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专题 8.11 实际问题与二元一次方程组（2）（知识梳理与考点分类讲
解）
【知识点一】常见的一些等量关系（二）
1．存贷款问题
利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
年利率＝月利率×12.
1
12
月利率＝年利率× .
2.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个
位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
3．方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社
购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
特别提醒：
方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．
【知识点二】实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思路
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
特别提醒：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【考点目录】
【考点1】数字问题； 【考点2】年龄问题；
【考点3】销售、利润问题; 【考点4】古代问题;
【考点5】图表信息问题; 【考点6】几何图形问题.
【考点1】数字问题；
【例1】（23-24九年级上·福建南平·期中）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的
算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代
表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个
位，不拨出空档表示0．
小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上
的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数．
【答案】这个三位数是615，小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，由题意得出百位拨的数字是6，再根据个位数字与十位数字的
和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，设出未知数列方程组并解出即可解决．找出等量关系
列方程组是解题关键．
解：由题意得：小华在百位拨的数字是6，
设个位数字是 ，十位数字是 ，
由题意得： ，解这个方程组，得： ，
答：这个三位数是615，小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠．
【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·期末）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小
的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个
四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为 ，较小的两位数为 ，根据题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为
68，② 比 大990，根据等量关系列出方程组．
解：根据题意，得 ．
故选：C．
【变式2】（2024·陕西西安·一模）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加
了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填
入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的
题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了九宫格的知识，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和
相等的规律，观察九宫格中数的排列特征建立方程是解决问题的关键．解：设九宫格中最中间的数为x，
∵第3列中间数与第2行的最右边的数重合，
∴
解得： ．
设第1列最下面的数为y，第2行最右边数为z，
则由题意得： ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：9．
【考点2】年龄问题；
【例2】（19-20七年级下·吉林延边·期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34
岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可
得出结论．
解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，
根据题意得
解得
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
【变式1】（23-24七年级下·全国·假期作业）小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这
样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为 岁，小明年龄为 岁．【答案】 26 13
【解析】略
【变式2】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸
爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（ ）
A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁
【答案】C
【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年
的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方
程组即可．
解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，
但实际上 （岁），说明十年前妹妹没出生，
则妹妹今年的年龄为 （岁），我的年龄为 （岁），
设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，
由题意得： ，
解得： ，
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【考点3】销售、利润问题；
【例3】（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）某电商销售A、B两种产品，相关信息如下表．
