，
，解得 ，
，
，
， ， ；
（2）当点 在第二象限，直线 的上方，即 ，作 轴于 ，如图，
；
当点 在直线 下方，即 ，作 轴于 ，如图，；
∴ 的面积为
（3）解：∵ ，
当 ，
解得 ．
此时 点坐标为 ；
当 ，
解得 ．
此时 点坐标为 ．
综上所述，点 的坐标为 ， 或 ， ．
16．（1） ， ；（2）M ；（3）
【分析】本题考查绝对值非负性，算术平方根非负性，平面内点与坐标原点及坐标轴上点围城图形面
积问题，解题的关键是熟练掌握点到坐标轴距离转换成三角形的高．
（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案；
（2）当M在x轴正半轴上时，设 ， ，根据 ，再建立方程求解即可；
（3）①当M在y轴正半轴时，设 ，根据面积关系列式求解即可得到答案；②当M在y轴负半
轴时，③当M在x轴负半轴上时，再利用面积关系建立方程即可得到答案；
（1）解：∵ 与 互为相反数．
∴ ，∴ ， ，
解得： ， ；
（2）当M在x轴正半轴上时，设 ， ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（3）①当M在y轴正半轴时，设 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
②当M在y轴负半轴时，设 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
③当M在x轴负半轴上时，设 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
解得： ，∴
综上所述： 或 或 ；
17．（1） 的值是2， 的值是3；（2）四边形 面积 ；（3） ；（4）存在，
或 ．
【分析】（1）根据非负数的性质得到 ， ，解方程即可得到 ， 的值；
（2）过点 作 轴于点 ．根据四边形 面积 求解即可；
（3）
（4）当 时，四边形 的面积 ，可得 ，再分两种情况：①当 在 轴负半
轴上时，②当 在 轴负半轴上时，进行讨论得到点 的坐标．
解：（1） ， 满足 ，
， ，
解得 ， ．
故 的值是2， 的值是3；
（2）过点 作 轴于点 ．
四边形 面积
；
（3） ，，
，
；
（4）当 时，四边形 的面积 ．
，
①当 在 轴负半轴上时，
设 ，则
，
解得 ；
②当 在 轴负半轴上时，
设 ，则
，
解得 ．
或 ．
【点拨】考查了坐标与图形性质，非负数的性质，三角形的面积，关键是求得 ， 的值，其中（3）
中注意分类思想和数形结合思想的应用．
18．（1） ， ；（2） ；（3） 或 或 或
【分析】（1）根据非负数的性质可求出 和 ，即可得到点 和 的坐标；
（2）作 ，由 知 ，从而得出 、 ，再由
角平分线得出 ， ，根据 可得答案；
（3）连接 ，如图3，设 ，根据 ，得到关于 的方程，可求得 的值，则
可求得点 的坐标；计算 的面积，再分点 在 轴上和在 轴上讨论．当 点在 轴上时，设
，利用 ，可解得 的值，可求得 点坐标；当 点在 轴上时，设 ，根据三角形面积公式得，同理可得到关于 的方程，可求得 的值，可求得 点坐标．
（1）解： ， ， ，
， ，
， ，
， ；
（2）如图2，过点 作 ，交 轴于点 ，
，
又 ，
，
，
， ，
，
又 平分 ， 平分 ， ，
， ，
， ，
；
（3）存在．
的面积 ，
当 点在 轴上时，设 ，，
，
解得 或 ，
此时 点坐标为 或 ；
当 点在 轴上时，设 ，
则 ，
解得 或 ，
此时 点坐标为 或 ，
综上所述，存在满足条件的点 ，其坐标为 或 或 或 ．
【点拨】本题为三角形的综合应用，考查了非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形
内角和定理、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．
19．（1） ， ， ；（2）存在， 当 在 上时， ； 当 在 的延
长线上时， ；（3） 或 ．
【分析】（ ）利用几个非负数之和为零，每一项都为两，即可求出 ， ， ，则可求
解 ， ， ；
（ ）分情况讨论， 当 在 上时，设 ，则 ， ，当 的面积等于
的面积时，即 ，则有 ，故 ； 当 在 延长线上时，设，则 ， ，当 的面积等于 的面积时，即 ，则有
，故 ；
（ ）分情况讨论， 当 在 上时，过 作 ，由（ ）得 ，则 ，再根
据平行线的性质和角度和差即可求解， 当 在 延长线上时，过 作 ，由（ ）得 ，