进价（元/件） 售价（元/件）
A种产品 30 45
B种产品 40 60
(1)该电商十月份售出了A、B两种产品共840件，总利润是15600元，该电商十月份售出A、B两种产
品各多少件？（利润 售价 进价）
(2)该电商在“双十一”期间采取了以下优惠方案：A种产品实行“买五免一”的成组销售优惠活动
（每5件商品为一组，每买5件商品，其中1件商品免费），B种产品打八五折．①A种产品实行的“买五免一”优惠活动，相当于每件A种产品打______________折销售．
②该电商“双十一”期间售出了A种产品500件，B种产品若干件，且总利润比十月份增加了5000元，
则该电商“双十一”期间售出了B种产品多少件？
【答案】(1)A种产品240件，B种产品600件 (2)①八；②1600件
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设该电商十月份售出A种产品x件，则售出B种产品 件．根据题意列一元一次方程求解
即可；
（2）①求出“买五免一”优惠活动每件A种产品的价格，再除以原价，即可得到答案；
②设该电商“双十一”期间售出了B种产品y件，根据“双十一”期间优惠活动，表示出两种产品的总
利润，再列一元一次方程求解即可．
解：（1）解：设该电商十月份售出A种产品x件，则售出B种产品 件．
根据题意，得 ，
解得 ，
，
答：该电商十月份售出A种产品240件，B种产品600件．
（2）解：①“买五免一”优惠活动，相当于花4件A种产品的价钱，买到5件A种产品，
所以每件A种产品的价格为 元，
，即相当于每件A种产品打八折销售，
故答案为：八
②设该电商“双十一”期间售出了B种产品y件，
所以“双十一”期间这两种产品的总利润为 元，
因为“双十一”期间这两种产品的总利润比十月份增加了5000元，
所以 ，
解得 ．
故该电商“双十一”期间售出了B种产品1600件．
【变式1】（2024·安徽·一模）某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购 ，
两种图书，已知采购2本 种图书和3本 种图书共需110元，采购1本 种图书和5本 种图书共需160元，则 ， 两种图书的单价分别为（ ）
A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设 ， 两种图书的单价分别为 元， 元，根据题意列
出方程组，解方程组即可求解．
解：设 ， 两种图书的单价分别为 元， 元，根据题意得，
解得：
即 ， 两种图书的单价分别为10元、30元，
故选：A．
【变式2】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）甲、乙两店分别购进一批无线耳机，每副耳机的进价甲店比
乙店便宜 ，乙店的标价比甲店的标价高 元，这样甲乙两店的利润率分别为 和 ，则乙店每
副耳机的进价为 元．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟读题目，找出题目中的关系，列出方程组，
从而解方程组．
设乙店的耳机进价为x元，标价为y元，则根据题意列出二元一次方程组，解方程组，求出x的值，即可
得到答案．
解：根据题意，设乙店的耳机进价为x元，标价为y元，
则甲店的耳机进价为： 元；标价为： 元；
∵甲乙两店的利润率分别为 和 ，
∴ ，
解得： ，
∴乙店每副耳机的进价为 元；
故答案为： ．【考点4】古代问题；
【例4】（22-23七年级下·江苏南通·期末）我国传统数学名著 九章算术 记载：“今有牛五、羊二，直
金十九两；牛二、羊五，直金十六两 问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 头牛、 只羊，值 两银
子； 头牛、 只羊，值 两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两
个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)某商人准备用 两银子买牛和羊 要求既有羊又有牛，且银两须全部用完 ，且羊的数量不少于牛数量
的 倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】(1)每头牛值 两银子，每只羊值 两银子；(2) 购买 头牛， 只羊； 购买 头牛， 只羊．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设每头牛值 两银子，每只羊值 两银子，根据“ 头牛、 只羊，值 两银子； 头牛、 只羊，
值 两银子”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买 头牛， 只羊，根据某商人准备用 两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数
量不少于牛数量的 倍，得 ，然后求出满足条件的正整数解即可．
（1）解：设每头牛值 两银子，每只羊值 两银子，
依题意得： ，
解得： ，
答：每头牛值 两银子，每只羊值 两银子；
（2）设购买 头牛， 只羊，
依题意得： ，
整理得： ，
、 均为正整数，
为 的倍数，
羊的数量不少于牛数量的 倍，，
或 ，
商人有 种购买方法：
购买 头牛， 只羊；
购买 头牛， 只羊．
【变式1】（22-23八年级上·云南文山·期末）《九章算术》中记载了一个问题，大意是甲、乙两人各带了
若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的 ，则乙也共有钱50．甲、乙两
人各带了多少钱？设甲带了钱x，乙带了钱y，依题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此类的关键是读懂题意，设出未知数，找
出合适的等量关系，列出方程组．根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半 ，乙的钱+甲所有钱的 ，
据此列方程组即可．
解：根据题意，得 ，
故选：C．
【变式2】（2024·湖北·一模）明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条
竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若
用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么绳索长 尺，
竿长 尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺）
【答案】 20 15
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设
绳索长x尺，竿长y尺，由题意：绳索长=竿长+5尺，竿长=绳索长的一半+5尺，列出方程组，解方程组即
可．解：设绳索长x尺，竿长y尺，
由题意得： ，
解得： ，
即绳索长20尺，竿长15尺，
故答案为：20，15．
【考点5】图表信息问题；
【例5】（21-22七年级下·湖南株洲·期末）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号
的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