则 ，再根据平行线的性质和角度和差即可求解，
解：（1）∵ ，
∴ ， ， ，
解得： ， ， ，
∴ ， ， ，
故答案为： ， ， ；
（2）存在，如图，
当 在 上时，
由（ ）得： ， ， ，
∴ ， ， ， ，
设 ，
∴ ， ，
当 的面积等于 的面积时，即 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
当 在 得延长线上时，由（ ）得： ， ， ，
∴ ， ， ， ，
设 ，
∴ ， ，
当 的面积等于 的面积时，即 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
（3） 当 在 上时，如图，
过 作 ，由（ ）得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
当 在 得延长线上时，如图过 作 ，由（ ）得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
【点拨】此题考查了坐标与图形性质，非负数的性质，平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握
以上知识的应用和添加辅助线进行分类讨论．
20．（1）6 ，4；；（2）点P的坐标为 或 ；（3）分三种情况：①若点P在线段 的
延长线上，则 ；②若点P在线段 上，则 ；③若点P在线
段 的延长线上，则 ．
【分析】（1）利用非负数的性质，求出b、c即可解决问题；
（2）根据点A、B、C的坐标求得线段 ， ， 的长，从而得到梯形 的面积，进而得到
的面积，设点P的坐标为 ，则 ，根据三角形的面积公式 求得y的值，
从而得到点P的坐标；
（3）分三种情况讨论：①若点P在线段 的延长线上，过点P作 ，则 ，因
此 ， ，从而得到结论 ；②若点P在线段 上，同
①可得 ；③若点P在线段 的延长线上，同①可得 ．
解：（1）∵ ，且
∴ ，
∴ ，
故答案为：6 ，4
（2）∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴
∴
设点P的坐标为 ，则
∵
∴
∴
∴点P的坐标为 或
（3）分三种情况讨论：
①若点P在线段 的延长线上，如图①
过点P作
∵
∴∴ ，
∴
②若点P在线段 上，如图②
过点P作
∵
∴
∴ ，
∴
③若点P在线段 的延长线上，如图③
过点P作
∵
∴
∴ ，
∴
【点拨】本题考查四边形综合题、平行线的性质、三角形的面积、非负数的性质等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．21．（1） ；（2） ；（3）存在， 或
【分析】（1）根据非负数的性质求出a值，从而可得b值；
（2）设D的坐标为 ，根据平移得到 ， ，则有 ，分别表示出相应部分的
面积，根据 ，可得方程，解之求出x值即可得解；
（3）分点F在D点左侧，点F在D点右侧，两种情况，设 ，表示出 ，根据已知面积，列
出方程，解之即可．
（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）设D的坐标为 ，由平移可得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
又∵ ，
即 ，解得 ，
∴ ；（3）存在，理由是：
由（2）知 ，
当点F在D点左侧时，设 ，则 ，
∵ ，
解得 ，
∴F点坐标为 ，
当点F在D点右侧时，设 ，则 ，
∵ ，
解得 ，
∴F点坐标为 ，
综上所述，F点坐标为 或 ．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形性质，非负数的性质，解题的关键是能够将
图形的面积，线段的长以及点的坐标相结合，构造方程解决问题．
22．（1） ；（2）①2；②在运动过程中存在点P，使得△PEB的面积是△CAB面积的一半，
此时点 坐标为 或 ；③能确定，
【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论；
（2）①由点 的坐标为 ．得到 ， ，由于点 的横坐标与纵坐标互为相反数；于是
确定点 在线段 上，有 ，即可得到结果；
②当点 在线段 上时，由题意得 ，此时点 的坐标 ，根据△PEB的面积是△CAB面积
的一半，得到 ，解得 ，即可得到点 坐标为 ；当点 在线段 上时，由题意得 ，此时点 的坐标 ，根据△PEB的面积是△CAB面积的一
半，得到 ，解得 ，此时点 坐标为 ，问题得解；