销售数量
销售时
销售收入
段
A种型号 B种型号
第一周 3 5 1750元
第二周 4 10 3000元
(1)求A、B两种型号电风扇的销售单价；
(2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由．
(3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案．
【答案】(1) 种型号电风扇的销售单价为250元， 种型号电风扇的销售单价为200元；(2)不能，理由见
解析；(3)见解析
【分析】（1）设 种型号电风扇的销售单价为 元， 种型号电风扇的销售单价为 元，根据近2周的销
售情况表格中的数据，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）不能实现利润为1200元的目标，设销售 台 种型号电风扇， 台 种型号电风扇，利用总利润
每台的销售利润 销售数量，结合销售完 、 两种型号的电风扇共25台且共获得1200元利润，即可得
出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出 ， 的值，结合 ， 需为正整数，即可得出不能实现
利润为1200元的目标；
（3）设购买 台 种型号电风扇， 台 种型号电风扇，利用总价 单价 数量，即可得出关于 ， 的二
元一次方程，结合 ， 均为正整数，即可得出各购买方案．
（1）解：设 种型号电风扇的销售单价为 元， 种型号电风扇的销售单价为 元，依题意得： ，
解得： ．
答： 种型号电风扇的销售单价为250元， 种型号电风扇的销售单价为200元．
（2）不能实现利润为1200元的目标，理由如下：
设销售 台 种型号电风扇， 台 种型号电风扇，
依题意得： ，
解得： ，
又 ， 均为正整数，
不符合题意，舍去，
即不能实现利润为1200元的目标．
（3）设购买 台 种型号电风扇， 台 种型号电风扇，
依题意得： ，
，
又 ， 均为正整数，
或 或 ，
该公司共有3种购买方案，
方案1：购买4台 种型号电风扇，15台 种型号电风扇；
方案2：购买8台 种型号电风扇，10台 种型号电风扇；
方案3：购买12台 种型号电风扇，5台 种型号电风扇．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次
方程组（或二元一次方程）是解题的关键．【变式1】（2024七年级下·北京·专题练习）《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小明的探索兴趣，他
在如图的 方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的个数之和都相等，则
的值为（ ）
A．1 B．5 C．25 D．32
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程组，有理数乘方运算的运用，根据题意列式 ，
再根据解二元一次方程组的方法求出 的值，代入 ，根据有理数乘方运算即可求解，掌握解二元一
次方程组，有理数乘方运算法则是解题的关键．
解：根据题意，可得： ，
由①，可得： ，
由②，可得： ，
由③④，可得： ，
解得 ，
把 代入①，解得 ，
∴ ．
故选：C．
【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）某班学生参加智力竞赛，共10道题，答题情况统计如下：
答对题数 0 1 2 3 … 8 9 10
人数 0 2 5 7 … 8 4 1
（1）对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题；
（2）对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题．
该班学生共有 人参加智力竞赛．
【答案】55【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设答对4～7题的有x人，共答对y题，根据“对答对4
题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题”可得方程 ，根据“对
答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题”可得方程 ，
联立组成方程组，求解即可得到对4～7题的人数，进而可求出学生总数．
解：设答对4～7题的有x人，共答对y题，则
，
解得： ，
∴参加竞赛的学生人数为 （人）．
故答案为：55．
【考点6】几何图形问题.
【例6】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，现要在长方形草坪中规划出 块大小、形状一样的小长
方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．
(1)如图①，大长方形的相邻两边长分别为 和 ，求小长方形的相邻两边长；
(2)如图②，设大长方形的相邻两边长分别为 和 ，小长方形的相邻两边长分别为 和 ， 个小长方形的
周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)小长方形的相邻两边长分别是 ， ；(2)为定值 ，过程见解析
【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用和代数式：
（1）设小长方形的宽为 ，长为 ，依题意，得 ，求解即可；（2）根据题意可知 个小长方形的周长 ，根据题意可知 ， ，大长方形的
周长 ．
解：（1）设小长方形的宽为 ，长为 ．根据题意，得
解得
答：小长方形的相邻两边长分别是 ， ．
（2）是定值 ，理由如下：
根据题意可知 个小长方形的周长 ．
根据题意可知 ， ，大长方形的周长 ．
可得 ．
所以， 个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值，为 ．
【变式1】（21-22七年级下·河南鹤壁·期中）如图，由七个完全一样的小长方形组成大长方形 ，
，大长方形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键． 由图可看出本题的等量关系：
小长方形的长 小长方形的宽 ；小长方形的长+宽 ，据此可以列出方程组求解．
解：设小长方形的长为x，宽为y．由图可知 ，
解得 ．
所以长方形 的长为10，宽为7，
∴长方形 的周长为 ，
故选B．
【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先
按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度
等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设
桌子的高度为 ，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大 ，根据图中两种放置的方式，
列出二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设桌子的高度为 ，长方体木块一个面（图中展示的面）的长比宽大 ，
由题意得：
，
解得： ，
∴桌子的高度为 ，
故答案为：