③在运动过程中存在点P，使得△PEB的面积是△CAB面积的一半，此时点 坐标为 或
；③过 作 交 于 ，证明 ，得到 ， ，即可
得到 ，从而得到 ．
（1）解：∵点B在y轴上，点C的坐标为 ， 沿x轴负方向平移，得到 ，
∴ 沿 轴负方向平移3个单位得到 ，
∵点 的坐标是 ，
∴点 的坐标是 ；
故答案为：
（2）解：①∵点 的坐标为 ．
， ，
∵点 的横坐标与纵坐标互为相反数；
点 在线段 上，
，
即
当 秒时，点 的横坐标与纵坐标互为相反数；
故答案为：2
②如图1，当点 在线段 上时，由题意得 ，此时点 的坐标 ，
∵△PEB的面积是△CAB面积的一半，
∴
解得 ，
此时点 坐标为 ；如图2，当点 在线段 上时，由题意得 ，此时点 的坐标
，
∵△PEB的面积是△CAB面积的一半，
∴ ，
解得 ，
此时点 坐标为 ．
答：在运动过程中存在点P，使得△PEB的面积是△CAB面积的一半，此时点 坐标为 或
；
③能确定．
如图3，过 作 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
， ，
，
．【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，坐标与图形的变化 平移，平行线的性质，一元一次方程的
应用等知识，综合性较强，熟知相关知识，根据题意画出图形是解题的关键．
23．（1） ， ；（2） 或 ；（3） 或
【分析】（1）直接利用非负数的性质即可解答；
（2）证明四边形 为长方形，求出面积，再分两种情况：当 时和当 时，分别
列出方程，求解即可；
（3）分两种情况：点P在 上运动和点P在 上运动，根据点P到x轴的距离为 个单位长度列
出方程，求解即可．
（1）解：由题意知，a，b满足 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）由题意可知， 轴， ，
∵ 轴，
∴四边形 为长方形，
∵ ，
∴ ，
∵ 把四边形 的面积分成 的两部分，∴一部分面积为4，另一部分面积为8，
∴可分两种情况讨论：当 时和当 时，
①当 时，
此时点P在 上，点P的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ，
②当 时，
此时点P在 上，点P的坐标为 ，
∴ ，
∴
∴点P的坐标为 ，
综上可知，，点P的坐标为 或 ；
（3）存在，理由如下：
①当P在 上运动时， ，
由（2）可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ，②当P在 上运动时，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ，
综上可知，点P的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查非负数的性质、坐标与图形的性质、三角形的面积、一元一次方程的应用，分类讨
论是解题关键．
24．（1）2，3， ；（2）存在，点P的坐标是 ；（3）当点P在点C上方时，
；当点P在点 之间时， ；当点P在点 下方时，
；
【分析】（1）根据绝对值与算术平方根的非负性直接计算即可得到答案；
（2）根据（1）可得 ， ，设点 ，根据面积关系列式求解即可得到答案；
（3）过P作 ，分点 在 上方， 的下方， 之间三类讨论即可得到答案；
（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
故答案为：2，3， ；
（2）解：假设存在，由（1）得，
， ，∴ ，
设点 ，
∴ ，
∵三角形 的面积是长方形 面积的 ，
∴ ，解得： ，
∴假设成立存在点P使三角形 的面积是长方形 面积的 ： ， ；
（3）解：过P作 ，
①当点 在 之间时，如图所示，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
②当点 在 的下方时，如图所示，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；③当点 在 上方时，如图所示，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
【点拨】本题主要考查根据平行线的性质与判定探究角度关系，绝对值与算术平方根非负性及坐标系
中动点围城三角形面积问题，解题的关键是熟练掌握非负式子和为 0它们分别等于0，探究角度关系注意
分类讨论，面积问题注意点到坐标轴的距离与坐标关系．
